Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 4 - ĐH Kinh tế Quốc dân

BÀI 4 – BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
4.1. Biến ngẫu nhiên liên tục
4.2. Hàm phân phối xác suất
4.3. Hàm mật độ xác suất
4.4. Các tham số đặc trưng
4.5. Phân phối Đều
4.6. Phân phối Chuẩn
4.7. Phân phối khác
▪ [1] Chương 2, trang 79 – 128. Chương 3, tr 167 – 196.
▪ [2] Chapter 1, pp. 177 – 223.
▪ [3] Chapter 6, pp. 265 – 297.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

85


4.1. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
▪ Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable)
là biến ngẫu nhiên có thể nhận mọi giá trị trong một
khoảng 𝑎; 𝑏 , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
Ví dụ
▪ Thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên
▪ Lợi nhuận của nhà đầu tư cổ phiếu sau một năm
▪ Cân nặng của trẻ sơ sinh ở Việt Nam

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

86

4.2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
▪ Hàm phân phối xác suất( hàm tích lũy xác suất Cumulative Distribution Function) của biến ngẫu nhiên
𝑋 là:
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 < 𝑥 ,𝑥 ∈ ℝ

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

87


Tính chất
▪ 𝑃 𝑎 < 𝑋 <𝑏 =𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎

▪ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì: 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑜 = 0
⇒𝑃 𝑎 <𝑋 <𝑏 =𝑃 𝑎 ≤𝑋 ≤𝑏 =𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

88


Hàm mật độ xác suất
• 𝑋 là biến ngẫu nhiên liên tục, hàm mật độ xác suất
(Density Function) của 𝑋, ký hiệu 𝑓 𝑥 , là:
𝑓 𝑥 = 𝐹′(𝑥)

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

89

Tính chất
▪ 𝑓 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥
▪ 𝐹 𝑥 =
▪

+∞
‫׬‬−∞ 𝑓

x
‫׬‬−∞ f(t) 𝑑𝑡

𝑥 𝑑𝑥 = 1

▪ 𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 =

𝑏
‫𝑓 𝑎׬‬

𝑥 𝑑𝑥

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

90


4.4. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
▪ Kỳ vọng:

+∞

𝐸 𝑋 =න

𝑥. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

−∞

▪ Phương sai:

𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋

2

+∞

𝐸 𝑋2 = න

𝑥 2 . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

−∞

▪ Độ lệch chuẩn:

𝜎=

𝑉 𝑋

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

91

Trung vị và Mốt
▪ Trung vị
Trung vị, ký hiệu 𝑚𝑑 , là giá trị chia phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau.
𝑚𝑑
‫׬‬−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

= 0,5

▪ Mốt
Mốt, ký hiệu 𝑚𝑜 , là giá trị mà tại đó hàm mật độ xác suất
𝑓 𝑥 đạt giá trị cực đại.

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

92


Giá trị tới hạn
Giá trị tới hạn mức 𝛼 của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu 𝑥𝛼 , là
giá trị của 𝑋 thỏa mãn:
𝑃 𝑋 > 𝑥𝛼 = 𝛼

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

93


4.5. PHÂN PHỐI ĐỀU

▪ Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối Đều (Uniform
Distribution) trên khoảng 𝑎; 𝑏 nếu hàm mật độ xác
suất của 𝑋 có dạng:
1
𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)
𝑓 𝑥 = ቐ𝑏 − 𝑎
0
𝑥 ∉ (𝑎; 𝑏)
▪ Ký hiệu: 𝑋 ∼ 𝑈 𝑎; 𝑏

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

94


Phân phối đều
▪ 𝐸 𝑋 =

▪ 𝑉 𝑋 =

𝑎+𝑏
2
𝑏−𝑎 2
12

▪ 𝑃 𝑐<𝑋<𝑑 =

𝑑−𝑐
𝑏−𝑎
a

c

d

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

b

95


4.6. QUY LUẬT CHUẨN
▪ 𝐵 (𝑛; 𝑝 = 0,5) với 𝑛 = 10; 20; 100
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0

0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0.025

0.025

0.02

0.02

0.015

0.015

0.01

0.01

0.005

0.005

0

0
1 7 131925313743495561677379859197

0

20

40

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

60

80

100

96


Phân phối Chuẩn

▪ Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có phân phối Chuẩn
(Normal Distribution) nếu hàm mật độ xác suất của 𝑋
có dạng:
2
𝑥−𝜇
1
−
𝑓 𝑥 =
𝑒 2𝜎2
𝜎 2𝜋
▪ Đồ thị của 𝑓 𝑥 có dạng
quả chuông và đối xứng
qua đường thẳng 𝑥 = 𝜇
▪ Ký hiệu: 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇, 𝜎 2

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

97


Các tham số
𝑋 ∼ 𝑁 𝜇, 𝜎 2
▪ 𝐸 𝑋 =𝜇
▪ 𝑉 𝑋 = 𝜎2

Khi  tăng thì đồ thị của
𝑓(𝑥) dịch sang phải

Khi 𝜎 tăng thì đồ thị của 𝑓(𝑥)
thấp xuống và rộng ra

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

98


Phân phối Chuẩn hóa
▪ Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑍 được gọi là có phân phối
Chuẩn hóa (Standardzied Normal Distribution), nếu 𝑍
có phân phối Chuẩn với 𝜇 = 0 và 𝜎 2 = 1.
𝑍 ∼ 𝑁 0; 1
▪ Hàm mật độ xác suất của 𝑍 có dạng:
𝜑 𝑧 =

1
2𝜋

𝑒

𝑧2
−
2

▪ Đồ thị hàm mật độ có dạng hình
quả chuông đối xứng qua trục tung.

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

99

Phân phối Chuẩn hóa
▪ Hàm phân phối 𝑥xác suất

Φ 𝑥 = න 𝜑 𝑧 𝑑𝑧 =
−∞

▪

1
2𝜋

𝑥

𝑧2
−2
න 𝑒 𝑑𝑧
−∞

Tính chất: Φ −𝑥 + Φ 𝑥 = 1

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

100


Phân phối Chuẩn hóa
▪ Cho 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇; 𝜎 2
Đặt 𝑍 =

𝑋−𝜇
𝜎

Khi đó: 𝑍 ∼ 𝑁 0; 1
• 𝑃 𝑍<𝑏 =Φ 𝑏
• 𝑃 𝑍 >𝑎 =1−Φ 𝑎
• 𝑃 𝑍 > −𝑎 = 𝑃 𝑍 < 𝑎 = Φ 𝑎
• 𝑃 𝑎 < 𝑍 < 𝑏 = Φ 𝑏 − Φ(𝑎)
▪ Ví dụ Tính
𝑃 𝑍 > 1,96
𝑃 −2 ≤ 𝑍 ≤ 2
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

101


Công thức tính xác suất
𝑋 ∼ 𝑁 𝜇; 𝜎 2

• 𝑃 𝑋<𝑏 =𝑃

𝑋−𝑏
𝜎

𝑏−𝜇
𝜎

<
𝑏−𝜇
𝑏−𝜇

=𝑃 𝑍<
=Φ
𝜎
𝜎

• 𝑃 𝑋 >𝑎 =1−Φ

𝑎−𝜇
𝜎

• 𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 =Φ

𝑏−𝜇
𝜎

−Φ

𝑎−𝜇
𝜎

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

102


Ví dụ
Ví dụ 4.6: Lợi nhuận (đv: triệu) của một dự án là biến
ngẫu nhiên có phân phối Chuẩn, với trung bình bằng
500, phương sai bằng 400. Tính xác suất để:
a) Lợi nhuận cao hơn 540.

b) Lợi nhuận thấp hơn 570.
c) Lợi nhuận từ 480 đến 550.

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

103


Xác suất biến ngẫu nhiên sai lệch so với kì vọng
𝑋 ∼ 𝑁 𝜇; 𝜎 2

𝜀
𝑃 𝑋 –  <  = 2Φ
−1
𝜎
Ba trường hợp riêng:
• Quy tắc 1-sigma:
𝑃(|𝑋 –  | < 𝜎) = 0,6826
• Quy tắc 2-sigma:
𝑃 𝑋 –  < 2𝜎 = 0,9544
• Quy tắc 3-sigma:
𝑃 𝑋 –  < 3𝜎 = 0,9974

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

104


Tổ hợp của các BNN phân phối chuẩn
▪

𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 độc lập

▪ 𝑋𝑖 ∼ 𝑁 𝜇𝑖 , 𝜎𝑖2 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 thì:
▪ Thì: 𝑌 = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 𝑋𝑖 ∼ 𝑁 𝜇𝑌 , 𝜎𝑌2
Trong đó:
𝑛

𝜇 𝑌 = ෍ 𝑎𝑖 𝜇 𝑖
𝑖=1

;

𝑛

𝜎𝑌2 = ෍ 𝑎𝑖2 𝜎𝑖2
𝑖=1

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

105


Hội tụ của phân phối B(n;p) về Chuẩn
𝑋 ~ 𝐵 𝑛; 𝑝
▪ Khi n  100 thì 𝑋 ~ 𝑁 , 𝜎2
▪ Với  = np và 𝜎 2 = 𝑛𝑝 1 – 𝑝
Ví dụ
Xác suất để một khách hàng vào siêu thị mua sản
phẩm của hãng A là 0,3. Tính xác suất để trong 200

khách vào siêu thị có:
a) Nhiều hơn 70 khách mua hàng của hãng A.
b) Từ 40 đến 50 khách mua hàng của hãng A.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

106


Giá trị tới hạn chuẩn
▪ Giá trị tới hạn Chuẩn mức 𝛼, ký kiệu là 𝑧𝛼 , được xác
định bởi:
𝑃 𝑍 > 𝑧𝛼 = 𝛼
▪ Ví dụ
𝑃 𝑍 > 1,96 = 0.025
⇒ 𝑧0,025 = 1,96
▪ Tính chất:
𝑧1−𝛼 = −𝑧𝛼

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

107


4.7. PHÂN PHỐI KHÁC
▪ Phân phối Khi bình phương
▪ Phân phối Student
▪ Phân phối Fissher

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn

108


Phân phối Khi bình phương
▪ BNN liên tục 𝜒 2 tuân theo quy luật Khi bình phương với
n bậc tự do (degree of freedom: df)
▪ Ký hiệu: 𝜒 2 ~𝜒 2 (𝑛)
▪ Tham số: 𝐸(𝜒 2 ) = 𝑛; 𝑉 𝜒 2 = 2𝑛
2(𝑛)

▪ Giá trị tới hạn mức 𝛼, kí hiệu 𝜒𝛼
𝑃

𝜒 2 (𝑛)

>

2(𝑛)
𝜒𝛼

=𝛼

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn

109