Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy

MỤC LỤC
1. Mở đầu…………………………………………………………………Trang 
2
­ Lí do chọn đề tài nghiên cứu…………………………………………….Trang 
2
­ Mục đích nghiên cứu…………………………………………………….Trang 
2
­ Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………Trang 
2
­ Phương pháp nghiên cứu……………………………………………..….Trang 
3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………………Trang 
3          
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………… ……….Trang 
3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh 
nghiệm………..Trang 4
2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết 
vấn 
đề………………………………………………………………………….Trang 
4
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản 
thân, đồng nghiệp và nhà trường………………………………………..Trang 
19
3. Kết luận,kiến nghị……………………………………………………Trang 
19
­ Kết luận…………………………………………………………………Trang 
19
­ Kiến nghị……………………………………………………………….Trang 
19
Tài liệu tham khảo………………………………………………………Trang 

20
Phụ lục…………………………………………………………………..Trang 
23
                                              
 
1


1. Mở đầu:
   ­  Lí do chọn đề tài:
    + Bất đẳng thức là nội dung khó với học sinh nhưng lại là một trong những  
nội dung quan trọng trong các kỳ thi đại học. Trong quá trình học và ứng dụng 
lí thuyết để làm bài tập học sinh thường gặp nhiều khó khăn, lúng túng không 
biết xuất phát từ  đâu, phương pháp giải như  thế  nào. Chứng minh bất đẳng 
thức hoặc tìm giá trị  lớn nhất, giá trị  nhỏ  của một biểu thức là một dãy các 
bước biến đổi, đánh giá thông qua các bất đẳng thức mà đảm bảo dấu “=”  
bất đẳng thức luôn đúng tại mọi thời  điểm. Sai lầm học sinh hay gặp là 
không kiểm tra dấu “=”  của bất đẳng thức có xảy ra hay không?.  Như  thế 
học sinh dễ mắc sai lầm khi áp dụng các bất đẳng thức mà không xảy ra dấu  
“=”. Học sinh không biết xuất phát từ đâu?. Làm cách nào để suy luận ra các  
bất đẳng thức cần dùng trong bài toán. Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức  
Cauchy là một kỹ  thuật suy ngược nhưng logic, và tôi đã dựa trên “kỹ  thuật 
chọn điểm rơi ”   dự  đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để  giải bài  
toán nhằm giúp các em hạn chế và giảm những sai sót này trong quá trình giải 
toán. Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
­  Mục đích nghiên cứu : 
2


   Thông thường khi gặp bài toán bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị 

nhỏ nhất học sinh liên tưởng ngay đến dạng mẫu đã học và áp dụng ngay các  
bất đẳng thức đã học nhưng thực tế nhiều bài toán trong các kỳ  thi đại học,  
cao đẳng học sinh gặp những dạng toán phức tạp mà để giải đòi hỏi phải có 
những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là dự  đoán 
dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải toán.
­  Đối tượng nghiên cứu :
    Là học sinh lớp 10B2 và 10B3 trong quá trình học chương bất đẳng thức. 
Tôi lựa chọn 2 lớp của trường THPT Lưu  Đình Chất có những điều kiện 
thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng.
  +Học sinh:
   Chọn lớp 10B2 là nhóm thực nghiệm và 10B3 là nhóm đối chứng và tiến 
hành kiểm tra các kiến thức cơ  bản để  đánh giá và so sánh mức độ  của hai  
lớp trước tác động. Kết quả  kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp  
không có sự  khác nhau, do đó tôi dung phép kiểm chứng T­ Test để  kiểm  
chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động. 
   Kết quả :
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Đối chứng(ĐC)
Thực nghiệm(TN)
TBC
5,5
5,5
P=
0,43
P=0,43 > 0,05 , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm 
TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
  Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu
Nhóm
Kiểm tra trước 
Tác động (TĐ)

KT sau TĐ
TĐ
Thực nghiệm 01
Dạy học theo hệ thống  03
bài tập liên quan
Đối chứng
02
Dạy học theo hệ thống  04
bài tập có nhiều loại
Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T­ Test độc lập.
­  Phương pháp nghiên cứu:  
  + Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, báo Toán học và tuổi trẻ.
  +Thực hành thông qua quá trình giảng dạy.

3


   +Điều tra kết quả  học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ  và hiệu  
quả  đạt được của học sinh khi thực hiện đề  tài. Qua đó rút kinh nghiệm và 
thực hiện tốt hơn trong quá trình xây dựng đề tài. 
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: 
  +) Dựa vào nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 10. 
    Cụ thể là :”bài 1: Bất đẳng thức”  thuộc chương IV đại số 10.
    Khi giải các bài toán về bất đẳng thức trong chương trình sách giáo khoa 10 
sử dụng một số định lí và tính chất như sau:
) a +
b,  b c   a   c .
     ��
) a +  b a + c   b + c .

     �
�  b 
ac   bc  (c > 0) .
     +) a 
�۳  b 
ac   bc  (c < 0) .
     +) a 
) a + b ,c   d   a + c   b + d. .
     ��
) a  +b ,c   d   ac   bd    (a > 0, c > 0) .
     ��
     +)�
a �
b
 a 2n+1 b 2 n +1   (n N* ) .
     + a� b�  a 2n+1 b 2 n +1   (n N* , a  > 0) .
     +) �
a b

  a

     +) �
a b

 3 a

b   (a  > 0) .
3

b   .

a+b
  , ∀a,b 0
2
     
a+b
     ab =
� a=b
2
1
2  , ∀a > 0.
      +) a+
a
      +) x 0, x x, x − x.
+)  ab

+) a > 0:  x ��
a
−a ��
x a

                     x

a

                 
       +) a − b a + b

x
x

−a
a

a+b.

  +) Dựa vào một số tài liệu liên quan.   
  +) Học sinh lớp 10 trường THPT Lưu Đình Chất.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
    Một là: Qua thực tế dạy học tôi thấy trong chương trình lớp 10 phần bất  
đẳng thức, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng ít.
4


   Hai là: Trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số ban nâng cao và cơ bản đều 
không có hoặc rất ít bài toán bất đẳng thức yêu cầu nêu dấu “=” xảy ra?. Do 
đó học sinh không có thói quen thử  lại dấu “=” có xảy ra hay không? Đây 
chính là sai lầm học sinh hay gặp phải.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để sử dụng giải quyết vấn đề như sau
+ Cung cấp cho học sinh không chỉ kiên th
́ ức mà cả phương pháp suy luận, 
khả  năng tư  duy. Từ những kiên th
́ ức cơ  bản phải dẫn dắt hoc sinh co đ
́ ược 
những kiên th
́ ức nâng cao một cách tự  nhiên (chứ  không áp đăt ngay kiên th
̣
́ ức  
nâng cao).
+ Nôi dung

̣
 :
Bài toán mở đầu :
1
Bài toán 1. Cho  x 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  A = x +
x
+) Sai lầm thường gặp : 
1
1
2 x. = 2 .
x
x
+) Nguyên nhân sai lầm:
1
MinA=2  � x = � x = 1 � vô lý vì  x 4
x
+) Xác định điểm rơi: 
1
Hàm số:  f ( x ) = x +    là hàm số đồng biến trên  [ 4;+
x
Vì  x1 �x2 ; x1 , x2 �[ 4; +�) :
A= x+

).

f ( x2 ) − f ( x2 )
1
1 15
=1−
>1−

= >0
x2 − x1
x2 .x1
4.4 16
1 17
= � x=4
4 4
Do bất đẳng thức Cauchy   xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số  tham gia 
phải bằng nhau nên ta đưa tham số   α   sao cho tại điểm rơi x=4 thì cặp số 
Nên  MinA = 4 +

x 1
và phải bằng nhau.
α x
Với x=4 cho cặp số:
x 4
=
α α � 4 = 1 � α = 16
1 1
α 4
=
x 4
5


+) Lời giải đúng: 
1 x 1 15 x
x 1 15.4 17
= + +
2

. +
=
x 16 x 16
16 x 16
4
x 1
=
17
MinA = ��16 x
x=4� x=4
4
x=4
A= x+

Lời bình: Bài toán 1 áp dụng bất đẳng thức  A = x +

1
x

1
2 x. = 2 . lời giải 1 
x

tại sao sai?
Lời giải 2 tại sao lại tách A = x +

1 x 1 15 x
= + +
?..? Làm sao nhận biết được 
x 16 x 16

điều đó…?
Đó chính là kỹ  thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên  
đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc  
giải các bài toán cực trị.
 A. PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI 
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy 
 Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất  
rộng rãi. Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là 
công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức.
 *  Bất đẳng thức Cauchy
Cho  n  số thực không âm  a1,a2,...,an (n 2)  ta luôn có: 
a1 + a2 + L + an
n

n

a1a2...an . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  a1 = a2 = L = an .

*  Một vài hệ quả quan trọng:
�1 1
1�
(a1 + a2 + L + an )� + + L + � n 2 v�
�
i ∀ai > 0, i = 1,n (1)
an �
�a1 a2
1 1
1
+ +L +

a1 a2
an

n2
v�
�
i ∀ai > 0, i = 1,n
a1 + a2 + L + an

( 2)

Cho  2n  số dương ( n γ Z ,n 2):  a1,a2,...,an ,b1,b2,...,bn  ta có:
                   n (a1 + b1)(a2 + b2)...(an + bn )

n

a1a2...an + n b1b2...bn

( 3)

Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử  dụng các bất 
đẳng thức cơ  sở  không được thuận lợi và dễ  dàng. Khi sử  dụng liên tiếp  
6


nhiều bất đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để 
điều kiện này luôn được thỏa mãn suốt quá trình ta sử  dụng bất đẳng thức  
trung gian. Và bất đẳng thức Cauchy  là một trong những bất đẳng thức đó. 
Để thấy được kĩ thuật này như thế nào ta sẽ đi vào một số bài toán sau:
1

Bài toán 2: Cho  x 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A = x + 2
x
+) Xác định điểm rơi: 
1
Hàm số:  f ( x ) = x + 2     đồng biến trên  [ 3;+ ) .
x
Vì  x1 �x2 ; x1 , x2 �[ 3; +�) :
f ( x2 ) − f ( x2 )
1
1
1
1
25
=1−
−
>
1
−
−
=
>0
x2 − x1
x2 .x12 x22 .x1
3.32 3.32 27
1 28
=
� x = 3 . Nên ta có :
32 9
+)Sơ đồ điểm rơi:
x 3

=
α α � 3 = 1 � α = 27
.
1 1 α 9
=
x2 9
Ta phải tách làm sao để khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì sẽ khử hết 
biến và dấu  '' = ''  xảy ra.
+) Lời giải:
Nên  MinA = 3 +

1
x
x
1 25 x
x x 1 25 x
=
+
+ 2+
33 . . 2 +
2
x
27 27 x
27
27 27 x
27
x
x
1
=

= 2
28
MinA =
��27 27 x
x=3
9
x=3
A= x+

1 25.3 28
+
=
3 27
9

Bài toán 3: Cho x 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2x 2  +

18
x

Sơ đồ điểm rơi :
18 18
=
32 18
32
x
4
�
=
�

α
=
x=4   
    
α
9
4
2 x 2 32
=
α
α

7


2
9 x 2 18  � 9 � 2
18
9
x
18 23 2
+
2
−
Lời giải: S=x +
=
+
x
 
 2.

+ x
�
�
x
16
x  � 16 �
16
x 16
2

=

23
23
9
9
 2x x   + x 2   .  2.4 4   + . 4 2 =41
16
16
2
2

Vậy với x=4 thì Min S = 41
x, y > 0
Bài toán 4 : Cho 
. 
x+ y 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y +

1 1

+
x y

+) Xác định điểm rơi: 
Do A là biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A 
3
2
+)Sơ đồ điểm rơi: 
x y
3
= =
3
α α 2α
x = y = ��
1 1 2
2
= =
x y 3
tại x = y =

3 2
4
= �α =
2α 3
9

+) Lời giải:
A= x+ y+
A 2

1 1 �4 x 1 � �4 y 1 � 5
+ = � + �+
+ �+ ( x + y )
x y �9 x � �
9
y� 9
�

4x 1
4y 1 5
. +2
. + ( x + y)
9 x
9 y 9

4x 1
=
9 x
4y 1
13
MinA = �� =
9
y
3
x+ y=3
x, y > 0
Bài toán 5: Cho 

x= y=

2.2

4 5
13
+ .3 =
9 9
3

3
2

x, y > 0
1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  S = xy +
xy
x + y =1

8


+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  x, y  nên ta dự đoán 
MinS  đạt tại  x = y =

1
.
2

Sơ đồ điểm rơi :
1
xy =

1
4
x = y = ��
1
4
2
=
α xy α

4 1
= � α = 16
α 4

+) Lời giải :  
S = xy +

1 �
1 � 15
= �xy +
�+
xy � 16 xy � 16 xy

1 15 17
+ =
2
4
2
x
+
y

�
�
16 �
�
�2 �
17
1
MinS =
� x= y=
2
2
S

2 xy.

1
+
16 xy

15

2

=

x, y > 0
1
5
, tìm GTNN của biểu thức  P = 2 2 + + xy .
xy

x+ y 2
x +y
+) Định hướng cách giải: Do P là biểu thức đối xứng theo   x, y , ta dự  đoán 

Bài toán 6:Cho 

MinP  đạt tại  x = y = 1.

Lời giải:
P=

1
1 �
1� 7
+
+ �xy + �+
2
2xy �
xy � 2xy
x +y
2

4
1
7
13
+ 2 xy. +
2
2
xy

(x + y )
�x + y � 2
2�
�
�2 �

x 2 + y 2 = 2xy

Min P = 

13
� x2 y 2 = 1
2

� x = y = 1. 

x+ y =2

Bài toán 7:  Cho 

x, y > 0
1
2
2
, tìm GTNN của biểu thức  S = 3 3 + 2 + 2 .
x+ y 2
x +y
x y xy

+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  x, y nên ta dự đoán 

MinS  đạt tại  x = y = 1và ta thấy:  x3 + y 3 + 3x 2 y + 3xy 2 = (x + y )3  vì thế ta muốn 

9


xuất   hiện

  (x + y )3 ,   ta   áp   dụng   bất   đẳng   thức 

1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 +
+ 2 +
+ 2 +
+ 2 +
  cho 9 số ta có:
3
2
2
2
x +y
2x y 2xy
2x y 2xy

2x y 2xy
2x y 2xy 2
3

  +) Lời giải :  
   Áp dụng bất đẳng thức cho 9 số:
S=

1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
x3 + y 3 2x 2 y 2xy 2 2x 2 y 2xy 2 2x 2 y 2xy 2 2x 2 y 2xy 2

81
3
3 5(x + y )

(x + y ) +
4
Dấu bằng xảy ra khi  x = y = 1.  
S

81
3
3 5(x + y )
(x + y ) +
4

Bài toán 8 : Cho 

9
2

x, y , z > 0
. 
x+ y+z 6

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z +

1 1 1
+ +
x y z

+) Xác định điểm rơi: 
Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A 
tại x = y = z = 2
+)Sơ đồ điểm rơi: 

x y z 2
= = =
2 1
α α α α
x = y = z = 2 ��
= �α = 4
1 1 1 1
α
2
= = =
x y z 2
+) Lời giải:
A= x+ y+ z+
A 2

1 1 1 �x 1 � �y 1 � �z 1 � 3
+ + = � + �+
+ �+ � + �+ ( x + y + z )
x y z �4 x � �
�4 y � �4 z � 4

x 1
y 1
z 1 3
. + 2 . + 2 . + ( x + y + z)
4 x
4 y
4 z 4

x 1

=
4 x
y 1
=
15
MinA = ��4 y
2
z 1
=
4 z
x+ y+z=6

2.3

1 3
15
+ .6 =
4 4
2

x= y=z=2

10


x, y , z > 0

Bài toán 9: Cho 

S = x2 +

x+ y+z

3 , tìm GTNN của biểu thức 
2

1
1
1
+ y2 + 2 + z2 + 2 .
2
y
z
x

+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo   a,b ,c nên ta dự 
1
2

đoán  MinS  đạt tại  x = y = z = .
1
4 1
4
� = � α = 16
Sơ đồ điểm rơi :
1
1
1
4
α 4

=
= 2=
2
2
αx α y αz α
x2 = y2 = z 2 =

+) Lời giải : 
S = x2 +

1
1
1
1
1
1
2
2
+
...
+
+
y
+
+
...
+
+
z
+

+
...
+
16y 2
16y 2
16
z 24 2 4 16
z2
16
x 24 2 4 16
x2  
14
43
14
43
1442443
16

16

1717

S

16

�
x2
y2
z2

x
y
z
17
17
17
+
17
+
17
=
17
+ 17 8 16 + 17 8 16
�
16 32
16 32
16 32
8 16
�
16 y
16 z
16 x
16 z
16 x
� 16 y

�
x
y
z

17 �
3 3 17 8 16 .17 8 16 .17 8 16
16 z
16 x
�
� 16 y
3 17
15

�2 x + 2 y + 2 z �
2.17 �
�
3
�
�

�
�
�
�

�
1
3 17
�= 3 17 3 17 8 5 5 5 =
5
16 x y z
�
2.17 ( 2 x 2 y 2 z )
�

3 17
2 . Vậy  MinS = 3 17 � x = y = z = 1
2
2

Bài toán 10:
Cho  x, y, z , t > 0. Tìm giá trị nhỏ của biểu thức:
S=

x
y
z
t
y + z +t x + z +t x + y +t x + y +t
+
+
+
+
+
+
+
y + z +t x+ z +t x + y +t x+ y + z
x
y
z
t

+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  a,b ,c,d nên ta dự 
đoán  MinS  đạt tại  x = y = z = t > 0 .

Sơ đồ điểm rơi :
x
y
z
t
1
=
=
=
=
y+ z+t x+ z+t x+ y+t x+ y + z 3
3 1
� = �α = 9
y+ z+t x+ z+t x+ y +t x+ y +t 3
α 3
=
=
=
=
x
y
z
t
α

11


+) Lời giải :  
S=

� x

��y + z + t +

x , y , z ,t

S

88

�

y + z +t �
8 y + z +t
+ � .
�
9 x � x , y , z ,t 9
9x

x
y
z
t
y + z +t x+ z +t x+ y +t x+ y +t
.
.
.
.
.

.
.
y+ z +t x+ z+t x+ y+t x+ y + z
x
y
z
t

8 �y z t x z t x y t x y
     + � + + + + + + + + + + +
9 �x x x y y y z z z t t

z�
�
t�

8 8
y z t x z t x y t x y z 8 8
40
+ .1212 . . . . . . . . . . . = + .12 =
3 9
x x x y y y z z z t t t 3 9
3
MinS =

40
� x= y= z =t >0
3
x, y , z > 0

Bài toán 11: Cho 
S = x2 + y 2 + z 2 +

x+ y+z

3 , tìm GTNN của biểu thức 
2

1 1 1
+ + .
x y z

+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  a,b ,c nên ta dự 
1
2

đoán  MinS  đạt tại  x = y = z = .
x2 = y2 = z 2 =
Sơ đồ điểm rơi :

1
4

1
1
1
2
=
=
=

αx α y αz α

�

2 1
= �α = 8
α 4

+) Lời giải :
1
x

2
2
2
   S = x + y + z + +

1 1
+
y z

12


�
1
1
1
1
1

1 � �1 1 1 �
= �x 2 + y 2 + z 2 + +
+ + +
+ �+ � + + �
8 x 8 y 8 z 8 x 8 y 8 z � �x y z �
�
1 1 1 1 1 1 3� 1 1 1 �
S 9 9 x 2 . y 2 .z 2 . . . . . . + �
33 . . �
8x 8 y 8z 8x 8 y 8z 4 � x y z �
Bài toán 12 : Cho 
9 9 1
9 9
1
9 9
27
      = + .
+ .
= + .2 =
4 4 3 xyz 4 4 x + y + z 4 4
4
3
27
1
MinS =
� x= y=z=
4
2

x, y , z > 0

x2 + y2 + z 2 = 1

.

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   S = x + y + z +

1
xyz

+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  x, y  nên ta dự đoán 
MinS  đạt tại  x = y = z =

1
.
3

Sơ đồ điểm rơi :
x= y=z=

x= y=z=

1
��
3
1
3 3
=
α xyz
α

1
3

3 3 1
=
�α = 9
α
3

+) Lời giải :  
�
1 � 8
S = �x + y + z +
�+
9 xyz � 9 xyz
�
1
8
4
8
+
=
+
=4 3
2
2
2
9 xyz
�x + y + z � 3
3

9�
�
3
�
�
1
MinS = 4 3 � x = y = z =
3
S

4 x. y.z.

x, y , z > 0
Bài toán 13 : Cho  xy 12 .
yz 8
�1
�xy

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   S = ( x + y + z ) + 2 � +

1
1� 8
+ �+
 
yz zx � xyz

13


x, y , z > 0

+Dự đoán giá trị nhỏ nhất của đạt được khi  xy = 12  tại  x = 3, y = 4, z = 2
yz = 8
+ Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta có:
  

x
y
2
+
+
18 24 xy
x
9

z
6

   + +
  

2
xz

33
33

x z 2
+ +
16 8 yz
x

9

x z 2
. . =1
9 6 xz

33

z y
8
+
6 12 xyz

   + +

x y 2 1
. . =
18 24 xy 2

x z 2 3
. . =
16 8 yz 4
44

x z y 8
. . .
=1
9 6 12 xyz

  

13 x 13 y
+
8
24

2

13 x 13 y
.
8 24

2

13 13
. .xy
8 24

13
3

  

13 x 13 y
+
48 24

2

13 x 13 y

.
48 24

2

13 13
. .xy
48 24

13
4

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được :
�1
�xy

   S = ( x + y + z ) + 2 � +

1
1� 8
+ �+
yz zx � xyz

1
3
13 13 121
+ 1+ + 1+ + =
2
4
3 4 12

x, y , z > 0
Bài toán 14 : Cho  1 1 1 . 
+ + =1
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
1
1
A=
+
+
x + 2 y + 3z 2 x + 3 y + z 3x + 2 y + z
+) Định hướng cách giải: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự 
đoán giá trị nhỏ nhất của A tại x = y = z = 3 .
1 1 1
Để   A   có   thể   xử   dụng   gỉa   thuyết   + + = 1 thì   :
x y z
1
1
1
,
,
2 x + 3 y + z x + 2 y + 3z 3x + y + 2 z

phải được tách thành tổng các số hạng 

1 1 1
, , .Từ một số hạng ban đầu tách thành nhiều số hạng  nghĩ ngay đến hệ 
x y z

quả (2):
14


Do đó: 

1
1
=
x + 2 y + 3z x + y + y + z + z + z

1 �2 3 1 �
+ + �
36 �
x
� y z�
1 �1 2 3 �
+ + �
36 �
x
� y z�

1
1
=
3x + y + 2 z x + x + x + y + z + z

1 �3 1 2 �
+ + �
36 �

x
� y z�

1
1
=
2x + 3 y + z x + x + y + y + y + z

nên:A=

1
1
1
+
+
2 x + 3 y + z x + 2 y + 3z 3x + y + 2 z

1 �6 6 6 � 1
+ + �=
36 �
x
� y z� 6

x, y , z > 0
1
1 1 1
MaxA = �
+ + =1� x = y = z = 3
6
x y z

x= y=z
Bài toán 15 : Cho 

x, y , z > 0
.
x + y + z =1

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   S = 3 x + y + 3 y + z + 3 z + x
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  x, y, z  nên ta dự 
1
3

đoán  MinS  đạt tại  x = y = z = .
Sơ đồ điểm rơi :
1
2
x= y=z= �x+ y= y+z=z+x=
3
3
+) Lời giải :  
3

9
2 2
x + y = 3 .3 ( x + y ) .
4
3 3

3

3

y+z =

3

9 3
2 2
. ( y + z) .
4
3 3

3

3

z+x =

3

9 3
2 2
. ( z + x) .
4
3 3

3

S = 3 x+ y + 3 y+z + 3 z+x

9
.
4
9
.
4

x+ y+
3
y+z+

2 2
+
3 3
2 2
+
3 3

3
2 2
z+x+ +
9
3 3
.
4
3
3

9 2( x + y + z) + 4 3 9 6 3
.

=
. = 18
4
3
4 3

15


MaxS= 3 18 � x = y = z =

1
3

x, y , z , t > 0
.
x + y + z + t =1

Bài toán 16 : Cho 

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   S = 3 2 x + y + 3 2 y + z + 3 2 z + t + 3 2t + x
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  x, y, z ,t  nên ta dự 
đoán  MinS  đạt tại  x = y = z = t =

1
.
4

Sơ đồ điểm rơi :
1

3
x = y = z = t = � 2 x + y = 2 y + z = 2 z + t = 2t + x =
4
4
+) Lời giải :  
3

( 2x + y )

3 3
.
4 4

3

( 2z + t )

3 3
.
4 4

3

( 2t + x )

3 3
.
4 4

�3

3 3
+
4 4

2y + z +

3 3
3 ( 2y + z)
.
4 4
3

3 3
+
4 4

2x + y +

3
3 3
2z + t + +
4 4
3
3 3
2t + x + +
4 4
3

3( x + y + z ) + 6

9 �
3 2 x + y + 3 2 y + z + 3 2 z + t + 3 2t + x �
�
�
16 �
3

9
= =3 = =S� =3
16

S

3

48

23 6

S = 3 x+ y + 3 y+z + 3 z+x
MaxS= 3 18 � x = y = z =

2.

x
3

y

z

t

1
4

9 2( x + y + z) + 4 3 9 6 3
.
=
. = 18
4
3
4 3

1
3

 Bài tập vận dụng :
1
x
18
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  S = 2 x + 2 .
x

Bài 1: Cho x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  S = x + .
Bài 2: Cho x

16

2
Bài 3: Cho x 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  S = x +

Bài 4: Cho 

x, y > 0
.  
x+ y 1
1
x

Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:  S = x + y + +
Bài 5: Cho 

1+ x + y
2

2

+

3
.
2 xy

1
1
+ + 6 xy .
2
x +y

xy
2

x, y > 0
.  
x+ y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:  S =
Bài 8: Cho 

1

x, y > 0
.  
x+ y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:  S =
Bài 7: Cho 

1
.
y

x, y > 0
.  
x+ y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:  S =
Bài 6: Cho 

8
.
x

x, y > 0
x+ y+z

4

1
2
2
+ 2 + 2.
3
x +y
x y xy
3

.  
1
x

Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:  S = x + y + z + +
Bài toán 9 : Cho 

x, y , z > 0
x2 + y2 + z 2 = 2

1 1
+ .

y z

.

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   S = x + y + z +

3
.
xyz

1
1 1 1
+
+ +
a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca
1
1
1
1 1 1
S= 2 2+ 2 2+ 2 2+
+ +
ab bc ca
a +b
b +c
c +a
1
1
1
1 1 1
Q= 2

+ 2
+ 2
+
+ +
a + bc b + ca c + ab ab bc ca
P=

x, y , z > 0
Bài toán 10 : Cho  1 1 1
. 
+ + =2
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
17


A=

1
1
1
+
+
2 x + 3 y + 4 z 2 y + 3 z + 4 x 2 z + 3x + 4 y

Bài toán 11 : Cho 

x, y , z > 0
.
x+ y+z=2

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   S = 3 2 x + y + 3 2 y + z + 3 2 z + x
Bài12: Cho 

x, y , z > 0
, tìm GTNN của các biểu thức sau:
x+ y+z 1

1
1 1 1
+ + +
2
2
xy yz zx
x +y +y
1
1
1
S= 2
+
+
+
x + y 2 y 2 + z 2 z 2 + x2
1
1
1
Q= 2
+ 2
+ 2
+

x + yz y + zx z + xy
P=

2

1 1 1
+ +
xy yz zx
1 1 1
+ +
xy yz zx

Chú ý:
Cần chú ý bất đẳng thức Côsi, có điều kiện các số dương thì khả năng  
nghĩ tới Côsi. Cách giải phải đi ngược qui trình thông thường. Đầu tiên phải  
dự đoán được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng  
thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đoán…

18


 2.4. Hiệu quả sau khi sử dụng
+ Học sinh:
Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng 
thú hơn, tạo cho hoc sinh ni
̣
ềm đam mê, yêu thích môn toán, mở  ra một cách  
nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tang
̉  
cho học sinh tự học  va t

̀ ự nghiên cứu. 
+ Bản thân : Sau khi áp dụng đề  tài này  tôi thấy  trong quá trình giảng 
dạy học sinh học tốt hơn và đa số  không mắc sai lầm khi giải bài toán bất  
đẳng thức.
3.  Kết luận, kiến nghị :
­  Kết luận :
Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải  
hợp lý, ngắn gọn thú vị  và độc đáo là một việc không dễ. Do đó đây chỉ  là 
một chuyên đề trong rât nhiêu chuyên đ
́
̀
ề, một phương pháp trong hàng vạn 
phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên  
trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó 
là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể  hiện bài toán từ  đó  
học sinh có thể  vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ  bản, phân tích tìm ra 
hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học 
sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây  
hứng thú say mê môn toán, từ  đó tạo cho học sinh tác phong tự  học, tự 
nghiên cứu. 
Tuy nội dung cua chuyên đê kha rông, song trong khuôn kh
̉
̀ ́ ̣
ổ thời gian có 
hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình.
         Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để 
chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn.
    ­ Kiến nghị:
Qua thực tế khảo sát học sinh đa số  các em chưa học tốt nội dung bất đẳng  
thức nên rất ngại học nội dung này, nhiệm vụ  giáo viên chúng ta là cần hệ 

thống bài tập và lựa chọn sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để 
giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản cũng như kỹ năng giải toán, có như 
vậy các  em mới yêu thích môn toán và đạt kết quả  cao hơn. Trong quá trình 
hoàn thành đề tài  tôi biết ơn các đồng nghiệp đã nhiệt tình giúp đỡ, tôi mong  
19


muốn nhận được ý kiến đóng góp để  sáng kiến nhỏ  mang lại nhiều lợi ích 
cho các em học sinh.

  Tài liệu tham khảo:
1.Đại số lớp 10, bai tâp đ
̀ ̣ ại số lớp 10­  nha XBGD năm 2016
̀
2.Tap chi Toan hoc va tuôi tre năm 2016.
̣
́ ́ ̣
̀ ̉
̉
3.Cac dang Toan LT ĐH cua Phan Huy Khai­  NXB Ha Nôi năm 2002
́ ̣
́
̉
̉
̀ ̣
4. 263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh­ NXB Giáo Dục
5. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo­ NXB Giáo Dục năm 2009
6. Sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng 
SVK9­ Trường ĐHKHTN­ ĐHQGHN (NXB Tri Thức). 

20


Phụ lục 1. Kiểm tra tìm hiểu thực trạng: 
1
x

Đề bài.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = x + . Biết :
a ) x>0                b) x

4

Biểu điểm và đáp án:
1
x

a) Do  x>0 nên  > 0 .  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
P = x+

1
x

2 x.

1
= 2 …………………………………………………..2 
x

điểm
       � MinP = 2  tại x = 1…………………………………………………..2 

điểm
b)
P = x+

1 �x 1 � 15 x
= � + �+
x �
16 x � 16 ....................................................................1,5 

     

điểm
     

2

x 1 15 x
. +
16 x 16 ……………………………………………….............1,5 

      

điểm
1 15 x
      = +
2 16 ………….………………………………………………........1 điểm
       
1 15 17
          
+ = ………….………………………………………........1 điểm

2 4
4
� MinP =

17
  ……………….………………………………………........1 điểm
4

21


Phụ lục 2. Kiểm tra sau tác động.
Bài toán: Cho x,y,z là 3 số dương thõa mãn điều kiện: x + y + z 1.
2
x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  P = 3x + 3 y + 3z + +

2 2
+
y z

Biểu điểm và đáp án:
2 2 2 �
2� �
2� �
2�
P = 3x + 3 y + 3z + + +  = �18x+ �+ �
18y+ �+ �
18z+ �− 15 ( x + y + z ) …4 

x y z �
x� �
y� �
z�

điểm
1 1 1
x y z

Do x,y,z là 3 số dương  nên  , ,  cũng là 3 số dương  .  
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
2 18x. =12     ( 1) …………………………………………..1 điểm
x
2
1
Dấu bằng xảy rakhi và chỉ khi 18 x = � x =
x
3
  18x+

2
x

………………………………………………………..1 điểm
Tương tự ta cũng có:
  18y+

2
y

2
2 18y. =12    ( 2 ) ….………………………………………..1 điểm
y

  18z+

2
z

2
2 18z. =12      ( 3) …………………………………………..1 điểm
z

Mà  −15 ( x + y + z )
điểm

−15       ( 4 ) ………………………………………...1 

Cộng (1), (2), (3), (4) ta có  P 21 .
1
3

Gía trị nhỏ nhất của P bằng 19 khi  x = y = z = . ............1 điểm

22


23

Phụ lục 2.  
Bảng điểm lớp thực nghiệm:
Stt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42

Họ và tên
Lê Tuấn                      Anh
Nguyễn Thị Mai          Chi
Võ Thị                      Chiến
Lê Thị                       Dung
Nguyễn Thế              Dũng
Ngô Hùng                   Đức
Tào Minh                    Đức
Nguyễn Thị              Hạnh
Đỗ Ngọc                 Hoàng
Trần Thị                    Hồng
Đỗ Thị                     Huyền
Nguyễn Tác              Hùng

Nguyễn Thị Lan     Hương
Lê Cung                        Kỳ
Lê Thị                          Lan
Nguyễn Thị                 Lan
Nguyễn Tuấn             Lâm
Đỗ Đức                      Linh
Nguyễn Khánh           Linh
Nguyễn Thị Kiều      Loan
Đặng Văn                  Luân
Phan Thị                      Lưu
Nguyễn Thị                 Mai
Nguyễn Văn               Nam
Nguyễn Thị                 Nga
Nguyễn Linh             Ngọc
Lê Thị                       Oanh
Tào Minh                 Phong
Ngô Khánh            Phương
Nguyễn Thị           Phương
Lê Thị                         Qúy
Nguyễn Hữu            Thông
Lê Văn                    Thống
Lê Thị                       Thùy
Lê Thị                       Thúy
Lê Thị                       Thủy
Nguyễn Thị Vân         Thư
Nguyễn Thị           Thương
Nguyễn Thị              Trang
Bùi Văn                     Tuấn
Nguyễn Hoằng          Tuấn
Lê Thị                         Yến

KT trước tác động
7
6
4
7
7
4
5
6
2
4
2
4
6
5
6
5
6
6
4
6
8
6
8
7
6
2
8
7

4
8
4
7
3
4
7
4
6
6
6
7
5
6

KT sau tác động
9
8
5
6
6
6
6
10
5
7
5
7
6
7

9
7
8
7
8
7
8
7
9
7
8
5
9
8
9
9
8
10
5
10
9
6
7
6
8
8
8
8

Bảng điểm lớp đối chứng.

Stt
1
2

Họ và tên
Lê Phương                    Anh
Lê Thị Mai                    Anh

KT trước tác động
5
5

KT sau tác động
7
5

24


3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38

Phan Hoàng                   Anh
Trần Việt                       Anh
Vũ Văn                         Bình
Nguyễn Đức               Chính

Mai Văn                    Chung
Tào Quốc                  Cường
Nguyễn Tuấn                Duy
Đỗ Văn                        Dũng
Hoàng Anh                    Đức
Lê Minh                        Đức
Lê Trung                       Đức 
Phạm Văn                      Đức 
Lê Trung                         Hải
Nguyễn  Văn                 Hậu
Tào Thị                         Hiền
Hoàng Văn                  Hoan
Lê Văn                           Hòa
Hoàng Thị                   Hồng
Lê Đăng                        Linh
Lê Thị Hoài                  Linh
Lê Xuân                        Linh
Vũ Thị Ngọc                 Linh
Nguyễn Thị Lưu        Luyến
Lê Đình                        Nam
Trịnh Thị                  Nguyệt
Trần Thị Kim              Oanh
Lê Thành                       Sơn
Lưu Hoài                       Sơn
Nimh Xuân                    Sơn
Lại Thị                       Thanh
Nguyễn Viết               Thanh
Ngô Văn                       Thái
Phạm Văn                  Thắng
Lê Xuân                         Thu

Lê Ngọc                     Thuận
Đoàn Thị                      Thủy

6
5
6
4
4
7
5
7
4
7
5
4
6
5
6
5
6
5
6
7
5
6
4
4
6
6
6

7
5
4
6
5
7
4
8
6

5
6
5
7
6
8
5
5
6
7
6
7
5
6
7
6
6
6
7
6

5
7
5
6
8
7
5
6
5
5
6
5
7
5
8
7

           
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN 
VỊ

Thanh Hóa, ngày20 tháng 5 năm2016.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của 
mình viết, không sao chép nội dung 
của người khác.
Người thực hiện

25