Bài giảng Xử lý số tín hiệu: Chương 2 - ĐH Sài Gòn

Chương 2:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN
PHỨC Z

2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z

1


2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:


• Biến đổi Z của dãy x(n):

X (z) 

n
x
(
n
)
z


(*)

n  

Trong đó Z – biến số phức

Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía


Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):

X ( z )   x ( n ) z  n (**)
n0

• Nếu x(n) nhân quả thì : (*)
• Ký hiệu:
Z
x(n) 
X(z)
Z 1
X(z) 
 x(n)

 (**)

hay X(z) = Z{x(n)}
hay x(n) = Z-1{X(z)}
2


2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho

X(z) hội tụ.
Im(Z)
Rx+

• Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng
tiêu chuẩn Cauchy

Rx-

Re(z)
0

0

• Tiêu chuẩn Cauchy:


Một chuỗi có dạng:

 x(n)  x(0)  x(1)  x(2)  
n0

hội tụ nếu:

1
n

lim x(n)  1

n 

3


Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n)


X( z ) 

 x( n )z

n





n  

 a u( n )z
n

n



  a .z

n  

Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
1
X( z ) 
1  az 1
1n
n
1 

Nếu:

lim  az
n  

Vậy:

1
X( z ) 
; ROC : Z  a
1
1  az




n

n0

n

n



 

  az 1
n 0

Im(z)

ROC
/a/

Re(z)

0

1 z  a

4


Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=-anu(-n-1)


X( z ) 

n

x
(
n
)
z



  a u( n  1 )z
n

n  

n  




m

 

   a 1 z    a 1 z
m 1

n



n n

a
 .z
n  

m



 

1

Im(z)

1

m 0

Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
n

1
X ( z )    a z   1 
1
1  az
m 0


/a/

Re(z)
0

ROC

1

1n

1 n 

Nếu: lim  a z 
n  


1  z  a
5


2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.2.1 Tuyến tính
Z

• Nếu:
• Thì:

x1 (n)  X1 ( z) : ROC  R1
Z
x2 (n) 
X 2 ( z) : ROC  R 2

Z
a1 x1 (n)  a2 x2 (n) 
a1 X 1 ( z )  a2 X 2 ( z )

ROC chứa R1 R2
Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của
x(n)=anu(n) - bnu(-n-1) với /a/
6


Im(z)

Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có:

1
a u (n) 
1  az 1
Z

n

ROC
/a/

R1 : z  a

Re(z)

0

Im(z)

1
 b u ( n  1) 
1  bz 1
n

Z

R2 : z  b

Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
1
1
Z
a nu( n )  b n u(  n  1 ) 

1  az 1 1  bz 1

/b/
Re(z)

0

ROC
Im(z)

ROC /b/
Re(z)

R  R1  R2 : a  z  b

0

/a/
7


2.2.2 Dịch theo thời gian
Z
Nếu: x( n ) 
X( z )

Thì:

: ROC  R

Z
x( n  n0 ) 
z  n X ( z ) : ROC  R'
0

 R trừ giá trị z=0, khi n0>0
Với: R'  
 R trừ giá trị z=∞, khi n0<0
Ví dụ 2.2.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n-1)
Theo ví dụ 2.1.1:

1

a u (n) 
; ROC : z  a
1
1  az
n

Z

1
az
Z
nu(n-1)=a.an-1u(n-1) 
x(n)=a

:z a
Vậy
1
1  az
:
8


2.2.3 Nhân với hàm mũ an
Z
Nếu: x( n) 
X ( z ) : ROC  R
Z
Thì: a n x(n)  X ( a 1 z ) : ROC  a R

Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của

x1(n)=u(n) và x2(n)=anu(n)


1
x( n )  u( n )  X ( z )   u( n )z 
;R : z 1
1
1 z
n  
Z

1

1
a x( n )  a u( n )  X ( az ) 
; R' : z  a
1
1  az
n

n

Z

1

9


2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z

Z
Nếu: x(n)  X ( z ) : ROC  R

dX(z)
Thì: n x( n)   z
: ROC  R
dz
Z

Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của g(n)=nanu(n)

1
x(n)  a u (n)  X ( z ) 
; ROC : z  a
1
1  az
n

Z

1
az
dX
(
z
)
Z

:z  a
g( n )  nx( n ) G( z )  z

1 2
(1  az )
dz
10


2.2.5 Đảo biến số
Nếu:
Thì:

Z
x(n) 
X ( z ) : ROC  R

Z

-1

x( n)  X (z ) : ROC  1 R

Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của y(n)=(1/a)nu(-n)

1
x( n)  a u ( n)  X ( z ) 
; ROC : z  a
1
1  az
Z

n

n

 y ( n)  1 a  u ( n)  a  nu ( n)  x( n)
Áp dụng tính chất đảo biến số:
1

Y(z)  X (z ) 

1

 

1 a z

1 1

1

; ROC : z  1 / a
1  az
11


2.2.6 Liên hiệp phức
Z
x
(
n
)



X ( z ) : ROC  R
Nếu:

Thì:

Z
x * ( n) 
X * (z*) : ROC  R

2.2.7 Tích 2 dãy
Nếu:

Z
x1 (n) 
X 1 ( z ) : ROC  R 1

Z
x2 (n) 
X 2 ( z ) : ROC  R 2

Thì:

Z
x1 (n) x2 (n) 

1
 z  1
X

(

)
X
d : ROC  R 1  R 2
1
1  

2 c
 

2.2.8 Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì: x(0)  Lim X(z)
Z 

12


Ví dụ 2.2.6: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả
Theo định lý giá trị đầu:

x(0)  lim X(z)  lim e1/z  1
Z 

Z 

2.2.9 Tổng chập 2 dãy

Nếu:

Z
x1 ( n) 
X 1 ( z ) : ROC  R 1
Z
x2 ( n) 
X 2 ( z ) : ROC  R 2

Z
Thì: x1 (n) * x2 (n) 
X 1 ( z ) X 2 ( z ) :ROC có chứa R1  R2

13


Ví dụ 2.2.7: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết
x(n)=(0.5)nu(n) và h(n)=-2nu(-n-1)
1
x( n )  ( 0.5 ) u( n )  X ( z ) 
; ROC : z  0.5
1
1  0.5 z
n

Z

1
h( n )  2 u(  n  1 )  H ( z ) 
; ROC : z  2
1
1 2z

n

Z

1
1
Y ( z )  X ( z )H ( z ) 
.
; ROC : 0,5  z  2
1
1
( 1  0.5 z ) ( 1  2 z )

Z-1

1
1
4
1
 .
 .
; ROC : 0,5  z  2
1
1
3 ( 1  0.5 z ) 3 ( 1  2 z )

1
4 n
n
y (n)  x( n) * h(n)   (0.5) u (n)  2 u (n  1)

3
3
14


TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n)
a1x1(n)+a2x2(n)
x(n-n0)
an x(n)
nx(n)
x(-n)

X(z)
a1X1(z)+a2X2(z)
Z-n0 X(z)
X(a-1z)
-z dX(z)/dz
X(z -1)

R

x*(n)

X*(z*)

R

x1(n)x2(n)

1
 z  1
X
(
v
)
X
1
2  v dv

C
2j
v

R1  R2

x(n) nhân quả

x(0)=lim X(z ->∞)

x1(n)*x2(n)

X1(z)X2(z)

Chứa R1  R2

R’
R
R
1/R

Chứa R1  R215


BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n)

X(z)

ROC

(n)

1

z

u(n)

1
1
1 z

/z/ >1

1
1  az 1

/z/ > /a/

az 1
(1  az 1 ) 2

/z/ > /a/

-u(-n-1)
an u(n)
-an u(-n-1)
nan u(n)
-nan u(-n-1)

cos(on)u(n) (1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2)
sin(on)u(n)

(z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2)

/z/ <1
/z/ < /a/

/z/ < /a/
/z/ >1
/z/ >116


2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

1
n 1
x( n ) 

X ( z )z dz (*)

2j C
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo
chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
 Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
• Các phương pháp biến đổi Z ngược:
 Thặng dư
 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
 Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
17


2.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:
• Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa:

Re sF ( z )Z  Z ci

1 d ( r 1)
r

F
(
z
)(
z


z
)
ci
( r 1)
(r  1)! dz





Z  Z ci

• Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa:

Re sF ( z )Z  Z ci  F ( z )( z  zci )Z  Z ci
b) Phương pháp:
• Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích
phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả
các điểm cực của hàm X(z)zn-1 :
18


1
n 1
n 1

Re
s
X
(

z
)
z
x (n) 
X
(
z
)
z
dz


2j C
i





Z  Z ci

(*)

Trong đó:
• Zci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C
• Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci
 Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta
được x(n)

z

Ví dụ 2.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của X ( z ) 
( z  2)
Thay X(z) vào (*), ta được
1
z
1
n
n 1
n 1


z

z
dz
x ( n) 
X
(
z
)
z
dz

Res

 ( z  2 )
2j C ( z  2 )
2j C



19


 Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng
tròn có bán kính là 2
n
z
n 1
• n0: X ( z ) z 
có 1 điểm cực đơn Zc1=2
( z  2)

Im(z)
ROC

Thặng dư tại Zc1=2:

 z

 z 
n

2

(
z

2
)
Res 




(
z

2
)
(
z

2
)
 Z 2

 Z 2 
• n<0: X ( z ) z

2

n

n

n 1

1
1



n
( z  2) z
( z  2) z m

Re(z)

0

C

Zc1=2 đơn,
Zc2=0 bội m



1


1
1

(
z

2
)
Với: Zc1=2 Res 
 ( z  2) z m
  m
m

 Z 2 2
 ( z  2) z  Z 2 
20


Với: Zc2=0 bội m:



1
1
d m 1 
1
m
Res 

z 
m
m 1 
m
 ( z  2) z  Z 0 (m  1)! dz  ( z  2) z
 Z 0

1  (m  1)!( 1) m1 
1


 m
m
(m  1)! 

(2)
2


Vậy, với n<0:

suy ra



 zn  1
1
Res 
  m  m 0
2
 ( z  2)  2

x(n)  2n : n  0 hay x(n)  2 n u (n)

21


2.3.3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN CHUỖI LUỸ THỪA


Giả thiết X(z) có thể khai triển: X ( z ) 

n
a
z

 n
n  

(*)



Theo định nghĩa biến đổi Z

X ( z) 

n
x
(
n
)
z

n  

Đồng nhất (*) & (**), rút ra:

(**)

x ( n )  an

Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết X(z) = z2 + 2z + 3 - 4z-1 - 5z-2
ROC: 02

X( z ) 

n
2
1
0
1
2
x
(
n
)
z

x
(

2
)
z

x
(

1
)
z

x
(

0
)
z

x
(
1
)
z

x
(
2
)
z

n2

Suy ra: x(n)  {1,2, 3,-4,-5}


22


1
: z 2
Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: X ( z ) 
1
1  2z
Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả

và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:


X ( z )   an z n  a0  a1 z 1  a2 z 2  

(*)

n 0

Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:

1

1 - 2z -1

1  2 z 1

1  2 z 1  22 z 2  

2 z 1
1



2 -2

2z - 2 z

2 -2

2 z
..............

 X ( z )   2n z n
n0

 x ( n)  2 n : n  0  2 n u ( n)
23


1
: z 2
Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết: X ( z ) 
1
1  2z
Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân
quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:


X( z ) 

n
1
2
3
a
z

a
z


a
z

a
z

 n
1
2
3

(**)

n  1

Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:

- 21 z -1  1

1

3 3

2
z 
 2 z 2 z

1 1

1 1

1 2 z

2 1 z 1

2

2



 X ( z) 

2 1 z 1 - 2 -2 z 2
-2

2 z
..............

2

n n

2
 z
n  1

 x( n)  2n : n  0  2n u ( n  1)
24

2.3.4

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN

THÀNH

TỔNG

Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:

D( z ) d K z K  d K 1 z K 1  ...  d1 z  d 0
X ( z) 

B( z ) bN z N  bN 1 z N 1  ...  b1z  b0

với: K, N >0

• Nếu K>N, thực hiện phép chia đa thức:

D( z )
A( z )
aM z M  aM 1 z M 1...  a1 z  a0
X ( z) 
 C ( z) 
 C ( z) 
bN z N  bN 1 z N 1  ...  b1z  b0
B( z )

B( z )
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN
• Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề
phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc MN
25