khóa luận tốt nghiệp một số quan điểm về dạy học xác suất và thống kê trong nhà trường trung học phổ thông

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, lấy thực tiễn làm thước đo chân lý
và là nơi để bộc lộ sức mạnh vốn có của nó. Chủ tịch Hồ Chí Minh đã viết:
“Thống nhất giữa lí luận và thực tiễn là một nguyên tắc căn bản của chủ nghĩa
Mác- Lênin. Thực tiễn không có lí luận hướng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng.
Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là lí luận suông”. Trong lĩnh vực Giáo
dục và Đào tạo, Bác là người có quan điểm và hành động chiến lược vượt tầm
thời đại. Về mục đích việc học Bác xác định rõ: Học để làm việc. Còn về
phương pháp học tập Người xác định: Học phải gắn liền với hành; học tập suốt
đời; học ở mọi nơi, mọi lúc, mọi người. Quan điểm này được Người nhấn mạnh:
“Học để hành: Học với hành phải đi đôi. Học mà không hành thì vô ích. Hành
mà không học thì không trôi chảy”. Vấn đề này được cụ thể hóa và quy định
trong Luật giáo dục nước ta (năm 2005). Tại chương 1, điều 3, khoản 2: “Hoạt
động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục
kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường
kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Bởi vậy, đối với giáo dục
Toán học, một trong những mục tiêu cơ bản cần đạt là: “giải toán và vận dụng
kiến thức Toán học trong học tập và đời sống” (theo Chương trình giáo dục phổ
thông môn Toán năm 2006). Theo đó, “tăng cường và làm rõ mạch Toán ứng
dụng và ứng dụng Toán học” là một trong những tư tưởng cơ bản và cần được
lưu tâm trong Toán phổ thông nước ta trong giai đoạn hiện nay.
Trong bộ môn Toán ở trường Trung học phổ thông, đặc biệt là nội dung
phần Xác suất- Thống kê thể hiện rất rõ nét về việc vận dụng toán học vào trong
thực tiễn đời sống. Cho nên khi dạy học phần này, giáo viên cần tổ chức, khai
thác sâu để học sinh thấy rõ sự liên hệ giữa Xác suất- Thống kê với đời sống
thực tiễn là rất quan trọng và cần thiết.
1.2. Trong thời đại ngày nay Xác suất và Thống kê đã và đang được ứng
dụng rất nhiều trong đời sống cũng như trong hầu hết các ngành khoa học: Vật

lý, Hóa học, Y học, Kinh tế học, Xã hội học,…Tuy nhiên, trong thực tế dạy học,

2
giáo viên chưa thực sự chú trọng thích đáng với vai trò của nó, một số đơn vị
kiến thức đã bị cắt giảm một cách tùy tiện chỉ vì một lí do: “không thuộc vào
phần phải thi cử”. Mạch toán ứng dụng trong sách giáo khoa toán ngày càng có
chiều hướng tăng cường sự vận dụng vào đời sống thực tiễn nhưng hệ thống các
bài toán có nội dung thực tiễn chưa nhiều. Nhìn chung, vận dụng toán học vào
trong thực tiễn trong dạy học Xác suất- Thống kê chưa thực sự chú trọng, đúng
đắn với mục đích dạy học.Thực trạng dạy học cho thấy nhiều giáo viên chưa có
kế hoạch, chưa chú ý đến kỹ năng vận dụng Xác suất- Thống kê vào các bộ môn
khác và thực tiễn đời sống mà chỉ chú trọng đến rèn luyện cho học sinh những
kỹ năng nhận dạng, cách tính toán thông thường. Hơn nữa, vì là phần không thi
nên nhiều học sinh chưa có hứng thú học tập, trình độ các em còn hạn chế,
những tình huống đưa vào trong dạy học chưa hấp dẫn, chưa sát với thực tiễn
đời sống.
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho khóa luận là:
“Một số quan điểm về dạy học Xác suất và Thống kê trong nhà trường Trung
học phổ thông” nhằm tìm ra định hướng vận dụng vào trong dạy học, khắc phục
tình trạng nói trên
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khóa luận là nghiên cứu để hình thành các quan điểm khoa
học về dạy học Xác suất- Thống kê. Trên cơ sở đó, vận dụng vào thiết kế một số
bài giảng về các nội dung này nhằm nâng cao chất lượng dạy học Toán.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu đưa ra được một số quan điểm dạy học phù hợp với nội dung Xác suất-
Thống kê ở trường Trung học phổ thông. Trên cơ sở đó, vận dụng vào thiết kế
và điều hành quá trình dạy học các nội dung này một cách hợp lí thì có thể nâng
cao chất lượng dạy học Toán.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến dạy học Toán, đặc biệt là các tài
liệu có liên quan đến dạy học Xác suất và Thống kê.
- Khảo sát thực trạng dạy học về việc vận dụng Toán học vào trong đời
sống thực tiễn nói chung và dạy học Xác suất- Thống kê vào thực tiễn nói riêng.

3
- Đưa ra được các quan điểm dạy học phù hợp với nội dung dạy học Xác
suất và Thống kê đồng thời thể hiện các quan điểm này trong một số bài soạn về
các nội dung dạy học này.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận
- Điều tra, quan sát
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm
có 2 chương:
- Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
- Chương 2: Một số quan điểm về dạy học Xác suất và Thống kê trong nhà
trường Trung học phổ thông.
Em xin chân thành cảm ơn TS. Phan Anh- người thầy đã tận tâm, nhiệt tình
chỉ bảo, động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành
khóa luận, các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán và các thầy cô giáo trong Khoa
Sư phạm tự nhiên Trường Đại học Hà Tĩnh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ
em hoàn thành công trình nghiên cứu.
Trong quá trình nghiên cứu khóa luận, không thể tránh khỏi những khó
khăn, thiếu sót mà bản thân vấp phải. Để khóa luận tốt hơn, chúng tôi rất mong
nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn sinh viên cũng
như bạn đọc
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Tĩnh, tháng 5 năm 2014
Tác giả

Võ Thị Linh





4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Vận dụng toán học vào thực tiễn đời sống đang là một xu hướng
được quan tâm trong dạy học toán
1.1.1. Thực trạng vận dụng toán học vào thực tiễn đời sống của giáo dục
toán học phổ thông trên thế giới và trong khu vực
Để thích ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ và nền sản
xuất hiện đại, phong trào cải cách giáo dục toán học ở trường phổ thông đã được
thực hiện rộng khắp và sâu sắc ở nhiều nước trên thế giới. Có thể nhận thấy
rằng, tăng cường hoạt động liên hệ toán học với thực tiễn là một trong những
vấn đề từ lâu đã rất được quan tâm và đang là một trào lưu giáo dục toán học
hiện nay trên thế giới.
Giáo dục Phần Lan vận hành theo một triết lý giáo dục độc đáo, thể hiện
quan điểm với học sinh và giáo viên: hai chủ thể quan trọng nhất này của nhà
trường phải được quan tâm và tôn trọng hết mức. Nhiệm vụ của giáo viên là làm
cho học sinh hào hứng học tập, say mê hiểu biết, quan tâm tập thể và xã hội. Ưu
điểm của chế độ học tập ở Phần Lan là ươm trồng tinh thần hợp tác chứ không
phải là tinh thần cạnh tranh. Người Phần Lan không vội vàng bắt lũ trẻ học quá
căng thẳng mà dần dần từng bước gợi mở ở chúng lòng ham học, ham khám
phá, ham sáng tạo chứ không ham thành tích, ham điểm số cao, ham thứ hạng
cao.
Phần Lan đã xây dựng được một nền tảng giáo dục vững chắc và đạt nhiều
kết quả ngoài mong đợi. Đáng chú ý là thành tích của sinh viên Phần Lan khi

tham gia với các nước Công nghiệp phát triển OECD vào Chương trình đánh giá
sinh viên quốc tế (PISA), sinh viên Phần Lan luôn đứng đầu trong bảng thành
tích của chương trình này.
PISA là chương trình đánh giá học sinh quốc tế do OECD( Tổ chức hợp tác
và phát triển kinh tế thế giới) khởi xướng. PISA được đưa vào triển khai thực
hiện từ năm 2000 với mục đích kiểm tra, đánh giá và so sánh trình độ học sinh ở
độ tuổi 15 giữa các nước trên thế giới. Đây được coi là chương trình nghiên cứu

5
so sánh, đánh giá chất lượng giáo dục có quy mô lớn nhất trên thế giới cho đến
nay.
Theo V.V.Firxov: “việc giảng dạy toán ở trường phổ thông không thể
không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học
toán học. Điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng
toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế”. Chúng ta cũng đều thấy
rõ rằng: khi xã hội càng hiện đại, khoa học kĩ thuật càng phát triển, nhất là trong
thời đại công nghệ thông tin như hiện nay, thì vai trò của toán học càng không
thể thiếu được. Toán học như một công cụ đắc lực trong nghiên cứu, ứng dụng
toán trong lao động sản xuất và rất nhiều mặt khác trong đời sống. Trên thế giới
phương pháp dạy học gắn với thực tiễn, phương pháp kiểm tra đánh giá theo
chương trình PISA đang ngày càng được nhiều quốc gia áp dụng. Lần đầu tiên
Việt Nam tham gia PISA với mục tiêu là hội nhập mạnh mẽ với giáo dục quốc
tế, so sánh với giáo dục của các quốc gia trên thê giới, đổi mới phương pháp
đánh giá, cách dạy- học, đón đầu cho đổi mới nền giáo dục nước nhà vào năm
2015…Có thể nói, với cách tiếp cận, hội nhập cùng giáo dục các nước trên thế
giới, chúng ta có nhiều hy vọng vào việc đổi mới toàn diện, triệt để, nâng cao
chất lượng giáo dục Việt Nam. Trong bối cảnh giáo dục còn nặng nề về bệnh
thành tích thì PISA có tác động rất lớn đến việc thay đổi việc dạy và học một
cách tích cực, thay đổi thi cử một cách hữu hiệu, thay đổi cách đánh giá, kiểm
định chất lượng giáo dục tiến bộ hơn sát với thế giới hơn…

1.1.2. Thực trạng vận dụng toán vào thực tiễn đời sống của giáo dục toán
học phổ thông trong nước
Đối với Việt Nam chúng ta, chương trình giảng dạy sử dụng trước
năm 2000, chịu ảnh hưởng rất lớn cách làm chương trình của một số nước
như: Liên Xô (cũ), Cộng hòa dân chủ Đức, Pháp. Theo tác giả Trần Kiều:
“mặc dầu đã xác định đi theo hướng “ôn hòa” song không thể tránh khỏi
những biểu hiện về sự hoàn chỉnh lý thuyết, quá chú trọng đến tính khoa
học chặt chẽ của hệ thống kiến thức,…Các khâu thực hành, ứng dụng, nhất
là ứng dụng vào các tình huống thực tiễn, chưa được coi trọng đúng mức.

6
Nhiều kỹ năng cần thiết cho cuộc sống ít có cơ hội được rèn luyện phát
triển”. Với chương trình và cách thức đào tạo như vậy thì sản phẩm tạo ra
là những con người không có khả năng thích ứng với một cuộc sống đa
chiều, đầy biến động là điều không thể tránh khỏi. Sớm nhìn nhận được
điều sai lệch trong giáo dục toán học, các nhà khoa học giáo dục nước ta đã
có những ý kiến xác đáng. GS Nguyễn Cảnh Toàn có nhận xét về tình hình
dạy học toán hiện nay: “Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường”,
GS Hoàng Tụy có nhận xét: kiểu cách dạy học hiện nay còn mang nặng
nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài tập oái ăm, giả tạo,
không phát triển trí tuệ mà xa rời thực tiễn. Nói đến những yêu cầu đối với
Toán học trong nhà trường nhằm phát triển văn hóa toán học, tác giả Trần
Kiều cho rằng: “Học Toán trong nhà trường phổ thông không chỉ tiếp nhận
hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính lý
thuyết,…cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là
hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng
dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống”. Trong các
công trình nghiên cứu về khoa học giáo dục, nhiều tác giả cũng khẳng định:
ứng dụng Toán học vào thực tế là một trong những năng lực Toán học cơ
bản, cần rèn luyện cho học sinh. Trước bối cảnh đó, ngành giáo dục và đào

tạo đã có một cuộc cách mạng là thay chương trình bậc học phổ thông bắt
đầu triển khai từ năm 2000, với định hướng là: giảm nhẹ tính chặt chẽ của
lý thuyết, tăng cường ứng dụng thực tiễn, coi trọng hoạt động tự chiếm lĩnh
tri thức của người học,…Các nhà khoa học biên soạn sách giáo khoa nói
chung, sách giáo khoa bộ môn toán nói riêng, đã cụ thể hóa tư tưởng định
hướng trên trong các giáo trình bộ môn. Chẳng hạn, trong sách giáo khoa
bộ môn Toán cấp THPT quán triệt các quan điểm sau: sát thực, trực quan,
nhẹ nhàng và đổi mới. Các quan điểm đó đã hàm chứa sự thay đổi cả nội
dung và phương pháp trình bày của sách giáo khoa, với hy vọng rằng có
thể cải thiện được tình hình dạy học toán như trên đã trình bày. Để có thể
rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tốt các tri thức toán học vào đời

7
sống thực tiễn. “Toán học hóa” trong dạy học toán ở bậc phổ thông cũng
được đề cập đến và xem đây là một yếu tố quan trọng cấu thành vốn văn
hóa toán học của mỗi cá nhân rất cần thiết cho người lao động trong xã hội
hiện đại. Đặc biệt trong sách giáo khoa toán trường phổ thông, các tác nhân
xây dựng nhiều mô hình toán học để mô tả các tình huống thực tiễn, tạo
điều kiện rất tốt cho giáo viên tổ chức cho học sinh thực hiện hoạt động
này.
Tuy đã chuyển biến về mặt lý luận, đường lối nhưng thực trạng dạy học
toán ở các trường phổ thông Viêt Nam, trong những năm vừa qua, vẫn chưa có
những chuyển biến mạnh mẽ. Trong dạy học chưa thực sự chú trọng mảng tri
thức thực hành ứng dụng. Nhiều giáo viên còn quan niệm lệch lạc rằng: vấn đề
đó chỉ nhằm vào mục đích ôn tập lại nội dung phần lý thuyết đã học sau từng
bài, từng chương; bởi vậy, dạy học mảng tri thức này chưa được đúng hướng.
Những năng lực, kỹ năng thực hành ứng dụng quan trọng của người lao động,
không được chú ý rèn luyện, đặc biệt là năng lực toán học hóa tình huống thực
tiễn. Mạch toán ứng dụng chưa được chú trọng đúng với vai trò của nó; thậm chí
có nơi có lúc còn bị cắt giảm một cách tùy tiện chỉ vì một lý do là: “không thuộc

vào phần thi cử”. Chiều hướng thiên về “lý thuyết hàn lâm” trong dạy học toán
vẫn tái diễn, việc đánh giá các hoạt động vận dụng toán học vào trong đời sống
còn mang tính qua loa đại khái. Chính những điều đó, đã làm cho học sinh
không có hứng thú khi tham gia vào các hoạt động ứng dụng toán học, làm tách
biệt nhà trường với cuộc sống đời thường. Thực trạng đó đã dẫn đến nhiều học
sinh sau khi ra trường chưa thể hiện được vốn văn hóa toán học trong các hoạt
động thực tiễn của bản thân. Biểu hiện rõ nhất hầu như không sử dụng tri thức,
phương pháp toán học trong các tình huống cụ thể; sự chênh lệch về hiệu quả
công tác của người có học vấn phổ thông và người không đạt được đến trình độ
đó không phân biệt được.
Trong khoa học cũng như trong đời sống hàng ngày chúng ta thường gặp
các hiện tượng “biến cố” ngẫu nhiên. Đó là các biến cố mà ta không thể dự đoán
một cách chắc chắn rằng chúng xảy ra hay không xảy ra.

8
Ngay đầu thế kỉ 20, nhà triết học người Anh Well đã dự báo “trong một
tương lai không xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu
tố không thể thiếu được trong học vấn phổ thông của mỗi công dân giống như
khả năng biết đọc và biết viết”.
Chính vì thế, UNESCO đã khẳng định Xác suất- Thống kê là một trong các
quan điểm chủ chốt để xây dựng học vấn trong thời đại ngày nay. Mặc dù trong
bài học về Xác suất- Thống kê được trình bày trong sách giáo khoa, bản thân nó
đã phần nào giúp học sinh nhận thấy được ứng dụng của nó trong đời sống. Tuy
nhiên học sinh chưa thể nhìn thấy mối liên hệ giữa kiến thức Xác suất và Thống
kê với thực tiễn. Việc thiết kế những bài giảng có sự tăng cường liên hệ thực
tiễn sẽ giúp học sinh hiểu được mối liên hệ đó. Từ đó, học sinh có cách nhìn
toàn diện, đa chiều trong nhiều lĩnh vực khác nhau trong khoa học và cuộc sống,
và có thể ứng dụng những kiến thức đã được trang bị trong nhà trường vào công
việc của mình sau này.
1.2. Nội dung Xác suất và Thống kê trong giáo trình môn toán ở

trường phổ thông góp phần làm đậm nét mạch toán ứng dụng
Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và thực hành của toán học là
góp phần thực hiện lý luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường
gắn liền với cuộc sống.
Ở bậc phổ thông học sinh cần phải được cung cấp những kiến thức cần thiết
cho cuộc sống và cung cấp công cụ để học tốt các môn học. Khi học đến phần
Xác suất- Thống kê, học sinh cần nắm được kiến thức và ứng dụng đối với cuộc
sống. Tổ chức nhiều hoạt động thực hành toán học trong nhà trường và ngoài
nhà trường như ở nhà máy, đồng ruộng,…kể cả những hoạt động có tính tập
dượt nghiên cứu bao gồm cả khâu đặt bài toán, xây dựng mô hình, thu thập dữ
liệu, xử lí mô hình để tìm lời giải với thực tế để kiểm tra và điều chỉnh. Mạch
toán ứng dụng nhất là các yếu tố về Xác suất- Thống kê trong chương trình
Trung học phổ thông là sự thể hiện rõ nét nhất việc vận dụng toán học vào trong
thực tiễn đời sống. Do đó, khi dạy phần Xác suất- Thống kê, cần khai thác khía

9
cạnh này, góp phần làm đậm nét mạch toán ứng dụng trong chương trình môn
toán ở trường Trung học phổ thông.
1.3. Thực tiễn dạy học vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn nói
chung và dạy học các tri thức về Xác suất- Thống kê nói riêng
Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học những tri thức về vận dụng
toán học vào đời sống thực tiễn nói chung và các tri thức về Xác suất- Thống kê
nói riêng luôn được coi là một vấn đề quan trọng và cần thiết. Tuy nhiên, theo
các nhà toán học và các nhà làm Khoa học Giáo dục cũng như trong thực tế vì
nhiều lí do khác nhau, trong một thời gian trước đây cũng như hiện nay, việc
tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học toán cho học sinh vẫn,
chưa được đánh giá đúng mức và chưa đáp ứng được những yêu cầu cần thiết.
Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn (1998) khi nhận xét về tình hình dạy và
học toán hiện nay ở nước ta thì một vấn đề quan trọng- một yếu kém cơ bản là
trong thực tế dạy toán ở trường phổ thông, các giáo viên không thường xuyên

rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn.
Học sinh bây giờ thường phải đi tìm những mắc xích suy diễn phức tạp trong
các bài toán khó. Họ được rèn luyện tư duy kỹ thuật khi phải tìm những thủ
thuật lắt léo để giải những bài toán không mẫu mực. Nhưng những khía cạnh
nhân văn trong thực tế cuộc sống đời thường hay bị bỏ qua. Chẳng hạn, trong
toán học có chứng minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường
khuyên nhau: “nghĩ đi rồi phải nghĩ lại”, “có qua có lại”, “sống phải có trước có
sau”; trong toán học, khi biện luận phải xét cho hết mọi trường hợp có thể xảy
ra, thì trong đời thường ta thường khuyên nhau: “nghĩ cho hết nước hết cái”.
Trong môn toán ở trường Trung học phổ thông, nội dung Xác suất- Thống
kê là một nội dung không dễ, vì đây là phần kiến thức mới đưa vào trong
chương trình lớp 10 và 11 nên khá mới mẻ và thú vị vì nó liên quan đến thực
tiễn đời sống. Mặc dù trong nội dung bài học về Xác suất- Thống kê được trình
bày trong sách giáo khoa, bản thân nó đã phần nào giúp học sinh thấy được ứng
dụng của nó trong đời sống. Tuy nhiên, khi dạy học nội dung phần thống kê, đa
số các giáo viên chỉ chú ý cho học sinh nắm được các khái niệm cơ bản trong

10
sách giáo khoa như tần số, tần suất, mốt,…, hiểu được một số biểu đồ đơn giản
trong sách giáo khoa và làm được các bài tập trong sách giáo khoa. Cũng như
phần xác suất, học sinh cần nắm được định nghĩa xác suất, các quy tắc tính xác
suất và biết cách làm bài tập.
Có thể nói thống kê và xác suất là một trong những phần có liên hệ với đời
sống thực tiễn. Nhưng phần thống kê không có nhiều trong nội dung thi học kỳ
và hầu như không có trong nội dung thi đại học nên khi dạy học về phần này
giáo viên không khai thác nhiều, chỉ dạy các phần nội dung có trong sách giáo
khoa. Vấn đề liên hệ thống kê với tình huống thực tiễn quả thực là các giáo viên
chưa nghĩ tới cách khai thác. Về phần xác suất, phần này giáo viên chú trọng
cho học sinh tư duy thuật giải, đưa ra một vài ví dụ giúp các em liên hệ thực
tiễn. Nhưng có thể nói giáo viên chưa chú trọng cho các em học sinh về phần

liên hệ với thực tiễn. Một số giáo viên dạy nhiều công thức, quy trình thống kê,
xác suất tách rời với tình huống thực tiễn, không phù hợp với lứa tuổi các em.
Số liệu thống kê lộn xộn, có nhiều lí giải khác nhau dựa trên những giả thuyết
khác nhau… Tất cả điều đó dẫn đến những khó khăn khi gây hứng thú, lôi kéo
học sinh tham gia hào hứng môn học.
Đa số các giáo viên chỉ dừng lại ở mức độ cung cấp, rèn luyện cho học sinh
các kỹ năng, quy trình, kỹ thuật tính toán của môn học, những điều đó tuy là một
mặt cần thiết nhưng không giúp ích được nhiều cho học sinh trong việc phát
triển năng lực đọc hiểu cũng như năng lực suy luận thống kê, xác suất. Khi gặp
tình huống trong một số bài toán thống kê, xác suất có thể làm cho học sinh hiểu
sai, các em dựa trên những kinh nghiệm, trực giác sai lầm chủ quan của bản thân
để đưa ra lời giải cho bài toán, giáo viên chưa kịp thời giúp học sinh hiểu đúng
vấn đề. Học sinh chỉ thực sự chú trọng vào việc áp dụng các công thức để tính
toán, mục đích của học sinh chỉ là làm sao để giải được bài toán đó mà học sinh
ít quan tâm tới cách vận dụng bài toán đó trong thực tiễn. Cơ sở vật chất phục vụ
đổi mới phương pháp giảng dạy môn học còn nhiều bất cập, dẫn đến nhiều hạn
chế trong việc phát triển năng lực suy luận thống kê và suy luận xác suất.

11

Chủ đề Xác suất và Thống kê là một chủ đề mới được đưa vào chủ đề Toán
ở Trung học phổ thông trong những năm gần đây, trong đó xuất hiện nhiều thuật
ngữ, kí hiệu, khái niệm mới. Mặt khác, những giáo viên (có tuổi) Trung học phổ
thông rất ngại dạy học những đơn vị kiến thức này, nội dung này ít nằm trong thi
cử cho nên nhiều giáo viên tùy tiện cắt bỏ nội dung này. Nội dung chương trình
chưa mô tả hết được quy trình vận dụng những đơn vị kiến thức này vào đời
sống thực tiễn.
1.4. Vận dụng phương pháp mô hình hóa vào dạy học Xác suất- Thống
kê
Các tri thức về Xác suất và Thống kê toán là những tri thức có liên hệ trực

tiếp với thực tiễn; do đó, dạy học những vấn đề này có điều kiện đưa toán học
xâm nhập sâu rộng vào đời sống của con người. Quá trình vận dụng các phương
pháp xác suất và thống kê toán vào trong thực tiễn. Hay nói một cách khác, các
bảng số liệu, biểu đồ, đồ thị, đa giác tần số (tần suất) ghép lớp trong thống kê và
khái niệm xác suất là các mô hình toán phản ánh một sự vật, hiện tượng nào đó.
Khoa học Thống kê là một lĩnh vực của khoa học toán học liên quan tới
việc thu thập, phân tích và diễn giải hay giải thích và trình bày số liệu. Xác suất
và Thống kê cung cấp những công cụ để dự đoán và dự báo bằng việc sử dụng
số liệu và các mô hình thống kê. Xác suất- Thống kê đã xâm nhập vào cuộc sống
đời thường ngày càng phổ biến và mạnh mẽ. Các mẫu trong số liệu có thể được
mô hình hóa theo cách mà họ có thể kiểm soát được tính ngẫu nhiên và tính
không chắc chắn trong quan sát. Nhằm xác định, thực hiện được hoạt động toán
học hóa các vấn đề thực tế, là một phần của phương pháp mô hình hóa.
Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con
người dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng.
Quá trình mô hình hóa một sự kiện nào đó thường xảy ra ba giai đoạn
chính:
- Giai đoạn 1là giai đoạn xây dựng mô hình, đó là quá trình tìm “vật” đại
diện; thông thường cần sự liên tưởng đến những vấn đề tương tự. Trong giai
đoạn này, vai trò của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng.

12
- Giai đoạn 2 là giai đoạn nghiên cứu trên mô hình. Trong giai đoạn này,
mô hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các phương
pháp lí thuyết và thực nghiệm khác nhau.
- Giai đoạn 3 là giai đoạn xử lí kết quả và điều chỉnh mô hình. Trong giai
đoạn này, kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu
để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình.
Ba giai đoạn trong quy trình mô hình toán chính là cơ sở để hình thành, làm
tiền đề tương ứng với quá trình vận dụng xác suất vào thực tiễn như sau: Nắm

chắc phép thử (sự vật, hiện tượng) ) → Xây dựng không gian mẫu (mô hình toán
của phép thử) → Dựa trên không gian mẫu đánh giá khả năng xác suất của biến
cố. Mỗi giai đoạn xây dựng những mô hình tổng quát, khái quát hóa để từ đó
từng bước cụ thể hóa, đưa ra các bước cho học sinh tìm xác suất. Cho nên việc
vận dụng phương pháp mô hình hóa vào dạy học Xác suất Thống kê là rất quan
trọng và cần thiết để đem lại hiệu quả cho chất lượng dạy học.








13

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ QUAN ĐIỂM VỀ DẠY HỌC XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
TRONG NHÀ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Nội dung Thống kê- Xác suất trong chương trình THPT
2.1.1. Nội dung Thống kê trong chương trình Trung học phổ thông
Nội dung
Có ba mảng kiến thức: phương pháp thu thập số liệu, phương pháp trình
bày số liệu và phương pháp xử lí số liệu, được trình bày ở 4 bài:
Bài 1: Bảng phân bố tần số và tần suất
Bài 2: Biểu đồ
Bài 3: Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt
Bài 4: Phương sai và độ lệch chuẩn
Phân tích
a) Phương pháp thu thập số liệu

Trước hết, nếu nhìn vào tựa bài ta nhận thấy hai bài đầu nói về phương
pháp trình bày số liệu, hai bài sau nói về các tham số đặc trưng (xử lí số liệu).
Nhưng thực ra phần phương pháp thu thập số liệu được nhắc lại trong bài đầu ở
phần ôn tập, kiến thức này đã được học ở lớp 7. Tuy nhiên qua một giai đoạn dài
không được nhắc lại nên đối với học sinh có thể xem như là kiến thức mới. Ở
mảng kiến thức thứ nhất này sách giáo khoa nêu:
Khi thực hiện điều tra thống kê (theo mục đích đã định trước), cần xác định
tập hợp các đơn vị điều tra và thu thập các số liệu
Sau đó đưa ra ví dụ 1:
Khi điều tra “Năng suất lúa hè thu năm 1998” của 31 tỉnh, người ta thu
thập các số liệu ghi trong bảng dưới đây
Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh
30 30 25 25 35 45 40 40 35 45
25 45 30 30 30 40 30 25 45 45
35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 35
Bảng 2.1

14
Tập hợp các đơn vị điều tra là tập hợp 31 tỉnh, mỗi một tỉnh là một đơn vị
điều tra. Dấu hiệu điều tra là năng suất lúa hè thu năm 1998 ở mỗi tỉnh.
Ở đây sách giáo khoa đưa ra ví dụ có nội dung thực tiễn nhưng không đưa
ra vấn đề thực tiễn, do đó cũng không đưa ra cách xây dựng mô hình phỏng thực
tiễn mà chỉ đưa ra dạng mô hình Toán học. Các khái niệm cũng chỉ được nhắc
lại một cách sơ sài thông qua ví dụ 1 chứ không đưa ra khái niệm về dấu hiệu,
đơn vị điều tra…
b) Phương pháp trình bày số liệu
Có hai nội dung được xem xét trong phần này là phương pháp trình bày
bảng và phương pháp trình bày biểu đồ. Phương pháp trình bày dạng bảng gồm:
số liệu rời rạc, bảng tần số- tần suất, bảng tần số- tần suất ghép lớp.
Sách giáo khoa thông qua ví dụ 1 ở trên, thấy có năm giá trị khác nhau, giá

trị
1
25
x

xuất hiện 4 lần, và gọi
1
4
n

là tần số của giá trị
1
x
, tương tự cho các
giá trị còn lại. Giá trị
1
x
có tần số là 4 do dó chiếm tỷ lệ là
4
12,9%
31
 và gọi đó
là tần suất của giá trị
1
x
, tương tự cho các giá trị còn lại. Sau đó lập bảng gồm 3
cột: Năng suất lúa, tần số, tần suất và gọi bảng trên là bảng phân bố tần số, tần
suất. Ở đây sách giáo khoa chủ yếu là chỉ cho học sinh biết cách tìm tần số, tần
suất. Phần này, sách giáo khoa dùng lại ví dụ 1 ở trên nên vấn đề thực tiễn
không được đặt ra. Hơn nữa, việc trình bày ở sách giáo khoa cũng chưa cho thấy

nhu cầu xuất hiện của bảng tần số- tần suất là cần thiết. Sách giáo khoa cũng
chưa đưa ra khái niệm tần số, tần suất và công thức tính tần suất mà chỉ ngầm
định qua ví dụ. Mặt khác, sách giáo khoa cũng không nhắc đến mẫu, kích thước
mẫu khi điều tra. Sang phần bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, sách giáo
khoa đưa ra ví dụ 2:
Để chuẩn bị may đồng phục cho học sinh, người ta đo chiều cao của 36 học
sinh trong một lớp học và thu được các số liệu thống kê ghi trong bảng , và sách
giáo khoa đưa ra bảng số liệu. Tiếp theo sách giáo khoa nêu: Để xác định hợp lí
số lượng quần áo cần may cho mỗi “kích cỡ” ta phân lớp các số liệu trên như
sau. Sách giáo khoa chia thành 4 lớp, và nêu tiếp là có 6 số liệu thuộc lớp 1, ta

15

gọi
1
6
n

là tần số của lớp 1, các lớp khác sách giáo khoa nêu tương tự. Sau đó,
tính các tỷ số
1 2
6
16,7%, ,
36
f f
  và gọi là tần suất của các lớp. Các kết quả
trên được trình bày gọn trong bảng gồm 3 cột: lớp đo số chiều cao, tần số, tần
suất. Như vậy, sách giáo khoa khi trình bày phần này cũng chỉ đưa ra ví dụ rồi
thông qua ví dụ đó chỉ cho học sinh cách tính tần số, tần suất trong mỗi khoảng
và cách lập bảng.

Mặc dù ví dụ trên có nêu mục đích là để chuẩn bị may đồng phục cho học
sinh, nhưng sau đó lại cho sẵn bảng số liệu đo chiều cao của 36 học sinh, vậy
nên vấn đề thực tiễn (mục đích) đặt ra xem như không có ý nghĩa. Sách giáo nêu
ra lí do để phân lớp cho các số liệu cũng chưa thật thuyết phục và cũng chỉ có
tính áp đặt cho ví dụ này. Vậy nên khi đứng trước một vấn đề thực tiễn khác học
sinh sẽ không biết xử lí.
Sau khi tính toán sách giáo khoa có nêu: số liệu trên cho ta cơ sở để xác
định số lượng quần áo cần may của mỗi cỡ. Chẳng hạn, vì số học sinh có chiều
cao thuộc lớp thứ nhất chiếm 16,7% tổng số học sinh, nên số quần áo cần may
thuộc cỡ tương ứng với lớp đó chiếm 16,7% số lượng quần áo cần may. Ta cũng
có kết luận tương tự đối với các lớp khác.
Nếu lớp học trên đại diện được cho toàn trường thì có thể áp dụng kết quả
đó để may quần áo cho học sinh cả trường.
Ở đây sách giáo khoa lúc đầu đưa ra ví dụ rồi dùng kiến thức toán học để
tính toán, sau đó dùng kết quả để làm cơ sở cho vấn đề đặt ra. Tuy nhiên 36 học
sinh trong một lớp học thì không thể nào đại diện cho học sinh cả trường được
nên ví dụ cũng chỉ mang tính hình thức mà thôi. Trong phần này, sách giáo khoa
cũng chưa làm cho học sinh thấy được nhu cầu và ý nghĩa thật sự của việc chia
lớp, trong mỗi lớp cũng chưa nêu giá trị đại diện cho lớp.
Biểu đồ:
Sách giáo khoa trình bày 3 loại biểu đồ: biểu đồ tần suất hình cột, biểu đồ
đường gấp khúc tần suất, biểu đồ hình quạt. Sách giáo khoa nêu: Ta có thể mô tả

16
một cách trực quan các bảng phân bố tần suất (hoặc tần số), bảng phân bố tần
suất (hoặc tần số) ghép lớp bằng biểu đồ hoặc đường gấp khúc.
Sau đó đưa ra ví dụ cho từng loại biểu đồ nhưng trong đó chỉ có biểu đồ
đường gấp khúc tần suất là có trình bày cách vẽ còn hai loại còn lại sách giáo
khoa chỉ đưa ra biểu đồ mà không trình bày cách vẽ. Ở đây, sách giáo khoa cũng
chưa làm cho học sinh thấy rõ nhu cầu của việc lập biểu đồ cũng như ý nghĩa

của biểu đồ trong việc trình bày số liệu.
c) Xử lý số liệu
Phần này sách giáo khoa giới thiệu các số đặc trưng của mẫu số liệu gồm
các tham số định tâm (số trung bình cộng, số trung vị, mốt) và các tham số đo độ
phân tán (phương sai, độ lệch chuẩn).
* Số trung bình cộng:
Đầu tiên sách giáo khoa áp dụng công thức tính số trung bình đã học ở lớp
7 để tính số trung bình của ví dụ ở bài 1 và chỉ đưa ra kết quả, không nhắc lại
công thức. Sau đó sách giáo khoa trình bày 2 cách tính số và công thức tính số
trung bình cộng trong trường hợp bảng phân bố tần số ghép lớp và tần suất ghép
lớp:
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:
 
1 1 2 2 1 1 2 2
1

k k k k
x n x n x n x f x f x f x
n
       
Trong đó
,
i i
n f
lần lượt là tần số, tần suất của giá trị
,
i
x n
là các số liệu
thống kê (

1 2
( )
k
n n n n
   
.
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
 
1 1 2 2 1 1 2 2
1

k k k k
x n c n c n c f c f c f c
n
       
Trong đó
, ,
i i i
c n f
lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ
,
i n

là các số liệu thống kê
1 2
( )
k
n n n n
   
.

Sau đó, sách giáo khoa cho một bài tập trong phần hoạt động của học sinh:
tính số trung bình cộng nhiệt độ của 2 tháng sau đó nêu nhận xét. Ở đây, nhu cầu
để xuất hiện số trung bình cộng không được đề cập đến, ví dụ trên không xuất

17

phát từ vấn đề thực tiễn đặt ra mặc dù ví dụ có nội dung thực tiễn. Sách giáo
khoa chưa nêu được ý nghĩa của số trung bình cộng mà chỉ ngầm ẩn qua phần
nhận xét của học sinh trong bài tập trên. Do đó, học sinh cũng chưa hiểu được
tại sao phải tính số trung bình cộng và ý nghĩa thực sự của nó khi dùng để giải
quyết một vấn đề thực tiễn đặt ra.
* Số trung vị:
Sách giáo khoa đưa ra ví dụ: Điểm thi toán cuối năm của một nhóm 9 học
sinh lớp 6 là: 1, 1, 3, 6, 7, 8, 8, 9, 10.
Điểm trung bình của nhóm là:
5,9
x  .
Sau đó nhận xét: hầu hết học sinh (6 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm
trung bình và có những điểm vượt rất xa. Như vậy, điểm trung bình không đại
diện được cho trình độ học lực của nhóm. Từ đó, sách giáo khoa đưa ra khái
niệm số trung vị.
Ở đây, nhu cầu xuất hiện số trung vị sách giáo khoa có đề cập đến thông
qua ví dụ trên, ngoài ra sách giáo khoa có nêu: Khi các số liệu thống kê có sự
chênh lệch lớn thì số trung bình không đại diện được cho các số liệu đó. Khi đó,
ta chọn số đặc trưng khác đại diện thích hợp hơn, đó là số trung vị.
Tuy nhiên, nếu xét về góc độ mô hình hóa thì ở đây vấn đề thực tiễn cũng
chưa được đặt ra, ví dụ trên cũng chỉ thuần túy về mặt toán học, ý nghĩa của số
trung vị chưa được đề cập rõ.
* Mốt:
Sách giáo khoa nhắc lại khái niệm mốt đã học ở lớp 7: Mốt của một bảng

phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là
e
M
. Sau đó đặt ra
câu hỏi để làm rõ hơn khi bảng phân bố có nhiều hơn một mốt.
Phần này sách giáo khoa chỉ đưa ra khái niệm mốt và trình bày cho học
sinh biết cách tìm mốt mà không hề đề cập đến nhu cầu xuất hiện mốt cũng như
ý nghĩa của mốt. Vấn đề thực tiễn ở đây cũng không được đặt ra.
* Phương sai và độ lệch chuẩn:
Phương sai:

18
Đầu tiên, sách giáo khoa đưa ra ví dụ, các số liệu cho sẵn dưới dạng 2 dãy
số liệu, trung bình cộng của mỗi dãy số liệu bằng nhau. Sau đó, bình phương các
độ lệch, trung bình cộng các bình phương độ lệch và gọi đó là phương sai. Sách
giáo khoa cũng đưa ra một ví dụ tính phương sai trong trường hợp mẫu số liệu
thống kê dạng ghép lớp. Tuy nhiên, trước đó khi chưa tính bình phương các độ
lệch sách giáo khoa đã nhận xét được độ phân tán của dãy số liệu. Điều đó cho
thấy việc tính phương sai không còn ý nghĩa. Vì thế, ví dụ mà sách giáo khoa
đưa ra vẫn chưa đạt. Sách giáo khoa trình bày công thức tính phương sai trong 2
trường hợp:
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:
     
     
2 2 2
2
1 1 2 2
2 2 2
1 1 2 2
1

k k
k k
s n x x n x x n x x
n
f x x f x x f x x
 
      
 
 
      

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
     
     
2 2 2
2
1 1 2 2
2 2 2
1 1 2 2
1


k k
k k
s n c x n c x n c x
n
f c x f c x f c x
 

      
 
 
      

Sau đó sách giáo khoa đưa ra một công thức khác để tính phương sai:


2
2 2
s x x
 
Độ lệch chuẩn:
Sách giáo khoa nêu: nếu để ý đơn vị đo của phương sai là bình phương đơn
vị đo của dấu hiệu được nghiên cứu. Muốn tránh điều này, có thể dùng căn bậc
hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn.
Trong phần này, sách giáo khoa đưa ra ví dụ sau đó nêu cách tính phương
sai và độ lệch chuẩn, sách giáo khoa không đưa ra khái niệm phương sai cũng
như độ lệch chuẩn. Về ý nghĩa của phương sai thì sách giáo khoa không trình
bày rõ mà đưa vào chú ý: Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có
số trung bình cộng bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, nếu phương sai càng nhỏ thì
mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu thống kê càng bé.

19

Phương sai và độ lệch chuẩn ở đây nhìn chung thì sách giáo khoa cũng chỉ
trình bày cho học sinh về cách tính toán còn về ý nghĩa cũng thể hiện một cách
mờ nhạt. Phương sai và độ lệch chuẩn không được xuất phát từ một vấn đề thực
tiễn, nhu cầu xuất hiện không được đề cập đến. Và cũng vì không xuất phát từ
vấn đề thực tiễn nên sau khi tính phương sai và độ lệch chuẩn thì không nêu

nhận xét, ya nghĩa hay kết luận được điều gì.
Từ sự phân tích trên, chúng tôi nhận thấy rằng: hầu hết các ví dụ và bài tập
trong sách giáo khoa đều có nội dung thực tiễn, nhưng hầu hết đã được phát biểu
ở dạng ngôn ngữ toán học. Một số bài có yêu cầu nhận xét hay nêu ý nghĩa
nhưng do vấn đề thực tiễn không được đặt ra nên việc nêu ý nghĩa hay nhận xét
cũng chỉ mang tính hình thức chứ không phản ánh được ý nghĩa thực sự của nó.
2.1.2. Nội dung Xác suất trong chương trình Trung học phổ thông
Khái niệm xác suất được đưa vào giảng dạy chương II có tên gọi là Tổ hợp
và xác suất trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Chương này được dạy
trong 20 tiết, gồm các nội dung sau:
- Hai quy tắc đếm cơ bản.
- Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
- Công thức nhị thức Newton.
- Biến cố và xác suất của biến cố.
- Các quy tắc tính xác suất.
- Xác suất có điều kiện.
- Phân bố xác suất của biến cố ngẫu nhiên rời rạc.
- Kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Mục tiêu về kỹ năng mà học sinh phải đạt được sau khi học chương II là:

“Biết vận dụng kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác
suất”. “Biết cách mô tả, xây dựng không gian mẫu, mô tả các biến cố có liên
quan với phép thử và tính xác suất của nó theo định nghĩa cổ điển”.
Phần Đại số tổ hợp đã được khẳng định là công cụ chủ yếu cho tính toán
xác suất: “Các bài toán về xác suất ở đây có liên quan chặt chẽ đến vấn đề tổ

20
hợp. Do đó, nếu học sinh có kỹ năng giải toán tổ hợp tốt thì có nhiều thuận lợi
khi giải các bài toán về tính xác suất.
2.1.2.1. Một số khái niệm liên quan đến khái niệm xác suất

a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:
* Trước khi đưa ra định nghĩa, sách giáo khoa đưa ra một ví dụ về một mô
hình rất quen thuộc đó là gieo súc sắc: “Khi gieo một con súc sắc, số chấm
trên mặt xuất hiện được coi là kết quả của việc gieo súc sắc. Ta nhận thấy
rằng rất khó dự đoán trước được kết quả của mỗi lần gieo. Nó có thể là bất
kỳ một con số nào trong tập hợp


6,5,4,3,2,1
. Ta gọi việc gieo súc sắc nói
trên là một phép thử ngẫu nhiên”.
Trong ví dụ này, sách giáo khoa cũng đã nêu ra một số đặc điểm của
hành động “gieo một con súc sắc”. Và hành động “gieo súc sắc” gọi là phép thử
ngẫu nhiên. Như vậy, với ví dụ này sách giáo khoa đã nêu ra một số thuộc tính
bản chất của khái niệm, hình thành biểu tượng về khái niệm, từ đây có thể phác
thảo được định nghĩa về phép thử ngẫu nhiên.
Qua đó, sách giáo khoa đã đưa ra định nghĩa như sau: Một phép thử ngẫu
nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
- Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau;
- Kết quả của nó không dự đoán trước được;
- Có thể xác định được tâp hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép
thử đó.
Phép thử thường được kí hiệu chữ T.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không
gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ

(đọc là ô-mê-ga).
* Sau cùng, sách giáo khoa đưa ra hai ví dụ kèm lời giải và hoạt động
1
H với

yêu cầu là tìm không gian mẫu của phép thử “gieo ba đồng xu phân biệt”. Đây là
dạng hoạt động để củng cố khái niệm không gian mẫu.
Như vậy, khái niệm phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu được đưa vào
tiến trình

công cụ đối tượng bằng con đường quy nạp.
b) Biến cố liên quan đến phép thử

21

* Sách giáo khoa đã sử dụng thuật ngữ “biến cố” ngay trong ví dụ 3 để dẫn
dắt đến khái niệm biến cố liên quan đến phép thử. “Giả sử T là phép thử
“gieo một con súc sắc”. Xét biến cố A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một
số chẵn”. Ta thấy việc xảy ra hay không xảy ra biến cố A tùy thuộc vào kết
quả của T. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T là 2, hoặc 4, hoặc
6. Do đó, biến cố A được mô tả bởi tập hợp


6,4,2
A
. Biến cố A được
gọi là biến cố liên quan đến phép thử T.
Cũng như ở phần trên, ví dụ này cũng nêu ra những đặc điểm của biến cố A
liên quan đến phép thử T. Sau đó, sách giáo khoa đưa ra tên gọi cho A là “biến
cố liên quan đến phép thử T”. Tiếp theo, sách giáo khoa đưa ra hoạt động
2
H :
“Xét biến cố B: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số lẻ” và biến cố C: “Số
chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố”. Hãy viết ra tập hợp
CB

 ,
mô tả
các biến cố B,C”
Việc đưa ra hoạt động này có tính chất luyện tập theo ví dụ mẫu.
* Sau đó, sách giáo khoa tổng quát lên thành định nghĩa: “Một biến cố A
liên quan đến phép thử T được mô tả bởi một tập con
A
 nào đó của không
gian mẫu

của phép thử đó. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T
thuộc tập hợp
A
 . Mỗi phần tử của
A
 được gọi là một kết quả thuận lợi
cho A”. Như vậy, sách giáo khoa cũng đã sử dụng tiến trình đối tượng


công cụ và con đường quy nạp để đưa vào khái niệm biến cố. Sách giáo
khoa không đồng nhất biến cố A với “tập hợp mô tả” nó mà có sự phân biệt
một cách rất thận trọng.
2.1.2.2. Về định nghĩa của khái niệm xác suất
Cấu trúc của tiến trình đưa vào khái niệm xác suất trong sách giáo khoa là:

Đ
ại số tổ hợp


Xác suất theo định nghĩa cổ điển

Xác suất theo định nghĩa thống kê

22

Trình tự này là hợp lí bởi vì nó tuân theo lịch sử hình thành khái niệm xác
suất.
* Sách giáo khoa đã sử dụng thuật ngữ “khả năng” trong lúc đặt vấn đề đi
đến khái niệm xác suất như sau: “Trong cuộc sống hàng ngày, khi nói về biến cố
ta thường nói về biến cố này có khả năng xảy ra hơn biến cố kia. Toán học đã
định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một con số
không âm, nhỏ hơn hay bằng 1 gọi là xác suất (phần chắc) của biến cố đó. Xác
suất của biến cố A được kí hiệu là


AP
. Nó đo lường khả năng khách quan sự
xuất hiện của biến cố A. Biến cố chắc chắn (biến cố luôn luôn xảy ra khi thực
hiện phép thử T) có xác suất bằng 1. Biến cố không thể (biến cố không bao giờ
xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác suất bằng 0”.
Ở đây, xác suất có nghĩa là “khả năng xảy ra” nó có dạng “một con số
không âm nhỏ hơn hay bằng 1”.
a) Định nghĩa cổ điển của xác suất
*Sau đó, sách giáo khoa đưa ra ví dụ 4 (đã được lược bỏ bảng liệt kê các
kết quả của phép thử: “Giả sử T là phép thử “Gieo hai con súc sắc”. Kết quả của
T là cặp số


yx, , trong đó

x
và
y
tương ứng là kết quả của việc gieo con súc sắc
thứ nhất và thứ hai. Xét biến cố A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai
con súc sắc là 7”.
Tập con
A
 của

mô tả A gồm 6 phần tử là:














1;6,2;5,3;4,4;3,5;2,6;1
A

Khi đó tỉ số
6

1
36
6

được gọi là xác suất của A”
Trong ví dụ này, sách giáo khoa đã đưa ra bảng liệt kê tất cả các kết quả có
thể xảy ra của phép thử, và phân tích các điều kiện về không gian mẫu hữu hạn
và các kết quả đồng khả năng xuất hiện: “Phép thử T có 36 kết quả có thể. Nếu
con súc sắc được chế tạo cân đối thì các mặt của con súc sắc đều có cùng khả
năng xuất hiện. Ta nói 36 kết quả của T là đồng khả năng”.

23

Xác suất của biến cố A trong ví dụ là tỉ số
36
6
(chính là tỉ số của số kết quả
thuận lợi cho biến cố A với tất cả các kết quả xảy ra).
* Sau ví dụ dẫn dắt trên, sách giáo khoa đưa ra định nghĩa “định nghĩa cổ
điển của xác suất” như sau: “Giả sử phép thử T có không gian mẫu

hữu hạn
và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan tới phép
thử T và
A
 là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số, kí hiệu
là


AP , được xác định bởi công thức:

 



A
AP , trong đó
A
 và  lần lượt
là số phần tử của tập hợp
A
 và

”.
* Sau đó, sách giáo khoa có đưa ra hai ví dụ củng cố có kèm theo lời giải.
Nhưng có một điều đáng lưu ý là, mặc dù định nghĩa có nêu rõ điều kiện sử
dụng nhưng trong lời giải của những ví dụ này sách giáo khoa hoàn toàn không
có bước kiểm tra các điều kiện đó.
Hơn nữa, trong sách giáo khoa cũng không nói đến việc khi nào có thể giả
thiết các kết quả đồng khả năng. Sách giáo viên có viết: “Thông thường đó là
khi mà ta không có một lí do nào đó để xem kết quả này có khả năng xảy ra
nhiều hơn kết quả kia. Chẳng hạn như: khi gieo con súc sắc chế tạo một cách
cân đối thì khả năng lật mặt sấp và mặt ngửa là như nhau; khi ta chọn ngẫu
nhiên một người trong một nhóm người một cách vô tư, không thiên vị thì khả
năng được chọn của mỗi người là như nhau; khi ta chia một cỗ bài túi lơ khơ thì
cỗ bài phải tráo thật kĩ thì kết quả mới đồng khả năng”.
Vậy là, qua một số ví dụ, sách giáo viên đã nêu lên cách nhận biết xem một
phép thử kết quả đồng khả năng hay không. Với cách trình bày như trên, sách
giáo khoa đã đưa định nghĩa cổ điển của xác suất vào theo tiến trình đối tượng

công cụ và bằng con đường quy nạp.

b) Định nghĩa thống kê của xác suất:
* Sách giáo khoa đã đưa ra định nghĩa như sau: “Xét phép thử T và biến cố
A liên quan đến phép thử đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và
thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần.

24
Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện
phép thử T.
Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực
hiện phép thử T.
Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của
A càng gần tới một số cố định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa
thống kê (số này cũng chính là


AP
trong định nghĩa cổ điển của xác suất)”.
Ngay sau định nghĩa, sách giáo khoa có nêu lên mối quan hệ giữa tần suất
và xác suất: “Như vậy, tần suất được xem như giá trị gần đúng của xác suất.
Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy,
tần suất còn được gọi là xác suất thực nghiệm”.
* Để minh họa cho định nghĩa thống kê cho xác suất, sách giáo khoa có
đưa ra ví dụ sau: “Ví dụ 7: Nếu ta gieo một đồng xu cân đối thì xác suất xuất
hiện mặt ngửa là 0,5. Buýp-phông (Buffon), nhà toán học người Pháp thế kỷ
XVIII, đã thí nghiệm việc gieo đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sau:
S
ố lần gieo

T
ần số xuất hiện

mặt ngửa
T
ần suất hiện

mặt ngửa
4040 2048 0,5070
12000 6019 0,5016
24000 12012 0,5005
Bảng 2.2
Đây là ví dụ liên quan đến thực nghiệm mà không gian mẫu hữu hạn và
các biến cố cũng đồng khả năng xuất hiện. Ví dụ này cho thấy rõ ràng khi số
phép thử càng lớn thì tần suất càng gần với xác suất (điều này được kiểm chứng
bởi xác suất trong trường hợp này tính theo định nghĩa cổ điển là 0,5). Nhưng nó
lại không cho học sinh thấy được sự cần thiết của việc sử dụng định nghĩa thống
kê của xác suất. Do đó học sinh chưa biết cách sử dụng định nghĩa thống kê vào
giải quyết vấn đề của thực tế.
* Sau ví dụ 7 sách giáo khoa có đưa ra hai hoạt động H3 và H4

25

Trong đó: H3 là hoạt động cũng cố định nghĩa thống kê của xác suất nhưng chỉ
là tính tần suất dựa trên các số liệu đã cho chứ không phải là một hoạt động thực
nghiệm. Hoạt động 4 là hoạt động duy nhất liên quan đến thống kê: “gieo con
súc sắc 100 lần. Ghi lại kết quả của việc gieo này và tính tần suất xuất hiện các
mặt 1,2,3,4,5,6 chấm”.
S
ố chấm xuất hiện

T

ần số

T
ần suất

1
2
3
4
5
6



Bảng 2.3
Rất tiếc là hoạt động này chỉ dừng lại ở mức độ cho học sinh lặp lại một
phép thử nhiều lần và tính tần số tần suất xuất hiện, mà chưa tiến xa hơn để tiếp
cận khái niệm xác suất theo con đường thực nghiệm. Sách giáo khoa đã đưa ra
định nghĩa thống kê của xác suất vào theo tiến trình đối tượng

công cụ và
bằng con đường suy diễn.
Tóm lại, từ phân tích trên cho thấy:
- Sách giáo khoa chỉ đặt trọng tâm vào việc vận dụng kiến thức của đại số
tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển. Việc trình bày định nghĩa thống
kê của xác suất đã không được chú trọng đúng mức. Khái niệm xác suất không
được học sinh tiếp cận qua con đường thực nghiệm mà sách giáo khoa “chỉ giới
thiệu định nghĩa thống kê của xác suất, xem kết quả của xác suất thực nghiệm
qua thống kê như một chứng minh thực tế có tính thuyết phục cho giá trị xác
suất tìm được theo định nghĩa cổ điển”.

- Sách giáo khoa có thể hiện được mối quan hệ giữa xác suất và tần suất
“tần suất được xem là giá trị gần đúng của xác suất”, nhưng mối quan hệ giữa
thống kê và xác suất dường như không được thiết lập trong lý thuyết.