Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng toan 9 rut gon bieu thuc chua can

MỤC LỤC
I.

TÓM TẮT ĐỀ TÀI ................................................................................................................

2

II.

GIỚI THIỆU ................................................................................................................................

3

1. Hiện trạng

.................................................................................................................................

3

2. Giải pháp thay thế ...............................................................................................................

3

3. Một số đề tài gần đây .......................................................................................................

4

4. Vấn đề nghiên cứu ..............................................................................................................

4

5. Giả thuyết nghiên cứu ......................................................................................................

4

III. PHƯƠNG PHÁP ..........................................................................................................................

4

1. Khách thể nghiên cứu ......................................................................................................

4

2. Thiết kế

.......................................................................................................................................

5

3. Quy trình nghiên cứu ........................................................................................................

6

4. Đo lường

16

.....................................................................................................................................

IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ ......................

16

1. Phân tích dữ liệu ................................................................................................................

18

2. Bàn luận kết quả ....................................................................................................................

19

V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM ...................................................................................................

19

VI. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................................

20

VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................

22

VIII. CÁC PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI .....................................................................................

23

PHỤ LỤC 1: Bài kiểm tra trước tác động .............................................................
PHỤ LỤC 2: Bài kiểm tra sau tác động ..................................................................

23

25

Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng:

1


NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ 9 CHO HỌC SINH
LỚP 9A2 TRƯỜNG THCS TÂN HỘI BẰNG PHÂN DẠNG BÀI TOÁN
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
Giáo viên nghiên cứu: Nguyễn Văn Trọng
Đơn vị: Trường THCS Tân Hợi, Đức Trọng, Lâm Đồng
I. TĨM TẮT ĐỀ TÀI
Rút gọn biểu thức là dạng bài tập quan trọng trong chương trình toán THCS. Bắt
đầu từ năm lớp 7, học sinh được làm quen với bài toán rút gọn biểu thức, dạng bài tập
này tiếp tục được dạy kỹ hơn ở lớp 8, lớp 9. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kỳ, thi
học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên THPT,...
Qua những năm giảng dạy tại trường THCS Tân Hội, Tôi nhận thấy rằng với bộ
môn đại số toán 9 nhiều học sinh thường lúng túng khi làm loại toán này. Đi theo kết
quả của bài toán rút gọn biểu thức cịn có các dạng toán khác, cho nên các em gặp rất
nhiều khó khăn khơng chỉ đới với học sinh trung bình mà ngay cả học sinh khá, giỏi
cũng gặp nhiều sai sót khi trình bày lời giải. Vậy làm cách nào để các em biết vận
dụng các kiến thức đã học để làm tớt dạng toán này? Để từ đó học sinh tích cực, chủ
động, phát triển năng lực tự học. Từ những thực tế nêu ra ở trên và từ kinh nghiệm
giảng dạy của bản thân, tôi chọn đề tài “ Nâng cao kĩ năng giải bài tập chương 1 đại
số 9 cho học sinh lớp 9A2 trường THCS Tân Hội bằng phân dạng bài toán rút
gọn biểu thức chứa căn bậc hai”
Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương (Hai lớp 9 trường THCS
Tân Hội): Lớp 9A2 (18 học sinh) làm lớp thực nghiệm; lớp 9A5 ( 18 học sinh) làm lớp
đối chứng. Lớp thực nghiệm được ”Phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn

bậc hai”. Kết quả cho thấy tác đợng đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kĩ năng giải toán của
học sinh. Điểm trung bình (giá trị trung bình) bài kiểm tra của lớp thực nghiệm là 6,89;
của lớp đối chứng là 5,72. Kết quả kiểm chứng t-test cho thấy p = 0,0032 < 0,05 có
nghĩa là có sự khác biệt lớn giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đới
chứng. Điều đó chứng minh rằng việc hướng dẫn cho học sinh cách ”Phân dạng bài

2


toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai” làm nâng cao kĩ năng giải bài tập chương
1 đại số 9 cho học sinh lớp 9A2 trường THCS Tân Hội.
II. GIỚI THIỆU
1. Hiện trạng
Chương 1 đại số 9 chỉ học trong 14 tiết, nhưng sách giáo khoa và sách bài tập toán lớp
9, tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Để làm được
các bài tập ở chương này đòi hỏi phải phối hợp rất nhiều kĩ năng, nên nhiều học sinh
cảm thấy đ́i sức khi tiếp cận chương này
Có nhiều nguyên nhân như:
- Học sinh chưa nắm chắc lí thuyết của chương.
-

Học sinh chưa nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã
được học ở lớp 8.

-

Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn
ở lớp 9 chưa thành thạo.

-

Học sinh ít tham khảo dạng toán này trong các sách nâng cao

-

Học sinh chưa biết “phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn”

Như vậy để khắc phục những khó khăn trước mắt và giúp học sinh có những kĩ năng
vận dụng kiến thức giải bài tập dạng này mợt cách có hiệu quả, tơi chọn ngun nhân
“Do học sinh chưa biết phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn”
2 Giải pháp thay thế
Để khắc phục các nguyên nhân đã nêu ở trên, có rất nhiều giải pháp như:
- Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
- Rèn kĩ năng vận dụng các hằng đẳng thức dưới dạng biểu thức chứa dấu căn
- Yêu cầu học sinh tìm đọc các sách nâng cao liên quan đến dạng này
- Giáo viên hướng dẫn cho học sinh “ phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa
căn ”
….
Như vậy có rất nhiều giải pháp để khắc phục được hiện trạng trên, tuy nhiên mỡi
giải pháp đều có những ưu điểm cũng như những hạn chế nhất định. Trong tất cả các
giải pháp đó tơi chọn giải pháp “hướng dẫn học sinh phân dạng bài toán rút gọn biểu
thức chứa căn”. Giúp cho học sinh bước đầu có phương pháp và một số kĩ năng cơ bản
để giải loại bài tập này. Với những lý luận trên, theo chủ quan cá nhân, tôi chia thành
các dạng như sau:

3


*) Rút gọn biểu thức số
Dạng 1: Vận dụng hằng đẳng thức

A2 = A

Dạng 2: Vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai
Dạng 3: Vận dụng trục căn thức ở mẫu bằng phương pháp nhân liên hợp.
*) Rút gọn các biểu thức chứa biến, sử dụng kết quả rút gọn để:
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến
Dạng 2: Giải phương trình, bất phương trình (so sánh biểu thức với mợt sớ)
Dạng 3: Tìm các giá trị ngun của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên
Dạng 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
3. Một số đề tài gần đây:
- Đề tài nghiên cứu KHSPƯD
“Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai để rèn luyện kĩ năng,
phương pháp giải toán cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Khắc Cẩn, An Lão, Hải
Phòng” của tác giả: Nguyễn Phương Nam.
- Đề tài: Rèn kĩ năng giải toán “ Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
cho học sinh lớp 9” của tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Diệp
4. Vấn đề nghiên cứu:
Việc hướng dẫn học sinh “phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc
hai ”, có nâng cao kĩ năng giải bài tập chương 1 đại số 9 cho học sinh lớp 9A2 trường
THCS Tân Hội không?
5. Giả thuyết nghiên cứu:
Có, việc hướng dẫn học sinh “phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn
bậc hai” làm nâng cao kĩ năng giải bài tập chương 1 đại số 9 cho học sinh lớp 9A2
trường THCS Tân Hội
III. PHƯƠNG PHÁP
1. Khách thể nghiên cứu
Học sinh của hai lớp 9A2 và 9A5 Trường THCS Tân Hội. Hai lớp được chọn tham
gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng nhau về tỉ lệ giới tính, học lực và thành phần
dân tộc. Cụ thể như sau:

Bảng 1: Học lực, giới tính, thành phần dân tộc học sinh 2 lớp 9 trường THCS Tân Hội.

4


Học lực Năm 2014-2015

Giới tính

Lớp

Tổng số

Lớp 9A2 (TN)

18

Nam
10

Nữ
8

Giỏi
5

Khá
6

Lớp 9A5 (ĐC)

18

9

9

5

6

Dân tộc

TBình
7
7

Kinh
18
18

K’ho
0
0

Về ý thức học tập, học sinh ở hai lớp này đều tích cực, chủ động là như nhau. Kết
quả học lực năm học trước, hai lớp tương đương về xếp loại học lực cuối năm của tất
cả các môn học.
2. Thiết kế

Chọn hai nhóm của 2 lớp: Nhóm học sinh lớp 9A2 là nhóm thực nghiệm và nhóm
học sinh lớp 9A5 là nhóm đới chứng. Tơi dùng bài kiểm tra 15 phút của học sinh phần
“Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai chương 1 đại số 9” làm bài kiểm tra trước tác
động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau, do đó
tơi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm sớ trung
bình của 2 nhóm trước khi tác đợng.
Kết quả:
Bảng 2. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Đới chứng

Thực nghiệm

5,56

5,67

Giá trị trung bình
p

0,4004

p = 0,4004 > 0,05, từ đó kết ḷn sự chênh lệch điểm sớ trung bình của hai nhóm thực
nghiệm và nhóm đới chứng là khơng có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
Sử dụng thiết kế 2:
Kiểm tra trước và sau tác đợng đới với các nhóm tương đương (được mô tả ở bảng 3):
Bảng 3. Thiết kế nghiên cứu
Nhóm

KT trước
TĐ

Tác đợng

KT sau
TĐ

Thực nghiệm (9A2)

O1

Hướng dẫn cho học sinh “phân dạng bài
toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc
hai” .

O2

Đới chứng (9A5)

O3

Khơng

O4

3 Quy trình nghiên cứu
3.1 Các kiến thức về căn bậc hai

5

1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0,

a = x ⇔ x2 = a

2) A xác định khi A ≥ 0
3)

A2 = A

4)

AB = A. B ( Với A ≥ 0 và B ≥ 0 )
A
A
=
( Với A ≥ 0 và B > 0 )
B
B

5)
6)

A 2 B = A B (Với B ≥ 0 )

7) A B = A 2 B ( Với A ≥ 0 và B ≥ 0 )
A B = − A 2 B ( Với A < 0 và B ≥ 0 )
9)
10)
11)
12)

A
=
B

AB
( Với AB ≥ 0 và B ≠ 0 )
B

A

A B
( Với B > 0 )
B

=

B
C
C ( A mB )
=
( Với A ≥ 0 và A ≠ B2 )
A − B2
A±B
C
C( A m B )
=
( Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )
A− B
A± B

3.2 Phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:
3.2.1 Rút gọn biểu thức số

A2 = A

Dạng 1: Vận dụng hằng đẳng thức
Ví dụ1 : Rút gọn:
a) (−3) 2 + (−8) 2 ;

b)

( 5 − 3) 2 ;

c)

5−2 7−2 6

Giải:
a) ( −3) 2 + (−8) 2 = −3 + −8 = 3 + 8 = 11
b) ( 5 − 3) 2 = 5 − 3 = 3 − 5
c)

5−2 7−2 6

= 5 − 2 6 − 2 6 + 1 = 5 − 2 ( 6 − 1) 2
= 5 − 2( 6 − 1) = 7 − 2 6

= ( 6 − 1) 2 = 6 − 1
Giáo viên lưu ý cho học sinh:

- Khi biểu thức dưới dấu căn có dạng bình phương ta sử dụng kiến thức A2 = A để
phá dấu căn, sau đó xét xem A ≥ 0 hay A < 0 để làm cơ sở bỏ dấu giá trị tuyệt đối
+)

A2 = A = A nếu A ≥ 0.

+)

A2 = A = -A nếu A < 0.

6


- Một số dạng biểu thức tồn tại dưới dạng hằng đẳng thức
a) Dạng

M +E N .

Trong trường hợp này chúng ta thường hướng dẫn học sinh theo phân tích sau :
 ±2ab = E N
⇒
 2
2
 a + b = M

b) Dạng

M + E N = a 2 + b 2 ± 2ab = a ± b .

A+ B. A− B .

Do đặc điểm của bài toán có dạng giống hằng đẳng thức (a − b).(a + b) = a 2 − b 2
⇒ Ta sử dụng hằng đẳng thức đó cho dạng toán trên, ta được :
A + B . A − B = ( A + B ).( A − B ) = A2 − B .

c) Dạng

A+ B ± A− B .

Trong dạng toán trên cũng có dạng hằng đẳng thức (a + b) 2 , (a − b)2 .
Vì thế ta có thể làm như sau :
Đặt T = A + B ± A − B .
Suy ra T 2 = ( A + B ± A − B ) 2 .
T 2 = 2 A ± 2 ( A + B ).( A − B ) .
T 2 = 2 A ± 2 A2 − B .

Từ đó suy ra T, xác định dấu của T bằng cách so sánh

A + B và

A− B .

Dạng 2: Vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai:
*)Ví dụ : Rút gọn
a)

b) 3 + 12 + 3 2. 24

14 . 56
1

2

3
7

c) 3 . 3 . 12

d)

4− 7. 4+ 7

Giải:
a)

14 . 56 = 14.56 = 14.14.4 = 14 2.4 = 14 2. 4 = 14.2 = 28

b) 3 + 12 + 3 2. 24 = 3 + 2 3 + 3.2.2. 3 = (1 + 2 + 12) 3 = 15 3
1
2

3
7

c) 3 . 3 . 12 =
d)

4− 7. 4+ 7 =

7 24
.

. 12 =
2 7

7 24
. .12 = 12 2 = 12
2 7

( 4− 7) ( 4+ 7) =

16 − 7 = 9 = 3

Giáo viên lưu ý cho học sinh:

7


-

Nhân hoặc chia các căn bậc hai khi có thừa số không khai phương được
Nếu biểu thức cần rút gọn là tổng các căn thức bậc hai thì ta đưa về các căn bậc
hai đồng dạng và thực hiện cộng trừ các căn đồng dạng
Dạng 3: Vận dụng trục căn thức ở mẫu.


Ví dụ : Rút gọn 

2

 5− 3

Giải:

−

 2+ 3
− 4  :
5+ 3
 3−2
2

2
2

 2+ 3
−
+ 4 ÷:

5+ 3
 5− 3
 3−2


 (2 + 3)( 3 + 2)
2( 5 + 3)
2( 5 − 3)
−
+ 4 ÷:
=
 ( 5 − 3)( 5 + 3) ( 5 + 3)( 5 − 3)
 ( 3 − 2)( 3 + 2)

 2( 5 + 3) 2( 5 − 3)
 (2 + 3)( 3 + 2)
−
+ 4 ÷:
=
5−3
5−3
3−4


 2( 5 + 3) 2( 5 − 3)
 (2 + 3) 2
−1
−
+
4
=
= 2 3+4 .
÷:
2
2
−1
(2 + 3) 2



(

= 2( 3 + 2).

)

−1
−2
−2(2 − 3)
−2(2 − 3)
=
= −2(2 − 3)
=
2 =
(2 + 3)
4−3
2 + 3 (2 + 3)(2 − 3)

Giáo viên lưu ý cho học sinh:
- Thông thường ta sử dụng hằng đẳng thức (a + b).(a − b) = a 2 − b2 để trục căn thức ở
dưới mẫu .
- Khi trục căn thức ở mẫu cần chú phương pháp rút gọn ( nếu có thể) thì cách giải sẽ
gọn hơn
3.2.2 Rút gọn các biểu thức chứa biến và các dạng tốn có liên quan
Các bước thực hiện phần rút gọn:
Bước: Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân
tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mấu khác 0 và phần chia khác 0)
Bước :Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được).
Bước :Quy đồng
Bước : Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Bước : Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
Bước : Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên).
Bước :Rút gọn.
*) Ví dụ : Rút gọn các biểu thức: A =

x
−
x −1

2
2
−
x +1 x −1

8


Giải:

x ≥ 0
x ≥ 0


x ≥ 0
 x −1 ≠ 0
 x ≠1
⇔
⇔


x ≠ 1
 x +1 ≠ 0
∀x
x − 1 ≠ 0

x ≠ 1



BiÓu thøc A cã nghÜa ⇔

⇒ §KX§ cđa biĨu thøc lµ x ≥ 0 vµ x ≠ 1 .
x
−
x −1

Khi ®ã ta cã: A =
=
=
=

2
2
−
x +1 x −1

x ( x + 1)
2( x − 1)
2
−
−
( x − 1)( x + 1) ( x + 1)( x − 1) ( x − 1)( x + 1)
x ( x + 1) − 2( x − 1) − 2
( x − 1)( x + 1)
x− x

( x − 1)( x + 1)

=

=

x+ x −2 x +2−2
( x − 1)( x + 1)

x ( x − 1)
( x − 1)( x + 1)

=

x
x +1

Bài toán rút gọn tổng hợp thường có các dạng tốn liên quan:
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến
x− x
 x+2 x

+ 1÷: 
− 1÷ (với x ≥ 0 và x ≠ 1)
Ví dụ: Cho biểu thức: A = 
 x −1   x + 2

Tính giá trị của A khi x = 3 + 2 2
Giải:
Ta có:

x− x
 x+2 x
  x ( x − 1)   x ( x + 2) 
A=
+ 1÷: 
− 1÷ = 
+ 1 : 
− 1
x
−
1
x
+
2
x
−
1
x
+
2

 
 
 

x +1
x −1
Thay x = 3 + 2 2 = ( 2 + 1) 2 vào biểu thức A ta được:

A=

A=

( 2 + 1) 2 + 1
( 2 + 1) − 1
2

=

2 +1+1
2+2
=
= 1+ 2
2 +1−1
2

Cách giải:
Bước 1: Rút gọn biểu thức
Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực hiện các phép
tính
Chú ý : Biến đổi giá trị của biến về dạng hằng đẳng hoặc trục căn thức ở mẫu trước
khi thay vào biểu thức.
Dạng 2: Giải phương trình, bất phương trình (so sánh biểu thức với một số)

9


Ví dụ1 : cho A =

x

(với x ≥ 0 và x ≠ 1 ). Tìm các giá trị của x để A = 2
x −1

Giải :
x
= 2 ⇔ x = 2( x − 1) ⇔ x = 2
x −1
⇔ x = 4 (TMĐK)
Vậy x = 4 thì A = 2
Ta có: A = 2 ⇔

Cách giải:
Bước 1: Sử dụng tính chất

a c
= ⇔ ad = bc để làm mất mẫu của phương trình
b d

Bước 2: Giải phương trình vừa tìm được để tìm được x
Bước 3: Đới chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí
Chú ý: Trong trường hợp nếu bài tốn cho giá trị của P thì các em dựa vào u cầu
của nó để tìm P rồi tiến hành như bình thường
P = m
*) P = m(m ≥ 0) ⇔ 
 P = −m
P = k
2
2
*) p = k ⇔ 
 P = −k

Ví dụ 2: Cho A =

x −1
2
. Tìm các giá trị của x để A <
5
x +1

Giải:
Ta có: A <

2
⇔
5

x −1 2
< ⇔
x +1 5

x −1 2
5( x − 1) − 2( x + 1)
− <0⇔
<0
x +1 5
5( x + 1)

3 x −7
< 0 ⇔ 3 x − 7 < 0 (vì 5( x + 1) > 0)
5( x + 1)
7

49
⇔3 x <7⇔ x < ⇔ x<
3
9
49
Kết hợp với điều kiện xác định ta được 0 ≤ x <
9
49
2
Vậy với 0 ≤ x <
thì A <
9
5
⇔

Cách giải:
Bước 1: Chuyển m sang vế trái, để vế phải bằng 0
Bước 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái
Bước 3: Xác định dấu của tử hoặc mẫu của vế trái, từ đó có được mợt bất phương
trình đơn giản (khơng chứa mẫu)
Bước 4: Giải bất phương trình trên để tìm được x

10


Bước 5: Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí
Chú ý:
+) P = P ⇔ P ≥ 0
+) P = − P ⇔ P ≤ 0
+) P > P ⇔ P < 0

+) P > P ⇔ 0 ≤ P < 1
+) P < P ⇔ P > 1
Ví dụ 3: cho P =

x −1
(với x > 0). Hãy so sánh P với 1
x

Giải:
Ta có P − 1 =

x −1
−1 =
x

Vì với x > 0 thì

x −1
x −1
−
=
x
x
x
−1
x >0⇒
< 0 ⇒ P −1 < 0 ⇒ P < 1
x

Cách giải:

Bước 1: Tính P – m = ?
Bước 2: Nhận xét dấu của hiệu p – m để có kết quả so sánh.
+) Nếu P – m > 0 thì P > m
+) Nếu P – m < 0 thì P < m
+) Nếu P – m = 0 thì P = m
Dạng 3. Bài tốn tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dương)
Loại 1: Bài tốn tìm các giá trị ngun của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
Cách giải:
Bước 1: Biến đổi biểu thức P về dạng P = m ±

n
( với m,n ∈Z, f(x) là biểu thức
f ( x)

chứa x)
Bước 2: Biện luận:Vì m ∈Z nên để P nguyên thì

n
n
phải nguyên, mà
f ( x)
f ( x)

nguyên thì “f(x) phải là ước của n”
Bước 3: Giải các phương trình: f(x) = Ư(n) để tìm được x
Bước 4: Đới chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí
Ví dụ : Cho P =

x +2
(với x ≥ 0 và x ≠ 1 ). Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận

x −1

giá trị nguyên
Giải:

11


Ta có: P =

x +2
=
x −1

Để P ngun thì

x −1 + 3
3
= 1+
x −1
x −1

3
phải nhận giá trị nguyên, mà
x −1

3
nguyên thì
x −1

x − 1 phải

là ước của 3



⇔






x − 1 = −1

⇔
x −1 = 3


x − 1 = −3

x −1 = 1

x =2
x =0
x =4
x = −2(VN )

 x = 4(TMĐK )
⇔  x = 0(TMĐK )

 x = 16(TMĐK )

Vậy với x = 0, x = 4 hoặc x = 16 thì P nhận giá trị nguyên
Loại 2. Bài tốn tìm các giá trị của x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Cách giải:
Bước 1. Nhân chéo rồi đặt x = y ( y ≥ 0) để đưa biểu thức P về dạng một phương
trình bậc 2
có ẩn là y và tham sớ P.
Bước 2. Tìm P để phương trình bậc hai ẩn y trên có nghiệm khơng âm.
Bước 3. Chọn các giá trị P nguyên trong tập hợp các giá trị của P vừa tìm ở bước 2.
Bước 4. Thay P vừa tìm được vào biểu thức đã cho để tìm được x.
Bước 5. Đới chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho biểu thức P =

6 x
(với x ≥ 0)
x +1

6 x
⇔ P ( x + 1) = 4 x ⇔ P.x − 6 x + P = 0 (1)
x +1
x = y (ĐK: y ≥ 0 ) khi đó phương trình (1) trở thành: P. y 2 − 6 y + P = 0

Giải: Ta có : P =
Đặt:

Trường hợp 1. Nếu P = 0 thì

6 x
=0⇔

x +1

(2)

x = 0 ⇔ x = 0 (thoả mãn điều kiện)

Trường hợp 2. Nếu P ≠ 0 phương trình (2) là mợt phương trình bậc hai ẩn y có:
a = P ; b = −6 ; c = P ; b' =

b
= −3 và ∆' = (b' ) 2 − ac = (−3) 2 − P.P = 9 − P 2
2

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm khơng âm:

∆ ' ≥ 0
9 − P 2 ≥ 0


P 2 ≤ 9
 b
6
⇔ − ≥ 0 ⇔  ≥ 0
⇔
⇔ 0 < P ≤ 3.
a
P
P
>
0




c
1 ≥ 0 (∀P )
 a ≥ 0
Để P nhận giá trị nguyên thì P = {1; 2; 3}

6 x
= 1 ⇔ 6 x = x + 1 ⇔ x − 6 x + 1 = 0 ⇔ x = 17 ± 12 2 (TMĐK)
x +1
6 x
7± 5
Với P = 2 ⇔
(TMĐK)
= 2 ⇔ 3 x = x +1 ⇔ x − 3 x +1 = 0 ⇔ x =
x +1
2

Với P = 1 ⇔

12


6 x
= 3 ⇔ 2 x = x + 1 ⇔ x − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1 (TMĐK)
x +1
7± 5
Vậy với x = 0, x = 1, x =
, x = 17 ± 12 2 thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.

2

Với P = 3 ⇔

Dạng 4. Bài tốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
*)Khái niệm:
+) Nếu P(x) ≥ m (m là hằng sớ) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x).
+) Nếu P(x) ≤ k (k là hằng sớ) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x).
Loại 1. Trường hợp biểu thức P có dạng là một đa thức P = ax + b x + c .
Cách giải:
Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng P = ± [ f ( x)] 2 + m ( f (x) là biểu thức
chứa
biến x và m là một hằng số)
Bước 2. Lập luận để có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bước 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”.
Bước 4. Kết luận.
*)Ví dụ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x − 2 x + 3 ( x ≥ 0)
Giải:
Ta có: P = x − 2 x + 3 = ( x − 2 x + 1) + 2 = ( x − 1) 2 + 2
Vì ( x − 1) 2 ≥ 0 ⇒ ( x − 1) 2 + 2 ≥ 2 ⇒ P ≥ 2 .
Dấu “=” xảy ra khi

x −1 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2. Đạt được khi x = 1 .
Loại 2. Trường hợp biểu thức có dạng P =

k
( a, b, c, k là hằng số,
ax + b x + c

x ≥ 0)

Cách giải:
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của mẩu thức: f ( x) = ax + b x + c và
điều kiện dấu “=” xảy ra.
Bước 2. Căn cứ vào dấu của hằng số k để suy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P.
Bước 3. Kết luận.
Lưu ý.
+) Nếu k > 0 thì P đạt giá trị lớn nhất ⇔ f (x) đạt giá trị nhỏ nhất và ngược lại.
+) Nếu k < 0 thì P đạt giá trị lớn nhất ⇔ f (x) đạt giá trị lớn nhất và ngược lại.
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

1
x − x +1

( x ≥ 0)

Giải:

13


2

1 1 3 
1
3

Ta có: x − x + 1 =  x − 2. x . +  + =  x −  +

2 4 4 
2
4




1
2

2




1
2

2

Vì:  x −  ≥ 0 ⇒  x −  +
⇒

⇔

1
x − x +1

x−

=

1
2

1
3

 x−  +
2
4


1
=0⇔
2

x=

≤

3 3
≥ .
4 4

1 4
4
= ⇒P≤
3 3
3 . Dấu “=” xảy ra

4

1
1
⇔x= .
2
4

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng

4
1
. Đạt được khi x = .
3
4

Loại 3. Trường hợp biểu thức có dạng P =

a x +b
c x +d

. ( a, b, c, d là hằng số x ≥ 0 )

Cách giải:
Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: P = m +

n
(m, n ∈ Z, f(x) là biểu thức
f (x )

chứa biến x)
Bước 2. Biện luận:
Trường hợp 1. “n > 0”.
+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.
(Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì

n
phải đạt giá trị lớn nhất tức là f(x) phải đạt
f (x )

giá trị nhỏ nhất. Cịn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì

n
phải đạt giá trị nhỏ nhất
f (x )

tức là f(x) phải đạt giá trị lớn nhất).
Trường hợp 2. “n < 0”.
+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bước 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để có được giá trị lớn
nhất hoặc nhỏ nhất của P.
Bước 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”.
Bước 5. Kết luận.
*)Ví dụ: Cho P =

x +3
x +1

(với x ≥ 0). Tìm giá trị lớn nhất của P.

14


Giải: Ta có: P =

x +3
x +1

=

( x + 1) + 2
x +1

x +1

=

+

x +1

2
x +1

= 1+

2
x +1

x + 1 phải đạt giá trị nhỏ

Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị lớn nhất thì
nhất.
x ≥ 0 ⇒

Vì:

x + 1 ≥ 1 . Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

⇒ Giá trị nhỏ nhất của

x + 1 là 1
0 +3

⇒ Giá trị lớn nhất của P là:

0 +1

= 3.

Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt được khi x = 0.
Loại 4. Trường hợp phân thức có dạng P =

a.x + b x + c

x ≥ 0)

m x +n

. ( a, b, c, m, n là hằng số,

Cách giải:
Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:


k 

+ m ( f (x ) là biểu thức chứa biến x và k ; f ( x) > 0 )
P = ±  f ( x) +
f ( x) 


Bước 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho hai số dương f (x) và

k
rồi từ đó tìm
f (x)

được
giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bước 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”.
Bước 4. Kết ḷn.
Ví dụ : Cho A =
Giải: Ta có: A =

x+3

x +1
x+3

x +1

(với x ≥ 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
=

( x − 1) + 4

= ( x + 1) +

x +1
4
x +1

=

( x + 1)( x − 1)
x +1

+

4
x +1

= x −1+

⇒ ( x + 1) +
⇒ A ≥ 2.

4
x +1

4
x +1

x +1

+ (−2)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dương ( x + 1) và
( x + 1) +

4

≥ 2 ( x + 1).

4
( x + 1)

4
x +1

ta được:

=2 4=4

+ ( −2) ≥ 4 + (−2) = 2

Dấu “=” xảy ra khi ( x + 1) =

4
x +1

⇔ ( x + 1) 2 = 4 ⇔

x +1 = 2 ⇔

x =1⇔ x =1

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt được khi x = 1.
3.4 Chọn đối tượng thực hiện:

15


Chọn nhóm: Nhóm thử nghiệm và nhóm đới chứng tḥc khới lớp 9 trường
THCS Tân Hợi. Quá trình thử nghiệm đã được tổ chức ở hai nhóm của hai lớp 9A2 và
9A5.
- Nhóm của lớp 9A5 là nhóm đới chứng, gồm 18 học sinh. Đới với nhóm này
tơi khơng hướng dẫn phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn
- Nhóm của lớp 9A2 là nhóm thực nghiệm, gồm 18 học sinh. Đới với nhóm này
tơi hướng dẫn cho học sinh phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn
3.5 Tiến hành thực nghiệm:
Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường
và theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan.
4. Đo lường:
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài
4.1. Tôi tiến hành điều tra bài kiểm tra 15 phút trước khi tác đợng (nợi dung đáp án
trình bày ở phần phụ lục 1).
Kết quả điều tra:
LỚP 9A2
Stt

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Họ và tên
Nguyễn Thị Hồng An
Huỳnh Nguyễn Quốc Bảo
Nguyễn Thị Quỳnh Châu
Nguyễn Thị Mỹ Duyên
Trần Minh Đức
Lê Thị Bích Hà
Hoàng Anh Hào
Nguyễn Nhật Hào
Vũ Văn Hạnh
Nguyễn Công Hậu

Lê Nhật Hân
Phạm Thị Huyền
Nguyễn Ngọc Nhân
Nguyễn Thành Nhất
Lương Thị Yến Nhi
Trần Thị Yến Nhi
Nguyễn Thị Kim Phương
Phù Công Phương

LỚP 9A5
Điểm
5
4
6
8
5
6
4
7
6
5
5
6
5
8
3
5
7
7

Stt
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Họ và tên
Hoàng Lượng Chí Bảo
Đoàn Thị Minh Châu
Phạm Viết Chương
Cao Thị Mỹ Duyên
Lê Thị Thu Hà
Bùi Đăng Hiệp
Phan Mạnh Hùng
Nguyễn Phi Hùng
Đào Viết Huy

Lê Khắc Hưng
Trần Thị Thu Hương
Nguyễn Hữu Khương
Nguyễn Thị Thúy Liễu
Hồ Ngọc Long
Đỡ Thị Mỹ Lệ
Lê Đình Mạnh
Trần Huỳnh Mai My
Lưu Trịnh Thảo My

Điểm
6
5
6
8
5
5
4
7
5
6
5
3
5
7
6
4
7
6

4.2. Sau khi áp dụng giải pháp đã nêu tôi tiến hành kiểm tra 1 tiết cuối chương 1
đại sớ 9 (nợi dung đáp án trình bày ở phần phụ lục 2).
Kết quả khảo sát: (Lấy điểm phần rút gọn biểu thức chứa căn quy ra điểm 10)
LỚP 9A2

LỚP 9A5

16


Stt
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Họ và tên

Điểm

Nguyễn Thị Hồng An

6

Huỳnh Nguyễn Quốc Bảo

7

Nguyễn Thị Quỳnh Châu

8

Nguyễn Thị Mỹ Duyên

9

Trần Minh Đức

6

Lê Thị Bích Hà

7

Hoàng Anh Hào

5

Nguyễn Nhật Hào

8

Vũ Văn Hạnh

8

Nguyễn Công Hậu

6

Lê Nhật Hân

7

Phạm Thị Huyền

5

Nguyễn Ngọc Nhân

6

Nguyễn Thành Nhất

7

Lương Thị Yến Nhi

5

Trần Thị Yến Nhi

7

Nguyễn Thị Kim Phương

9

Phù Công Phương

8

Stt
01

Họ và tên

Điểm

Hoàng Lượng Chí Bảo

5

02

Đoàn Thị Minh Châu

6

03

Phạm Viết Chương

7

04

Cao Thị Mỹ Duyên

7

05

Lê Thị Thu Hà

5

06

Bùi Đăng Hiệp

5

07

Phan Mạnh Hùng

5

08

Nguyễn Phi Hùng

7

09

Đào Viết Huy

5

10

Lê Khắc Hưng

5

11

Trần Thị Thu Hương

5

12

Nguyễn Hữu Khương

4

13

Nguyễn Thị Thúy Liễu

5

14

Hồ Ngọc Long

7

15

Đỡ Thị Mỹ Lệ

5

16

Lê Đình Mạnh

5

17

Trần Huỳnh Mai My

8

18

Lưu Trịnh Thảo My

7

Để kiểm tra độ tin cậy của dữ liệu, tôi tiến hành kiểm tra nhiều lần trên cùng mợt
nhóm vào các thời điểm gần nhau. Kết quả cho thấy, sự chênh lệch về điểm số không
cao, điều đó chứng tỏ dữ liệu thu được là đáng tin cậy.
Để kiểm chứng độ giá trị của dữ liệu, tôi dùng phương pháp kiểm tra độ giá trị
nội dung. Bài tập tôi đưa ra kiểm chứng phản ánh khái quát được nội dung vấn đề tôi
nghiên cứu, nội dung kiến thức môn học, phản ánh đầy đủ, rõ ràng quá trình nghiên
cứu.
Sau mợt thời gian áp dụng giải pháp đã nêu. Tôi thấy kết quả học sinh giải bài tập
dạng rút gọn biểu thức chứa căn đã khả quan hơn. Đa sớ học sinh đã có được kĩ năng
vận dụng các kiến thức căn bậc hai trong quá trình giải bài tập, các em đã chủ động,
tự tin khi giải loại toán này
Qua kết quả trên đây, hy vọng các em sẽ có mợt sớ kiến thức về các dạng bài tập rút
gọn biểu thức chứa căn và cũng là tiền đề để sau này các em học toán.
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ

17


1. Phân tích dữ liệu:

Bảng 5. So sánh điểm trung bình (giá trị trung bình) sau khi tiến hành kiểm

tra trước và sau tác động:

TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Điểm kiểm tra phần rút gọn biểu thức chứa căn
lớp 9A2
lớp 9A5
Điểm
Điểm
Họ và tên
Họ và tên
Trước

Sau
Trước
Sau
TĐ
TĐ
TĐ
TĐ
Hoàng Lượng Chí Bảo
6
Nguyễn Thị Hồng An
5
6
5
Đoàn Thị Minh Châu
5
Huỳnh Quốc Bảo
4
7
6
Phạm Viết Chương
6
Nguyễn Quỳnh Châu
6
8
7
Cao Thị Mỹ Duyên
8
Nguyễn Thị Duyên
8
9

7
Lê Thị Thu Hà
5
Trần Minh Đức
5
6
5
Bùi Đăng Hiệp
5
Lê Thị Bích Hà
6
7
5
Phan Mạnh Hùng
4
Hoàng Anh Hào
4
5
5
Nguyễn Phi Hùng
7
Nguyễn Nhật Hào
7
8
7
Đào Viết Huy
5
Vũ Văn Hạnh
6
8

5
Lê Khắc Hưng
6
Nguyễn Công Hậu
5
6
5
Trần Thị Thu Hương
5
Lê Nhật Hân
5
7
5
Nguyễn Hữu Khương
3
Phạm Thị Huyền
6
5
4
Nguyễn Thị Thúy Liễu
5
Nguyễn Ngọc Nhân
5
6
5
Hồ Ngọc Long
7
Nguyễn Thành Nhất
8
7

7
Đỗ Thị Mỹ Lệ
6
Lương Thị Yến Nhi
3
5
5
Lê Đình Mạnh
4
Trần Thị Yến Nhi
5
7
5
Trần Huỳnh Mai My
7
Nguyễn Thị Phương
7
9
8
Lưu Trịnh Thảo My
6
Phù Cơng Phương
7
8
7

Mớt
Trung vị
Giá trị trung bình
Đợ lêch chuẩn

Giá trị p =

5
5.5
5.67
1.37
0.4004

7
7
6.89
1.28

5
5.5
5.56
1.25
0.0032

5
5
5.72
1.13

Như vậy:
Nhóm thực nghiệm
Nhóm đới chứng
Giá trị chênh lệch
Giá trị p
Có ý nghĩa p <=0.05

Giá trị SMD
Mức đợ ảnh hưởng

Trước tác đợng

Sau tác đợng

5.670
5.560
0.110
0.4004
Khơng có ý nghĩa
0.09
Rất nho

6.890
5.720
1.170
0.0032
Có ý nghĩa
1.04
Rất lớn

Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác đợng là tương đương. Sau
tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả p = 0,0032 cho thấy sự
chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đới chứng là có ý nghĩa; tức là
chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn ĐTB nhóm đới chứng là khơng
ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.

18

Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD = 1,04. Điều đó cho thấy mức đợ ảnh
hưởng của việc phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn trong quá trình học tập
của nhóm thực nghiệm là rất lớn.
Giả thuyết của đề tài “phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn để nâng
cao kĩ năng giải bài tập chương 1 đại số 9 cho học sinh lớp 9A2 trường THCS Tân
Hội” đã được kiểm chứng.
2. Bàn luận kết quả:
Kết quả giá trị trung bình của bài kiểm tra sau tác đợng của nhóm thực nghiệm là 6,89;
Kết quả bài kiểm tra của nhóm đới chứng là 5,72. Đợ chênh lệch điểm sớ giữa hai nhóm là
1,17; Điều đó cho thấy điểm giá trị trung bình của hai lớp đới chứng và thực nghiệm đã có
sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác đợng có điểm trung bình cao hơn lớp đới chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 1,04. Điều này
có nghĩa mức đợ ảnh hưởng của tác đợng là rất lớn.
Phép kiểm chứng T-Test giá trị trung bình sau tác động của hai lớp là p = 0,0032 <
0,05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch giá trị trung bình của hai nhóm khơng
phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động.
Qua kết quả thu nhận được trong quá trình ứng dụng, tơi nhận thấy rằng việc
hướng dẫn cho học sinh ” phân dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn” làm nâng
cao kĩ năng giải toán cho học sinh lớp 9, học sinh tích cực, hứng thú học tập đồng thời
biết hệ thống kiến thức, xâu ch́i kiến thức với nhau để tìm ra kết quả nhanh hơn
V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
- Để giúp học sinh hứng thú và đạt kết quả tốt trong việc giải toán rút gọn biểu
thức lớp 9, điều cơ bản nhất mỗi tiết dạy giáo viên phải tích cực, nhiệt tình, ngoài việc
truyền đạt chính xác, ngắn gọn và đầy đủ nợi dung, khoa học và lơgic cịn phải có sự
liên kết giữa dạng bài này với dạng bài khác, nhằm động não cho học sinh phát triển tư
duy
- Thường xuyên nhắc nhở các em yếu, động viên, biểu dương các em khá giỏi, cập
nhật vào sổ theo dõi và kết hợp với giáo viên chủ nhiệm để có biện pháp giúp đỡ kịp

thời, kiểm tra thường xuyên vở bài tập vào đầu giờ trong mỗi tiết học, làm như vậy để
cho các em có mợt thái đợ đúng đắn trong học tập.
- Đối với một số học sinh chậm tiến bợ thì phải thơng qua giáo viên chủ nhiệm kết
hợp với gia đình để giúp các em học tốt hơn.

19


- Qua thời gian áp dụng việc hướng dẫn cho học sinh phân dạng toán rút gọn biểu
thức chứa căn và một số bài toán phụ ở trên tôi nhận thấy học sinh say mê, hứng thú
và đã đạt hiệu quả cao trong giải bài tập nhất là bài tập rút gọn. Học sinh đã phát huy
tính chủ động, tích cực khi nắm được phương pháp giải loại bài toán này.
VI. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận:
1.1. Những mặt làm được:
- Nêu ra được sự cần thiết của giải pháp phù hợp với quan điểm, chủ trương của
ngành và thực tế địa phương nơi công tác.
- Nêu ra được cơ sở lí luận, đưa ra được giải pháp cụ thể rõ ràng áp dụng cho
việc giúp học sinh có một phương pháp cơ bản để giải bài toán rút gọn biểu thức chứa
căn và các bài toán có liên quan trong đại số 9.
- Áp dụng giải pháp vào việc soạn giảng cũng như trong các tiết dạy.
- Kết quả khi vận dụng giải pháp: làm chuyển biến phần lớn và giải quyết được
phần yêu cầu thực tiễn.
- Qua giải pháp, phát huy được vai trị chủ đợng, tích cực của học sinh, học sinh
hứng thú hơn với môn học. Đây là vấn đề quan trọng nhất của giải pháp, phù hợp với
chủ trương của phương pháp dạy học mới.
1.2 Những mặt hạn chế:
- Mức độ áp dụng của giải pháp chưa thực sự sâu rộng trong học sinh do chưa
thu hút được học sinh yếu, kém
- Việc áp dụng giải pháp vào thực tế cho các nhóm học sinh chưa thực sự mang

lại hiệu quả cao do khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh còn hạn chế.
Từ những mặt làm được cũng như hạn chế nêu trên, là cơ sở, là bài học kinh
nghiệm quý báu cho bản thân trong quá trình giảng dạy.
Giải pháp được áp dụng trong các hoạt động học tập nhằm giúp học sinh trường
THCS Tân Hội hứng thú học môn Toán, khơng cịn cảm thấy khơ khan khi học Toán.
Ngoài ra, giải pháp này có tính khái quát cao do đó nó cịn có thể được áp dụng cho
các đơn vị kiến thức khác, được áp dụng cho các trường THCS trong huyện, tùy theo
từng trường, từng lớp, mà chúng ta điều chỉnh sao cho phù hợp.
Nhưng dù có là giải pháp nào đi nữa thì bản thân tơi cũng sẽ khơng qn phát huy
vai trị chủ đợng, tích cực của người học; đưa ra phương pháp dạy học đúng theo chủ
trương cải cách giáo dục.
2. Khuyến nghị:
- Thường xuyên tổ chức các chuyên để bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên.

20


- Giáo viên thường xun tìm tịi để đọc, tham khảo tài liệu nhằm phục vụ tớt
hơn cho quá trình dạy học Toán học.
Với kết quả của đề tài này, chúng tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp quan tâm,
chia sẻ và có thể ứng dụng đề tài này trong quá trình dạy học để tạo hứng thú và nâng
cao kết quả học tập cho học sinh.

Tân Hội, tháng 02 năm 2017
Người viết
Đánh giá của HĐKH trường THCS Tân Hội
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

Nguyễn Văn Trọng

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo viên Toán 9 (tập 1).........................................................NXB giáo dục
2. Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1).........................................................NXB giáo dục

21


3. Sách bài tập Toán 9 (tập 1).............................................................NXB giáo dục
4. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS............................NXB giáo dục
5. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên dạy SGK lớp 9...................................NXB giáo dục
6. Các dạng toán và phương pháp giải Toán 9 ................................... NXB giáo dục
7. Tuyển tập các bài toán hay và khó Đại sớ 9 ................................... NXB giáo dục
8. Toán cơ bản và nâng cao 9 ............................................................. NXB giáo dục
9. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 9........................................................ NXB giáo dục

VIII. CÁC PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI.
PHỤ LỤC 1
BÀI KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG
A. Đề bài:
Câu 1: ( 2 điểm ) Tính:
a)

(−8) 2 − 52

b)

32
8

22


Câu 2: ( 4 điểm)Rút gọn các biểu thức sau:
a)

(

3−2

)

2

b) 3 12 − 4 27 + 5 48
c)

2
2
−
3 −1
3 +1

 x+ x   x− x 
Câu 3: (4 điểm) Cho biểu thức: A =  1 +
÷. 1 −
÷ ( x ≥ 0; x ≠ 1)
x
+
1
x
−
1



a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị giá trị lớn nhất của A
B. Đáp án – Biểu điểm:
Câu
Câu 1: ( 2 điểm) Tính:

Đáp án

Điểm

(−8) 2 − 52

a)

= −8 − 5

0,5đ

0,5đ

=8–5=3
32

b)

8

32
8

=

0,5đ

= 4 =2
0,5đ
Câu 2: ( 4 điểm) Rút gọn biểu thức
a)
=

(

3−2

)

2

0,5đ

3−2

=2-

3

0,5đ

b) 3 12 − 4 27 + 5 48
= 6 3 − 12 3 + 20 3
= 14 3
c)

2
2
2( 3 + 1)
2( 3 − 1)
−
−
=
3 −1
3 +1
( 3 − 1)( 3 + 1) ( 3 − 1)( 3 + 1)

2 3+2−2 3+2 4
=
= =2
2

3 −1

0,75đ
0,75đ

0,75đ
0,75đ

23


Câu 3: ( 4 điểm) a) Rút gọn:
 x+ x   x− x 
A=  1 +
÷. 1 −
÷ ( x ≥ 0; x ≠ 1)
x
+
1
x
−
1




A=  1 +


(

x ( x + 1)  
x ( x − 1) 
÷. 1 −
÷
x +1  
x −1 

)(

A= 1 + x . 1 − x

1đ

)

1đ

A= 1 − x
b) Tìm giá trị giá trị lớn nhất của A
vì x ≥ 0 => 1 − x ≤ 1 , Dấu “=” xảy ra khi x = 0.
=> Giá trị lớn nhất của 1 − x là 1

1đ
0,5đ

Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 đạt được khi x = 0

0,5đ

PHỤ LỤC 2
BÀI KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG
A. Ma trận đề kiểm tra (100% tự luận)
Cấp độ
Tên
chủ đề

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng
Cấp độ thấp

Cộng

Cấp độ cao

24


Chủ đề 1

Biết mợt sớ
dương có hai
giá trị căn bậc
hai, chúng là
hai sớ đới
nhau; Biết
tính (tìm)

CBH,CBHSH
của mợt sớ
(nếu có).
(Câu 1a,b)

Khái niệm
căn bậc hai

Số câu
Số điểm Tỉ lệ
%
Chủ đề 2
Các phép tính
và các phép
biến đổi đơn
giản về căn
bậc hai

Số câu
Số điểm Tỉ lệ
%
Chủ đề 3
Căn bậc ba

Số câu
Số điểm Tỉ lệ
%
Tổng số câu
Tổng số điểm
Tỉ lệ %

2
0,5
20%
Biết
A.B = A. B khi
A,B không âm và
A
A
=
khi
B
B
A≥0; B>0. Thực
hiện được các
phép tính về căn
bậc hai.
(Câu 2a,b)
2
1,0
14,3%

2
1,0
10%

Tìm được điều
kiện của biến
trong biểu thức;
vận dụng được

hằng đẳng thức
A2 =|A| khi
tính căn bậc hai
của một số hoặc
một biểu thức là
bình phương mợt
sớ hoặc mợt biểu
thức. (Câu 3a,b;
4a)
3
2.0
80%
Thực hiện được
các phép tính về
căn bậc hai và
các phép biến đổi
đơn giản về căn
bậc hai trong các
trường hợp đơn
giản. Biết chứng
minh một đẳng
thức
(Câu 2c,4b,5a,b,c,
6)
6
4
57,1%

Hiểu khái
niệm căn bậc

ba của một số
thực. Tính
được căn bậc
ba của một số
(Câu 1c)
1
0,5
100%
3
1,0
10%

5
2,5
25%
Vận dụng phép
biến đổi đơn
giản về căn bậc
hai để rút gọn
biểu thức chứa
căn bậc hai và
tìm giá trị lớn
nhất
(Câu 7a,b)

11
8,0
80%

2

2,0
28,6%

10
7,0
70%

1
0,5
5,0%
16
10
100%

B. Đề bài:
Bài 1: (1,0 điểm)
a) Tìm căn bậc hai số học (nếu có) của 36?
b) Tìm căn bậc hai của 81?
c) Tính căn bậc ba của 32; -125 ?
Bài 2: (1,5điểm) Tính :

25