Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

2/19/2019

Chương 4

Yêu cầu
•
•
•
•
•

Biến ngẫu nhiên hai chiều
rời rạc

nguyenvantien0405.wordpress.com

1

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Phân phối xác suất đồng thời
Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời)
Phân phối xác suất điều kiện
Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên
Các tham số đặc trưng

Khái niệm

Ví dụ 1

• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu

nhiên.
• Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc
• Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục
• Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất
phức tạp nên ta không xét trường hợp này.

nguyenvantien0405.wordpress.com

3

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

• Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu
kích thước sản phẩm đo bằng chiều rộng X và
chiều dài Y thì ta có bnn hai chiều (X, Y).
• Nếu xét thêm cả chiều cao Z thì ta có bnn 3 chiều
(vec tơ ngẫu nhiên 3 chiều) (X,Y,Z)
• Nếu chỉ quan tâm đến trọng lượng W và thể tích V
của sản phẩm thì ta có bnn hai chiều (W,V)

Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

• Joint probability mass function (p.m.f.)
• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Gọi S là tập
hợp giá trị của X và Y.
• Ký hiệu: pX,Y(x,y)

…

yj

…

ym

∑

x1

p11

p12

…

p1j

…

p1m

p1●

x2

p21

p22

…

p2j

…

p2m

p2●

…

…
pi1

…
pi2

…

…
pij

…

…
pim

…
pi●

…
pn2

…
…

…
pnj

…

xn

…
pn1

…

…
pnm

…
pn●

∑

p●1

p●2

…

p●j

…

p●m

1

…

p X ,Y  x, y   1

nguyenvantien0405.wordpress.com

y2

xi

i ) 0  p X ,Y  x, y   1
 x , y S

y1

X

p X ,Y  x, y   P  X  x, Y  y 

iii ) P   X , Y   A  

 x , y A

p X ,Y  x, y  ,

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

4

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

Hàm khối xác suất đồng thời

ii )

2

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

AS
5

Y

nguyenvantien0405.wordpress.com

…

…

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

6

1


2/19/2019

Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

Phân phối lề

• Trong đó:

• Marginal Probability Mass Function
• Phân phối lề của X:

i ) pij  p X ,Y  xi , y j   P  X  xi , Y  y j 
n

ii )

m

 p

ij

i 1 j 1

1

p X  x    p X ,Y  x, y   P  X  x  , x  S1
y

m

n

j 1

i 1

iii ) pi   pij ; p j   pij

• Phân phối lề của Y:
pY  y    p X ,Y  x, y   P Y  y  ,

y  S2

x

nguyenvantien0405.wordpress.com

7

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

Sự độc lập

Ví dụ 2

Hai biến ngẫu nhiên X, Y gọi là độc lập nếu:
P  X  x, Y  y   P  X  x   P  Y  y  ,

8

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Cho hàm khối xác suất đồng thời như sau:
p X ,Y  x, y  

x  S1 , y  S 2

• Dấu hiệu:

Trong đó:

• Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.
• Hai cột bất kỳ tỷ lệ.

xy 2
13

S  1,1 , 1, 2  ,  2, 2 

a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời.
b) Hai biến ngẫu nhiên X, Y có độc lập?

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

9

nguyenvantien0405.wordpress.com

The Trinomial Distribution

10

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Ví dụ 3

• Sinh viên đọc thêm

X: chiều dài (mm)
Y:
chiều
rộng
(mm)

15
16

129
0,12
0,08

130
0,42
0,28

131
0,06
0,04

• Tìm xác suất một chiếc CD có chiều dài 130mm biết
chiều rộng là 15mm.
• Tìm phân phối xác suất của X với điều kiện Y =15.

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

11

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

12

2


2/19/2019

Ppxs có điều kiện

Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)

• Giả sử bnn 2 chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng
thời và các hàm khối xác suất thành phần:

• Kỳ vọng của X với điều kiện Y=y (còn gọi là hồi quy
của X theo Y khi Y=y)

p X ,Y  x, y  ;

pX  x  ;

pY  y 

E  X | Y  y    x. p X | y  x    X | y

• PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là:
pX  x | y  

x

p X ,Y  x, y 

• Kỳ vọng của Y với điều kiện X=x (còn gọi là hồi quy
của Y theo X khi X=x)

pY  y 

• PPXS điều kiện của Y khi cho X=x là:
pY  y | x  
nguyenvantien0405.wordpress.com

E Y | X  x    y. pY | x  y   Y |x

p X ,Y  x, y 
pX  x 

y

13

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Phương sai có điều kiện

Ví dụ 4

• Phương sai của X với điều kiện Y=y



x

V  X | Y  y    x2 . pX | y
y

X: chiều dài (mm)

 .p  x
 x     

V  X | Y  y    x  X y

Y:
chiều
rộng
(mm)

2

X |y

2

X y

2
X y

• Tương tự cho Y.

nguyenvantien0405.wordpress.com

14

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

129
0,12
0,08

15
16

130
0,42
0,28

131
0,06
0,04

• Tìm E(Y|X=129) và V(Y|X=129)

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

15

nguyenvantien0405.wordpress.com

16

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Ví dụ 5

Ví dụ 6

• Chọn ngẫu nhiên 2 cục pin, không hoàn lại, từ 12
cục pin, trong đó bao gồm 3 cục mới, 4 cục đã sử
dụng và 5 cục bị hỏng.
• Gọi X là số pin mới được chọn.
• Gọi Y là số pin đã sử dụng được chọn.
• Lập bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
• Tìm E(X), E(Y)

• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác
suất:

Y

X
1
2

1

2

3

0,10
0,15

0,25
0,05

0,10
0,35

• Tìm luật ppxs của các biến X và Y.

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

17

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

18

3


2/19/2019

Ví dụ 7

Ví dụ 8

• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:

• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:

Y

X

1

2

3

X

6
0,10
0,05
0,15
7
0,05
0,15
0,10
8

0,10
0,20
0,10
• Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2)
• Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y).
nguyenvantien0405.wordpress.com

1

2

3

6
0,10
0,05
0,15
7
0,05
0,15
0,10
8
0,10
0,20
0,10
• Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)?
• Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)?
19

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Y

20

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

Ví dụ 9

Ví dụ 9

• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y
(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng
thời như sau:

• Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi
phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?

Y

X

500
700
900
(400-600) (600-800) (800-1000)

30

50
80
nguyenvantien0405.wordpress.com

0,10
0,15
0,05

0,05
0,20
0,05

A. 60,5

B. 48,3333

C. 51,6667

D. 76,25

0
0,05
0,35
21

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Ví dụ 10

Ví dụ 10

• Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai
ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %)
có ppxs đồng thời như sau:

Y
X

-1
4
8

-2

5

10

0,10
0,15
0,05

0,05
0,20
0,05

0
0,05
0,35

• A) Lập bảng phân phối biên của X, Y. Tính lãi trung bình
của từng ngân hàng.
nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

22

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

23

Y

-2

5

10

0,10
0,15
0,05

0,05
0,20
0,05

0
0,05
0,35

X

-1
4
8

• B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình của X?
• C) X và Y có độc lập nhau không
• D) Lập bảng ppxs của T=X+Y. Tìm E(T), V(T)

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

24

4


2/19/2019

Kỳ vọng của hàm theo X,Y

Ví dụ 11

• Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=h(X,Y) là biến

mới.
• Ta có:

E  h  X , Y     h  xi , y j  P  X  xi , Y  y j 
i

j

• Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng thời
như sau:

Y

X

E  h  X , Y     h  x, y  p X ,Y  x, y 
x

4
5

y

1

2

3

0,10

0,25

0,15
0,20

0,1
0,2

• Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

25

Ví dụ 12

(0;0)
0,1

26

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Hiệp phương sai (Covariance)

• Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:

(X,Y)

pij

nguyenvantien0405.wordpress.com

• Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y, ký
hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích các sai lệch
của các bnn đó và kỳ vọng toán của chúng.

(0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)
0,2
0,3 0,05 0,15 0,2

cov  X , Y   E  X   X Y  Y    XY

E  Z   E  X  Y    0  0  .0,1   0  1 .0, 2

cov  X , Y   E  XY    X Y

  0  2  .0,3  1  0  .0, 05  1  1 .0,15
 1  2  .0, 2  1, 75
nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

27

nguyenvantien0405.wordpress.com

28

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Tính chất Covariance 1

Ví dụ 13

1) cov  X , Y   cov Y , X 
2) cov  X , X   V  X 
3) cov  X  X ', Y   cov  X , Y   cov  X ', Y 

Y
X

4) cov  kX , Y   k cov  X , Y 

-1
4
8

5) cov  aX  c, bY  d   ab cov  X , Y 

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

29

nguyenvantien0405.wordpress.com

-2

5

10

0,10
0,15
0,05

0,05
0,20
0,05

0
0,05
0,35

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

30

5


2/19/2019

Tính chất Covariance 2

Hệ số tương quan
• Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y ký

hiệu Corr(X,Y) và định nghĩa bởi cơng thức:

6) Nếu X và Y độc lập thì cov  X , Y   0,
ngược lại không chắc đúng.

Corr  X , Y  

7) V  X  Y   V  X   V Y   2 cov  X , Y 
8) V  aX  bY   a 2V  X   b 2V Y   2ab cov  X , Y 
9) cov  X , Y    V  X  .V Y 
2

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

  X ,Y  ; r  X ,Y 

31

nguyenvantien0405.wordpress.com

  X ,Y nếu ab>0
iii )  aX  c ,bY  d  
  X ,Y nếu ab<0
iv) Y  aX  b,  a  0  khi và chỉ khi:
nếu a>0
nếu a<0

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

33

nguyenvantien0405.wordpress.com

Về dấu của Corr(X,Y)

34

Cho bảng ppxs đồng thời:

• Tại sao ρX,Y có thể đo mức độ tương quan tuyến tính?
• Tại sao ρX,Y càng gần 1; -1 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng
mạnh

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Ví dụ 14

• />
nguyenvantien0405.wordpress.com

32

• Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến
tính giữa X và Y.
• Khi |ρX,Y| càng gần 1 thì mức độ quan hệ tuyến
tính càng chặt.

• Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến
tính càng yếu.
• Khi ρX,Y = 0 ta nói X và Y khơng tương quan.

ii ) Nếu X và Y độc lập thì  X ,Y  0.

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Ý nghĩa

i )  1   X ,Y  1 với mọi X, Y.

1
1

 XY

• Hệ số tương quan còn ký hiệu là:

Tính chất

 X ,Y  

cov  X , Y 

35

a) Tìm hệ Corr(X,Y)

b) X và Y có phải là hai biến ngẫu nhiên độc lập

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

36

6