Ôn tập thi HKI toán 11

ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 HỌC KÌ I
I> ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
1. Phương trình lượng giác
A. Phương trình dạng
sin cosa u b u c
+ =
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
Bài tập: Giải các phương trình sau
1.
+ =cosx 3 sin x 3
2.
− =3 sin x cos x 2
3.
+ =
6
sin x cosx
2
4.
+ =sin x 3 cosx 2
5.
+ =3 sin x cos x 2sin 7x
6.
= +2 cos13x sinx cos x
7.
− = −2 sin3x 6 cos3x 2
8.
− = −2 sin 4x 2 cos4x 1
9.
3sin5x cos5x 2sin3x− =

10.
( )
π
π
 
+ − − =
 ÷
 
cos 2x 3 cos 2x 1
2
B. Phương trình qui về phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Cách giải: Ta đặt ẩn phụ
cos ; sin ; tan ; cott u t u t u t u= = = =
và đưa phương trình đã cho về dạng
2
0at bt c+ + =
. Tính
∆
và giải phương trình này. Luu ý khi
cos ; sint u t u= =
ta chọn nghiệm
t
thỏa điều
kiện
1 1t
− ≤ ≤
.
Bài tập: Giải các phương trình sau
1.
− + =

2
5 3
sin x sin x 0
2 2
2. 2
+ =
2 2
sin 2x 2sin x 3
3. 2
+ + =
2
cos 2x 3 sin 2x 1 0
4.
− − =
2
3
2 3 cot gx 6 0
sin x
5.
+ =
9 3
sin2x 4tgx
2
6.
− + =
2
1 2 5
tg x 0
2 cosx 2
7.

( )
− + =
+
2
2 2
1 2 2 sinx
1 cot g x
8.
( )
+ + + =
2
2
3
3tg x tgx cot gx 1
sin x
C. Phương trình đẳng cấp bậc hai dạng
2 2
sin sin cos cos (*)a u b u u c u d+ + =
Cách giải:
Bước1. Kiểm tra
cos 0u
=
có thỏa phương trình hay không, nếu có, nhận
2
u k
π
π
= +
là nghiệm.
Bước 2. Xét

cos 0u
≠
. Chia hai vế phương trình cho
2
cos u
đưa phương trình đã cho về dạng

2 2
tan tans (1 tan )a u b u c d u+ + = +
. Giải phương trình bậc hai theo
tanu
.
Bài tập: Giải các phương trình sau
1.
+ − =
2 2
sin x 6 3 sin x.cosx cos x 5
2.
− + =
2 2
sin x 10sin x cos x 21cos x 0
3.
− = +
3 3
sin x cos x sin x cosx
4.
− + =
2
cos x 3sin x cos x 1 0
5.

+ =
1
sin x cosx
cosx
6.
= +
1
4sin x 6cosx
cos x
7.
( ) ( )
− + + + =
2 2
2 1 cos x 2sin x.cosx 2 1 sin x 2
8.
+ − = +
2 2
cos x 2sin2x sin x 2 3
2. Giải phương trình và bất phương trình liên quan đến
k k
n n n
C ; A ; P
Cách giải:
+ Thuộc lòng các công thức

! !
; ; !; ! 1.2.3......( 3)( 2)( 1)
!( - )! ( - )!
k k
n n n

n n
C A P n n n n n n
k n k n k
= = = = − − −
Tài liệu ôn tập HKI. Biên soạn: ThS Cao Quốc Duy (01675177033) 1
+ Chú ý
! ! !
; ( 1); ( 1)( 2)
( 1)! ( 2)! ( 3)!
n n n
n n n n n n
n n n
= = − = − −
− − −
để rút gọn.
Bài tập: Giải các phương trình và bất phương trình sau
1.
1 2 2
1
1
8 28
2
n n n
C A C
+
− ≥ −
2.
3 2
5 21
n n

A A n+ ≤
3.
2 2
1
2 3 9 3
x x
C A x
+
+ = +
4.
3 3
2 16
x x
A C x+ =
5.
1 2 3
6 6 81 14
x x x
C C C x+ + = −
6.
4
2
1
3
210
n
n
n
P
A

P
−
+
−
=
7.
1 2 3
7
2
n n n
n
C C C+ + =
8.
4
2
1
3
210
n
n
n
P
A
P
−
+
−
=
9.
4 3 2

1 1 2
5
0
4
x x x
C C A
− − −
− − =
10.
3 2
1
1
3
2
n n n
A A P
+
+ =
3. Tìm hệ số của
p
x
trong khai triển nhị thức Newton
Cách giải:
+ Thuộc lòng công thức
0
( )
n
n k n k k
n
k

a b C a b
−
=
+ =
∑
.
+ Chú ý tính đúng các lữy thừa

. ; ; ( ) ;
q
q
p
p q p q p q r p q rq pq r r pq
q p
x a a
x x x x a x a x x x
b
x bx
+ − −
 
 
= = = =
 ÷
 ÷
 
 
Bài tập: Tìm hệ số của
p
x
trong các khai triển sau nhị thức Newton sau

1.
10
3
2
3
2x
x
 
−
 ÷
 

( 15)p =
2.
12
2
1
2x
x
 
−
 ÷
 

( 0)p =
3.
10
2
1
2x

x
 
−
 ÷
 

( 0)p =
4.
12
3
1
x
x
 
+
 ÷
 

( 0)p =
5.
18
4
2
x
x
 
+
 ÷
 

( 0)p =
6.
5
3
2
2
3x
x
 
−
 ÷
 

( 5)p =
7.
10
2
3
2
3
x
x
 
+
 ÷
 

( 10)p =
8.
10

2
3
2
2
x
x
 
−
 ÷
 

( 6)p =
9.
( )
10
2
1 2 3x x+ +

( 10)p =
10.
17
4
3
3
2
1
x
x
 
+

 ÷
 ÷
 

( 0)p =
4. Tìm
1
u
và
q
của một cấp nhân
Cách giải:
+ Học thuộc lòng hai công thức sau
1
1 1
1
; .
1
n
n
n n
q
u u q S u
q
−
−
= =
−
+ Dùng hai công thức trên để đưa hệ đã cho về dạng chỉ chứa
1

u
và
q
. Đặt nhân tử chung cho mỗi
phương trình của hệ rồi lập tỉ số giữa hai phương trình để khủ bớt một ẩn rồi giải.
Bài tập: Tìm
1
u
và
q
của các cấp số nhân, biết:
1.
3 5
2 6
90
240
u u
u u
+ =


− =

2.
4 2
5 3
72
144
u u
u u

− =


− =

3.
1 3 5
1 7
65
325
u u u
u u
− + =


+ =

4.
1
9
5
1280
u
u
=


=

5.

4
2 2 2 2
1 2 3 4
15
85
S
u u u u
=



+ + + =


Tài liệu ôn tập HKI. Biên soạn: ThS Cao Quốc Duy (01675177033) 2
6.
1
1 2
4
24
u
q
u u

=



+ =


7.
2 4 5
3 5 6
10
20
u u u
u u u
− + =


− + =

II> HÌNH HỌC
1. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua một trong các phép biến hình sau:
A. Phép tịnh tiến
v
T
r
B. Phép đối xứng tâm
I
D
C. Phép vị tự
( )
;A k
V
Cách giải:
Bước 1. Tìm tâm
( ; )J a b
và bán kính
R

của đường tròn
Bước 2. Tìm ảnh của
( ; )J a b
là
( ; )J a b
′ ′ ′
qua:
A. Nếu là phép tịnh tiến
v
T
r
thì áp dụng cơng thức
: ( ; )
v
v
v
a a x
T J a b
b b y
′
= +

′ ′ ′
⇒

′
= +

r
r

r
Phương trình của
2 2 2
( ) : ( ) ( )C x a y b R
′ ′ ′
− + − =
.
B. Nếu là phép đối xứng tâm
I
D
thì áp dụng cơng thức
2
: ( ; )
2
I
I
I
a x a
D J a b
b y b
′
= −

′ ′ ′
⇒

′
= −

Phương trình của

2 2 2
( ) : ( ) ( )C x a y b R
′ ′ ′
− + − =
.
C. Nếu là phép vị tự
( )
;A k
V
thì áp dụng cơng thức
( )
;
( )
:
( )
A A
I k
A A
a k a x x
V
b k b y y
′
= − +


′
= − +

Phương trình của
2 2 2

( ) : ( ) ( ) ( )C x a y b kR
′ ′ ′
− + − =
.
Bài tập: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua một trong các phép biến hình sau: Phép tịnh tiến
v
T
r
, Phép đối xứng
tâm
I
D
, Phép vị tự
( )
;A k
V
, biết:
1.
2 2
( ) : 2 8 3 0C x y x y+ − + − = ;
(1; 2)v = −
r
;
(3; 1)I = −
;
(3; 1)A −
và
1
2
k = −

2.
2 2
( ) : 2 4 11 0C x y x y+ − + − =
( 1;3)v = −
r
;
(2; 1)I = −
;
(1; 1)A −
và
2k = −
3.
2 2
( ) : 4 8 16 0C x y x y+ − + − =
( 1;3)v = −
r
;
(2; 1)I = −
;
( 1;2)A −
và
1
2
k =
2. Hình khơng gian
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, G là
trọng tâm
SAD∆
.
a) Tìm

( )
I GM ABCD= I
. Chứng minh IC = 2ID.
b) Tìm
( )
J AD OMG= I
. Tính
JA
JD
c) Tìm
( )
K SA OMG= I
. Tính
KA
KS
.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang (AB // CD). Một mặt phẳng lưu động (
α
) chứa
AB và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại C’, D’.
a) Hãy xác đònh giao tuyến (SAD) và (SBC).
b) Gọi I là giao điểm của AD’ và BC’. Tìm tập hợp điểm I .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K, I, J lần lượt là trung điểm của
các cạnh SA, SB, SC, SD.
a) Chứng minh : HKIJ là hình bình hành.
b) Gọi M là điểm bất kỳ trên BC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABCD) và (HKM).
Tài liệu ơn tập HKI. Biên soạn: ThS Cao Quốc Duy (01675177033) 3

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB.
a) Chứng minh : MN // CD.

b) Tìm giao điểm P của SC với (AND).
c) Gọi I là giao điểm AN và DP. Chứng minh : SI // AB // CD.
d) Hình tính của tứ giác SABI.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành . Lấy M trên cạnh AD. Gọi
( )
α
là mặt phẳng
qua M và song song với SA và CD.
( )
α
cắt BC, SC, SD tại N, P, Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b) Gọi I là giao điểm của MQ và NP . Chứng minh I luôn nằm trên một đường thẳng cố đònh khi M
di động trên cạnh AD.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O.
a) Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua DC cắt SA và SB tại M, N. Chứng minh DCMN là hình thang.
b) Gọi I là giao điểm của MC và DN. Chứng minh S, I, O thẳng hàng .
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC. M là một điểm di động
trên cạnh SA. Gọi
( )
α
là mặt phẳng di động luôn qua C’M và song song với BC.
a) Chứng minh
( )
α
luôn chứa một đường thẳng cố đònh.
b) Xác đònh thiết diện mà

( )
α
cắt hình chóp S.ABCD . Đònh m để thiết diện là hình
bình hành.
c) Tìm tập hợp các giao điểm của hai cạnh đối của thiết diện khi M chuyển động trên
cạnh SA.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là một điểm di động trên SC ,

( )
α
là mặt phẳng qua AM và song song với BD.
a) Chứng minh
( )
α
luôn chứa một đường thẳng cố đònh.
b) Tìm các giao điểm H và K của
( )
α
với SB, SD. Chứng minh rằng :
SB SD SC
SH SK SM
+ −
có giá trò
không đổi.
ĐỀ THI HỌC KÌ I – MƠN TỐN 11
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1. (2 điểm) Giải phương trình lượng giác sau
2
2sin 2 3sin 1 cos2 0x x x+ + − =
Câu 2. (1,5 điểm) Giải bất phương trình sau

3 4 2
2 3
n n n
A C A− ≥
Câu 3. (1,5 điểm) Tìm số hạng đầu
1
u
và cơng bội
q
của cấp số nhân
n
(u )
, biết:
2 4 5
3 5 6
22
44
u u u
u u u
− + =


− + = −

Câu 4. (1 điểm) Cho khai triển
3 2 5 2 15
0 1 2 15
( 1) ....x x x a a x a x a x+ − − = + + + +
. Tính
10

a
.
Câu 5. (1 điểm) Tìm ảnh của đường tròn
2 2
( ) : 4 10 25 0C x y x y+ − + + =
qua phép vị
tự tâm
A(-2;1)
tỉ số
1
k=
2
.
Câu 6. (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy một điểm M khơng
trùng với S và A. Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua M và song song với AB và SD.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng
( )
α
. Thiết diện là hình gì ?
Tài liệu ơn tập HKI. Biên soạn: ThS Cao Quốc Duy (01675177033) 4