Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 4 - Đại học Kinh tế Quốc dân

Chương 4.

Chương 4. BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
▪ Biến ngẫu nhiên xét trong các chương trước là 1
chiều: chỉ có 1 đại lượng
▪ Trong thực tế phải xét nhiều chiều cùng lúc, vì một
đối tượng cần phải xét trên nhiều góc độ.

▪ Ví dụ: Đánh giá một sản phẩm trên các chiều: kích
thước, trọng lượng, giá thành, giá bán.
▪ Ví dụ: Đánh giá một phương án kinh doanh qua các
chiều: lợi nhuận, doanh thu, tốc độ tăng trưởng…

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

111


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

NỘI DUNG CHƯƠNG 4
▪ 4.1. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

▪ 4.2. Bảng phân phối xác suất BNN hai chiều
▪ 4.3. Bảng phân phối xác suất có điều kiện
▪ 4.7. Tham số đặc trưng

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

112

Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.1.

4.1. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
▪ Hệ gồm n biến ngẫu nhiên đồng thời (X1, X2,…, Xn) có
giá trị có thể có là (x1, x2,…, xn)
▪ Trường hợp đơn giản nhất: hai chiều (X, Y)
▪ Nếu X và Y liên tục thì có BNN hai chiều liên tục
▪ Nếu X và Y rời rạc thì có BNN hai chiều rời rạc
▪ (X, Y) với X = {x1, x2,…, xn} và Y = {y1, y2,…, ym}
▪ Chương này chỉ xét biến hai chiều rời rạc

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

113


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.2.

4.2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2 CHIỀU
▪ Ví dụ 4.1: X là số người đi làm, Y là số người phụ
thuộc trong các hộ gia đình ở một khu vực
Y

X
1

2
3


0

1

2

0,05
0,1
0,05

0,2

0,05
0,15
0,1

0,3

0,1
0,25
0,15

0,5








0,2
0,5
0,3

1

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

114


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều

Bảng phân phối xác suất hai chiều
▪ Bảng phân phối xác suất (biên) của X và Y

X
P

1
0,2

2
0,5

3
0,3

Y
P

0
0,2

1
0,3

2
0,5

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

115


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều

Bảng phân phối xác suất hai chiều
▪ Tổng quát nếu X = {x1, x2,…, xn} và Y = {y1, y2,…, ym}

▪ pij = P(X = xi , Y = yj)
Y

y1

y2

…

ym

P(X)

x1
x2
…
xn

p11
p21
…
pn1

p12
p22
…
pn2

…
…
…
…

p1m
p2m
…
pnm

P(x1)
P(x2)
…
P(xn)

P(Y)

P(y1)

P(y2)

…

P(ym)

1

X

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

116

Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều

Bảng phân phối biên – tính độc lập
▪ Bảng phân phối xác suất biên (marginal) của X và Y

X
x1
P(X) P(x1)

x2
P(x2)

…
…

xn
P(xn)

Y
y1
P(Y) P(y1)

y2
P(y2)

…
…

ym
P(ym)

▪ X và Y độc lập  P(X = xi).P(Y = yi) = pij i, j
▪ Tồn tại ít nhất một cặp (xi, yj) không thỏa mãn thì X,
Y không độc lập (phụ thuộc)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

117


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.3.

4.3. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
▪ Ví dụ 4.1 (tiếp)

▪ (a) X và Y có độc lập với nhau không?
▪ (b) Tìm phân phối xác suất của số người phụ thuộc
trong số hộ có số người đi làm là 1.
▪ Hay phân phối của Y khi X = 1, ký hiệu (Y | X = 1)

(Y | X = 1)

0

P

0, 05

0, 2
 0, 25

1
0, 05
0, 2
 0, 25

2
0, 1
0, 2
 0, 5

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

118


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.3.

Bảng phân phối xác suất có điều kiện
▪ Bảng phân phối của (X | Y = yj):
P ( xi , y j )
P ( xi | y j ) 
P( y j )
(X | Y = yj)
P

x1
P(x1 | yj )

x2
P(x2| yj)

…
…

xn
P(xn | yj)

…
…

ym
P(ym | xi )

▪ Bảng phân phối của (Y | X = xi)
(Y | X = xi)
P

y1
P(y1 | xi )

y2
P(y2| xi )

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

119


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.4.

4.4. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
▪ Tham số tính cho từng thành phần:

▪ Kỳ vọng: E(X), E(Y)
▪ Phương sai: V(X), V(Y)
▪ Hiệp phương sai (covariance): Cov(X, Y)

Cov ( X ,Y )  E  X  E ( X ) Y  E (Y ) 
n

m

  xi y j P ( xi , y j )  E ( X ).E (Y )
i 1 j 1

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

120


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.4. Các tham số đặc trưng

Tham số đặc trưng
▪ Tính chất của hiệp phương sai

• Cov(X, Y) = Cov(Y, X)
• X, Y độc lập  Cov(X, Y) = 0
• Cov(X, Y) > 0 thì X, Y có “tương quan dương”
• Cov(X, Y) < 0 thì X, Y có “tương quan âm”
▪ Phương sai tổng hiệu tổng quát

• V(X  Y) = V(X) + V(Y)  2Cov(X, Y)

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

121


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.4. Các tham số đặc trưng

Tham số đặc trưng
▪ Hệ số tương quan (correlation) của X và Y: X,Y :
▪ X,Y = Y,X

ρX ,Y

Cov ( X ,Y )

σ X . σY

▪ –1  X,Y  1
▪ X,Y > 0: tương quan cùng chiều, X,Y < 0: ngược chiều
▪ X,Y = 0: không tương quan

▪ X, Y độc lập  X,Y = 0
▪ X,Y =  1: X, Y có quan hệ hàm số bậc 1 với nhau
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

122


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.4. Các tham số đặc trưng

Tham số đặc trưng
▪ Dựa trên bảng phân phối xác suất có điều kiện

▪ Kỳ vọng có điều kiện
• E(Y | X = xi)
• E(X | Y = yj)
▪ Phương sai có điều kiện
• V(Y | X = xi)

• V(X | Y = yj)
▪ Đây là khái niệm cơ sở cho hồi quy và Kinh tế lượng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

123

Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.4. Các tham số đặc trưng

Tham số đặc trưng
▪ Ví dụ 4.1 (tiếp)

▪ (c) Tính kỳ vọng và phương sai của tổng số người
trong hộ gia đình theo hai cách:
• Lập bảng phân phối xác suất của X + Y
• Theo công thức phương sai của tổng
▪ (d) X và Y có tương quan với nhau không? Hệ số
tương quan bằng bao nhiêu?
▪ (e) Tìm kì vọng và phương sai của số ăn theo trong
hộ gia đình có 1 người đi làm
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

124


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

TÓM TẮT CHƯƠNG 4
▪ Biến ngẫu nhiên hai chiều, nhiều chiều

▪ Bảng phân phối xác suất hai chiều
▪ Bảng phân phối xác suất biên
▪ Bảng phân phối xác suất có điều kiện

▪ Kỳ vọng, phương sai
▪ Hiệp phương sai, hệ số tương quan

▪ Kỳ vọng có điều kiện

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

125


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

Bài tập cơ bản trong Giáo trình
▪ Trang 213: 4.2, 4.3

▪ Trang 229: 4.12, 4.13
▪ Trang 236: 4.16, 4.17, 4.18
▪ Trang 240: 4.23
▪ Trang 258: 4.32, 4.35, 4.37
▪ Trang 261: 4.46, 4.49, 4.64, 4.65

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

126