Xác Suất Và Thống Kê Với Maple

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN

------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

SINH VIÊN THỰC HIỆN

TS. Nguyễn Hữu Khánh

Trần Ngọc Hiền

Bộ môn Toán – Khoa KHTN

Ngành: Toán Thống Kê

Cần Thơ, 06/2010


LỜI CẢM ƠN
Xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hữu Khánh đã tận tình chỉ dạy trong suốt
quá trình làm luận văn, thầy đã cung cấp cho tôi nhiều tài liệu vô cùng quý báu và
giúp tôi hiểu sâu hơn về Maple.
Xin cảm ơn quí Thầy, Cô trường Đại Học Cần Thơ đặc biệt là Thầy, Cô bộ
môn Toán khoa khao học Tự Nhiên – Đại Học Cần Thơ đã tận tình giảng dạy tôi
trong suốt thời gian học tập.
Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu và phòng quản lý Đào Tạo trường Đại Học Cần

Thơ đã tạo điều kiện tốt cho tôi trong quá trình học tập tại trường.
Xin cảm ơn các bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, sưu tầm và tìm
kiếm tài liệu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đến Cha, Mẹ và những người thân đã dạy dỗ,
khuyến khích, động viên và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học
tập.


BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CDF

Hàm phân phối tích lũy (Cumulative distribution functions)

PDF

Hàm phân phối xác suất (Probability distribution function)

PMF

Hàm khối xác suất (Probability mass function)


MỤC LỤC
Chương 1 .................................................................................... 1
GIỚI THIỆU VỀ MAPLE......................................................... 1
1.1 Giới thiệu về Maple..............................................................................................1
1.2 Đốí tượng của Maple...........................................................................................2
1.2.1 Tập hợp và danh sách .......................................................................................2
1.2.2 Dãy...................................................................................................................2

1.2.3 Biến ngẫu nhiên ................................................................................................2
1.2.4 Định nghĩa hàm ................................................................................................2
1.2.5 Vẽ đồ thị..........................................................................................................3

Chương 2 .................................................................................... 4
XÁC SUẤT ................................................................................. 4
2.1 Giải tích tổ hợp.....................................................................................................4
2.1.1 Hoán vị.............................................................................................................4
2.1.2 Chỉnh hợp .........................................................................................................4
2.1.3 Tổ hợp ..............................................................................................................5
2.2

Định nghĩa xác suất..........................................................................................6

2.2.1

Định nghĩa xác suất theo cổ điển:....................................................................7

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê: ...................................................................7
2.3

Xác suất có điều kiện: ......................................................................................7

2.3.1 Định nghĩa .......................................................................................................7
2.3.2 Công thức ........................................................................................................7
2.4

Biến cố độc lập...................................................................................................8

Chương 3 .................................................................................. 10

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC ...................................... 10
3.1

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: ........................................................................10

3.1.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc .......................................................10


3.2 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc...........................................15
3.2.1 Kỳ vọng toán ..................................................................................................15
3.2.2

Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn ..................................................................16

3.2.3 Moment ...........................................................................................................18
3.2.4 Maple với thống kê mô tả của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc ............................18
3.3

Các phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc ........................................22

3.3.1

Phân phối đều ...............................................................................................22

3.3.2

Phân phối siêu bội.........................................................................................24

3.3.3 Phân phối nhị thức và phân phối Bernoulli.....................................................25
3.3.4 Phân phối Poisson..........................................................................................29

Chương 4 .................................................................................. 32
PHÂN PHỐI LIÊN TỤC ......................................................... 32
4.1 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục .........................................................................32
4.1.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên liên tục ....................................................32
4.1.2 Hàm mật độ xác suất: .....................................................................................32
4.1.3

Hàm phân phối xác suất: ...............................................................................33

4.2 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên liên tục...........................................35
4.2.1 Kỳ vọng ..........................................................................................................35
4.2.2 Phương sai và độ lệch chuẩn ...........................................................................36
4.2.3 Moment ..........................................................................................................36
4.3 Các phân phối của đại lượng ngẫu nhiên liên tục ...........................................37
4.3.1 Phân phối đều ................................................................................................37
4.3.2 Phân phối mũ: ................................................................................................38
4.3.3 Phân phối Gamma .........................................................................................39
4.3.4 Phân phối khi bình phương ............................................................................40
4.3.5 Phân phối chuẩn .............................................................................................42
4.3.6 Phân phối Student ..........................................................................................44
4.3.7 Phân phối Fisher ............................................................................................45


4.3.8 Phân phối Weibull ..........................................................................................46
4.4 Tổng quát hoá biến ngẫu nhiên - Mô phỏng ...................................................47
4.5 Mô phỏng phân phối xác suất với Maple........................................................48

Chương 5 .................................................................................. 53
LÝ THUYẾT PHÂN PHỐI MẪU........................................... 53

5.1
5.2
5.3
5.4

Đại lượng ngẫu nhiên độc lập .........................................................................53
Phân phối của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập.................................54
Các hàm ngẫu nhiên kết hợp với phân phối chuẩn ......................................55
Định lý giới hạn trung tâm ................................................................................56

Chương 6 .................................................................................. 58
HỒI QUI - ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ - KHOẢNG TIN CẬY58
6.1 Hồi qui và ước lượng tham số ..........................................................................58
6.2 Ước lượng khoảng tin cậy ...............................................................................59
6.2.2 Ước lượng trung bình ....................................................................................59
6.2.3 Ước lượng phương sai ...................................................................................62
6.2.4 Ước lượng tỉ lệ ..............................................................................................64
6.2.5 Xác định kích thước mẫu ...............................................................................65

Chương 7 .................................................................................. 67
KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ ............................. 67
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5

Kiểm định về trung bình ...................................................................................70
Kiểm định về tỉ lệ...............................................................................................74
Kiểm định về phương sai .................................................................................75

Kiểm định về sự bằng nhau của hai trung bình .............................................78
Kiểm định về sự bằng nhau của hai tỉ lệ ........................................................82


Chương 1

GIỚI THIỆU VỀ MAPLE
1.1 Giới thiệu về Maple
Maple là hệ tính toán hình thức được xây dựng bởi công ty Waterloo Maple
(Canada) năm 1980. Phần mềm tính toán này tạo ra một bước mới trong việc học ,
khám phá và ứng dụng toán học vì đã đáp ứng được các yêu cầu sau:
i) Cho phép nhiều người sử dụng tiếp cận hệ thống cùng một lúc với khả
năng sử lư nhanh nhất.
ii) Có cú pháp dễ hiểu, rơ ràng và lôgic.
iii) Có đặc tính thêm vào

).

Hiện nay phần mềm Toán học MAPLE được các nhà Toán học, các nhà
nghiên cứu và sinh viên trên thế giới sử dụng một cách rộng răi.

Giao diện cũa Maple

MAPLE có các chức năng sau:
(Symbolic computating).
* Tính toán giá trị (Numerical Calculus).


* Đồ họa (Graphics).
* Tạo văn bản (Documentation).

(Programming).
Phần mềm MAPLE sử dụng trong luận văn là MAPLE 11 .

1.2 Đốí tượng của Maple
1.2.1 Tập hợp và danh sách
{tập hợp}
[danh sách]

Cần phân biệt
> {a,a,b};

cho

{a,b}

> [a,a,b];

cho

[a,a,b]

1.2.2 Dãy
Lệnh:

> seq(f, i = m..n);

trong đó f là biểu thức, i là tên và m,n là giá trị số.
1.2.3 Biến ngẫu nhiên
Lệnh: > X:=RandomVariable(distribution);
trong đó distribution là phân phối của biến ngẫu nhiên.

 Ví dụ:
> X := RandomVariable(Normal(0,1));

X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với µ = 0 và σ = 1.
1.2.4 Định nghĩa hàm
* Lệnh:

Hàm một biến:

f := x -> biểu thức của x.

Hàm nhiều biến: g := (x,y) -> biểu thức của x, y
 Ví dụ:
> f:=x-> x^2;
f := x → x2

> g:=(x,y)->x*y;
g := ( x, y ) → x y


1.2.5 Vẽ đồ thị
Trước hết ta đưa thư viện "plots" vào:
Lệnh:

> with(plots):

> plot(expr,range,options,title);

* expr: biểu thức của hàm số.
* range: tham biến xác định vùng vẽ.

* options: tùy chọn
+ axes (trục): none, normal, boxed, frame.
+ color (màu): red, yellow, green, blue…
+ labels = [x,y]: đặt tên cho các trục.
+ linestyle (kiểu của đường): chọn đường liền hay đứt đoạn 0 và 1
cho đường liền, 2 cho đường đứt đoạn.
+ numpoints: chọn số lượng điểm tạo nên đồ thị. Mặc định là
numpoints = 50.
+ style: cho phép ta bi
ểu diễn đồ thị bằng line (đường), point
(điểm), patch (dung cho dạng có chứa đa giác), patchnogrid (giống
như patch nhưng không có ô lưới).
+ scaling: tỷ lệ co giãn trên các trục tọa độ
unconstrained: không bị rang buộc.
constrained: bị rang buộc (các trục có cùng độ dài đơn vị)
+ symbol: plot diểm dạng box (ô vuông), cross (dấu cộng), point
(điểm), circle (chữ o), diamond (hình thoi vuông).
* title: tiêu đề cho hình vẽ (Ví dụ: title = ‘hàm bậc ba’).


Chương 2

XÁC SUẤT
2.1 Giải tích tổ hợp
Maple có gói lệnh combinat dùng để xác định các đối tượng trong giải tích
tổ hợp.
Để mô tả chỉnh hợp và tính số các chỉnh hợp ta dùng các lệnh:
> with(combinat,permute);
> with(combinat,numbperm);
Để mô tả tổ hộp và tính số các tổ hợp ta dùng các lệnh:

> with(combinat,choose);
> binomail(n,k);
2.1.1 Hoán vị
Giả sử X là tập hợp gồm n phần tử. Một hoán vị của X là cách sắp xếp thứ tự
của n phần tử của X. Số các hoán vị của tập gồm n phần tử là

Pn = n !
 Ví dụ: Tính P10 ta dùng lệnh
> 10!;

3628800
2.1.2 Chỉnh hợp
Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một bộ có thứ tự gồm k phần tử
khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
Ank =

n!
(k = 1, 2, …)
(n − k )!

Tính Ank ta dùng lệnh
> with(combinat, numbperm);
> numbperm(n, k);


 Ví dụ: Ta tính A32 bởi lệnh
> numbperm(3, 2);
6
 Ví dụ: Ta mô tả các chỉnh hợp của tập gồm 3 viên bi màu đỏ, xanh và trắng bởi
các lệnh sau:

> with(combinat,permute);
[permute]
> L:=[Red,Blue,White];
L := [ Red, Blue, White ]

> permute(L,2);
[ [ Red, Blue ], [ Red, White ], [ Blue, Red ], [ Blue, White ], [ White, Red ], [ White, Blue ] ]

2.1.3 Tổ hợp
Một tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một bộ không phân biệt thứ tự k
phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:
Cnk =

n!
(k = 0,1, …)
k !(n − k )!

Tính Cnk ta dùng lệnh: > binomail(n,k);
 Ví dụ: Ta tính C42 bởi lệnh
> binomial(4, 2);
6
 Ví dụ: Ta mô tả các tổ hợp của tập gồm 4 viên bi màu đỏ, trắng, đen và xanh
bằng các lệnh sau:
> with(combinat,choose);
[ choose ]

> L:=[Red,White,Black,Blue];
L := [ Red, White, Black, Blue ]

> choose(L,2);

[ [ Black, Blue ], [ Black, Red ], [ Black, White ], [ Blue, Red ], [ Blue, White ], [ Red, White ]
]


 Ví dụ Viết Cnk dưới dạng khai triển
Ta dùng lệnh sau:
> convert(binomial(n,k),factorial);

n!
.
k !(n − k )!
 Ví dụ Viết Cn3 dưới dạng khai triển
Ta dùng lệnh sau:
> Cn3:=binomial(n,3);

Chuyển kết quả trên qua dạng khai triển:
> convert(Cn3,factorial);
1
n!
6 ( n − 3 )!

Đơn giản ta được:
> simplify(%);
(n − 2) (n − 1) n
6

 Ví dụ Trong các giá trị C10k , tìm k để C10k lớn nhất.
Để giải bài toán này ta có thể vẽ đố thị C10k để tìm số lớn nhất bằng lệnh sau:
> plot(binomial(10,k),k=2..20);

Từ đồ thị ta thấy C10k lớn nhất khi k = 5.

2.2

Định nghĩa xác suất


2.2.1

Định nghĩa xác suất theo cổ điển:
Giả sử một phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong

đó có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Khi đó, xác suất của biến cố A, Kí
hiệu: P(A) và được xác định bởi công thức:
P ( A) =

m
n

Ví dụ: Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 3 bi.Tính xác suất để lấy
được cả 3 là bi trắng.
Giải
Số cách chọn 3 bi trắng trong 4 bi trắng
> m:= binomial(4,3);
m := 4

Số cách chọn 3 bi trong 10 bi
> n:= binomial(10,3);
n := 120

Xác suất lấy được cả 3 là bi trắng
> P:= m/n;
P :=

1
30

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê:
Thực hiện n phép thử độc lập giống nhau.Giả sử biến cố A xảy ra m lần. Khi
đó, m được gọi là tần số xuất hiện biến cố A và tỉ số m/n được gọi là tần suất xuất
hiện biến cố A.
Khi số phép thử tăng lên dủ lớn thì tần suất hiện biến cố A dần về một số cố
định được gọi là xác suất của biến cố A.
m
n →∞ n

P( A) = lim

2.3

Xác suất có điều kiện:

2.3.1 Định nghĩa: Xác suất của biến cố A trong điều kiện biến cố B đã xảy ra
được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A.Kí hiệu: P(A/B)
2.3.2 Công thức:


P ( A / B) =

P ( AB )

P ( B)

 Ví dụ : Một bình chứa 8 quả bóng trắng và 2 quả bóng đỏ. Những quả bóng được
lấy từ 1 bình cùng một lúc, mẫu không đổi. Sử dụng Maple mô phỏng hóa thử
nghiệm này 1000 lần. Ta có thể cho số 0 là ký hiệu 1 quả bóng trắng và số 1 ký hiệu
1 quả bóng đỏ và sử dụng lệnh randperm trong Maple như sau:
> with(Statistics):
> with(combinat, randperm):
> L := [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1];

L := [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1 ]
> X := [seq(0, j = 1 .. 10)];

X := [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]
> for k from 1 to 1000 do
P := randperm(L):
for j from 1 to 10 do
X[j] := X[j] + op(P[j]);
od:
od:
freq := [seq(X[j], j = 1 .. 10)];

freq := [ 187, 174, 132, 133, 253, 212, 240, 251, 208, 210 ]

Lệnh randperm được mô tả như sau:
Nếu n là một dãy hoặc một tập hợp thì randperm cho một giao hoán ngẫu
nhiên của các phần tử của n. Nếu n là một số nguyên dương thì randperm cho một
giao hoán ngẫu nhiên của n số dương đầu tiên nhỏ hơn hoặc bằng n.

2.4

Biến cố độc lập

 Định nghĩa:
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu P(A/B) = P(A) (tức là
biến cố B có xảy ra hay không, không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố A).
Từ công thức xác suất có điều kiện:


P ( A / B) =

P ( AB )
P ( B)

nhưng P(A/B) = P(A) nên P(AB)/P(B) = P(A).
Vậy P(AB) = P(A).P(B).
Tức là nếu A và B độc lập thì xác suất của tích 2 biến cố bằng tích 2 xác suất
của từng biến cố.


Chương 3

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC
Trong phần này ta sử dụng gói Statistics bao gồm 9 phân phối xác suất
rời rạc và các lệnh thao tác trên các biến ngẫu nhiên rời rạc. Trước hết ta gọi gói
Statistics bởi lệnh:

> with(Statistics):

3.1

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

3.1.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc là đại lượng ngẫu nhiên nhận một số hữu hạn
hoặc vô hạn đếm được các giá trị.
Giả sử X là một đạ i lượng ngẫu nhiên rời rạc. Hàm mật độ xác suất của X
được xác định bởi
f=
( x) P=
( X x) ,

x ∈ R.

Hàm phân phối xác suất của X được xác định bởi
F=
( x) P( X ≤ x)

• Định nghĩa biến ngẫu nhiên trong Maple
Biến ngẫu nhiên được định nghĩa bởi lệnh:
> RandomVariable()

Ví dụ, ta định nghĩa biến ngẫu nhiên X có phân phối Bernoulli như sau:
> X := RandomVariable(Bernoulli(p)):
 Tạo ra dữ liệu ngẫu nhiên
Maple có thể tạo dữ liệu ngẫu nhiên từ bất kỳ phân phối đã biết. Giả sử ta
muốn tạo ra 1000 quan sát từ phân phối chuẩn với kỳ vọng µ = 5 và độ lệch tiêu
chuẩn σ = 2. Ta dùng lệnh:
> with(stats):
> normdat:=[random[normald[5,2]](1000)]:

* Lệnh statplots cho thông tin tổng quát về đồ thị của dữ liệu:

- Biểu đồ của dữ liệu


> statplots[histogram](normdat);

- Dạng hộp:
> statplots[boxplot](normdat);

 Biểu đồ của đại lương ngẫu nhiên
Ta có thể vẽ biểu đồ cho đại lượng ngẫu nhiên X bằng lệnh
> Histogram(X);
 Ví dụ: Ta vẽ biểu đồ cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với λ =
100.
> with(Statistics):
Định nghĩa đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson
> X := RandomVariable(Poisson(100)):


Tạo ra biến ngẫu nhiên từ X với kích thước 500:
> S:=Sample(X,500);


S := 



500 Element Row Vector
Data Type: float[8]

Storage: rectangular
Order: Fortran_order






> Histogram(S);

• Hàm mật độ xác suất (PDF) trong Maple
Trong Maple, hàm mật độ xác suất cho bởi lệnh:
>

ProbabilityDensityFunction(X, t, options)

hoặc
> PDF(X, t, options)
trong đó
X

là đại lượng ngẫu nhiên

t

là điểm

option là tùy chọn, để giá trị hàm mật độ xác suất là số thập phân thì chọn
numeric.
 Ví dụ: Lập hàm mật độ xác suất của phân phối Beta với các tham số p và q.

> with(Statistics):
> ProbabilityDensityFunction('Beta'(p, q), t);
0

 ( −1 + p )
( −1 + q )
 t
(1 − t)

Β ( p, q )


0


t<0
t<1
otherwise

Tính giá trị của hàm Beta tại t = 1/2, p = 3 và q = 5:
> ProbabilityDensityFunction('Beta'(3, 5), 1/2);
105
64

hay
> PDF('Beta'(3, 5), 1/2);
105
64

Tuy nhiên, nếu thêm tuỳ chọn numeric thì
> PDF('Beta'(3, 5), 1/2,numeric);
1.640625000

 Ví dụ: Ta tạo ra hàm phân phối mới:
> T := Distribution(PDF = (t -> 1/Pi/(t^2+1))):
Tạo ra biến ngẫu nhiên mới
> X := RandomVariable(T):
Tính giá trị của hàm mật độ xác suất tại t = 0.
> PDF(X,0);
1
π

 Ví dụ: Cho f(x) =

x
, x = 1, 2, 3, 4, là hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu
10

nhiên rời rạc X.
a. Sử dụng lệnh ProbHist trong gói stat.
b. Dùng lệnh PlotDiscCDF trong gói stat để vẽ hàm phân phối của X.
Giải


> read `C:\\MapExmps\\stat.m`;
> read `C:\\MapExmps\\ProbHistFill.txt`;
> f := x/10;
f :=

x
10

>ProbHist (f, 1 .. 4);

> PlotDiscCDF (f, 1 .. 4);

 Hàm xác suất
Hàm xác suất cho bởi lệnh
> ProbabilityFunction(X, t, options)
trong đó
X là biến ngẫu nhiên,
t là điểm


option là tuỳ chọn, option=numeric cho ta số thập phân

 Ví dụ: Tính hàm xác suất của phân phối Geometric:
> ProbabilityFunction(Geometric(1/3), i);
 0

i
 1  2 
 3  3 
  

i<0
otherwise

> ProbabilityFunction(Geometric(1/3), 5);

32
729
> ProbabilityFunction(Geometric(1/3), 5, numeric);
0.0438957476
 Hàm phân phối tích luỹ (CDF) trong Maple
Trong Maple, hàm phân phối tích luỹ cho bởi lệnh:
> CumulativeDistributionFunction(X, t, options)
> CDF(X, t, options)
trong đó
X

là đại lượng ngẫu nhiên

t

là điểm

option là tùy chọn, để giá trị là số thập phân thì chọn option là numeric.
 Ví dụ: Tính giá trị của của phân phối Beta với p = 3, q = 5 và x = 1/2.
> CDF('Beta'(3, 5), 1/2, numeric);
0.7734375000

3.2 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
3.2.1 Kỳ vọng toán
 Định nghĩa:

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị

x1 , x2 ,..., xn với các xác suất tương ứng p1 , p2 ,..., pn thì kỳ vọng của X, kí hiệu E(X),

là số xác định bởi
n

E ( X ) = ∑ xi pi
i =1

 Lệnh trong Maple


> Mean (X);

X là đại lượng ngẫu nhiên

Nếu muốn giá trị là số thập phân thì ta dùng lệnh với tuỳ chọn là numeric:
> Mean (X,numeric);
 Ví dụ: Một hộp đựng 5 phong bì. Trong đó có 3 phong bì đánh số 2 và 2 phong
bì đánh số 4. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra một ph ong bì và gọi X là số trên phong bì.
Tìm hàm mật độ xác suất của X. Ttính E(X), E(X2), E(X3).
> f := proc(x)
if x = 2 then 3/
elif x = 4 then 2/5
else 0
fi
end;

f := proc (x) if x = 2 then 3/5 elif x = 4 then 2/5 else 0 end if end proc

> evalf (sum ('x*f(x)' , x = 2 .. 4));

2.800000000

> evalf (sum ('x^2*f(x)' , x = 2 .. 4));
8.800000000

> evalf (sum ('x^3*f(x)' , x = 2 .. 4));
30.40000000

3.2.2

Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn
Giả sử X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 ,..., xn với

các xác suất tương ứng p1 , p2 ,..., pn .
Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Var( X) hay σ 2 , được xác
định bởi
2
σ2 =
Var ( X ) =
E[( X − E ( X )) 2 ] =
E ( X − µ )  .





Ta có

Var=
(X )

n

∑[ x − E ( X )]

2

i =1

i

pi


Trong thực tế ta thường sử dụng công thức:
Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2

Độ lệch tiêu chuẩn của X được xác định bởi
=
σ

=
σ2

Var ( X )

 Lệnh trong Maple
* Phương sai:
> Variance(X);

* Độ lệch tiêu chuẩn:
> StandardDeviation(X, ds_options)

 Ví dụ: Tung một con xúc xắc, xác suất để xuất hiện các mặt là như nhau. Gọi X
là số chấm trên mỗi mặt. Tính E(X), Var(X) ?

> f:=

proc(x)
if x=1 then 1/6
elif x=2 then 1/6
elif x=3 then 1/6
elif x=4 then 1/6
elif x=5 then 1/6
elif x=6 then 1/6
else 0
fi

end;
f := proc (x)
elif x = 5 then 1/6
if x = 1 then 1/6
elif x = 6 then 1/6
elif x = 2 then 1/6
else 0
elif x = 3 then 1/6
end if
elif x = 4 then 1/6 end proc

> E(X):= evalf (sum ('x*f(x)' , x = 1 .. 6));

E( X ) := 3.500000000

> E(X^2):= evalf (sum ('x^2*f(x)' , x = 1 .. 6));


E( X 2 ) := 15.16666667

> Var(X):= E(X^2)-(E(X))^2;
Var( X ) := 2.91666667

3.2.3 Moment
 Định nghĩa
Moment cấp n của đại lượng ngẫu nhiên X là số mn = E ( X n ) .
 Lệnh trong Maple
> Moment(X,n);

trong đó X là đại lượng ngẫu nhiên, n là cấp.
 Ví dụ:
> with(stats):

Tạo ra tập dữ liệu
data:=[1,3,5];

data := [ 1, 3, 5 ]

Monent cấp 3
> describe[moment[3]](data)= (1/3)*( 1^3+3^3+5^3);

51 = 51

Moment cấp 4
> describe[moment[4,1]](data)
1)^4+(5-1)^4 );

=

(1/3)*

(

(1-1)^4+(3-

> describe[moment[5,mean,1]](data)=(1/2)*(
3)^5+(5-3)^5 );

(1-3)^5+(3-

272 272
=
3
3

Fifth moment about the mean, for a sample population:

0=0

3.2.4 Maple với thống kê mô tả của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Trong Maple, gói lệnh stats cung cấp các phân tích dữ liệu và vẽ các hàm.
Trước hết ta gọi gói này bởi lệnh:
> with(stats):

[anova, describe, fit, importdata, random, statevalf , statplots, transform]
Có 8 gói lệnh con được gọi ra là anova, describe, fit, importdata, random,
statevalf, statplots, and transform.
a) Tạo ra tập dữ liệu
> data := [3,10,15,20,22,30,35,40,50,60,61,70,82,90,97];
b) Diễn tả tâm của tập dữ liệu
Hàm describe[count]: đếm số dữ liệu không bị mất
> describe[count](data);
15

i) Tính kỳ vọng
> describe[mean](data);
137
3

ii) Tính median
> describe[median](data);
40

iii) Tính Mode
Mode là giá trị thường xuyên nhất trong tập dữ liệu
> describe[mode]([10, 20, 30, 30, 30, missing]);
30

c) Diễn tả sự phân tán của tập dữ liệu
i) Hàm phạm vi describe[range] giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
trong tập dữ liệu
> describe[range]([10, 20, 30, 40, 50, missing]);

10 .. 50

ii) Hàm phương sai ẫmu

describe[variance[1]] tính phương sai

N

∑ ( xi − x )2

mẫu S 2 = i =1

N −1

của tập dữ liệu.