Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 1 - Phan Trung Hiếu

9/3/2019

Kiểm tra, đánh giá kết quả:

XÁC SUẤT
THỐNG KÊ
Giảng viên: Phan Trung Hiếu

45 tiết
LOG
O

-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.
Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1
điểm.
Chỉ được vắng 1 ngày có phép.
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
2

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:
1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1
câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không
trừ điểm).
Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:
Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm
bài: -0,5 điểm/lần.
Khi không có SV xung phong lên làm thì GV
sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ
trên xuống:
-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,
-Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5
điểm/lần.

3

Trang web môn học:
SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng
tuần, điểm quá trình trên trang web sau:
/>
5

4

Nội dung:
Chương 1:
Chương 2:
Chương 3:
trọng.
Chương 4:
tham số.
Chương 5:

Đại cương về Xác suất.

Biến ngẫu nhiên.
Một số phân phối xác suất quan
Lý thuyết mẫu và ước lượng
Kiểm định giả thuyết thống kê.

6

1


9/3/2019

Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp.
[2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng
dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.
[3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê
ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.
[4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh,
Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011.

Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS,
FX 570ES, FX 570ES Plus.

Các tài liệu tham khảo khác.
7

Chương 1:
ĐẠI CƯƠNG VỀ

XÁC SUẤT
Giảng viên: Phan Trung Hiếu

8

I. Bổ túc về tập hợp và giải tích tổ hợp:
1.1. Khái niệm:
-Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không
có định nghĩa.
-Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau
cho ta hình ảnh của tập hợp. Các đối tượng này
trở thành phần tử của tập hợp.
Ví dụ 1: Tập hợp các sinh viên đang học trong
giờ môn XSTK tại phòng A… .

LOG
O
10

1.2. Ký hiệu:
▪ Tập hợp: A, B, C,…,X, Y, Z,…
▪ Phần tử: a, b, c,…,x, y, z,…
▪ x là một phần tử của tập hợp A: x  A
▪ x không là một phần tử của tập hợp A: x  A
▪ A : số phần tử của tập hợp A.

1.3. Các phương pháp xác định tập hợp:
 Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn
(đếm được, thấy được cụ thể)
Ví dụ 2:Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và

bé hơn 6:
A   2, 3, 4, 5 

3 A

5 A

0 A

A 4

11

12

2


9/3/2019

Ví dụ 3: Tập hợp các số tự nhiên bé hơn
1000:
B  0, 1, 2, …, 997, 998, 999 

500  B

B 1000

Chú ý: Phương pháp liệt kê
- Không quan tâm thứ tự liệt kê.

- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không
lặp lại.

Trưng tính:
- Nêu bật tính chất đặc trưng của các phần tử
trong tập hợp.
- Hay dùng khi số phần tử là vô hạn.
Ví dụ 4: Tập hợp các số tự nhiên chẵn:

A   x x   và x  2 

10  A

101  A

13

14

Ví dụ 5:
B = { x | x là sinh viên đang học môn XSTK tại
phòng A…..}
 Giản đồ Venn: là một đường cong khép kín,
không tự cắt.
Ví dụ 6:
3
7
3 A
2
5

4
A
7 A

A  2,3, 4,5

Ví dụ 7: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai
môn thể thao là cầu lông và bóng bàn. Có 5
bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký
chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai
môn. Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể
thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể
thao.
7 bạn đăng ký
CL

3

2

BB

2

3 bạn không đăng ký

15

16

1.4. Tập hợp con:
A là tập con của B, ký hiệu:

A B



A chứa trong B
A

4  A

I. Tập hợp:
BA
B chứa A

Ví dụ 8:

A  {1, 2, 3, 5, 7}
B  {1, 5}

A  B  x  A  x  B

BA



CA

C  {1, 2, 8}

B

17
18

3


9/3/2019

1.5. Tập hợp rỗng: 
-Là tập hợp không chứa một phần tử nào.
Ví dụ 9:
A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng
A…. mà có số tuổi lớn hơn 80}  A  
Ví dụ 10:B   x x   và x 2  1  B  
Quy ước:  là tập con của mọi tập hợp.
Chú ý: ( X ) là tập tất cả các tập con của X.

1.6. Tập hợp bằng nhau:

A  B
AB
B  A

( X )  { A A  X }.
( X )  2n , n: số phần tử của X.
19
20

1.7. Các phép toán trên tập hợp:
1.7.1. Phép giao:

A  B   x | x  A và x  B
A

1.7.2. Phép hợp:

A  B   x | x  A hay x  B
A

B

B

A B
A B
A

B  A B  
(A và B rời nhau)

22

21

II. Các phép toán tập hợp:
Ví dụ 11:

A  {1, 2, 3, 4}
B  {3, 4, 5, 6, 7}
C  {2, 8, 9}
A  B  {3, 4}
A  C  {2}
BC  

1.7.3. Phép lấy hiệu:

A \ B   x | x  A và x  B
A

B

A\ B

A  B  {1, 2,3,4,5,6,7}
A  C  {1, 2,3, 4,8,9}
B  C  {2,3, 4,5,6,7,8,9}
23

24

4


9/3/2019

II. Các phép toán tập hợp:
Ví dụ 12:

1.7.4. Phép lấy bù:

A   x  X | x  A

A  {1, 2, 3, 4}
B  {3, 4, 5, 6, 7}
C  {6, 7, 8, 9}

A \ B  {1, 2}
A\C  A
C\A C

X

A

C \ B  {8, 9}
A\ A 
B \  B

A
Nhận xét:

A A  
A A  X

25

26

II. Các phép toán tập hợp:
Ví dụ 13: Cho X là tập hợp tất cả các số nguyên
dương, A là tập hợp các số nguyên dương lớn
hơn 10. Hỏi A  ?
Giải

X  {1, 2, 3, 4, 5,....}
A  {11, 12, 13, 14, 15,....}
A   x  X | x  A  1, 2, 3, 4,...,10

1.8. Các tính chất:
1.8.1. Phân phối:

A   B  C    A  B   A  C 
A   B  C    A  B   A  C 
1.8.2. De Morgan:

A B  A B
A B  A B

1.8.3:
A
X
B A B A

A
B



B   B  A  B  A



27

Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây.
Hỏi có mấy cách chọn 1 quần để mặc?
mặc
Giải

II. Giải tích tổ hợp:
2.1. Quy tắc cộng:
Công việc

thực hiện

1  n1 cách
Phương án 2 n cách
2
(Trường hợp)



TH1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: 4 cách.
TH2: Chọn 1 quần tây từ 3 quần tây: 3 cách.
Vậy có: 4 + 3 = 7 cách.



k  nk cách

n1  n 2  ...  nk cách

30
29

5


9/3/2019

2.2. Quy tắc nhân:
Công việc

1  n1 cách
thực hiện

2 n 2 cách

Bước





k  nk cách

n1  n 2  ...  nk cách

Ví dụ 2: Có 4 quần Jean khác nhau và 3
áo sơ mi khác nhau. Hỏi có mấy cách
chọn 1 bộ đồ để mặc?
Giải
Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: 4 cách.
Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi: 3 cách.
Vậy có: 4  3  12 cách.
32

31

Tóm lại:
-Khi thực hiện một công việc có nhiều phương
án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong
công việc. Khi đó, ta dùng quy tắc cộng.
-Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua
nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng
quy tắc nhân.

2.3. Hoán vị:n vật khác nhau xếp vào n chỗ khác
nhau theo một thứ tự nhất định hoặc đổi chỗ n
vật khác nhau.
n ! cách.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 3 người
vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi?
3!  6 cách

34

33

Ví dụ 4: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B,
C, D, E vào 1 chiếc ghế dài có 5 chỗ. Có
bao nhiêu cách xếp sao cho A, B ngồi hai
đầu ghế?

2.4. Tổ hợp ( C nk ):
Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật.

C nk 

n!
cách.
k !(n  k )! (0  k  n;

k , n  )

Ví dụ 5: Một lớp học có 40 người. Có bao
nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp.
3
C 40
 9880 cách.

35

36

6

9/3/2019

Ví dụ 6: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ
một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận
kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3
hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu
nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách chọn được 3 hộp sữa cùng
loại.
b) Có bao nhiêu cách chọn được 3 hộp sữa sao
cho có đủ cả 3 loại.

Ví dụ 7: Một hộp có 7 chính phẩm và 4 phế phẩm, có
bao nhiêu cách chọn ra 6 sản phẩm từ hộp trong đó:
a) có 3 chính phẩm và 3 phế phẩm.
b) có đúng 2 phế phẩm.
c) có ít nhất 2 phế phẩm.
d) có nhiều nhất 2 phế phẩm.
e) có không quá 1 phế phẩm.
f) có đủ cả chính phẩm và phế phẩm
g) không có quá 4 chính phẩm.

38

37

Ví dụ 8: Một tổ có 17 bạn gồm 8 nam và 9 nữ.
Chọn từ tổ ra 5 bạn và xếp vào một bàn học

ngang có thứ tự 5 vị trí. Có bao nhiêu cách xếp
sao cho 5 bạn được chọn có 2 nữ và 3 nam.

2.5. Chỉnh hợp (Ank ):
Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật
rồi xếp vào k chỗ khác nhau

n k cách.
 Xếp có lặp lại, có hoàn lại
 Xếp không lặp lại, không hoàn lại

Ank 
39

n!
cách.
(n  k )! (0  k  n;

k , n  )

Nhận xét: Ank  Cnk . k !
40

Ví dụ 9: Một lớp học có 40 người. Có bao
nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp
trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào
nếu:
a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúc
nhiều chức danh?
b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chức

Ví dụ 10: Một lớp có 25 học sinh nam và 15
học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra
một học sinh làm lớp trưởng, một học sinh làm
lớp phó và một học sinh làm thủ quỹ, hỏi có
bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng phải là học
sinh nam?

danh?

41

42

7


9/3/2019

IV. Hiện tượng ngẫu nhiên:
Hiện tượng tất định:
là những hiện tượng
mà khi thực hiện
trong cùng một điều
kiện như nhau sẽ
cho kết quả như
nhau.

Hiện tượng ngẫu nhiên:
là những hiện tượng mà

dù được thực hiện trong
cùng một điều kiện như
nhau vẫn có thể cho
nhiều kết quả khác
nhau.

biết trước kết quả
sẽ xảy ra

không biết trước được
kết quả sẽ xảy ra

-Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát
của lý thuyết xác suất.
-Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu
nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”.
4.1. Phép thử (T ): thí nghiệm, sự quan sát
hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không
thể dự đoán trước được.
4.2. Không gian mẫu (  ): Tập hợp tất cả các
kết quả có thể xảy ra của phép thử.

44

43

▪ T: tung 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt sấp
thì dừng



Ví dụ 1:
▪ T: tung một con súc sắc

Nếu chỉ quan tâm đến số lần tung thì

|  |


▪ T: tung một đồng xu

|  |
▪ T: tung 2 con súc sắc |  |





▪ T: quan sát tuổi thọ (giờ) của một loại bóng đèn



Ví dụ 2:
▪ Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi.
T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi
|  |

45

4.3. Biến cố: là tập con của không gian mẫu.
Thường được ký hiệu là A, B, C,…
Ví dụ 3:
T: tung một con súc sắc   {1, 2,3, 4,5, 6}.
A: “Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”

A

46

Ví dụ 4: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ.
T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi |  |
A: “Lấy được 2 bi đỏ”

| A |
B: “Lấy được 2 bi khác màu”

| B |
Khi nào biến cố
A xảy ra?

Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của
biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra.
47

Chú ý:
 A   : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).
 A  : biến cố không thể (không bao giờ xảy
ra).
48

8


9/3/2019

Ví dụ 5:
T: tung một con súc sắc

   {1, 2,3, 4,5, 6}.
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số chấm
không vượt quá 6”

 A {1, 2,3, 4,5, 6} .
B: “Súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm”

 B  .
49

V. Phép toán trên các biến cố:
5.1. Quan hệ kéo theo:

A  B : biến cố A kéo theo biến cố B
A  B  A xảy ra thì suy ra B xảy ra
A



B
50

Ví dụ 1: Theo dõi 3 con gà mái đẻ trứng trong
một ngày.
D0 :“Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày”
D1 :“Có 1 con gà đẻ trứng trong một ngày”
D2 :“Có 2 con gà đẻ trứng trong một ngày”
D3 :“Có 3 con gà đẻ trứng trong một ngày”
B: “Có nhiều hơn 1 con gà đẻ trứng trong một
ngày”. Trong các biến cố Di (i  0, 3) trên, biến cố
nào kéo theo biến cố B?
D0  B D1  B D2  B D3  B
51

5.3. Tổng của các biến cố:

A B  AB
A + B xảy ra  có ít nhất 1 trong hai biến cố

A

A, B xảy ra
 hoặc A,
hoặc B,
B
hoặc cả A và B đều xảy ra.



53

5.2. Quan hệ tương đương:
A  B : biến cố A tương đương với biến cố B

A  B
A  B 
B  A
 A xảy ra thì suy ra B xảy ra
và ngược lại.

52

Ví dụ 2: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK.
A: “Sinh viên A đậu”.
B: “Sinh viên B đậu”.
C: “Có ít nhất một sinh viên đậu”  C  A  B .
Ví dụ 3: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy
ngẫu nhiên ra 3 bi.
T: “3 bi lấy ra là 3 bi trắng”.
Đ: “3 bi lấy ra là 3 bi đỏ”.
A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau”  A  T  Đ.

54

9


9/3/2019

5.4. Tích của các biến cố:

A .B  A  B
A.B xảy ra  A xảy ra VÀ B xảy ra
(tất cả)
A

B



Ví dụ 4: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK.
A: “Sinh viên A đậu”.
B: “Sinh viên B đậu”.
C: “SV A và SV B đều đậu”  C  AB
.
Ví dụ 5: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy.
A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”.
B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”.
C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy”
 C  AB
.

55

56

Ví dụ 6: Một thợ săn bắn 2 viên đạn vào một con
thú.
A1 : “Viên đạn thứ 1 trúng con thú”.
A2 :“Viên đạn thứ 2 trúng con thú”.
A: “Con thú bị trúng đạn”.

Chọn câu đúng:

a ) A  A1

c ) A  A1  A2

b ) A  A2

d ) A  A1.A2
e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng.

Ví dụ 7:Có 2 hộp bi. Hộp I có 6 bi trắng và 4 bi
đỏ. Hộp II có 7 bi trắng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu
nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi.
T1 : “Bi lấy từ hộp I là bi trắng”.
T2 : “Bi lấy từ hộp II là bi trắng”.
A: “2 bi lấy ra là bi trắng”.
Chọn câu đúng:

a ) A  T1 b ) A  T2
d ) A  T1 T2

e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng.
58

57

VI. Quan hệ giữa các biến cố:
6.1. Xung khắc:
A và B xung khắc

 A và B không bao giờ cùng xảy ra.

 AB  
A

c) A  T1.T2

B

Ví dụ 1:

T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”.
B: “Súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm”.
C: “Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”.
Chọn câu đúng:
a) A và B xung khắc.
b) A và C xung khắc.
c) B và C không xung khắc.
d) Tất cả đều sai.


59

60

10


9/3/2019

Ví dụ 2: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá.
A: “Lấy được lá ách”.
B: “Lấy được lá cơ”.
Chọn câu đúng:
a) A và B xung khắc.
b) A và B không xung khắc.

Ví dụ 3: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá.
A: “Lấy được 2 lá ách”.
B: “Lấy được 2 lá cơ”.
Chọn câu đúng:
a) A và B xung khắc.
b) A và B không xung khắc.

61

62

6.2. Đối lập:

Ví dụ 4:

A và B được gọi là đối lập nhau
 luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra
(có 1 và chỉ 1)
Ký hiệu: A là biến cố đối (lập) của biến cố A.
A: “Không xảy ra biến cố A”.

A

AA  

A



T: tung một đồng xu
A: “Xuất hiện mặt ngửa”.
B: “Xuất hiện mặt xấp”.
 A và B đối nhau.

AA  
63

64

Ví dụ 6:

Ví dụ 5:

T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”.
B: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút lẻ”.
C: “Súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm”.
Chọn câu đúng:
a) A và B không xung khắc.
b) A và B đối nhau.
c) B và C không xung khắc.
d) B và C đối nhau.

65

T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút ít nhất là 4”.
Chọn câu đúng:
a)A : “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút là 3”.
b) A  1, 2, 3 .
c)A : “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút nhiều nhất
là 3”.
d) Cả hai câu b và c đều đúng.

66

11


9/3/2019

Nhận xét:
 A và B
 đối nhau

đều không xảy ra
đều xảy ra

A và B
không
đối nhau.

 xung khắc.


 A xảy ra  A không xảy ra.

Ví dụ 7: Có 2 sinh viên đi thi. Đặt
Si : “Sinh viên i thi đậu”. (i=1,2)
Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Si :
a) A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu”.
b) B: “Không có ai thi đậu”.
c) C: “Có ít nhất 1 sinh viên thi đậu”.
d) D: “Có sinh viên 1 thi đậu”.
e) E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu”.
f) F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu”.
g) G: “Có sinh viên thi đậu”.
h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”.

67

68

VII. Các tính chất của biến cố:
 A  B  B  A; A.B  B. A
 ( A  B )  C  A  ( B  C ); ( A.B ).C  A.( B.C )
 A.( B  C )  A.B  A.C;
 A  B  A  B  B; A.B 

A

 A  A  ; A. A  

 A  A  A; A    A; A. A  A; A.  
 A  B  A.B; A.B  A  B

A





B. A

A
B. A

B

VIII. Nhóm đầy đủ các biến cố:
A1 , A2 , A3 ,..., An   là nhóm đầy đủ

A1  A2  A3  ...  An  

i j   khi i  j
AA
 luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra.
A1

A2

...

B  ( B. A)  ( B. A)
69

Ví dụ 1: A, A là một nhóm đầy đủ.
Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng, 2 bi đỏ và 3 bi
xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi.
T: “Lấy được viên trắng”.
Đ: “Lấy được viên đỏ”.
X: “Lấy được viên xanh”.

An



70

IX. Định nghĩa xác suất:
Xác suất của một biến cố là một con số đặc
trưng cho khả năng xảy ra khách quan của
biến cố đó.
Ký hiệu:
P(A): xác suất của biến cố A.

 {T, Đ, X} là một nhóm đầy đủ.

71
72

12

9/3/2019

9.1. Định nghĩa cổ điển:

P (A) 

|A|
||

| A |: số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra.
|  |: số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
Chú ý:
 0  P (A)  1, A
 P ( )  0

 P ( )  1
 P (A)  1  P (A)
73

75

ChúV.ý (Điều
của định
cổ điển):
Địnhkiện
nghĩa
xácnghĩa
suất:
 Các kết quả trong không gian mẫu  phải

đồng khả năng xảy ra.
 Không gian mẫu  phải hữu hạn.

76

9.2. Định nghĩa theo thống kê:
-Thực hiện phép thử n lần, thấy biến cố A xuất
hiện k lần thì tỷ số
k
: Tần suất của biến cố A.
n
-Trong thực tế, khi n đủ lớn thì

77

1
|  |C 30
 30.
1
A: “Người được chọn là nam”| A |C 20
 20.
| A | 20

 0, 6667.
 P (A) 
|  | 30

74

Ví dụ 2: Từ một hộp đựng 20 quả cầu đỏ, 5

quả cầu đen, 2 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên
đồng thời 4 quả. Tính xác suất để:
a) 4 quả cầu lấy ra cùng màu đen.
b) 4 quả cầu lấy ra có 3 quả màu đỏ.
c) 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ.
d) 4 quả cầu lấy ra đều cùng màu.
e) 4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu.

P ( A) 

Ví dụ 1: Lớp học có 30 học sinh, trong đó có 10
nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 người trực lớp. Tính xác
suất để người được chọn là nam.
Giải
T: chọn ngẫu nhiên 1 người từ 30 người

Ví dụ 3: Khảo sát ngẫu nhiên 100 người hút
thuốc lá, thấy có 91 người bị viêm phổi.
Khi đó, có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc lá thì
xác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng:

91
 0,91
100

k
n

78

13


9/3/2019

Ví dụ 4: Có 3 khách hàng (không quen biết
nhau) cùng đi vào một cửa hàng có 6 quầy
phục vụ. Tính xác suất để:
a) Cả 3 khách cùng đến 1 quầy.
b) Mỗi người đến 1 quầy khác nhau.
c) Hai trong 3 người cùng đến 1 quầy.
d) Chỉ một khách đến quầy số 1.

Ví dụ 5:

T: tung một đồng xu.

S: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”  P (S )  0, 5
N: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” P (N )  0, 5
Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để
kiểm chứng: Người thí
Số lần
Số lần
Tần
P (N )  0, 5 

nghiệm
Buffon
Pearson
Pearson

79

9.3. Định nghĩa theo hình học:
Xét một phép thử đồng khả năng, không gian
mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành
một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài,
diện tích, thể tích).
Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền .
A: điểm M thuộc miền S  

P ( A) 

độ đo của S
độ đo của 

83

ngửa
2048
6019
12012

suất
0,5069
0,5016
0,5005

80

Ví dụ 6: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình
tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh 2cm.
Giải
A: điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp
22 3
 3 cm 2
4
??? 1
??? 
r
cm  S S  cm2
3
3
 /3 
 P( A) 

 0,6046.
3 3 3
S 

82

81

9.4. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn:
-Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xác
suất rất nhỏ (gần 0) thì có thể cho rằng trong
thực tế nó không xảy ra trong một phép thử.
-Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác
suất rất lớn (gần 1) thì có thể cho rằng trong

thực tế nó nhất định xảy ra trong một phép thử.

tung
4040
12000
24000

9.5. Xác suất có điều kiện:

P( A | B) 

P ( AB )
P( B)

 P( B)  0 

P(A|B): xác suất để A xảy ra biết B đã xảy ra.
B: thông tin.

84

14


9/3/2019

Chú ý:
P ( AB )
 P ( B | A) 
P ( A)

 P ( A | B)  1  P ( A | B )
 P ( A1  A2 | B )  P ( A1 | B )  P ( A2 | B )
nếu A1 và A2 xung khắc.

Ví dụ 7: Một nhóm có 10 học sinh, trong đó
có 5 bạn giỏi Toán, 4 bạn giỏi Văn, 2 bạn
giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn.
Tính xác suất:
a) chọn được bạn giỏi Toán.
b) chọn được bạn chỉ giỏi Toán.
c) chọn được bạn giỏi ít nhất một môn.
d) chọn được bạn không giỏi môn nào.
e) chọn được bạn giỏi Văn, biết rằng đã chọn
được bạn giỏi Toán?

85

86

b) B: “Chọn được bạn chỉ giỏi Toán”

Giải
Toán

3

2

2

Văn

T: chọn ngẫu nhiên 1 bạn từ 10 bạn

|  |
a) A: “Chọn được bạn giỏi Toán”

| A |

| B |
 P (B ) 
c) C: “Chọn được bạn giỏi ít nhất một môn”

| C |
 P (C ) 

 P (A) 
87

d) D: “Chọn được bạn không giỏi môn nào”

| D |

88

V.A: “Chọn được bạn giỏi cả 2 môn”

|V .A |

 P (D ) 
e) V: “Chọn được bạn giỏi Văn”

P(V|A )=?
P (V | A) 

 P (V .A) 
 P (V | A) 

P (V .A)
P (A)

89

90

15


9/3/2019

Ví dụ 8: Một ông vua được sinh ra từ
một gia đình có 2 đứa bé. Tính xác suất
để đứa bé còn lại là gái.

Ví dụ 9: Điều tra 500 cặp vợ chồng về mức lương
hàng năm (triệu đồng) kết quả cho trong bảng

Chọn ngẫu nhiên 1 cặp vợ chồng. Tính xác suất chọn
được:

a) Cặp vợ chồng thu nhập ít hơn 30 triệu.
b) Cặp vợ chồng có thu nhập  30 triệu, biết chồng
cũng có thu nhập  30 triệu.
c) Cặp vợ chồng có thu nhập  30 triệu, biết chồng có
thu nhập < 30 triệu.
92

91

Ví dụ 10: Xác suất để một bình acquy đảm
bảo cho một ôtô mới hoạt động trên 10000km
là 0,8; trên 20000km là 0,4. Nếu một bình
acquy đã đảm bảo cho một ôtô mới hoạt động
trên 10000km thì xác suất để nó đảm bảo cho
ôtô hoạt động tất cả trên 20000km là bao
nhiêu?

Ví dụ 11: Cho một hộp đựng 8 bi gồm: 5 bi đỏ
và 3 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi (lấy không hoàn
lại). Tính xác suất để lần thứ hai lấy được bi
đỏ biết lần thứ nhất đã lấy được bi đỏ?
Giải
Đ1 : “Lần thứ nhất lấy được bi đỏ”.
Đ2 : “Lần thứ hai lấy được bi đỏ”.

P Đ2 | Đ1  4  0,5714.

7

93

Ví dụ 12: Một chùm chìa khóa gồm 10 chìa,
trong đó chỉ có 1 chìa mở được khóa. Một
người mở khóa bằng cách thử lần lượt các chìa
khóa cho đến khi nào mở được mới dừng.
a) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần
đầu tiên.
b) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần
thứ 2 biết lần thứ nhất không mở được khóa.
c) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần
thứ 3 biết lần thứ nhất và lần thứ hai đều
không mở được khóa.
95

94

9.6. Biến cố độc lập:
Hai biến cố được gọi là độc lập nếu sự xảy
ra hay không xảy ra của biến cố này không
làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia.
A, B độc lập  P ( A | B )  P ( A)
hoặc

P ( B | A)  P( B )
Hệ quả:
A, B độc lập  P ( A.B )  P ( A).P ( B )
96

16

9/3/2019

Chú ý: Nếu A và B độc lập với nhau thì
 A và B cũng độc lập với nhau.
 A và B cũng độc lập với nhau.
 A và B cũng độc lập với nhau.
Ví dụ 13:
T: tung 2 đồng xu.
A: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”.
B: “Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”.
 A và B độc lập.

T: tung 1 đồng xu.
A: “Xuất hiện mặt sấp”.
B: “Xuất hiện mặt ngửa”.
 A và B không độc lập.

Ví dụ 14:

Ví dụ 15: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có 2
bi đỏ và 8 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi.
a) Tính xác suất để lần thứ 1 lấy được bi đỏ?
b) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏ biết
lần thứ nhất lấy được bi đỏ?
c) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏ biết
lần thứ nhất không lấy được bi đỏ?

97

98

Giải
Lấy mẫu
có hoàn lại

Lấy mẫu
không hoàn lại

Lần 1 lấy ra quan sát
rồi bỏ trở lại vào hộp,
sau đó lấy tiếp lần 2.

Lần 1 lấy ra quan
sát rồi để ra ngoài
luôn, sau đó lấy tiếp
lần 2.

a)

Lấy mẫu
Lấy mẫu
không
hoàn lại
có hoàn lại
Đ1: “Lần thứ 1 lấy được bi đỏ”.
P (Đ1)  2
10
Đ2: “Lần thứ 2 lấy được bi đỏ”.

b)
P(Đ2| Đ1)=

P(Đ2| Đ1)=

P(Đ2| Đ1)=

P(Đ2| Đ1)=

c)
99

100

Nhận xét:

X. Các công thức tính xác suất:
Lấy mẫu
không hoàn lại

Lấy mẫu
có hoàn lại

Kết quả
không độc lập nhau

Kết quả độc lập nhau

10.1. Công thức cộng xác suất:

P (A  B )  P (A)  P (B )  P (AB )
 Đặc biệt: Nếu A, B xung khắc AB   thì

P (A  B )  P (A)  P (B )

Tổng quát: Nếu A1,A2,…,An đôi một xung
khắc thì P (A  A  ...  A )  P (A )  P (A )  ...  P (A )
1

2

n

1

2

n

 Hệ quả:
P (A)  1  P (A); P (A)  1  P (A)
101

102

17


9/3/2019

10.2. Công thức nhân xác suất:

P (A.B )  P (A | B ).P (B )  P (B | A).P (A)
 Đặc biệt: Nếu A, B độc lập thì

P (AB
. )  P (A).P (B )

Tổng quát:

P (AA
1 2 ...An )  P (A1 ).P (A2 | A1 ).P (A3 | AA
1 2 )...P (An | AA
1 2 ...An 1 )

Hệ quả: Nếu A1,A2,…,An độc lập (toàn bộ)
với nhau thì
P (AA
1 2 ...An )  P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )...P (An )

Ví dụ 1: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II
hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động
cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7.
Tính xác suất để:
a) Cả 2 động cơ đều chạy tốt.
b) Cả 2 động cơ đều không chạy tốt.
c) Có động cơ chạy tốt.
d) Có 1 động cơ chạy tốt.

103

Giải
Đ1: “Động cơ I chạy tốt”
 P (Đ1)  0,8  P( Ñ1 )  1  P ( Ñ1 )  1  0,8  0, 2.
Đ2: “Động cơ II chạy tốt”
 P (Đ2 )  0, 7  P(Ñ2 )  1  P(Ñ2 )  1  0,7  0,3.
a) A: “Cả 2 động cơ đều chạy tốt”
 A  Đ1.Đ2

P (A) P ( Đ1.Đ2 )  P (Đ1).P (Đ2 ) (Vì Đ1 và Đ2 độc lập)
 0,8. 0, 7  0,56.
105

c) Cách 1:
C: “Có động cơ chạy tốt”
= “Có ít nhất một động cơ chạy tốt”  C  Đ1 +Đ2
 P (C )  P ( Đ1 +Đ2 )
 P ( Đ1) + P (Đ2 ) - P (Đ1.Đ2 )
 0,8 + 0, 7 - 0, 56
 0,94.

104

b) B: “Cả 2 động cơ đều không chạy tốt”
 B  Đ1. Đ2

 P (B )  P ( Đ1.Đ2 )
 P ( Đ1).P (Đ2 )

(Vì Đ1 và Đ2 độc lập)

 0, 2. 0,3  0, 06.

106

Cách 2: Dùng biến cố đối lập
C: “Không có động cơ nào chạy tốt”  C  B
 P (C )  1  P ( C )

 1  P (B )  1  0, 06  0,94.
d) D: “Có 1 động cơ chạy tốt”
 D  Đ1.Đ2 + Đ1.Đ2
 P (D )  P(Đ1).P(Đ2) +P(Đ1).P(Đ2)

 0,8  0,3  0, 2  0, 7  0,38.
107

108

18


9/3/2019

Ví dụ 2: Có hai hộp, mỗi hộp chứa một số sản
phẩm bao gồm 2 loại chính phẩm và phế
phẩm. Xác suất lấy được 1 chính phẩm từ hộp
I là 0,2; từ hộp II là 0,3. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi
hộp ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để:
a) Lấy được 2 chính phẩm.

b) Lấy được 1 bi chính phẩm và 1 phế phẩm.

109

Ví dụ 4:Trong một căn phòng có một mạch
điện gồm 3 bóng đèn như hình vẽ. Các bóng 1,
2, 3 bị cháy khi bật công tắc K là ngẫu nhiên và
độc lập với nhau. Xác suất các bóng 1, 2, 3 bị
cháy lần lượt là 0,1; 0,2; 0,3. Tính xác suất
phòng không có ánh sáng khi bật công tắc K.

Ví dụ 3: Một ngân hàng sử dụng 2 loại thẻ
thanh toán M và N. Tỉ lệ khách hàng của ngân
hàng sử dụng thẻ loại M, N tương ứng là 60%,
55% và cả hai loại là 30%. Chọn ngẫu nhiên 1
khách hàng của ngân hàng. Tính xác suất người
đó:
a) Có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng.
b) Chỉ sử dụng loại thẻ M.
c) Chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng.
d) Không sử dụng thẻ của ngân hàng.

110

Ví dụ 5: Từ lô sản phẩm có 20 sản phẩm trong
đó có 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên (liên tiếp
từng sản phẩm một và không hoàn lại) 2 sản
phẩm. Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đều là sản
phẩm xấu.
Giải

A1: “Lần thứ 1 lấy được sản phẩm xấu”.
A2: “Lần thứ 2 lấy được sản phẩm xấu”.
A: “Cả 2 sản phẩm đều là sản phẩm xấu”

 A  A1.A2
111

 P (A)  P (AA
1 2 )  P (A1 ). P (A2 | A1 )
1  C 52 
5

 4 
20 19 19   C 2 
 20 
Chú ý:
 Lấy liên tiếp lần lượt k vật, mỗi lần 1 vật
và không hoàn lại  Lấy cùng lúc k vật.

P (AB
. )  P (A  B )  1  P (A  B ).

112

Ví dụ 6: Hai em sinh viên A và B chơi trò chơi
như sau: Mỗi người lần lượt rút 1 viên bi từ một
hộp đựng 3 bi đỏ và 5 bi vàng. Bi được rút ra
không trả lại vào hộp. Người nào rút được bi đỏ
trước thì thắng cuộc. Tính xác suất thắng cuộc
của người rút trước.

P (A  B )  P (AB
. )  1  P (A.B ).

113

114

19


9/3/2019

Ví dụ 7: Một sinh viên muốn hoàn thành khóa
học phải qua 3 kì thi với nguyên tắc: đỗ kì thi
thứ nhất là 0,9. Nếu đỗ kì thi đầu thì xác suất
sinh viên đó đỗ được kì thi thứ hai là 0,85,
tương tự đỗ kì thi thứ hai thì xác suất sinh viên
đó đỗ kì thi thứ ba là 0,7. Nếu sinh viên đó
không đỗ 3 kì thi thì xác suất anh ta bị trượt ở kì
thi thứ hai là bao nhiêu?

10.3. Công thức xác suất đầy đủ:
Nếu {A1, A2,…, An} là nhóm đầy đủ thì
A1 A2 ... An

H



P (H )  P (H | A1 )P (A1 )  P (H | A2 )P (A2 )  ...  P (H | An )P (An )

Công thức xác suất đầy đủ cho ta cách tính xác
suất của một biến cố qua một nhóm đầy đủ.
115

116

10.4. Công thức Bayes:
VI. Các công thức tính xác suất:
Nếu {A1, A2,…, An} là nhóm đầy đủ các biến cố
thì
P (H | Ak ).P (Ak )
P (H )

P (Ak | H ) 


P (H | Ak ).P (Ak )
P (H | A1)P (A1 )  P (H | A2 )P (A2 )  ...  P (H | An )P (An )

Công thức xác suất Bayes cho biết xác suất của
các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế
nào khi một biến cố đã xảy ra.

Ví dụ 8: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng
sản xuất ra một loại sản phẩm. Sản phẩm của
phân xưởng I chiếm 40% sản lượng của nhà
máy. Sản phẩm của phân xưởng II chiếm 10%.
Sản phẩm của phân xưởng III chiếm 50%. Tỷ lệ

phế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là
5%, 4% và 10%. Lấy 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tính xác suất để nhận được phế phẩm?
b) Giả sử lấy được 1 phế phẩm. Tính xác suất để
nó do phân xưởng II sản xuất?
118

117

Giải
5%



4%

I
II
(40%) (10%)

H

10% (phế phẩm)
III
(50%)

T: lấy 1 sản phẩm của nhà máy.

A: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng I” P(A) =0,4
B: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng II” P(B) =0,1

C: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng III”  P(C) =0,5
a) H: “Lấy được phế phẩm”

 P(H|A) = 0,05
P(H|B) = 0,04
P(H|C) = 0,1
Vì {A, B, C} là nhóm đầy đủ nên ta có
P (H )  P (H | A).P (A) P (H | B ).P (B ) P (H | C ).P (C )

 0,05 . 0,4
 0,074.
119

+ 0,04 . 0,1 + 0,1. 0,5
120

20


9/3/2019

b)

P (H | B ).P (B )
P (H )
0, 04 . 0,1

0, 074
2


 0, 0541.
37

P (B | H ) 

121

Ví dụ 10: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 8 bi đỏ, 3 bi
vàng. Hộp 2 có 10 bi đỏ, 4 bi vàng.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên
ra 1 bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ.
b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên
ra 2 bi. Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi
đỏ.

123

Ví dụ 9: Một trung tâm chuẩn đoán bệnh dùng
một phép kiểm định T. Xác suất để một người
đến trung tâm mà có bệnh là 0,8. Xác suất để
người khám có bệnh khi phép kiểm định
dương tính là 0,9 và xác suất để người khám
không có bệnh khi phép kiểm định âm tính là
0,5. Tính các xác suất:
a) Phép kiểm định là dương tính.
b) Phép kiểm định cho kết quả đúng.

122

Ví dụ 11: Hộp 1 có 10 quả cầu đỏ, 5 quả cầu

vàng. Hộp 2 có 7 quả cầu đỏ, 3 quả cầu vàng.
Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu, sau đó
lấy ngẫu nhiên 1 quả từ 2 quả cầu này. Tính xác
suất quả cầu lấy sau là quả cầu vàng.

124

Ví dụ 12: Một trò chơi hái hoa có thưởng có 10
phiếu hoa, trong đó có 5 phiếu hoa có thưởng.
Ba người đầu tiên tham gia trò chơi, mỗi người
hái 1 phiếu hoa (tất nhiên hoa nào đã được hái
thì sẽ không còn trên cây nữa). Hãy cho biết xác
suất hái được phiếu hoa có thưởng của 3 người
đó có như nhau không?

125

21


Trong phần bài tập, các kết quả gần đúng cần quy tròn đến 4 chữ số thập phân.

BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Dạng 1: Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển
Bài 1: Một hộp có 10 bi đỏ, 6 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Tính xác suất lấy được
a) số bi đỏ nhiều hơn số bi vàng.
b) bi đỏ.
Bài 2: Một nhóm có 12 sinh viên trong đó có 5 nữ. Chọn ngẫu nhiên 6 sinh viên của nhóm để lập
một tốp ca. Tính xác suất tốp ca có:
a) số nam nữ như nhau.

b) ít nhất 2 nữ.
Bài 3: Một thùng trái cây có 5 trái loại A, 4 trái loại B, 2 trái loại C. Lấy ngẫu nhiên 3 trái từ
thùng. Tính xác suất:
a) 3 trái cùng loại.
b) 3 trái không cùng loại.
Bài 4: Một lớp có hai tổ, tổ I gồm 12 sinh viên nam và 4 sinh viên nữ, tổ II gồm 8 sinh viên nam
và 6 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên ra 8 sinh viên của lớp đó. Tính xác suất các biến cố sau:
a) Trong 8 sinh viên gọi ra có 5 em ở tổ I và 3 em ở tổ II.
b) Trong 8 sinh viên gọi ra có 5 em nam và 3 em nữ.
Bài 5: Một nhóm vận động viên (VĐV) gồm: 8 VĐV bóng chuyền, 7 VĐV cầu lông và 5 VĐV
bóng bàn. Chọn ngẫu nhiên ra 8 VĐV, tính xác suất để trong số 8 VĐV chọn ra:
a) Có 3 VĐV bóng chuyền, 4 VĐV cầu lông và 1 VĐV bóng bàn.
b) Có 3 VĐV bóng chuyền.
Bài 6: Một người đến cửa hàng điện để mua một hộp bóng đèn. Anh ta lấy ngẫu nhiên 2 bóng từ
hộp bóng đèn để kiểm tra nếu có bóng hỏng thì không mua hộp bóng đèn. Tính xác suất người
đó mua hộp bóng đèn. Biết hộp bóng đèn có 15 bóng, trong đó có 40% bóng hỏng.
Bài 7: Trong ví có 6 tờ 200 nghìn, 4 tờ 100 nghìn. Rút ngẫu nhiên 5 tờ. Tính xác suất để tổng số
tiền rút được đó bằng 800 nghìn.
Bài 8: Để thi hết môn học, mỗi sinh viên phải học 30 câu. Đề thi gồm 5 câu trong 30 câu đã cho.
Một sinh viên chỉ thuộc 20 câu. Tính xác suất một sinh viên dự thi làm được ít nhất 1 câu.
Bài 9: Có 12 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm tốt. Chia đều cho 3 người, mỗi người 4 sản
phẩm. Tính xác suất:
a) mỗi người đều có 1 sản phẩm tốt.
b) có đúng 1 người có 2 sản phẩm tốt.
Bài 10: Một hộp có 4 bi đỏ, 2 bi xanh. Một em bé lấy lần lượt cho tới khi hết bi trong hộp thì
thôi. Tính xác suất để bi đỏ được lấy ra ở lần cuối cùng.
Bài 11: Lai hai giống hoa màu hồng và màu đỏ người ta được ba kết quả: Cây ở thế hệ sau có
hoa màu hồng, đỏ, hoặc cánh sen với cùng khả năng. Chọn ngẫu nhiên 5 hạt hoa lai đem gieo.
Tìm xác suất để:
a) có đúng 3 cây màu đỏ.

b) có 2 cây màu đỏ, 2 cây màu cánh sen và 1 cây màu hồng.

22


Bài 12: Ba công nhân I, II, III có cùng kỹ năng, cùng tay nghề thay nhau sản xuất một loại sản
phẩm. Trong số sản phẩm làm ra trong 1 tháng có 4 phế phẩm. Tìm xác suất:
a) 3 phế phẩm của I còn 1 phế phẩm của II.
b) một trong 3 người làm ra 3 phế phẩm.
Bài 13: Theo thống kê hàng năm ở một vùng trong 3 tháng cuối năm có mưa lớn 6 lần. Tìm tỉ lệ
ngày của vùng không có mưa lớn quá 1 lần trong thời gian đó.
Dạng 2: Tính xác suất bằng công thức cộng, công thức nhân, xác suất có điều kiện
Bài 1: Một nồi hơi có 2 van bảo hiểm hoạt động độc lập, xác suất mỗi van hỏng tương ứng là 0,1
và 0,05. Tính xác suất nồi hơi hoạt động an toàn:
a) Khi nồi hơi có van không hỏng.
b) Khi nồi hơi không có van hỏng.
Bài 2: Trong một nghiên cứu về phạm vi của hai loại bệnh, bệnh tim và bệnh huyết áp, trong một
vùng dân cư, người ta ghi nhận được kết quả sau: có 9% dân cư mắc bệnh tim, 12% bệnh huyết
áp và 7% mắc cả hai bệnh này. Dựa trên dữ kiện này, tính tỷ lệ dân cư của vùng:
a) mắc ít nhất một bệnh.
b) không bị bệnh nào.
c) không mắc cả hai bệnh.
d) bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp.
e) không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp.
Bài 3: Một lô hàng có 6 sản phẩm. Mỗi lần kiểm tra chất lượng người ta lấy ngẫu nhiên ra 2 sản
phẩm. Sau khi kiểm tra xong lại trả trở lại vào lô hàng. Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra lô
hàng thì tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra.
Bài 4: Một thành phố có 3 tờ báo A, B, C. Tỉ lệ dân của thành phố đọc các tờ báo này như sau:
A: 10%; B: 30%; C: 6%; A và B: 8%; A và C: 2%; B và C: 4%; A, B và C: 1%.
Tính tỉ lệ dân của thành phố:

a) Có đọc báo.
b) Chỉ đọc 1 tờ báo.
c) Có đọc báo buổi sáng và báo buổi chiều, có đọc chỉ báo sáng hay báo chiều. Nếu A, C là báo
sáng, B là báo chiều.
Bài 5: Xác suất để đóng mỗi công tắc trong mạch (hình vẽ) lần lượt là 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 và 0,5.
Các công tắc hoạt động độc lập. Tìm xác suất để trong mạch từ A đến B có điện theo các mô
hình sau:

a)

b)

23


1
1
23
Bài 6: Cho A và B là hai biến cố sao cho P(A)  , P(B)  và P(A+B)  . Tính P  A B  ,
4
3
60

 





P A B , P  AB B  , P AB B .

Bài 7: Cho A và B là hai biến cố độc lập sao cho P(A)  0, 6; P(B)  0, 2 . Tính P  A B  ,
P  AB  , P  A  B  .

Bài 8: Một người đầu tư vào 3 loại cổ phiếu A, B, C. Xác suất trong thời gian T các cổ phiếu này
tăng giá lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Tính xác suất trong thời gian T:
a) có cổ phiếu tăng giá.
b) có 1 cổ phiếu tăng giá.
c) Giả sử có 2 cổ phiếu không tăng giá. Tính xác suất B không tăng giá. Biết rằng các cổ phiếu
A, B, C hoạt động độc lập.
Bài 9: Thống kê của phòng nhân sự như sau:
Nam Nữ Tổng
288
36
324
Thăng tiến
672
204
872
Không thăng tiến
960
240
1200
Tổng
Chọn ngẫu nhiên ra 1 người. Tính xác suất:
a) chọn được 1 nhân viên nam.
b) chọn được 1 nhân viên không thăng tiến.
c) chọn được 1 nhân viên nữ thăng tiến.
d) chọn được 1 nhân viên không thăng tiến biết rằng đã chọn được nhân viên nữ.
Bài 10: Người ta tổng kết về các phương pháp chuẩn đoán bệnh dạ dày tá tràng. Trên lâm sàng

chuẩn đoán đúng 60%, X quang 70%, nội soi 80%. Kết hợp cả 3 phương pháp trên thì khả năng
chuẩn đoán đúng là bao nhiêu phần trăm?
Bài 11: Một trường đại học có 52% số sinh viên là nữ, 5% số sinh viên của trường học Toán và
2% nữ của trường học ngành này. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên của trường. Tìm xác suất
a) sinh viên là nữ biết rằng sinh viên đó học Toán.
b) sinh viên học Toán biết sinh viên đó là nữ.
Bài 12: Trong một vùng dân cư, tỷ lệ những người có dấu hiệu lách to là 20%, những người bị
sốt rét là 23%, những người vừa sốt rét vừa lách to là 18%. Một người đến ngẫu nhiên từ vùng
dân cư đó, người này không có dấu hiệu lách to. Tính xác suất người này bị sốt rét.
Bài 13: Xác suất để máy thứ nhất sản xuất được sản phẩm loại A là 0,9. Đối với máy thứ hai xác
suất này là 0,8. Cho mỗi máy sản xuất một sản phẩm thì được 1 sản phẩm loại A. Tính xác suất
để sản phẩm loại A đó là do máy thứ nhất sản xuất.
Bài 14: Một người tham gia đấu thầu 2 dự án. Khả năng trúng thầu dự án thứ nhất là 0,6. Nếu
trúng thầu dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu dự án thứ hai tăng lên là 0,8; còn nếu không
trúng thầu dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu dự án thứ hai chỉ còn là 0,2. Tìm xác suất để
người đó:
a) Trúng thầu cả 2 dự án.
b) Chỉ trúng thầu 1 dự án.
c) Trúng thầu ít nhất 1 dự án.

24


Bài 15: Một người săn thỏ trong rừng. Anh ta bắn viên thứ nhất với xác suất trúng thỏ là
bị trượt, anh ta bắn viên thứ hai với xác suất trúng thỏ là
thứ ba với xác suất trúng thỏ là

1
. Nếu
2

1
. Nếu lại trượt nữa, anh ta bắn viên
3

1
. Tính xác suất người thợ săn bắn được thỏ trong cuộc đi săn
5

này.
Bài 16: Trong một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 20 sản phẩm loại A. Lấy ngẫu nhiên
(liên tiếp từng sản phẩm một và không hoàn lại) 3 sản phẩm. Tính xác suất để cả 3 sản phẩm đều
là loại A.
Bài 17: Một túi có 12 viên bi, trong đó có 3 bi đỏ. Thực hiện 3 lần lấy không hoàn lại, mỗi lần 4
bi. Tính xác suất để trong mỗi lần lấy có 1 bi đỏ.
Bài 18: Một hộp có 10 bi trong đó có 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi
cho đến khi lấy được 2 bi đỏ thì dừng. Tính xác suất việc lấy bi dừng ở lần thứ 3.
Bài 19: Hộp có 4 bi đỏ, 3 bi xanh, 5 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi cho
đến khi lấy được bi đỏ thì dừng.
a) Tính xác suất việc lấy bi dừng ở lần thứ 4.
b) Giả sử việc lấy bi dừng ở lần thứ 4. Tính xác suất trong số bi lấy ra có 2 bi vàng.
Bài 20: Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 10 chìa hình thức giống nhau nhưng trong đó chỉ
có 3 chìa mở được kho, anh ta mở ngẫu nhiên từng chìa một cho tới khi mở được kho. Tìm xác
suất để:
a) anh ta mở tới lần thứ 3 thì mở được kho.
b) anh ta mở được khóa mà không quá 3 lần mở.
Dạng 3: Tính xác suất bằng công thức đầy đủ, công thức Bayes
Bài 1: Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của
1
máy thứ hai là 0,85. Từ một kho chứa sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ hai),

3
lấy ra 1 sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm, tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất ra.
Bài 2: Một trường tiểu học có 55% học sinh là nam. Trong số học sinh nam có 16% em bị cận
thị, tỉ lệ này ở nữ là 15%.
a) Tính tỉ lệ học sinh bị cận thị.
b) Tính tỉ lệ nữ trong số học sinh bị cận thị.
Bài 3: Một công ty bất động sản chuẩn bị bán một số căn hộ. Họ tin rằng, nếu nền kinh tế tiếp
tục phát triển thì khả năng bán hết các căn hộ (theo đúng kế hoạch) là 0,7; trong trường hợp
ngược lại, họ chỉ có thể bán hết các căn hộ với xác suất là 0,35. Theo dự báo của các chuyên gia
kinh tế, xác suất nền kinh tế tiếp tục phát triển là 0,65. Từ những số liệu đó, tính xác suất để công
ty bán hết các căn hộ.

25