Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 1: Giới hạn và liên tục
(tiếp theo)
•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I.2 – Giới hạn của hàm số

 – Hàm số.
 – Giới hạn của hàm số.
 – Vô cùng bé, Vô cùng lớn.


1. Hàm số
Định nghĩa (hàm hợp)
Cho hai hàm g : X  Y ; f : Y  Z .
Khi đó tồn tại hàm hợp f  g : X  Z .

h  f  g  f ( g ( x))
Ví dụ.

g ( x)  x  3; f ( x)  x 2

 f  g ( x)  f ( g ( x)  f ( x  3)   x  3

 g  f ( x)  g ( f ( x))  g ( x 2 )  x 2  3

2


Ví dụ.
Cho f ( x)  x ; g ( x)  2  x. Tìm các hàm sau và miền
xác định của nó: a ) f  g ;

b) g  f ;

2 x  4 2 x

a) f  g ( x) 

b) g  f ( x )  2  x
4

c) f  f ;

d) g  g .

 D f  g  (, 2]

 Dg  f   0, 4

c ) f  f ( x)  x

 D f  f   0,  

d ) g  g ( x)  2  2  x

 Dg  g   2, 2


Đầu vào

Đầu ra


Định nghĩa (hàm 1 – 1)
Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu x1  x2  D f
thì f ( x1 )  f ( x2 ).

Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại
đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm.


Ví dụ.

Hàm 1 – 1

Không là hàm 1 – 1

Định nghĩa (hàm ngược)
Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền
giá trị E. Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D,
ký hiệu x  f

1

( y ), xác định bởi x  f

1

( y )  y  f ( x).


Chú ý:
1
a

f
(b)  b  f (a ) , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x)
Vì

khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của f 1.


Đồ thị y = f(x) và đồ thị của f
qua đường thẳng y = x.
Ví dụ. Vẽ đồ thị của
Vẽ đồ thị của y   x  1
và đồ thị hàm ngược.

1

đối xứng nhau qua


Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = sin x

 -  
Trên đoạn  ,  , y = sin x là hàm 1 – 1.
 2 2
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arcsin x


Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = cos x

Trên đoạn

0,  

, y = cos x là hàm 1 – 1.

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arccos x


Hàm arcsin x
Miền xác định: [-1,1]

Miền giá trị:

 -  
 2 , 2 

Hàm luôn luôn tăng.
Hàm arccos x
Miền xác định: [-1,1]
Hàm luôn luôn giảm.

Miền giá trị:

0, 


Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = tanx

  
Trên khoảng   ,  , y = tan x là hàm 1 – 1.
 2 2
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arctanx


Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = cot x

Trên khoảng

 0, 

, y = cot x là hàm 1 – 1.

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y  arccot x


Hàm arctan x
Miền xác định: R

Miền giá trị:

 -  
 , 
 2 2

Hàm luôn luôn tăng.
Hàm arccotan x
Miền xác định: R
Hàm luôn luôn giảm.

Miền giá trị:

 0, 


Định nghĩa (hàm Hyperbolic)
sin hyperbolic
cos hyperbolic
tan hyperbolic
cotan hyperbolic

x

x

x

x

e e
sinh( x) 
2

e e
cosh( x) 
2
sinh( x)
tanh( x) 
cosh( x)

cosh( x)
coth( x) 
sinh( x)


Hàm y  cosh( x)

Hàm y  sinh( x)

Hàm y  tanh( x)

Hàm y  coth( x)


Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)

1) cosh 2 (a )  sinh 2 (a )  1
2

2

2) sinh(2a )  2sinh( a )cosh(a ); cosh(2a )  cosh (a )  sinh ( a)
3) cosh(a  b)  cosh(a )cosh(b)  sinh(a )sinh(b)

4) cosh(a  b)  cosh(a ) cosh(b)  sinh(a )sinh(b)
5) sinh(a  b)  sinh(a ) cosh(b)  sinh(b) cosh(a )
6) sinh(a  b)  sinh(a )cosh(b)  sinh(b)cosh(b)


và các công thức lượng giác hyperbolic khác.
Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công
thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay
sin bởi isinh.
Ví dụ. Từ công thức
ta có

2

2

2

cos a  sin a  1
2

2

cosh a  i sin a  1

 cosh 2 a  sinh 2 a  1


Hàm cho bởi phương trình tham số.
Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận
V nào đó của điểm t0 .
Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên,
giả sử của x = x(t) là t = t(x).
Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm
cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t).


Ví dụ.
Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số

 x  2cos t
(1)

 y  3sin t
x

 2  cos t
(1)  
 y  sin t
 3

x2 y 2


1
4
9

Đây chính là phương trình của ellipse.


Ví dụ.
Phương trình tham số của đường
tròn tâm O bán kính R:

 x  R cos t

 y  R sin t

Phương trình tham số của đường
tròn tâm (a,b) bán kính R:
Phương trình tham số của ellipse

 x  a cos t

 y  b sin t

 x  a  R cos t

 y  b  R sin t

x

2

a2



y

2

b2

 1 là


2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa.
Cho D là tập số thực. Điểm x0 được gọi là điểm tụ của
tập D nếu trong mọi khoảng ( x0   , x0   ) đều chứa vô
số các phần tử của tập D.
Ví dụ.

D = (0,1)

Điểm tụ của D là [0,1]

1

D   ,n N 
D có duy nhất một điểm tụ là 0
n



n n 1
D  (1)
, n  N  D có hai điểm tụ -1 và 1.
n2

