CÂU hỏi CHỨA đáp án CHUYÊN đề 19 (DẠNG 5 6 7 8)

Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN
Dạng 5.1 Hàm số tường minh
e

I = ∫ x ln xdx

Câu 163. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phân
e2 − 1
e2 − 2
1
I=
I=
I=
2
4
2
A.
B.
C.

1

:
I=
D.

e2 + 1
4

Lời giải
Chọn D

e

I = ∫ x ln xdx
1

. Đặt
e

1

du = dx

u = ln x

x
⇒

2
dv = xdx v = x

2

e

e

e

x2

1 x2
e2 1
e2 x2
e2 e2 1 e2 + 1
⇒ I = ln x − ∫ . dx = − ∫ xdx = −
= − + =
2
x 2
2 20
2 4 0 2 4 4
4
0
0

.

e

∫ ( 1 + x ln x ) dx = ae

2

+ be + c

1

Câu 164. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho
c
là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a+b = c

a + b = −c
a −b = c
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn C
e

e

e

e

1

1

1

1

∫ ( 1 + x ln x ) dx = ∫ 1.dx + ∫ x ln x dx = e − 1 + ∫ x ln x dx
Ta có

Đặt

1


u = ln x ⇒ du = x dx

2
dv = x.dx ⇒ v = x

2
1

.

với

D.

a b
, ,

a − b = −c


e

Khi đó

e

e
x2
1
e2 1 2

x
ln
x
d
x
=
ln
x
−
x
d
x
=
− x
∫1
2
2 ∫1
2 4
1

e

1

Suy ra
Vậy

2

∫ ( 1 + x ln x ) dx = e − 1 + e4 + 14

a −b = c

=

e2
3
+e−
4
4

e
1

e2 e2 1
e2 1
= − + = +
2 4 4
4 4

a=

nên

.

1
3
c=−
4 b =1

4
,
,
.

.
e

∫ ( 2 + x ln x ) dx = ae
Câu 165. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho
các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
a+b = c
a −b = c
A.
B.

2

+ be + c

1

với
C.

a − b = −c

D.

a , b, c

a + b = −c

Lời giải
Chọn B
e

Ta có

e

e

e
2
+
x
ln
x
d
x
=
2d
x
+
x
ln
x
d
x

=
2
x
+ I = 2e − 2 + I
(
)
∫1
∫1
∫1
1

e

I = ∫ x ln xdx
với

1

du = x dx
⇒
2
u = ln x
v = x


dv = xdx
2

Đặt

⇒I=

e ex
e x 2 e e2 1
x2
x2
e2 + 1
ln x − ∫ dx =
ln x −
= − ( e 2 − 1) =
1 12
1 4 1 2 4
2
2
4

e

⇒ ∫ ( 2 + x ln x ) dx = 2e − 2 +
1

e2 + 1 1 2
7
= e + 2e −
4
4
4

1


a = 4

⇒ b = 2

7
c = −
4 ⇒ a−b = c

2

1

là


1

∫ ( x − 2) e
Câu 166. [2D3-2.3-1] Tích phân

−5 − 3e
.
4

dx

0

2

A.

2x

bằng

5 − 3e
.
4
2

B.

C.

5 − 3e2
.
2

D.

5 + 3e2
.
4

Lời giải

Đặt

du = dx

u = x − 2

⇒

1 2x .
2x
dv = e dx v = e

2

Suy ra
1

1

1

1 2x
1 2x
∫0 ( x − 2 ) e dx = ( x − 2 ) 2 e 0 − ∫0 2 e dx
2x

1

1 2
1 2x
1 2
1 2 1
3 2 5 5 − 3e 2
= − e +1− e

= − e +1− e + = − e + =
.
2
4
2
4
4
4
4
4
0
Câu 167. [2D3-2.3-2] (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Biết rằng tích phân
1

∫ ( 2 x +1) e dx = a + b.e
x

0

A.

−15

.

a.b
, tích
bằng
−1
B.

.

C. 1.

D. 20.

Lời giải
Chọn

C.

Điều kiện:

a b∈¢
,
.

Đặt
1

u = 2 x + 1
du = 2dx
⇒


x
x
dv = e dx
v = e

.
1

⇒ ∫ ( 2 x +1) e x dx = ( 2 x +1) e x − 2 ∫ e x dx
0

1

0

0

3

= ( 2 x − 1) e x

1
0

= 1+ e = a + b.e

.


a = 1
⇒
b = 1

. Vậy tích

a.b = 1

.

Câu 168. [2D3-2.3-2] (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01)
2

ln x
b
dx = + a ln 2
2
x
c
1

I =∫
Cho tích phân

với

a

là số thực,

b

và

c

là các số dương, đồng

b
c

P = 2a + 3b + c
thời là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
P=6
P=5
P = −6
A.
.
B.
.
C.
.

P=4

D.

.

Lời giải

Đặt

dx


 u = ln x  du =
2
− ln x 2
1


 − ln x −1  2 1 ln 2
x
⇒I =
+ ∫ 2 dx = 
+ ÷ = −

dx ⇒ 
x 1 1x
x 1 2 2
 x
 dv = x 2
 v = −1
x


⇒ b = 1, c = 2, a =

−1
⇒ P = 2a + 3b + c = 4
2

.

Câu 169. [2D3-2.3-2] (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho tích

π
4

I = ∫ ( x − 1) sin 2 xdx.

phân

0

Tìm đẳng thức đúng?
π
4

I =−

I = − ( x − 1) cos2 x − ∫ cos2 xdx
0

A.
.
I =−

C.

1
( x − 1) cos2 x
2

π
4

0

.

+

1
( x − 1) cos2 x
2

B.

π
4

1
cos2 xdx
2 ∫0

I = − ( x − 1) cos2 x

.
Lời giải

4

D.

π
4

0

π
4

π
4

− ∫ cos2 xdx
0

0

π
4

+ ∫ cos2 xdx
0

.


Đặt

u = ( x − 1)

dv = sin 2 xdx
π
4

, ta có

I = ∫ ( x − 1) sin 2 xdx = −
0

du = dx


1
v = − 2 cos 2 x
π
4

1
( x − 1) cos 2 x
2

. Do đó:
+

0

π
4

1
cos 2 xdx
2 ∫o

.

Câu 170. [2D3-2.3-2] (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng tồn tại duy nhất
3

các bộ số nguyên
a+b+c
bằng
19
A. .

a , b, c

B.

∫ ( 4 x + 2 ) ln xdx = a + b ln 2 + c ln 3
sao cho
−19

2

. Giá trị của

.

C.

5

.

D.

−5

.

Lời giải

Đặt

1

ln x = u ⇒ dx = du
x

( 4 x + 2 ) dx = dv ⇒ 2 x 2 + 2 x = v


Khi đó
3

3
3
7
∫2 ( 4 x + 2 ) ln xdx = ln x. ( 2 x + 2 x ) 2 − 2∫2 ( x + 1) dx = 24 ln 3 −12 ln 2 − 2. 2 = −7 −12 ln 2 + 24 ln 3
2

.
Vậy

a = −7; b = −12; c = 24 ⇒ a + b + c = 5

.
ln ( 1 + x )
∫1 x2 dx = a ln 2 + b ln 3
2

Câu 171. [2D3-2.3-2] (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho
a, b

P = a + 4b
là các số hữu tỉ. Tính
.
P =0
P =3
P =1
A.
B.
C.
Lời giải
với

5

D.

P =- 3

,

2
2
2
ln ( 1 + x )
−1
1 −1
 −1 ′
∫1 x 2 dx = ∫1 ln ( 1 + x )  x ÷ dx = ln ( 1 + x ) . x 1 − ∫1 x + 1 . x dx

2

2

2

=

−1
1
1
ln 3 + ln 2 + ∫ dx − ∫
dx = −1 ln 3 + ln 2 − ln ( 1 + x ) 2 + ln x 2
1
1
2
x
x +1
2
1

1

=

−1
−3
−3
ln 3 + ln 2 − ln 3 + 2 ln 2 =
ln 3 + 3ln 2 ⇒ a = 3, b =
2
2
2

Vậy

a + 4b =- 3

.

.

Câu 172. [2D3-2.3-2] (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tính tích phân
21000

I=

ln x

∫ ( x + 1)

2

dx

1

I =−
A.
I=
C.

, ta được

1000

ln 2
2
+ 1001ln
1000
1+ 2
1 + 21000

ln 21000
2
− 1001ln
1000
1+ 2
1 + 21000

I =−

.

B.
I=

.

D.

1000 ln 2
21000
+
ln
1 + 21000
1 + 21000

1000 ln 2
21000
−
ln
1 + 21000
1 + 21000

.

.

Lời giải
Chọn A

Đặt

dx

u = ln x
du =



x
dv = dx ⇒ 
2

v = − 1
( x + 1)


x +1
21000

21000

ln x
⇒I =−
x +1 1

=−

+

∫
1

1 dx
ln 21000
. = − 1000
+
x +1 x
2 +1

21000

∫
1

1000 ln 2
21000
1
1000 ln 2
21001
ln 21000
2
+
ln
−
ln
=
−
+
ln

−
+ 1001ln
1000
1000
1000
1000
1000
2 +1
2 +1
2
2 +1
2 +1
1+ 2
1 + 21000
=
.

6

21000

1 
1000 ln 2
x
1
+ ln
 −
÷dx = − 1000
2 +1
x =1 1

 x x +1


2

∫ 2 x ln ( x + 1) dx = a.lnb
Câu 173. [2D3-2.2-2] (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Biết

0

a, b ∈ ¥ * b
6 a + 7b
với
, là số nguyên tố. Tính
.
6a + 7b = 33
6a + 7b = 25
6a + 7b = 42
A.
.
B.
.
C.
.
6a + 7b = 39
.

,

D.

Lời giải
2

I = ∫ 2 x ln ( x + 1) dx
0

Xét

.

1

dx
u = ln ( x + 1)
du =
⇔
x +1

 dv = 2 xdx
v = x 2 − 1


Đặt

.
2

2
 x2


x2 −1
I = ( x − 1) ln ( x + 1) | − ∫
dx = 3ln 3 − ∫ ( x − 1) dx = 3ln 3 −  − x ÷ = 3ln 3
x +1
 2
0
0
0
2

2

Ta có
Vậy
Câu 174.

2
0

a = 3, b = 3 ⇒ 6a + 7b = 39

.

.

[2D3-2.3-2] (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Biết rằng
a

∫ ln xdx = 1 + 2a, ( a > 1) .

1

A.

a ∈ ( 18;21)

.

Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
a ∈ ( 1; 4 )
a ∈ ( 11;14 )
a ∈ ( 6;9 )
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Đặt

1
⇒ du = dx
u = ln x
x

dv = dx ⇒ v = x

7

a

a

1

1

∫ ln xdx = a.ln a − ∫ dx = a ln a − a + 1 = 1 + 2a
Ta có

⇒ a ln a = 3a ⇔ ln a = 3 ⇔ a = e3 .

Vậy
Câu 175.

a ∈ ( 18; 21) .

[2D3-2.3-2] (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Cho tích phân
1

∫ ( x − 2)e dx = a + be
x

0

, với

1
A. .

a; b∈ ¢

B.

−3

. Tổng

a+ b

.

bằng
5
C. .

D.

−1

.

Chọn A
Đặt
1
1
1

u = x − 2
 du = dx
x
x 1
⇒
⇒
(
x
−
2)
e
d
x
=
(
x
−
2)
e
−
e x dx= − e + 2 − e x = 3 − 2e = a + be


∫
∫
x
x
0
0
 dv = e dx v = e

0
0

với

a; b ∈ ¢ ⇒ a = 3, b = −2 ⇒ a + b = 1

Câu 176. [2D3-2.3-2] (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tính
2

I = ∫ xe x dx
1

tích phân
I = e2
A.
.
I = 3e 2 − 2e

.
B.

I = −e 2

.

C.

.
Lời giải

Chọn A

Đặt

u = x
 du = dx
⇒


x
x
dv = e dx v = e

8

I =e

.

D.


2

I = ∫ xe dx = xe
x

1

2

x 2
1

− ∫ e x dx = 2e 2 − e − e x

2
1

1

= 2e 2 − e − ( e 2 − e ) = e 2
.

Câu 177. [2D3-2.3-2] (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)
3

∫ x ln x dx = m ln 3 + n ln 2 + p
Biết rằng
5
4
A. .

2

trong đó
9
2

B.

.

m, n, p ∈ ¤

0

C.

. Tính

m+ n+ 2p

−
.

D.

5
4

.

Lời giải
Chọn C
1

du = dx


u = ln x

x
⇒

2
dv = xdx v = x

2

Đặt

3

3

.
3

3

x2
1
x2
x2
x
ln
x
d
x

=
ln
x
−
x
d
x
=
ln
x
−
∫
2
2 ∫2
2
4
⇒2
2
2
m+ n + 2p = 0

Suy ra

3

2

9
5
= ln 3 − 2 ln 2 −

2
4

.

.

Câu 178. [2D3-2.3-2] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 2 NĂM 2018-2019) Biết
2

∫ 2 x ln ( 1 + x ) dx = a.ln b
0

A.

42

.

a, b ∈ ¥ * b
3a + 4b
, với
, là số nguyên tố. Tính
.
32
21
12
B.
.
C. .

D.
.
Lời giải

2

I = ∫ 2 x ln ( 1 + x ) dx

Xét

0

. Đặt

1

du =
dx

u = ln ( 1 + x ) ⇒ 
1+ x

 v = x 2 − 1
 dv = 2 xdx

9

.

Ta có:

2

2

x2 −1
I = ( x − 1) ln ( x + 1) − ∫
dx = 3ln 3 − ∫ ( x − 1) dx
0
x +1
0
0
2

2

2

 x2

= 3ln 3 −  − x ÷ = 3ln 3
 2
0

.

a = 3 b = 3 ⇒ 3a + 4b = 21
,
.

Vậy

Câu 179. [2D3-2.3-2] (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho tích phân
2

ln x
b
dx = + a ln 2
2
x
c
1

I =∫

với

a

là số thực,

b

và

c

là các số nguyên dương, đồng thời

b
c

P = 2a + 3b + c
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
P=6
P = −6
P=5
A.
B.
C.

D.

P=4

Lời giải

Đặt

1

du = .dx
u = ln x



x
⇒


1
dv = x 2 .dx v = − 1
x

2

Ta có
đó

2

2

1
−1
1
1 1
 −1

I =  .ln x ÷ + ∫ 2 dx = ln 2 −
= − ln 2 ⇒ b = 1, c = 2, a = − 1
2
x1 2 2
 x
1 1 x
2

 −1 
P = 2  ÷+ 3.1 + 2 = 4

 2

.

π
3

x
3
dx =
π − ln b
2
cos x
a
0

I =∫

Câu 180. [2D3-2.3-3] Biết
11
A. .

B.

7

.
10

. Khi đó, giá trị của

13
C. .

a2 + b

bằng
9
D. .

. Khi


Lời giải

Đặt

u = x
du = dx

⇒
1

dv = cos 2 x dx v = tan x

I = x tan x

π
3
0

π
3

− ∫ tan xdx =
0

=

π 3
+ ln cos x
3

Câu 181.

[2D3-2.3-3]

∫ ln ( x

2

π
3
0

=

π
3

π

3

π
sin xdx π 3
d(cos x)
. 3−∫
=
+∫
3
cos x
3
cos x
0
0

π 3
1
π 3
+ ln − ln1 =
− ln 2
⇒ a = 3; b = 2
3
2
3

(TT

HOÀNG

HOA

− x ) dx = F ( x ) , F ( 2 ) = 2 ln 2 − 4

bằng
3ln 3 − 3
A.
.

B.

3ln 3 − 2

THÁM

. Khi đó

.

C.

-

. Vậy

a 2 + b = 11

2018-2019)

Cho

3
 F ( x ) + 2 x + ln ( x − 1) 
I = ∫
dx
x
2


3ln 3 − 1

.

D.

3ln 3 − 4

Lời giải

Đặt

 ′ 2x − 1
u = ln ( x 2 − x )
u = 2
⇒
x −x

v′ = 1

 v = x

Suy ra

F ( x ) = ∫ ln ( x 2 − x ) dx = x ln ( x 2 − x ) − ∫
F ( 2 ) = 2 ln 2 − 4 ⇒ C = 0

Khi đó:

suy ra

2x −1
dx =x ln ( x 2 − x ) − 2 x − ln x − 1 + C
x −1

F ( x ) = x ln ( x 2 − x ) − 2 x − ln x − 1

3
3
 F ( x ) + 2 x + ln ( x − 1) 
I = ∫
d
x
=
ln ( x 2 − x ) dx

∫
= F ( 3) − F ( 2 ) = 3ln 3 − 2
x

2 
2

11

.

.


Câu 182. [2D3-2.3-3] (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02)
π
3

x
3
dx =
π − ln b
2
cos x
a
0

I =∫

Biết

a, b

, với

là các số nguyên dương. Tính giá trị của

T = a + b.
2

biểu thức
T =9
A.
.

B.

T = 13

.

C.

T =7

.

D.

T = 11

.

Lời giải
π
3

π
3

x
1
dx = ∫ x.
dx.
2
cos x
cos 2 x
0
0

I=∫

Xét

Đặt

.

u = x
du = dx

⇔
.
1

dv =

dx
v = tan x

2
cos x

π

π

π 3
π 3
π
1
3
I = x.tan x 3 − ∫ tan xdx = x.tan x 3 + ∫
d ( cos x ) =  x tan x + ln ( cos x )  3 =
π − ln 2.
cos
x
3
0 0
0 0
0

Suy ra
Câu 183.

a = 3
⇒ T = a 2 + b = 11.


b
=
2


[2D3-2.3-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho
2

∫

ln ( 1 + 2 x )

1

x

2

a + 2( b + c)
A. 0.

dx =

a
ln 5 + b ln 3 + c ln 2
2
, với

a

,

b

,

c

là các số nguyên. Giá trị của

là:
B. 9.

C. 3.
Lời giải

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần:

12

D. 5.


Đặt:

2

du =
dx

u = ln ( 1 + 2 x )

2x + 1


⇒

1
dv = 2 dx
chän v = − 1 − 2 = − ( 2 x + 1)
x


x
x

.

2
ln ( 1 + 2 x )
− ( 2 x + 1)
2
⇒∫
dx =
×ln ( 1 + 2 x ) + ∫ dx
2
x
x
x
1

1
1
2

2

 5

=  − ln 5 + 3ln 3 ÷+ 2 ln x
 2

=

−5
ln 5 + 3ln 3 + 2 ln 2
2

2
1

.

⇒ a = −5 b = 3 c = 2
,
,
.
Vậy

a + 2( b + c) = 5

.

ln ( 1 + x )
dx = a ln 2 + b ln 3
2
x
1
2

∫
Câu 184. [2D3-2.3-3] Cho
.
3
P=
2
A.
.

B.

P=0

, với

P=
.

C.
Lời giải

ln ( 1 + x )
dx = a ln 2 + b ln 3
x2
1
2

I =∫
Ta có

Đặt

a b
P = ab
, là các số hữu tỉ. Tính

.

1

dx
u = ln(1 + x) du =


1+ x
⇒

1

dv = x 2 dx
v = − 1 .

x


13

−9
2

.

D.

P = −3

.


Khi đó

2
2 1
1
1
1
1 
2
I = − ln (1 + x) 1 + ∫
dx = − ln 3 + ln 2 + ∫  −
÷dx
1

1
x
x (1 + x )
2
 x 1+ x 

2

1
x 
1
3

= − ln 3 + ln 2 +  ln
÷ = − ln 3 + ln 2 + 2 ln 2 − ln 3 = 3ln 2 − ln 3.
2
2
2
 x +1 1

Suy ra
Câu 185.

a =3

b=−
,

3
2

P = ab =
. Vậy

−9
2

.

[2D3-2.3-3] (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Cho tích phân
1

∫ ( x − 2)e dx = a + be
x

0

, với

1
A. .

a; b ∈ ¢

B.

−3

. Tổng

a+ b

.

bằng
5
C. .

D.

−1

.

Lời giải
Chọn

A.

Đặt
1
1
1
1
u = x − 2
 du = dx
x
x
x
x

⇒
⇒
(
x
−
2)
e
d
x
=
(
x
−
2)
e
−
e
d
x=
−
e
+
2
−
e
= 3− 2e =a + be


∫
∫

x
x
0
0
dv = e dx  v = e
0
0

a; b∈ ¢ ⇒ a = 3, b = −2 ⇒ a + b = 1

với
Câu 186.

[2D3-2.3-3] (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
π
4

ln ( sin x + 2 cos x )
dx = a ln 3 + b ln 2π+ c
2
cos
x
0

∫

với

a b c
, ,

là các số hữu tỉ. Giá trị của

abc

A.

bằng
15
8

B.

5
8

C.
Lời giải

Chọn A
14

5
4

D.

17
8

Đặt

cos x − 2sin x

u = ln ( sin x + 2 cos x ) ⇒ du = sin x + 2 cos x dx

dv = dx ⇒ v = tan x + 2

cos 2 x

π
4

⇒∫

ln ( sin x + 2 cos x )
2

cos x

0

π
4

dx

= ( tan x + 2 ) ln ( sin x + 2 cos x )

π

4
0

cos x − 2sin x
dx
cos x
0

−∫

π

4
3 2 
= 3ln 
−
2
ln
2
− ∫ ( 1 − 2 tan x ) dx = 3ln 3 − 7 ln 2
÷
÷
− ( x + 2 ln cos x )
2


0
2

π

4
0

7
π
2
5π
5
1
= 3ln 3 − ln 2 − − 2 ln
= 3ln 3 − ln 2 −
b=−
c=−
2
4
2
2
4 ⇒a=3
2
4
,
,
.

Vậy
Câu 187.

abc = 18

.

[2D3-2.3-3] (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Biết
12

1  x + 1x
a dc

1
+
x
−
e
dx
=
e
÷
∫1 
x
b

12

trong đó

a c
,
b d

là tối giản. Tính

A. 12.

bc − ad

a, b, c, d

là các số nguyên dương và các phân số

.

B. 1.

C. 24.

D. 64.

Lời giải
12

12

12

12

12

12

1   x+ 1

 
I = ∫  x  1 − 2 ÷+ 1 e x dx =
x  
1  

Ta có:

Đặt:

1
x+
1  x + 1x

x
1
−
e
dx
+
e
∫1  x 2 ÷
∫1 x dx

u = x
du = dx


1
1
1  x+ x → 



x+
 dv =  1 − x 2 ÷e dx  v = e x




15

.

.


12

∫

I=

1
12

Khi đó:
12 +

= 12e

Vậy:

Câu 188.

1
12

−

1 12+121 143 145
e
=
e 12
12
12

12

12

1
12

x + ln ( x + 1)

∫ ( x + 2)

2

(THPT

dx =

0

12

−∫e

YÊN

a c
+ ln 3
b d

1
12

Dó đó:

Tính
7
A. .

1
x

12

dx + ∫ e

∫ ( x + 2)

2

0

Ta có
2

KHÁNH

A

-

a, c ∈ ¢; b, d ∈ ¥ * ;

LẦN

ac
bd

−7

.

C.

3

2

2
2
ln ( x + 1)
1
2
dx = ∫
dx − ∫
d
x
+
2
∫0 ( x + 2 ) 2 dx
x+2
0
0 ( x + 2)

2

0

Đặt

ln ( x + 1)

( x + 2)

2

2018)

D.

2

2

I =∫

-

.

dx
.

1

u = ln ( x + 1)
du =
dx

x +1


⇒
1
dv =
−1

x +1
dx 
2

v
=
+
1
=
x
+
2
(
)

x+2

( x + 2)

16

.

Cho

là các phân số tối giản).

.

1

2
2 
1

∫0 x + 2 dx − ∫0 ( x + 2 ) 2 dx =  ln x + 2 + x + 2 ÷ 0 = ln 2 − 2
2

dx

1
12

Lời giải

x + ln ( x + 1)

1
x

.
B.

2

x+

bc − ad = 12.145 − 143.12 = 24

(với

P = ( a + b) ( c + d )

x+

.

a = 143; b = 12; c = 145; d = 12.

[2D3-4.9-3]
2

12

1
1
x+
x+
1  x + 1x

x
x  1 − 2 ÷e dx + ∫ e dx = x.e x
x 

1

.

−3

.

2

Suy ra

2
 ( x + 1) ln( x + 1) 
1
3
I = 
−
dx = ln 3 − ln 2
÷
∫
÷
4
( x + 2)  0 0 ( x + 2)


2

x + ln ( x + 1)

∫ ( x + 2)

2

0

Do đó

.

1 3
dx = − + ln 3
2 4
⇒ P = ( −1 + 2 ) ( 3 + 4 ) = 7

.

Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn)
Câu 189. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số
1

A.

và
I =1

thỏa mãn

1

∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10
0

f ( x)

2 f ( 1) − f ( 0 ) = 2

∫ f ( x ) dx
. Tính

I = −8

B.

0

C.

.
I = −12

D.

I =8

Lời giải
Chọn B

Đặt

u = x + 1
du = dx
⇒

dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )

1

I = ( x + 1) f ( x ) 0 − ∫ f ( x ) dx
1

0

. Khi đó

1

1

0

0

.

10 = 2 f ( 1) − f ( 0 ) − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = −10 + 2 = −8

Suy ra
1

∫ f ( x ) dx = −8
Vậy

0

.

Câu 190. [2D3-2.3-2] (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số
2

liên tục trên
I = 20
A.

¡

0

B.

I =7

C.
Lời giải

17

có đạo hàm

1

f (2) = 16, ∫ f ( x)dx = 4

và thỏa mãn

y = f ( x)

I = ∫ xf ′(2 x)dx

. Tính
I = 12

0

.
D.

I = 13


1

I = ∫ xf ′(2 x)dx =
0

Ta có:

1

1

1

1
1
1

1
xf ( 2 x ) − ∫ f ( 2 x ) dx = f (2) − ∫ f ( 2 x ) d ( 2 x )
2
2
40
0
0 2

2

1
1
1
1
I = f (2) − ∫ f ( x) dx = .16 − .4 = 7
2
40
2
4

.

Câu 191. [2D3-2.4-3] (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

[ 0;1]

f ( x)
hàm số
1

∫  f ' ( x ) 
0

và

A.

5
12

có đạo hàm liên tục trên
2

dx =

.

1
7

∫

1

0

thỏa mãn

x 2 f ( x ) dx = −

1
21

,

f ( 1) = 0

1

∫ f ( x ) dx
0

. Giá trị của
1
−
5
B.
.

bằng

C.

4
5

−

.

D.

7
10

Lời giải

Đặt
g−

du = f ' ( x ) dx

u = f ( x )

⇒
.

x3
2
dv
=
x
dx

v =

3


1

1
1
1
x3
= ∫ x 2 f ( x ) dx = ∫ udv = uv 10 − ∫ vdu =
f ( x)
0
0
21 0
3

=−

1
1 1 3
1
x f ' ( x ) dx ⇒ ∫ x 3 f ' ( x ) dx =
∫
0
3 0
7

1
0

−∫

1

0

x3
f ' ( x ) dx
3

.

1
1
1
1
2
2
1
1 1
g∫ ( x 3 − f ' ( x ) ) dx = ∫ x 6 dx − 2∫ x 3 f ' ( x ) dx + ∫  f ' ( x )  dx = − 2. + = 0
0
0
0
0
7
7 7

⇒ ( f ' ( x ) − x 3 ) = 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ f ' ( x ) = x 3 , ∀x ∈ [ 0;1]
2

Kết hợp điều kiện

f ( 1) = 0

f ( x) =

ta có

18

.

1 4
( x − 1) ; ∀x ∈ [ 0;1]
4

.


Vậy

1
∫ f ( x ) dx = ∫ 4 ( x
1

1

0

0

− 1) dx =

4

1 1 4
1
x − 1) dx = −
(
∫
4 0
5

.

Câu 192. [2D3-4.4-3] (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01)
Cho hàm số

f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

1

I = ∫  f ( x ) tan 2 x + f ′ ( x ) tan x  dx
0

. Tính tích phân

A.

−1

.

và thỏa mãn
1

∫ f ( x ) dx = 1, f ( 1) = cot1
0

¡

B.

1 − ln ( cos1)

.

.

C. 0.

D.

1 − cot1

.

Lời giải
1

1

1

0

0

0

2
2
∫  f ( x ) tan x + f ′ ( x ) tan x  dx = ∫ f ( x ) tan xdx + ∫ f ′ ( x ) tan xdx

Ta có

.

Lại có:
1

∫
0

1

∫
0

1
1
1

1
f ( x)
f ( x)
 1

f ( x ) tan 2 xdx = ∫ f ( x ) 
−
1
d
x
=
d
x
−
f
x
d
x
=
dx − 1
(
)
÷
2
2
∫
∫
∫
cos x
cos 2 x

 cos x 
0
0
0
0

1

1

1

0

0

0

.

f ′ ( x ) tan xdx = ∫ tan xd ( f ( x ) ) = f ( x ) .tan x − ∫ f ( x ) d ( tan x )
1

= f ( 1) . tan1 − ∫
0

f ( x)
2

cos x

1

dx = cot1.tan1 − ∫
0

f ( x)
2

cos x

1

dx = 1 − ∫
0

f ( x)
cos 2 x

dx

.

I = 0.
Vậy
Câu 193. [2D3-2.3-3] (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
hàm số
1

f ( x)

2
∫ x f ( x ) dx =
0

A.

có đạo hàm liên tục trên đoạn

thỏa mãn

f ( 1) = 0

1

1
3

∫ x f ' ( x ) dx .
3

Tính
−1

[ 0 ;1]

0

B.

1

C.
Lời giải

Chọn A
19

3

D.

−3

,


u = f ( x) ⇒ du = f '( x)dx


x3
2
dv
=
x
dx
⇒
v
=


3

I=

1 3
1 1 x3
x3
13
x
f ( x) − ∫ f '( x)dx = f (1) − 0. f (0) − ∫ f '( x) dxα
0 0 3
3
3
3
0
1

1

1 −1 3
=
x f '( x )dx ⇒ ∫ x 3 f '( x)dx = −1
3 3 ∫0
0

Câu 194. [2D3-2.4-3] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số

y = f ( x)
1

∫

có đạo hàm liên tục trên đoạn

f 2 ( x ) dx =

0

9
2

1

và

∫

f ′ ( x ) cos

0

6
A. π

πx
3π
dx =
2
4

2
B. π

[ 0;1]

và thỏa mãn

f ( 0) = 0

. Biết

1

. Tích phân
4
C. π

∫ f ( x ) dx
0

bằng
1
D. π

Lời giải
1

1

∫

Ta có:

f ( x )sin

0

1

∫ ( f ( x) − 3sin
0

1
1
1
π 2
π
π
x) dx = ∫ f 2 ( x )dx − 6 ∫ f ( x)sin xdx + 9 ∫ sin 2 xdx = 0
2
2
2
0
0
0

Từ đây ta suy ra
Câu 195.

(THPT
π

2

1
π
2
π
2
π
3
xdx = − f ( x).cos x + ∫ f '( x ).cos xdx =
2
π
2 0 π 0
2
2

1
1
π
π
6
f ( x) = 3sin x ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ 3sin xdx =
2
2
π
0
0

NĂM

2018-2019

∫ x ( cos x + 2m ) dx=2π
0

A.

m≤0

.

2

+

LẦN

04)

Biết

m

là

.

số

thực

thỏa

mãn

π
−1
2

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
03< m≤6
B.
.
C.
.
Lời giải

20

D.

m>6

.


π
2

Ta có:

π
2

π
2

mπ 2
∫0 x ( cos x + 2m ) dx= ∫0 x cos xdx + ∫0 2mxdx = ∫0 x cos xdx + 4
π
2

Gọi

π
2

I = ò x cos xdx
0

π
2
0

. Đặt

u=x
ïìï
Þ

í
ïïî dv = cos xdx

ïìï du = dx
í
ïîï v = sin x

π
2

∫ x ( cos x + 2m ) dx=
0

.

m
=2⇔ m=8
4

.

Câu 196. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hàm số

trên

.

mπ 2 π
+ −1
4

2

Khi đó:

[ 0;1]

.

π
2

π
π
π
I = x sin x | - ò sin xdx = + cos x |02 = - 1
2
2
0

Suy ra

.

f ( 1) = 0,

1

∫ [ f ′( x)]

2

có đạo hàm liên tục

1

∫x

dx = 7

0

thỏa mãn

y = f ( x)

và

2

f ( x)dx =

0

1
3

. Tính tích phân

1

∫ f ( x)dx
0

A.

4

B.

7
5

C.

1

Lời giải
Chọn B

x3
2
dv
=
x
dx
⇒
v
=
u = f ( x ) ⇒ du = f ′ ( x ) dx
3

Cách 1: Đặt
,
.
21

D.

7
4


1

Ta có

1

1

1 x3
x3
=
f ( x) − ∫
f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x 3 f ′ ( x ) dx = −1
3 3
3
0
0
0
1

1

∫ 49 x dx = 7, ∫ [ f ′( x)]
6

Ta có

0

0

2

1

dx = 7, ∫ 2.7 x . f ′ ( x ) dx = −14 ⇒ ∫ 7 x 3 + f ′( x)  dx = 0

⇒ 7 x 3 + f ′( x) = 0 ⇒ f ( x ) = −

0

2

0

7 x4
+C
4

 7 x4 7 
7
⇒ ∫ f ( x )dx = ∫  −
+ ÷dx =
4
4
5
0
0
1

1

3

f ( 1) = 0 ⇒ C =

, mà

7
4

1

.

Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau:
2

b

b
 b 2
2
f
x
g
x
dx
≤
f
x
dx
.
 ∫ ( ) ( ) ÷ ∫ ( ) ∫ g ( x ) dx
a
a
 a

Dấu bằng xảy ra khi

f ( x ) = k .g ( x ) , ( ∀x ∈ [ a; b ] , k ∈ R )
2

Ta có

1
 1 x6 1
2
1  x3
1

= ∫
f ′ ( x ) dx ÷ ≤ ∫ dx.∫  f ′ ( x )  dx =
9 0 3
9
 0 9 0

f ′ ( x ) = k.

x3
3

. Dấu bằng xảy ra khi

.

1

Mặt khác
1

∫
Từ đó

0

x3
−1
3
∫0 3 f ′ ( x ) dx = 3 ⇒ k = 21 ⇒ f ′ ( x ) = −7 x

 7 x4 7 
7
f ( x)dx = ∫  −
+ ÷dx =
4 4
5
0
1

.

22

f ( x) = −
suy ra

7 x4 7
+
4
4

.


Câu 197. [2D3-2.4-4] (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số

y = f ( x)
1

∫

0

có đạo hàm liên tục trên đoạn

1
f ( x ) dx = ,
2
2

π
f ′ ( x ) cos ( π x ) dx =
2

1

∫
0

π

A. .
Lời giải

B.

0

Xét tích phân

. Biết

.
2
π

.

D.

1
π

.

π
2

u = cos ( πx )
du = −π sin ( πx ) dx
⇒

dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )

Đặt

0

C.

I = ∫ f ′ ( x ) cos ( π x ) dx =

và

∫ f ( x ) dx

.

1

f ( 0 ) + f ( 1) = 0

1

. Tính
3π
2

[ 0;1]

, ta có

1

1

1

0

0

0

I = f ( x ) cos ( πx ) 0 + π∫ f ( x ) sin ( πx ) dx = − f ( 1) − f ( 0 ) + π∫ f ( x ) sin ( πx ) dx = π ∫ f ( x ) sin ( πx ) dx
1

1

I=

Mà

1

π
π
1
⇔ π∫ f ( x ) sin ( πx ) dx = ⇔ ∫ f ( x ) sin ( πx ) dx =
2
2
2
0
0
1

1

1

1

1
1
1

∫0 sin ( πx ) dx = 2 ∫0 1 − cos ( 2πx )  dx = 2  x − 2π sin ( 2πx )  0 = 2
2

Mặt khác:
1

⇒ ∫  f 2 ( x ) − 2. f ( x ) sin ( πx ) + sin 2 ( πx )  dx =
0

1
1 1
− 2. + = 0
2
2 2

.
1

∫  f ( x ) − sin ( πx )  dx = 0
Khi đó

Vì

2

0

f ( x)

ta suy ra

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ 0;1]

2

và

f ( x ) − sin ( πx ) = 0 ⇔ f ( x ) = sin ( πx )

23

 f ( x ) − sin ( πx )  ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1]

.

nên


1

∫
Do đó

0

1

f ( x ) dx = ∫ sin ( π x ) dx = −
0

1

1
2
cos ( π x ) =
π
π
0

Câu 198. [2D3-2.4-4] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số
1

f ( x)

có đạo hàm liên tục trên đoạn

1

thỏa mãn

f ( 1) = 0

,

0

. Tích phân

B.

0

bằng

1

C.

7
4

D.

4

Lời giải
1

1

1
2
∫0 x f ( x ) dx = 3 ⇒ ∫0 3x f ( x ) dx = 1
2

.

1

I = ∫ 3 x 2 f ( x ) dx
0

Tính:

Đặt:

.

u = f ( x )
du = f ′ ( x ) dx
⇒


2
3
dv = 3 x dx v = x

.

Ta có:
1

1

1

0

0

I = ∫ 3 x 2 f ( x ) dx = x3 f ( x ) 0 − ∫ x 3 . f ′ ( x ) dx = 1. f ( 1) − 0. f ( 0 ) − ∫ x 3 . f ′ ( x ) dx
1

0

1

= − ∫ x 3 . f ′ ( x ) dx
0

.
1

1

∫ 3x f ( x ) dx = 1 ⇒ 1 = −∫ x . f ′ ( x ) dx
2

Mà:

0

3

0

24

dx = 7
và

∫ f ( x ) dx

7
5

Từ giả thiết:

2

1

1
∫0 x f ( x ) dx = 3
2

A.

[ 0;1]

∫  f ′ ( x ) 


1

1

1

1

⇔ ∫ x . f ′ ( x ) dx = −1 ⇔ 7 ∫ x . f ′ ( x ) dx = −7 ⇔ ∫ 7 x . f ′ ( x ) dx = − ∫  f ′ ( x )  dx
3

3

0

0

1

∫  f ′ ( x ) 
giả thiết:
1

2

2

3

0

0

, (theo

dx = 7

0

).

(

)

1

⇔ ∫ 7 x 3 . f ′ ( x ) +  f ′ ( x )  dx = 0 ⇔ ∫ f ′ ( x ) 7 x3 + f ′ ( x ) dx = 0
0

2

0

7 4
⇒ 7 x3 + f ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = −7 x3 ⇒ f ( x ) = − 4 x + C

Với

7 4
7

f ( 1) = 0 ⇒ − 4 .1 + C = 0 ⇒ C = 4

Khi đó:
1

∫
Vậy:

0

7
7
f ( x ) = − x4 +
4
4

.

.

.
1


7  x5
7
 7
f ( x ) dx = ∫  − x 4 + ÷dx = −  − x ÷ = 7
4 5
4

4
0 5
0
1

.

Câu 199. [2D3-2.4-4] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số
1

f ( x)

có đạo hàm liên tục trên đoạn

1

∫ x. f ( x ) dx =
0

A.

[ 0;1]

B.

0

0

và

bằng

3
2

C.
Lời giải

Từ giả thiết:

dx = 36

∫ f ( x ) dx
. Tích phân

1

,

2

1

1
5

5
6

thỏa mãn

f ( 1) = 4

∫  f ′ ( x ) 

1

1
∫0 x. f ( x ) dx = 5 ⇒ ∫0 5x. f ( x ) dx = 1

25

.

4

D.

2
3