Giáo án giải tích 11 chương 1 bài 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 2 cột soạn theo 5 hoạt động định hướng phát triển năng lực trường học mới

Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (Tiết 5-7)
I. Mục tiêu
1. Về Kiến thức:
- Biết phương trình lượng giác cơ bản sin x  a; cos x  a; tan x  a;cot x  a. và công thức
nghiệm.
- Nắm được điều kiện của a để các phương trình sin x  a; cos x  a có nghiệm.
- Biết cách sử dụng các kí hiệu arcsin a, arccos a, arctan a, arccot a.
2. Về Kỹ năng:
- Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản
- Biết sử dụng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình lượng giác cơ bản.
3. Tư duy, thái độ:
- Biết nhận dạng các bài tập về dạng quen thuộc.
- Cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận.
4. Định hướng phát triển các năng lực:
- Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tính toán, năng lực tư duy, năng lực giao
tiếp, năng lực hợp tác.
II. Chuẩn bị của GV và HS
1. Giáo viên: Kế hoạch dạy học, nội dung giao cho HS hoạt động nhóm.
2. Học sinh: Hoàn thiện nội dung bài tập được giao về nhà.
III. Chuỗi các hoạt động học
1. GIỚI THIỆU (HOẠT ĐỘNG TIẾP CẬN BÀI HỌC) (thời gian)
1.1. Chuyển giao nhiệm vụ:
HS đọc nội dung bài toán ( phiếu học tập 1), nhìn hình vẽ, tập trung thảo luận theo nhóm và lần lượt trả
lời các câu hỏi của GV.


Bài toán: Một vệ tinh nhân tạo bay quanh trái đất theo một quĩ đạo hình elip. Chiều cao h ( tính
theo đơn vị kilomet) của vệ tinh so với bề mặt trái đất xác định bởi công thức:

h  550  450 cos


t
50

trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ vệ tinh bay vào quỹ đạo. Người ta cần thực hiện một thí
nghiệm khoa học khi vệ tinh cách mặt đất 250km . Hãy tìm các thời điểm để có thể thực hiện thí
nghiệm đó.
1.2. Thực hiện nhiệm vụ học tập
Yêu cầu HS suy nghĩ, trao đổi tích cực, lĩnh hội thảo luận từ các bạn trong nhóm.
GV gợi ý bằng cách đưa ra các các câu hỏi:
Câu hỏi 1: Nêu yêu cầu của bài toán này?
Câu hỏi 2:

Nếu đặt

x


t thì hãy viết lại PT theo x?
50

1.3 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận:
Chọn các đại diện nhóm ( HS Giỏi ) lần lượt nêu câu trả lời của các câu hỏi.
T L C H 1:
- Khuyến khích HS xung phong trả lời, dần hướng HS nêu được: “ tìm t để thỏa PT:
550  450 cos

+

TL C H 2:

cosx =


t  250
50

� cos


2
t
50
3

2
3

1.4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập:
GV nhận xét, đánh giá phần trả lời của HS.
GV nhấn mạnh kết quả: “ tìm x để cosx =
”

2
Trong thực tế có nhiều bài toán dẫn đến việc giải 3các phương trình có dạng:

sin x  a, cos x  a, tan x  a, cot x  a.
với x là ẩn, a là tham số. Các phương trình trên gọi là phương trình lượng giác cơ bản.
2. NỘI DUNG BÀI HỌC (HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC)
2.1. Phương trình sin x  a .

+) HĐ1: Tiếp cận kiến thức:

GỢI Ý

HĐ1.1
Phát phiếu học tập và HS thảo luận theo
nhóm
H1. Có giá trị nào của x thỏa: sinx = -2 ?
1
?
2
1
Tìm các giá trị của x sao cho sin x  ?
2

H2. Có giá trị nào của x thỏa: sinx =

Nhận xét mối liên hệ giữa các giá trị x đó.

HSTL: Không có giá trị nào của x vì sin x  1 .
HSTL: Có giá trị của x vì sin x �1, x ��
HSTL: x 


5
, x
,…
6

6

+) HĐ2: Hình thành kiến thức:
Phương trình sin x  a (1)
+ a  1 : phương trình  1 vô nghiệm.
+ a �1 : Gọi sin   a , phương trình  1 có nghiệm là:

�
x    k 2
; k ��
● sin x  sin � �
x





k
2

�
Chú ý.
� x   o  k 360o
, k ��
+ sin x  sin  � �
x  1800   o  k 360o
�
o



�
�x  arcsina  k 2
 � �
�
;k ��
2 �   arcsina , phương trình (1) có nghiệm: �
+�2
x



arcsin
a

k
2

�
�
� sin   a

 Đặc biệt:
* sin x  1 � x 


 k 2 , k ��
2

* sin x  1 � x  


 k 2 , k ��
2


* sin x  0 � x  k , k ��

VD1. Trong các phương trình sau, có bao nhiêu phương trình có nghiệm?
1. sin x 

3
;
2

A. 1.

2. sin x 

B. 2.

9
;
10

C. 3.

3. sin x 

5
; 4. sin x  0 .

2

D. 0.

VD 2. Các họ nghiệm của phương trình sinx =
� 
x   k 2
�
6
A. �
5

�
x
 k 2
�
� 6

� 
x   k
�
6
B. �
5

�
x
 k
�
� 6

+) HĐ3: Củng cố.

1
2

là:

� 
x   k 2
�
3
C. �
2

�
x
 k 2
�
� 3

� 
x   k 2
�
� 6
D. �
�x  5  k 2
� 6

GỢI Ý

VD2. Giải các phương trình sau: ( HS hoạt
động nhóm)
a) sin x 
b) sin x 

1
2

a) Dựa vào công thức nghiệm phần chú ý.

1
5

c) sin( x  200 ) 
d) sin3x 

1
�
x  arc sin( )  k 2
�
5
b) �
1
�
x    arc sin( )  k 2
�
5
�
3

2

 2
2

�
x  400  k 3600
c) �
x  1000  k 3600
�


2
�
x  k
�
12
3
2 �
�
d) ) sin3x = 5
2
2
�
x
k
�
3
� 12

II. Phương trình cos x  a.

+) HĐ1: Tiếp cận kiến thức:

GỢI Ý


- Phát phiếu học tập.
H1. Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn
cos x  1,1; cos x  1,5 ?

HSTL: Không có giá trị nào của x vì cos x  1 .
1
2

H2. Có giá trị nào của x thỏa mãn cos x  ?
1
2

H3. Tìm các giá trị của x sao cho cos x  ?

HSTL: Có giá trị của x vì cos x �1, x ��
HSTL: x 


5
, x
,…
3
3

+) HĐ2: Hình thành kiến thức:
2.2. Phương trình cos x  a (2)
+ a  1 : phương trình  2  vô nghiệm.
+ a �1 : Gọi cos   a , phương trình  2  có nghiệm là:
�x    k 2
, k ��.
�
x    k 2
�

Chú ý.
�x    k 2
, k ��
+ cos x  cos  � �
x    k 2
�
�x   o  k 360o
, k ��
x    o  k 360o
�

o
+ cos x  cos  � �

0 � �
�
�   arccosa , phương trình (2) có nghiệm: x  �arccos a  k 2 , k ��
�cos   a

+�

 Đặc biệt:
+ cos x  1 � x  k 2 , k ��
+ cos x  1 � x    k 2 , k ��

+ cos x  0 � x 


 k , k ��
2


VD1. Trong các phương trình sau, có bao nhiêu phương trình có nghiệm?
3
2

1. cos x  ; 2. cos x  
A. 1.

B. 2.

C. 3.

10
;
9

4
5

3. cos x  ; 4. cos x  1 .
D. 0.

VD 2. Tìm các họ nghiệm của phương trình cosx =

3

A. x  �  k 2


6

B. x  �  k 2

1
.
2


2


4

D. x  �  k 2

C. x  �  k

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

VD2. Giải các phương trình sau: ( HS hoạt
động nhóm)
a) cos x  cos

4
.
5

1
b) cos 2 x  
2

c) cos x 

2
3

b) Dựa vào công thức nghiệm phần chú ý.

3

b) x  �  k
2
3

c) x  �arccos( )  k 2

Về nhà - Làm bài 3 (SGK: 28)
- Tìm hiểu công thức nghiệm phương trình tan x  a, cot x  a .

2.3. Phương trình tan x  a :
+) HĐ1: Tiếp cận kiến thức:
HĐ1.1. Viết điều kiện của phương trình
tan x  a, a �R ?

GỢI Ý

sinx
 a nên điều kiện của
cosx
phương trình là cosx  0

 x   k
2
Do tanx = a 

HĐ1.2. Dựa vào đồ thị hàm số y  tan x; y  a có - Các hoành độ giao điểm của hai đồ thị sai
nhận xét gì về mối quan hệ của các hoành độ
khác nhau một bội số của .
giao điểm của 2 đồ thị đó ?
- Hoành độ của mỗi giao điểm là một
nghiệm của phương trình tan x  a. Khi đó,
nghiệm của phương trình tan x  a là:
x  x1  k  k �Z 


+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Từ kết quả của HĐ1.1; HĐ1.2 ta có:
- Điều kiện của phương trình là:

x


 k(k �Z)
2


2


2

- Gọi x1 là hoành độ giao điểm( tan x1  a. )thỏa mãn điều kiện   x1  .
Kí hiệu x1  arctan a . Khi đó, nghiệm của phương trình là:

x  arctan a  k  k �Z 
* Chú ý: a) Phương trình tan x  tan  � x    k (k �Z )
Tổng quát: tan f  x   tan g  x  � f  x   g  x   k (k �Z )
b) Phương trình tan x  tan  0 � x   0  k1800 (k �Z )
c) Các trường hợp đặc biệt:




 k (k �Z )
4


tan x  1 � x    k (k �Z )
4
tan x  1 � x 

tan x  0 � x  k (k �Z )


Ví dụ: Họ nghiệm nào dưới đây là họ nghiệm của phương trình tan x  3 ?
p
p
A. x = + kp(k �Z)
B. x = + kp(k �Z)
3
6
p
p
C. x = + k2p(k �Z )
D. x = + k2p(k �Z )
3
6
+) HĐ3: Củng cố.
HĐ3.1. Giải các phương trình sau:

a) tan x  tan
8
b) tan 3 x  2

c) tan  x  300  

GỢI Ý

a) Sử dụng chú ý a)
1

3
3

HĐ3.2. Giải phương trình sau:
�
�
a ) tan �  2 x � 0
12
�
�

b) tan  3x  150    3

k

b) 3x  arctan 2  k � x  3 arctan 2  3 (k �Z )
c) Sử dụng chú ý b)

a) Sử dụng ý 3 chú ý c)
b) 3x  150  600  k1800 � x  150  k 600 (k �Z )


2.4. Phương trình cot x  a :
+) HĐ1: Tiếp cận kiến thức:

GỢI Ý

HĐ1.1. Viết điều kiện của phương trình
cot x  a, a �R ?

cosx
 a nên điều kiện của
sinx
phương trình là sinx  0
 x  k(k �Z)
Do cotx = a 

HĐ1.2. Dựa vào đồ thị hàm số y  cot x; y  a có - Các hoành độ giao điểm của hai đồ thị sai
nhận xét gì về mối quan hệ của các hoành độ
khác nhau một bội số của .
giao điểm của 2 đồ thị đó ?
- Hoành độ của mỗi giao điểm là một
nghiệm của phương trình cot x  a. Khi đó,
nghiệm của phương trình cot x  a là:
x  x1  k  k �Z 

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Từ kết quả của HĐ1.1;HĐ1.2 ta có:
- Điều kiện của phương trình là: x  k, (k �Z)
- Gọi x1 là hoành độ giao điểm( cot x1  a. )thỏa mãn điều kiện 0  x1   .
Kí hiệu x1  arccot a . Khi đó, nghiệm của phương trình là:

x  arccot a  k  k �Z 
* Chú ý: a) Phương trình cot x  cot  � x    k (k �Z )
Tổng quát: cot f  x   cot g  x  � f  x   g  x   k (k �Z )
b) Phương trình cot x  cot  0 � x   0  k1800 (k �Z )
c) Các trường hợp đặc biệt:






 k (k �Z )
4

cot x  1 � x    k (k �Z )
4

cot x  0 � x   k (k �Z )
2
cot x  1 � x 


Ví dụ: Họ nghiệm nào dưới đây là họ nghiệm của phương trình cot x  3 ?
p
p
A. x = + kp(k �Z)
B. x = + kp(k �Z)
3
6
p
p
C. x = + k2p(k �Z )
D. x = + k2p(k �Z )
3
6
+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

HĐ3.1. Giải các phương trình sau:

a) cot x  cot
5
b) cot 3 x  2

c) cot  x  200  

1
k
3 x  arccot  2   k � x  arccot  2  
(k �Z )
3
3

3
3

c) Sử dụng chú ý b)

HĐ3.2. Giải phương trình sau:
�
�
a ) cot �  2 x � 1
12
�
�

b) cot  5 x  150   

a) Sử dụng chú ý a)
b)

1
3

a) Sử dụng ý 3 chú ý c)
b) 5 x  150  600  k1800 � x  90  k 360 (k �Z )

3.LUYỆN TẬP:
HĐTP 1. Giải bài tập tự luận .
- Chuyển giao nhiệm vụ.
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
� � 1
a. sin �x  � 
� 3� 2

c. tan 2 x  1

b. cos x  0, 7

d. cot x  2

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ.
- Học sinh lên bảng trình bày.
- Giáo viên nhận xét chỉnh sửa.
HĐTP 2. Giải bài tập trắc nghiệm.

- Chuyển giao nhiệm vụ:
Nhóm 1:câu 1,5,9. Nhóm 2:câu 2,6,8. Nhóm 3: câu 3,7,10. Nhóm 4: câu 4,8,10

Phát phiếu học tâp.


Câu 1:
Trong các phương trình sau, phương
trình nào vô nghiệm ?

A. cot x  2 .

Đáp án

Lời giải chi tiết

B. sin( x   )  1.
C. cos 2 x 


.
3

3
D. 2sin x  .
2

Câu 2: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai ?
các phương án

A. sin x  1 � x  


 k 2 .
2

Đáp án

Lời giải chi tiết

B. sin x  0 � x  k .
C. sin x  0 � x  k 2 .
D. sin x  1 � x 


 k 2 .
2

Câu 3: Phương trình tan x  4 có nghiệm là:
các phương án

A. vô nghiệm .
B. x 

Đáp án

Lời giải chi tiết


 k , k � .

4

C. x  arctan 4  k , k � .
D. x  arctan 4  k 2 , k � .

Câu 4: Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
các phương án

Đáp án


x  y  k 2
�
(k �)
A. sin x  sin y � �
x    y  k 2
�

Lời giải chi tiết

x  y  k
�
( k �) .
B. sin x  sin y � �
x    y  k
�
x  y  k 2
�
( k �) .
C. sin x  sin y � �

x   y  k 2
�
x  y  k
�
(k �) .
D. sin x  sin y � �
x   y  k
�

Câu 5: Phương trình cos 2x  m có nghiệm khi m là:
các phương án

Đáp án

A. 2 �m �2.

Lời giải chi tiết

B. m �1.
C. 1 �m �1.
D. m  2.

Câu 6: Nghiệm của phương trình cosx = các phương án


A. x = �  k 2 , k �.
3

1
là:

2
Đáp án

Lời giải chi tiết

2
B. x = �  k , k �.
3
2
C. x = �  k 2 , k �.
3


D. x = �  k 2 , k �.
6

Câu 7. Cho biết x  


 k 2 là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
6

các phương án

Đáp án


A. sin x 

3

.
2

B. sin x  

C. cosx 

Lời giải chi tiết

3
.
2

3
.
2

D. cosx  

3
.
2

Câu 8: Nghiệm của phương trình cot 2 x   3 là:
các phương án



A. x    k , k � .
6

2
B. x  


 k , k � .
12

C. x  



 k , k � .
12
2

D. x  arccot(

Đáp án

Lời giải chi tiết

3
)  k , k � .
2

Câu 9: Số nghiệm của phương trình sin(2 x  300 )  1 trong khoảng (1800 ;1800 ) là:

các phương án

A. 0

B. 1.
C. 2.
D. 3.

Đáp án

Lời giải chi tiết


3cos 2 2 x  2sin 2 x - 5
Câu 10: Phương trình
 0 có nghiệm là:
1  s inx
các phương án

Đáp án

Lời giải chi tiết

A. x  k .
B. x 


 k .
2

C. x    k 2
D. x  



 k 2 .
2

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ:
Thảo luận và hoàn thành phiếu học tập
- Báo cáo kết quả:
Đại diện các nhóm trình bày kết quả.
- Nhận xét đánh giá:
Giáo viên nhấn mạnh các dạng toán thường gặp trong bài này, đồng thời chú ý cách giải nhanh bằng
phương pháp trắc nghiệm
4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG
4.1 BÀI TOÁN THỰC TẾ.
- Chuyển giao nhiệm vụ

Bài toán: Một vệ tinh nhân tạo bay quanh trái đất theo một quĩ đạo hình elip. Chiều cao h ( tính theo
đơn vị kilomet) của vệ tinh so với bề mặt trái đất xác định bởi công thức:

h  550  450 cos


t
50

trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ vệ tinh bay vào quỹ đạo. Người ta cần thực hiện một thí nghiệm
khoa học khi vệ tinh cách mặt đất 250km . Hãy tìm các thời điểm để có thể thực hiện thí nghiệm đó.
- Học sinh thực hiện nhiệm vụ.
- Học sinh báo cáo kết quả.


- Giáo viên nhận xét, chỉnh sửa.

“ tìm t để thỏa PT:


2
550  450 cos t  250 � cos t 
50
50
3

với

x


t
50

thì

cos x  

2
2
� x  �arccos(  )  k 2 (k �Z )
3
3

50
2
� t  � arccos( )  k100(k �Z )


3

4.2. BÀI TOÁN MỞ RỘNG.
- Chuyển giao nhiệm vụ.

Câu 1. Với những giá trị nào của
A.

x

thì giá trị của các hàm số

�
x = k2p
�
� p
( k ��) .
�
x = + k2p
�
� 4

C.

p
x = k ( k ��) .
4

B.

�
x = kp
�
� p
p ( k ��) .
�
x = +k
�
2
� 4

D.

p
x = k ( k ��) .
2

Câu 2. Tổng các nghiệm của phương trình
A.

p.

B.

3p
.
2

C.

tan5x - tan x = 0

2p .

y = sin3x

D.

5p
.
2

- Giáo viên nhận xét, chỉnh sửa.

�
x = kp
�
3x = x + k2p
�
��
�� p
p ( k ��) .
�
3x = p - x + k2p �
x = +k
�
�
2
� 4

Câu 2: Ta có
Vì

x �[ 0;p) ,

sin3x = sin x

Chọn B.

tan5x - tan x = 0 � tan5x = tan x � 5x = x + kp � x =

suy ra

kp
0 �<<ۣ
<ۣ����=
p 0 k
4

4

k��

k

Suy ra các nghiệm của phương trình trên [ 0;p) là
Suy ra

p p 3p 3p

0+ + +
= .
4 2 4
2

Chọn B.

y = sin x

bằng nhau?

trên nửa khoảng [ 0;p) bằng:

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ.
- Học sinh báo cáo kết quả.

Câu 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm:

và

kp
( k ��) .
4

{ 0;1;2;3} .
�
p p 3p�
�
0; ; ; �
.

�
�
� 4 2 4�
�
�