Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 1: Giới hạn và liên tục

•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)



Mục tiêu của môn học Toán 1

n học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm m
n và phương trình vi phân.

úp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán,
vận dụng giải các bài toán cụ thể.

ết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa
kỹ thuật.


Giới hạn và liên tục

Đạo hàm và vi phân

Tích phân hàm một biến

Phương trình vi phân


học đầy đủ.

àm tất cả các bài tập cho về nhà.

ọc bài mới trước khi đến lớp.

ánh giá, kiểm tra.

hi giữa học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút

hi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút.


ệu tham khảo

uyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,… Phép tính vi phân hàm một biế
GD, 2005

ô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1.

Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia

mes Stewart. Calculus, fifth edition, 2005.

Nội dung

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Giới hạn của dãy số thực
0.2 – Giới hạn của hàm số

0.3 – Liên tục của hàm số


nghĩa
trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp A
c gọi là cận trên đúng của A và ký hiệu là supA
emum của A)

trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp
c gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA
mum của A)

uyên lý supremum.

p khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng.

p khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới đúng.


I. Giới hạn của dãy số thực
-----------------------------------------------------------nh nghĩa

Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tậ
thực R.
u:N  R
n  u ( n)

hường dùng ký hiệu:

n


un n 1

 

hay đơn giản

được gọi là số hạng thứ n của dãy.

 un 


ãy số là tập hợp vô hạn các số thực được đánh số
eo thứ tự:
u1, u2 ,..., un ,...

dụ:

 (1)n 
 un   


 n 1 

hi ở dạng tường minh, ta có
n
 1 1 1
 1 
,...
 un    , , ,....,
n 1 
 2 3 4



nh nghĩa

ố a được gọi là giới hạn của dãy số  un , nếu

  0, n0  n  n0  un  a   

n
lim
u

a
u

a
Ký hiệu: n n
hay n

ếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi
ãy hội tụ.

Ngược lại, dãy được gọi là dãy phân kỳ.


n
1
ng định nghĩa chứng tỏ rằng lim
n n  1

 0

n
1  
n 1

họn số tự nhiên n0 

hi đó

1


n 1

1



n

1



1

1

1
1
n


n  n0 :| un  1|
1 
n  1 n0  1
n 1

n
 lim
1
n n  1

(theo định nghĩa)


ố a không là giới hạn của dãy số



 un , nếu

  0, n0  N n1  n0 & un1  a  



a không là giới hạn của dãy  un  , nếu tồn tại số

ơng   0 để với mọi số tự nhiên n tìm được số tự

 n0 sao cho un  a   .
1




n 1

hứng tỏ rằng dãy   1  
không có giới hạn
n n 1


hứng tỏ: | un  un 1 | 1

ật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng v
số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ.
1

1
1
u2k 1  1 
 0 | un  un 1 |
k 1
2k
2k  1
1
1

 R Xét khoảng  a  , a  
2
2


ai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoả
y. Vậy không tồn tại giới hạn.


a nói  un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn
hi và chỉ khi:

A  0, n0  N  n  n0  un  A 

n 
lim
u


Ký hiệu: n n

hay un  

nói  un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn
i và chỉ khi:
B  0, n0  N  n  n0  un  B 

n
lim
u


Ký hiệu: n n
hay un 


ệnh đề 1 (tính duy nhất của giới hạn)

ếu dãy  un  hội tụ đến hai số a và b, thì a = b.

 lim un  a
a b
n
Giả sử 
và a  b . Đặt  
3
lim
u

b
n

 n
na :  n  na  un  a   

Đặt n0  Max na , nb
 nb :  n  nb  un  b   
 b  a  un  u n  b  un  a  un  b

 a  b      2 

2

|a b|

Mâu thuẫn.


u các dãy  un  ,  vn  hội tụ và

 un   a,  vn   b , thì

 un 
c dãy un  vn  ; un  vn  ;   , (vn  0 & b  0);
 vn 

u hội tụ. Ta có

lim  un  vn   a  b



 un  a
3) lim   
n  vn  b

lim  un  vn   a  b

4) lim un | a |

n

n 

 un


nói dãy  un  bị chặn trên, nếu

A  R : n  N , un  A

nói dãy  un  bị chặn dưới, nếu

B  R : n  N , un  B

ột dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dã
chặn.


nh nghĩa
nói dãy

 un  là dãy tăng, nếu
n  N , un 1  un

nói dãy  un  là dãy giảm, nếu

n  N , un 1  un

ột dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dã
ơn điệu.


nh đề 2

ếu dãy  un  hội tụ, thì  un  bị chặn.

un  a
Giả sử nlim


 n0 :  n  n0 | un  a | 1

 a  1  un  a  1





Đặt: M  Max u1 , u2 ,..., un0 ,1 | a |  un  M

Chú ý:

Ví dụ.

Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội
n 

 (1) 

n 1


ệnh đề 3 (định lý kẹp)

Cho 3 dãy  un  ,  vn  ,  wn  sao cho n0 , n  n0  un  v

n 
u
,
w
à  n   n  cùng hội tụ đến a, khi đó  vn   a

o   0 . Vì  un  ,  wn  hội tụ đến a, nên n1 , n2  N :

n  n1 | un  a | 
n  n2 | wn  a | 

un  a | 

wn  a | 

Đặt n0  Max n1 , n2 
Khi đó n  n0 , ta có

   un  a  vn  a  wn  a   | vn  a | 
n


 u n    vn 



 wn 

a

n 
 n
dụ: Tìm giới hạn của dãy  un     2

 k 1 n  k 
2
n
n
n
n
 2
1
n   2
k 1 n  1 n  1
 lim  un   1

n 
n
n
n
n

1
n   2


dụ.
Tìm

có

lim

5n

n n n

5

n

n

5
0  n    , n  6
n

6

0
 lim

5

n

n n n

0


lim n a  1, a  0.

Chứng tỏ

1. a  1

Đặt

n
n

n

a  1   n  0  a   n  1  n n

a

 0  n 
n

 lim  n  0
n

 lim n a  1
n

0

H2. 0  a  1

1
1
lim a 
,
b


1
n
a
lim n b
n

n

n
lim

b  1.
ử dụng TH1,
n 


nh đề 4 (định lý Weierstrass)

y tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

y giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

o  un  tăng và bị chặn trên.

p S  u1 , u2 ,... khác rỗng và bị chặn trên.

eo nguyên lý Supremum, có supS = a.



eo định nghĩa của supS:   0, n0 a    un0  a

 un  tăng nên n  n0  un  un0

 a    un  a  a    un  a  

 lim un  a
n 



Chứng tỏ dãy truy hồi  un  , u1  2; un 1  2  un

à dãy tăng và bị chặn trên.

Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.

ùng qui nạp, chứng tỏ un  2

ả sử n  k : un  2

k 1

n 1

Khi đó với n  k  1

 2  uk  2  2  2
 2  un  un  un 

  lim un  a

a  2a

Vậy dãy bị chặn trên.
2
un

 un Vậy dãy tăng.
2

a a20  a 