Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 3 - ĐH Kinh tế Quốc dân

UẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

74


3.4. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
▪
▪
▪
▪

KÌ VỌNG (EXPECTED VALUE)
Kì vọng của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝐸(𝑋)
𝑬 𝑿 = ∑𝒊 𝒙𝒊 𝒑𝒊
Ví dụ: Tính kì vọng của biến ngẫu nhiên có bảng phân
phối xác suất sau
𝑋

1

2

3

4

5

𝑃

0,1

0,4

0,25

0,2

0,05

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

75


Kì vọng
▪ Kì vọng phản ánh giá trị trung bình của biến ngẫu
nhiên.
▪ 𝐸(𝑋) đơn vị trùng với đơn vị của 𝑋
▪ Tính chất:
𝐸 𝐶 =0,
𝐶: hằng số
𝐸 𝐶 + 𝑋 = 𝐶 + 𝐸(𝑋)
𝐸 𝐶. 𝑋 = 𝐶. 𝐸(𝑋)
𝐸 𝑋 ± 𝑌 = 𝐸(𝑋) ± 𝐸(𝑌)
𝐸 𝑋. 𝑌 = 𝐸 𝑋 . 𝐸 𝑌
nếu 𝑋, 𝑌 độc lập
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

76

Phương sai
▪ Ví dụ:
Điểm lớp A
Số SV
Xác suất

6
40
0,4

7
20
0,2

Điểm lớp B
Số SV
Xác suất

8
40
0,4
5
40
0,4

7
20
0,2

9
40
0,4

▪ So sánh điểm số giữa 2 lớp
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

77


Phương sai
𝑉(𝑋) = 𝐸 𝑋 – 𝐸 𝑋 2
Biến đổi ta có: 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) – 𝐸 𝑋
Trong đó: 𝐸 𝑋 2 = ∑𝑥𝑖2 𝑝𝑖
▪ Chú ý: 𝑉(𝑋) ≥ 0
▪ Tính chất

𝑉
𝑉
𝑉
𝑉

2

𝐶 =0,
𝐶: hằng số
𝑋+𝐶 =𝑉 𝑋
𝐶 × 𝑋 = 𝐶2 × 𝑉 𝑋
𝑋 ± 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 𝑉 𝑌 với 𝑋 và 𝑌 độc lập

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

78


Phương sai
▪ Ý nghĩa: Phương sai phản ánh độ phân tán của
biếngẫu nhiên. Phương sai lớn thì độ phân tán lớn.
Phương sai phản ánh độ rủi ro, độ ổn định, độ đồng
đều
▪ Đơn vị của phương sai?

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

79


Độ lệch chuẩn
▪ Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝜎(𝑋), là
căn bậc hai của phương sai:

𝜎𝑋 =

𝑉 𝑋

▪ Ý nghĩa: Phương sai và độ lệch chuẩn phản ánh độ
phân tán của biến ngẫu nhiên.
▪ Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị của 𝑋
▪ Đơn vị của độ lệch chuẩn là đơn vị của 𝑋

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

80


3.5. PHÂN PHỐI KHÔNG – MỘT
▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1 với
xác suất được tính bằng công thức
P( X = x) = p x (1 − p)1− x ; x = 0,1
▪ Bảng phân phối xác suất

𝑋
0
1
𝑃
1−𝑝
𝑝
▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝐴(𝑝)
▪ Tham số đặc trưng: 𝐸(𝑋) = 𝑝; 𝑉(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝)

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

81


3.6. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
▪
▪
▪
▪

Xét n phép thử độc lập
Xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử là p
𝑋 là số lần A xảy ra trong 𝑛 lần thử
𝑋 có thể nhận các giá trị 0, 1, 2,…, n với các xác suất
tương ứng được tính theo công thức:
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝐶𝑛𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 ; 𝑥 = 0,1, … , 𝑛
▪ 𝑋 gọi là phân phối Nhị thức với tham số 𝑛 và 𝑝.
▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝐵(𝑛; 𝑝)

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

82


Phân phối Nhị thức
Các tham số đặc trưng:
▪ Kì vọng
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝;
▪ Phương sai 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝).
▪ Mốt 𝑚0 (giá trị có xác suất lớn nhất) thỏa mãn
𝑛𝑝 + 𝑝 – 1 ≤ 𝑚0 ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝
Ví dụ: Một người đi chào hàng ở 10 địa điểm độc lập nhau.
Xác suất bán được hàng ở mỗi đại điểm đều bằng 0,2.
a) Tính xác suất bán được hàng ở đúng 3 địa điểm.
b) Tính xác suất bán được hàng ở ít nhất 2 địa điểm.
c) Tính kì vọng, phương sai, mốt của số địa điểm bán được
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

83

3.7. PHÂN PHỐI POISSON
▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 nhận một trong các giá trị có
thể có là 0, 1,2,… với các xác suất tương ứng được
tính theo công thức
x

Px = P( X = x) = e−  ; x = 0,1, 2,...
x!
gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số 𝜆.
▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝑃(𝜆)
▪ Nếu 𝑋 ~ 𝐵(𝑛; 𝑝) với 𝑛 khá lớn, 𝑝 khá nhỏ và
𝑛𝑝 ≈ 𝑛𝑝𝑞 thì coi như 𝑋 ~ 𝑃(𝜆)
• Các tham số đặc trưng
𝐸(𝑋) = 𝜆; 𝑉(𝑋) = 𝜆; 𝜆 − 1 ≤ 𝑚0 ≤ 𝜆
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

84