Đáp án thi HSG T9 2010

Bài Hướng dẫn chấm Điểm
1
a) n
3
– n = n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 và 3, (2,3) = 1 suy ra đpcm 3.0đ
b) S –(1 + 2 + 3 + … + 99) = S – 6.33.25 từ đó suy ra S chia hết cho 6 3.0đ
2
(
)
( )
) 6 2 5 6 2 5 : 20 5 1 5 1 : 2 5
2 5 : 2 5 1
a x
= + + − = + + −
= =
Suy ra P = 1.
1.0đ
0.5đ
0.5đ
b)Đk:
3
4
x
≥
. Đặt
2
4 3 0 4 3x t x t
− = ≥ ⇒ − =
Phương trình trở thành
( ) ( )
2 2

2010 2009 0 2010 0
( )
2010
x t xt x t x t
x t
t
x KTM
− − = ⇔ − + =
=


⇔

= −

Với x = t, ta có: x
2
- 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1, x = 3.
Cả 2 giá trị đều thỏa mãn. Vậy nghiệm của pt là: x = 1, x = 3
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
3
KÎ ®êng cao
1
.
2
AH BC S AH BC⊥ ⇒ =
(1)

1
.S MN MQ=
(2)
Ta cã MQ//AH ; NM//BC
(v× MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt )
Do ®ã ta cã:
AM MN
AB BC
=
(3) ;
BM MQ
BA AH
=
(4)
2
2
2 2 2 2
. . 1 1 1 1
. .
. 2 4 4
MN MQ AM BM AM BM AB
AM BM
BC AH AB AB AB AB
+
 
⇒ = = ≤ = =
 ÷
 
. 4 .AH BC MN MQ≥ ⇔

1
2 4
2
ABC MNPQ MNPQ ABC
S S S S
∆
∆ ≥ ⇒ ≤
Hay
1
1
2
S S≤
(®pcm)
3.0đ
4
·
·
·
·
·
0 0
0 0
) 36 72
36 72
a BAC ABC ACB
MBC BMC
= ⇒ = =
⇒ = ⇒ =
Suy ra tam giác MBC cân tại B
.BM BC

⇒ =
Lại có tam giác MAB cân tại M
1
.
2
BM AM BH AM⇒ = ⇒ =
1.0đ
1.0đ
M
B
H
C
A
N
P
Q
CB
H
A
M
b)Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
AM AB AM AB
MC BC AM MC AB BC
= ⇒ =
+ +

Hay
( )
2
AB AM AM

AB AM AB BC
AB BC AC AB
= = ⇒ = +
+
1.0đ
1.0đ
c) Đặt AB = a, BC = b. Ta có
( )
2 2 2
2
a b a b 0
1 5 1 5
1 0 0
2 2 2 2
5 1
.
2
b ab a
b b b b
a a a a
b
a
= + ⇔ + − =
  
 
⇔ + − = ⇔ + + + − =
 ÷ ÷
 ÷
 ÷ ÷
 

  
−
⇒ =

Từ đó suy ra
·
0
5 1
sin18 sin
2 4
BH b
BAH
AB a
−
= = = =
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
5
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1 2 1 4
4 . 16 16.
x y z x y z x y z x y z
x y
x y x y z xyz
xyz

= + + = + + ≥ + ⇒ ≥ +
+
⇒ + ≥ + ≥ ⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
4
1
1
2
x y z
x y
x y
z
x y z

+ =

= =

 
= ⇔
 
 
=
+ + =



Vậy GTNN của P bằng 16 khi
1

4
1
2
x y
z

= =




=


./.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ