Bài giảng Xử lý số tín hiệu: Chương 4 - ĐH Sài Gòn

Chương 4:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN
TẦN SỐ RỜI RẠC
4.1 KHÁI NIỆM
4.2 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC (DFS)
4.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
4.4 BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)

1




4.1 KHÁI NIỆM
Biến đổi Fourier dãy x(n): X ( e

j



)



x( n )e  j n

n

 X(ej) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
Tần số  liên tục
Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞

Khi xử lý X(ej) trên thiết bị, máy tính cần:
 Rời rạc tần số  -> K
 Độ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0  N -1
 Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT
(Discrete Fourier Transform)
2




4.2 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC CỦA TÍN HIỆU
TUẦN HOÀN (DFS)
 n ) tuần hoàn với chu kỳ N:
 Xét tín hiệu x(
 n )  x(
 n  lN )
x(

 n ) được biểu diễn bởi tổng các
Khi đó tín hiệu tuần hoàn x(
hàm mũ phức.
 Xét hàm mũ phức ek ( n )  e

ek ( n  rN )  e
ek  lN ( n )  e

j

j

2
( n  rN )k
N

2
( k  lN )n
N

j

2
nk
N

e

e

j

j

tuần hoàn với chu kỳ N:
2
nk
N

2
nk

N

 ek ( n )

 ek ( n )
3




 n ) có thể biểu diễn bởi một chuỗi
 Tín hiệu tuần hoàn x(
Fourier dưới dạng:

1
N

 n)
x(

 n )e
 x(
N 1



j

2
mn

N

 n )e
 x(

j

N 1

 X ( k )e

1

N

2
mn
N



 n )e
 x(

n 0

j

2
nk

N

k 0

n0

N 1

j

2
mn
N

N 1

 X ( k )e

j

2
2
nk  j mn
N
N

e

k 0

1

N

N 1 N 1

  X ( k )e

j

2
 k  m n
N

n  0 k 0

1
  X ( k ) 
k 0
 N
N 1

N 1

e
n 0

j

2

 k m n
N




4




 Do:

1
N

N 1

e

 n )e
 x(
n0

2
 k  m n
N

k 0

N 1



j

j

2
mn
N

1: k  m

0 : k  m

1

  X ( k )
k 0
 N
N 1

N 1

e
n 0

j

2
 k m n
N


  X ( m )


 n) :
 Hay ta có cặp phân tích và tổng hợp của chuỗi x(
2
N 1

 j kn
 n )e N
 X ( k )   x(

n0

2
N 1
j
kn
1

N

X ( k )e
 x( n )  N n
0

5




4.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
4.3.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC


DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa:
2
 N 1
 j kn
  x( n )e N : 0  k  N  1
X ( k )   n0
0
: k còn lại


WN  e


j

 N 1
kn
x(
n
)W


N : 0  k  N 1
X ( k )   n 0
0
: k còn lại


2
N

WN tuần hoàn với độ dài N:

W N( r  mN )  e

j

2
( r  mN )
N

e

j

2
r
N

 W Nr
6




• X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:

X ( k )  X ( k ) e j ( k )
X ( k ) - phổ rời rạc biên độ
Trong đó:

 ( k )  arg[ X ( k )] - phổ rời rạc pha





IDFT:

1

x( n )   N

0

N 1

 X ( k )e

j

2
kn
N

: 0  n  N 1

k 0

: n còn lại

Cặp biến đổi Fourier rời rạc:
N 1

kn
: 0  k  N 1
 X ( k )   x( n )W N

n0

N 1
1
 kn
 x( n ) 
X
(
k
)W
: 0  n  N 1

N


N k 0


7








Ví dụ 4.3.1: Tìm DFT của dãy: x( n)  1,2,3,4
3

X ( k )   x( n )W4kn
n 0

W41  e

j

2
4



  j;W42  1;W43  j

3

X ( 0 )   x( n )W40  x( 0 )  x( 1 )  x( 2 )  x( 3 )  10
n0
3

X ( 1 )   x( n )W4n  x( 0 )  x( 1 )W41  x( 2 )W42  x( 3 )W43  2  j 2
n0
3

X ( 2 )   x( n )W42 n  x( 0 )  x( 1 )W42  x( 2 )W44  x( 3 )W46  2
n 0

3

X ( 3 )   x( n )W43 n  x( 0 )  x( 1 )W43  x( 2 )W46  x( 3 )W49  2  j 2
n 0
8




Ví dụ: 4.3.2:
a) Tìm FT của dãy x(n)=an u(n), với /a/<1
b) Tìm DFT của dãy x(n)=an rectN(n)
c) Vẽ phổ biên độ & pha của FT và DFT với a=3/4, N=16



Biến đổi FT của x(n): X ( e

X(e

j

)

j

1
)
1  ae  j

1
1  2a cos   a 2

a sin 
j


arg  X ( e )  arctg
1  a cos 
9






Biến đổi DFT của x(n):

X(k ) 

N 1

N 1

n0

n 0

n
kn
a
W
 N 



aW Nk



n

1 aN

1  aW Nk

1 aN

X( k ) 
2
1  2a cos
k  a2
N
2
a sin
k
N
arg  X ( k )  arctg
2
a cos
k 1
N
10




/X(ej)/
4

a=3/4

0

2





/X(k)/
4

a=3/4

8
0

8

N=16
16

k

11




arg[X(ej)]
/2

a=3/4

0



8

2



-/2

arg[X(k)]

a=3/4
N=16
0

8

8

16

k

12




4.3.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA DFT
a. Tuyến tính

DFT

DFT
x2 ( n)N 
 X2 ( k )N



X1(k ) N
Nếu: x1(n)N 



a1X1( k )N  a2 X2 ( k )N
Thì: a1 x1(n)N  a2 x2 ( n)N 

DFT

Nếu: Lx1  N1  N2  Lx2 Chọn: N  max{ N1 , N 2 }
b. Dịch vòng


DFT

 X( k ) N
Nếu: x( n )N 

DFT
WNkn0 X( k ) N gọi là dịch vòng của
Thì: x( n  n0 )N 

x(n)N đi n0 đơn vị
 n  n0 )N rect N (n)
Với: x( n  n0 )N  x(



13








Ví dụ 4.3.1: Cho: x ( n)  1,2,3,4

a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)4, x(n-2)4
x(n)
4
3
2
1
0

n
1

2

3
x(n-2)

x(n+3)
4
3
2
1

a)
-3 -2 -1

0

n

4
3
2
1
0

n
1

2

3

4

5
14




x(n-1)4

x(n)
b)

4
3
2
1
0

n
1

2
N

4
3
2
1
0

3

n
1

2

3

x(n+1)4
4
3
2
1
0

n
1

2

3

x( n  2 )4 

 3 , 4 ,1, 2

x( n  3 )4 

 4,1, 2,3





15




c. Chập vòng


DFT
x(n)



X1(k)N
Nếu: 1 N

DFT
x2(n)N 
X2(k)N



DFT
x

(
n
)

x
(
n
)

 X1( k )N X2 ( k )N
Thì: 1
N
2
N
N 1

Với: x1( n)N  x2 (n)N   x1(m )N x2 (n  m )N
m0

Và: x2 ( n  m )N  x 2 ( n  m )N rect N ( n )

Chập vòng 2 dãy
x1(n) & x2(n)
Dịch vòng dãy
x2(-m) đi n đ/vị

Chập vòng có tính giao hoán:

x1( n)N  x2 ( n)N  x2 ( n)N  x1( n)N
Nếu: Lx1  N1  N2  Lx2 Chọn: N  max{ N1 , N 2 }

16




 

Ví dụ 4.3.2: Tìm chập vòng 2 dãy x1 ( n)  2,3,4

x2 (n ) 



1 , 2 , 3 , 4 


N 1

x3 ( n)N  x1(n)N  x2 ( n)N   x1(m )N x2 (n  m )N với N-1n 0
m0

 Chọn độ dài N:

N1  3,N 2  4  N  max{ N1 ,N 2 }  4
3

x3 ( n )4  x1 ( n )4  x2 ( n )4 

 x1 ( m )4 x2 ( n  m )4 : 0  n  3
m 0

 Đổi biến n->m: x1 ( m ) 

 2 ,3, 4,0






x2 ( m )  1 , 2 , 3 , 4







 Xác định x2(-m)4: x2 ( m )4  x2 ( m )4 rect4 ( n )  1, 4 ,3, 2


17




x2(m)

x2(-m)

4
3
2
1

4
3
2
1

m
0 1

2

x 2 ( m )

-3 -2 -1 0

3

m

-3 -2 -1 0

x2 (  m )4  x 2 (  m )rect 4 ( n )
4
3
2
1

m
1

2

3

4

4
3
2
1
0

m
1

2

3

18




 Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị
với 3  n  0

x2(-m)4

x2(1-m)4

4
3
2
1
0

m
1

2

4
3
2
1

3

0 1

x2(2-m)4
4
3
2
1
2

3

2

3

x2(3-m)4

m
0 1

m

4
3
2
1

m
0 1

2

3
19



3
 Nhân các mẫu
x1(m) & x2(n-m) x3 ( n )4   x1 ( m )4 x2 ( n  m )4 : 0  n  3
m 0
và cộng lại:

3

 n=0:

x3 ( 0 )4 



x1 ( m )4 x2 ( 0  m )4  26

m 0
3

 n=1:

x3 ( 1 )4 



x1 ( m )4 x2 ( 1  m )4  23

m 0
3

 n=2:

x3 ( 2 )4 



x1 ( m )4 x2 ( 2  m )4  16

m 0
3

 n=3:

x3 ( 3 )4 

 x1 ( m )4 x2 ( 3  m )4  25
m 0

Vậy: x3 ( n )4  x1 ( n )4  x2 ( n )4 

 26,23,16,25


20




Ví dụ 4.3.3: Tìm chập vòng 2 dãy x1(n)=x2(n)=rectN(n)
N 1

 Biến đổi DFT 2 dãy:X1( k )  X 2 ( k )   x1( n )W
n 0

kn

N 1

  WNkn
n0

N 1

k 0:

X1( 0 )   W 0  N
n 0
N 1

k 0:

X1( k )   WNkn
n0

1  WNkN

0
k
1  WN

N : k  0
X1( k )  
 0: k 

N 2 : k  0
X 3 ( k )  X1( k )X 2 ( k )  
 0: k 

1
x3 ( n )  x1( n )  x2 ( n ) 
N

N 1

 X3 ( k )W
k 0

 kn
N

N : n  0

 0: n 
21




d. Tính đối xứng




DFT

X( k ) N
Nếu: x( n)N 


DFT



X ( k )N
Thì: x (n)N 

e. Quan hệ Parseval


DFT

 X( k ) N
Nếu: x( n)N 
N 1



Thì:

 x( n )N

n0

2

1 N 1
2
  X( k )N
N k 0

22




f. Chập tuyến tính sử dụng DFT


Kết quả phép chập tuyến tính của 2 dãy x1(n)N1 và x2(n)N2
sẽ giống với chập vòng nếu thêm các mẫu 0 vào sau các
dãy x1(n) và x2(n) để có chiều dài tối thiểu là N1+N2 - 1:
x1(n)N1 * x2(n)N2 = x1(n)N1+N2 -1  x2(n) N1+N2 -1



Lưu đồ phép chập tuyến tính thông qua DFT được mô tả:

x1(n)N1+N2 -1

DFT

X1(k)
x

x2(n)N1+N2 -1

DFT

X3(k)

IDFT

x3(n)N1+N2 -1

X2(k)
23




Ví dụ 4.3.4: Cho 2 dãy x1(n)=x2(n)=rect3(n)
Hãy tìm x3(n)=x1(n)*x2(n) và x3(n)=x1(n)5  x2(n)5


Chập tuyến tính của 2 dãy:

x3 ( n )  x1 ( n )  x2 ( n )  { 1, 2 , 3, 2 ,1 }




Kết quả sẽ tương tự đối với phép chập vòng nếu thêm
vài mẫu 0 vào sau 2 dãy x1(n) và x2(n) để có độ dài tối
thiểu là 5:

x1 ( n )5  { 1 ,1,1, 0 , 0 } và x 2 ( n )5  { 1 ,1,1, 0 , 0 }




x3 ( n )5  x1 ( n )5  x2 ( n )5  { 1, 2 , 3, 2 ,1 }


24




4.3.3 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z & FT TỪ DFT
a. Khôi phục biến đổi Z
N 1

 Biến đổi Z của dãy x(n)N: X ( z )   x( n )z  n
n 0

1
 Biến đổi IDFT của X(k) là: x( n ) 
N
N 1

X( z ) 

 x( n )z
n0

1
X( z ) 
N

N 1

n

N 1

1
 
n0  N

N 1

 X ( k )N  W

k 0

n 0

 kn
X
(
k

)W

N

k 0

N 1

 X ( k )W
k 0

 k 1
N

z

N 1



n

1

N

(1  z  N ) N 1 X (k ) N
X ( z) 
 (1  W k z 1 )
N

k 0
N

 kn
N

 n
z


N 1

 X ( k )N
k 0



1 W

 k 1
N

z



N

1  W N k z 1

25

