Giao an phu dao 9

ĐẠI SỐ Ky II
I. PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. Phương trình bậc nhất hai ẩn
( 0ax by c a+ = ≠

0)b ≠
Phương trình luôn có vô số nghiệm. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm của phương trình được biểu
diễn bởi đường thẳng ax + by = c
B. Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1) Phương pháp thế:
*Phương pháp: Tìm x theo y hoặc y theo x trong một phương trình của hệ rồi thay thế vào phương trình còn
lại.
2) Phương pháp cộng đại số
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình đã cho để được một phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên phương trình
kia.
*Phương pháp: Biến đổi hai phương trình của hệ sao cho hệ số của x hoặc y trong hai phương trình đối nhau.
3) Phương pháp đặt ẩn phụ:
*Phương pháp: Đặt ẩn phụ rồi biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình mới, sau đó giải bằng
phương pháp thế hoặc cộng đại số.
C. Phương pháp giải hệ phương trình bằng đồ thị
Phương pháp: Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ trục toạ độ
a) Nếu đồ thị của hai phưong trình cắt nhau tại một điểm thì toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ.
b) Nếu đồ thị của hai phương trình không cắt nhau thì hệ phương trình vô nghiệm.
c) Nếu đồ thị của hai phương trình trùng nhau thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
D. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Bước 1: Lập hệ phương trình:
- Chọn hai ẩn (Thường là x và y)
- Nêu rõ đơn vị cho ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình trên
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết
luận.
Chú ý: *Loại toán chuyên động: S = v.t
S: là quãng đường, đơn vị km (hoặc m)
v: là vận tốc, đơn vị km/h (hoặc m/s)
t: là thời gian, đơn vị giờ (h) (hoặc giây (s) )
Ngoài ra, cần đọc kỹ đề để hiểu được chuyển động của các động tử là chuyển động cùng chiều hay ngược chiều,
xuất phát cùng một lúc hay không cùng một lúc. Có thể vẽ sơ đồ hoặc lập bảng để hình dung bài toán dễ hơn:
+ Nếu động tử chuyển động trên dòng nước chảy thì:
v
xuôi dòng
= v
động tử
+ v
dòng nước

v
ngược dòng
= v
động tử
- v
dòng nước
* Loại toán về công việc đồng thời (Hoặc các vòi nước chảy)
Trong loại toán này, khối lượng công việc tương tự như quãng đường trong toán
chuyển động. Thời gian có ý nghĩa như thời gian trong toán chuyển động. Năng suất làm việc của mỗi đội (Hoặc
năng suất chảy của vòi nước) có ý nghĩa tương tự như vận tốc của các động tử trong toán chuyển động
E. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
2
(a

≠
0)
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Nêu tính chất biến thiên (Đồng biến, nghịch biến, và tại x = 0)
Bước 3: Lập bảng giá trị.
Bước 4: Dựa vào bảng giá trị vẽ đồ thị
Bước 5: Nhận xét đồ thị vẽ được:
+ Trường hợp a > 0: Đồ thị hàm số y = ax
2
là một Parapol có đỉnh O(0;0) cực tiểu, Parapol có bề lõm quay về
phía y dương, và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
1
+ Trường hợp a < 0: Đồ thị hàm số y = ax
2
là một Parapol có đỉnh O(0;0) cực đại, Parapol có bề lõm quay về phía
y âm, và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
F. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax
2
+ bx +c = 0
1) Phương pháp giải theo phương trình tích:
Có thể biến đổi tương đương để phương trình bậc hai thành phương trình tích ( tích các thừa số bậc nhất). Để giải
phương trình :f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 , ta biến đổi phương trình về dạng q(x).g(x) = 0 trong đó q(x), g(x) là các đa
thức bậc nhất, rồi giải các phương trình này để tìm nghiệm của phương trình đã cho:
( ) ( ) ( )
( )
( )
0

0 0
0
q x
f x q x g x
g x

=
= ⇔ = ⇔

=


Chú ý: Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (lớp 8)
2) Phương pháp dùng công thức nghiệm:
Bước 1: Lập biệt số
2
4
= −
V
b ac
Bước 2: Xét dấu của
V
:
* Nếu
V
> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 2
;
2 2
b b

x x
a a
− + − +
= =
V V
* Nếu
V
= 0 thì phương trình có hai nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a
−
= =
* Nếu
V
< 0 thì phương trình vô nghiệm
3)Phương pháp dùng công thức nghiệm thu gọn
Bước 1: + Xác định b’: Ta có b = 2b’
2
'⇒ =
b
b
+Lập biệt số thu gọn:
2
' 'b ac
= −
V
Bước 2: Xét dấu của

'V
:
* Nếu
'V
> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 2
' ' ' '
;
− + − +
= =
V Vb b
x x
a a
* Nếu
'V
= 0 thì phương trình có hai nghiệm kép:
1 2
'b
x x
a
−
= =
* Nếu
'V
< 0 thì phương trình vô nghiệm
4) Tính nhẫm nghiệm của phương trình bậc hai:
a) Biết S = x
1
+ x
2

=
b
a
α β
−
= +
; P = x
1
.x
2
=
.
c
a
α β
=
Suy ra: x
1
=
α
và x
2
=
β
b) Biết được: a + b + c = 0 Suy ra: x
1
= 1 ; x
2
=
c

a
c) Biết được:
0a b c
− + =
Suy ra:
1 2
1 ;
c
x x
a
−
= − =
Chú ý: So sánh a + c với b
* Nếu a + c = b thì sử dụng
0a b c
− + =
* Nếu a + c và b là hai số đối nhau thì sử dụng a + b + c = 0
5) Phương pháp đồ thị:
Phương pháp: Tách phương trình bậc hai thành hai phần ở hai vế khác nhau:
Một vế có dạng: y = ax
2
(D)
Một vế có dạng: y = ax + b (P)
Sau đó vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
a) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) cắt đồ thị của parapol (P) thì hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của
phương trình đã cho.
b) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) tiếp xúc đồ thị của parapol (P) thì hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương
trình đã cho.
2
c) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) không cắt đồ thị của parapol (P) thì pt đã cho vô nghiệm.

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp trên để giải các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng(D) và Parapol
(P): {Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (D) cắt parapol (P) tại hai điểm phân biệt hoặc tại một điểm(Tiếp
xúc) hoặc đường thẳng (D) không cắt parapol (P)}
(D): y = a
1
x + b
1
(P): y = a
2
x
2
Lược giải:
Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm giữa (D) và (P) là: a
2
x
2
= a
1
x + b
1
⇔
ax
2
+ bx + c = 0 (1) {Phương trình (1) có chứa tham số m}
Bước 2:
* (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
⇔
V
> 0
Suy ra giá trị của m

* (D) tiếp xúc với (P)
⇔

V
= 0 Suy ra giá trị của m
* (D) không cắt (P)
⇔

V
< 0 Suy ra giá trị của m
Bước 3: Kết luận
6) Phương trình bậc hai có tham số m Dạng: ax
2
+ bx + c = 0 (1)
Phương pháp: tìm giá trị của tham số m thoả mãn điều kiện bài toán.
Lập biệt số
V
hoặc
'
V
của phương trình bậc hai đã cho theo m
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔
V

≥
0 (hoăc
'
V
≥

0)
Từ đó suy ra giá trị tham số m
b) Phương trình (1) có nghiệm kép
⇔
V
=0 (hoăc
'
V
= 0) Từ đó suy ra giá trị tham số m
c) Phương trình (1) vô nghiệm
⇔
V
< 0 (hoăc
'
V
< 0) Từ đó suy ra giá trị tham số m
7) Giải và biện luận (về số nghiệm) của phương trình bậc hai
Phương pháp:
Bước 1: Lập biệt số
V
hoặc
'V
của phương trình bậc hai đã cho theo m
Bước 2: Biện luận trong 3 trường hợp của
V
(hoặc
'
V
)
a) Nếu

V
> 0 ( hoặc
'
V
> 0 ) : Suy ra m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tính nghiệm phân biệt đó
theo m
b) Nếu
V
= 0 ( hoặc
'
V
= 0 ) : Suy ra m để phương trình có nghiệm phân kép. Tính nghiệm kép đó theo m
c) Nếu
V
< 0 ( hoặc
'
V
< 0 ): Suy ra m để phương trình vô nghiệm
G.PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PT BẬC HAI
1) Phương trình có ẩn ở mẫu:
Bước 1: Thu tất cả về một vế, vế còn lại bằng 0
Bước 2: Đặt điều kiện các mẫu khác 0. Từ đó suy ra điều kiện của ẩn trong phương trình
Bước 3: Giải phương trình bằng cách quy đồng mẫu thức
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm
2) Phương trình trùng phương: ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a
≠

0) (1)
Bước 1: Đặt x
2
= t, t
≥
0
Bước 2: Giải phương trình bậc hai trung gian.
Ta có: Phương trình (1)
⇔
at
2
+ bt + c = 0 (2)
Bước 3: Với mỗi giá trị không âm của t, ta giải phương trình x
2
= t để tìm x
Lược giải:
* Nếu
V
< 0 thì phương trình (2) vô nghiệm
⇒
phương trình (1) vô nghiệm
* Nếu
V
= 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép: t
0

b
a
−
=

+ S < 0
⇒
t
0
< 0: phương trình (1) vô nghiệm
+ S = 0
⇒
t
0
= 0: phương trình (1) có nghiệm kép x = 0
3
+ S > 0
⇒
t
0
> 0 : phương trình (1) có hai nghiệm kép x
0
t= ±
* Nếu
V
> 0 thì pt (2) có hai nghiệm phân biệt:
1 2
;
2 2
b b
t t
a a
− + − −
= =
V V

+ P < 0
⇒
t
1
< 0 < t
2
: Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x
2
t
= ±

+
0
0
P
S
=

⇒

<

t
1
< t
2
= 0 : Phương trình (1) có nghiệm x = 0
+
0
0

P
S



=
⇒
>
0 = t
1
< t
2
: Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt: x = 0 ; x
2
t
= ±
+
0
0
P
S
>

⇒

<

t
1
< t

2
< 0 : Phương trình (1) vô nghiệm
+
0
0
P
S
>

⇒

>

0 < t
1
< t
2
: Phương trình (1) có 4 nghiệm: x
1
t
= ±
; x
2
t
= ±
Tóm lại: Phương trình: ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a

≠
0) (1)
Đặt t = x2
≥
0
Phương trình (1)
⇔
at
2
+ bt + c = 0 (a
≠
0)
2
4b ac
= −
V
,
b
a
S
−
=
,
c
a
P
=
+ Phương trình(1) có 4 nghiệm phân biệt
0
0

0
P
S


>


>

>
⇔
V
+ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
0
0
0
P
S


⇔ =


>

>V

+Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
0

0
0
S
P




⇔
>



<

=V
+ Phương trình (1) có 1 nghiệm
0
0
0
0
S
P
S

=



=



⇔

=



<



V
+ Phương trình (1) vô nghiệm
⇔

0
0
0
0
0
0
<
=


<

>



>


<

V
V
V
S
P
S
H. HỆ THỨC VI- ÉT
1) Tính giá trị của biểu thức nghiệm pt bậc hai bằng cách không giải phương trình
Phương pháp:
Bước 1: Xét biệt số
V
= b
2
– 4ac > 0 hoặc
'
V
= b’
2
– ac hoặc P = ac < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2

Bước 2: Tìm tổng S và tích P của phương trình rồi thay vào biểu thức.
Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
4
Giả sử phương trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có hai nghiệm x
1
, x
2
Ta có các hệ thức sau: a)
( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2xx x x x x S P+ = + − = −
b)
( ) ( )
2 2
2
2 1 2 1 21
4 4x x x x x x S P− = + − = −
c)
( ) ( )
3
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3x x x x x x x x S SP+ = + − + = −
d)

1 2
1 2 1 2
1 1
x x
S
x x x x P
+
+ = =
e)
( )
( )
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x− = − + +
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
. 4x x x x x x S P P
S
 
= − + − = − −
 
 
f)
( ) ( )
2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2

2 2 2x x x x x x S P P
+ = + − = − −

g)
2 2
2
1 2 1 2
2 1 1 2

2
x x x x
S P
x x x x P
+
−
+ = =
h)

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x x x x x P S
α α α α α α
− − = − + + = − +

i)

( ) ( )
1 2
2 2

1 2
1 2
2
1 1 2
x x
S
x x
x x
P S
α
α
α α
α α
α α
+ −
−
+ = =
− −
− −
− +
2) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1
, x
2
Bước 1: Lập tổng S = x
1
+ x
2
và tích P = x
1

x
2
Bước 2: Kiểm tra điều kiện: S
2
- 4P
≥
0 ?
Bước 3: + Nếu S
2
– 4P
≥
0 thì x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: X
2
– SX + P = 0
+ Nếu S
2
– 4P < 0: Không có phương trình nào có hai nghiệm x
1
, x
2
3) Tìm giá trị của tham số m của phương trình bậc hai thoả hệ thức cho trước
Bước 1: Lập biệt số
V
(hoặc
'
V

) cho
V

≥
0 hoặc
'
V
≥
0 để suy ra điều kiện tham số m cho phương trình có
nghiệm
Bước 2: Tìm m trong hệ thức cho trước. Sau đó, chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và
trả lời.
4) Giá trị lớn nhất:
“ Nếu hai số có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi hai số bằng nhau”
Giả sử x
1
+ x
2
=s không đổi, còn P = x
1
x
2
thay đổi
Do điều kiện: S
2
– 4P
≥
0 Suy ra P
2
4

S
≤
Vậy maxP =
2
4
S
khi và chỉ khi
1 2
2
S
x x
= =
5) Giá trị nhỏ nhất:
“ Nếu hai số dương có tích không thay đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai số bằng nhau”
Giả sử: x
1
,x
2
>0 và x
1
x
2
= P không đổi, còn x
1
+ x
2
= S thay đổi
Do điều kiện: S
2
– 4P

≥
0 Suy ra:
( ) ( )
2 2 0S P S P
− + ≥
2 0S P⇒ − ≥
Vậy minS =
2 P
khi và chỉ khi : x
1
= x
2
=
P
6) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai phụ thuộc tham số m
Bước 1: Lập biệt số
V
(hoặc
'
V
)
Bước 2: Cho
V
≥
0 (hoặc
'V
≥
0) để suy ra điều kiện tham số m cho phương trình có nghiệm
Bước 3: Gọi x
1

, x
2
là các nghiệm của phương trình.
Theo định lý Vi-ét tính
( )
( )
1 2
1 2
1
2
x x
x x

+




theo m
Bước 4: Thay m từ (1) vào (2) ta được hệ thức cần tìm.
7) Phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai
Bước 1: Chọn ẩn, ghi rõ đơn vị và điều kiện của ẩn.
Bước 2: Lập phương trình:
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
5
+ dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để lập phươnh trình.
Bước 3: Giải phương trình
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện ở bước 1 để trả lời
8) Tìm giá trị của tham số m để hai phương trình tương đương:
ax

2
+ bx + c = 0 (1)
a’x
2
+ b’x + c’ = 0 (2)
Lược giải:
* Phương trình (1) tương đương với phương trình (2)
⇔
Hai phương trình vô nghiệm
⇔
1
2
0
0
<



<


V
V
* Tồn tại nghiệm x
1
, x
2
của (1) và x
3
, x

4
của (2) để hai phương trình tương đương thì:
1 2 3 4
1 2 3 4
. .
x x x x
x x x x
+ = +



=



1 2
1 2
S S
P P
=


⇔

=


9) Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện của bài toán
Gọi x
1

, x
2
là nghiệm của phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (1)
a) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm gấp đôi các nghiệm của phương trình (1):
*Gọi y
1
, y
2
là hai nghiệm của phương trình cần tìm.
*Tính S và P của phương trình (1)
Theo đề, ta có y
1
= 2x
1
và y
2
= 2x
2

Suy ra y
1
+ y
2
= 2( x
1
+ x
2
) = 2S

y
1
.y
2
= 4x
1
.x
2
= 4P
Vậy y
1
,y
2
là nghiệm của phương trình: y
2
– (y
1
+ y
2
)y + y
1
.y
2
= 0
b) Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm bằng tích nghịch đảo hai nghiệm của phương trình (1) và có tích
hai nghiệm bằng tổng các nghịch đảo của các nghiệm của phương trình (1):
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1
. ; .y y y y

x x x x
+ = = +

* Tính S và P của phương trình (1)
* Tính
1 2
1 2 1 2
1 1
.
1 1
.
x x P
y y
x x
= =+ =
1 2
1 2
1 2 1 2
1 1
.
.
x x
S
y y
x x x x P
+
= + = =
* Do đó: y
1
, y

2
là nghiệm của phương trình : y
2
– (y
1
+ y
2
)y + y
1
.y
2
= 0
c)Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là :
1
1
1
y
x
α
=
−
và
2
2
1
y
x
α
=
−

{
α
là hằng số }
* Tính S và P của phương trình (1)
* Tính:
( ) ( )
2 1
1 2
2
1 2
1 2
1 1 2
x
x x
S
y y
x x
x
P S
α α
α
α α
α α
α α
=
− + −
−
+ = + =
− −
− −

− −
( ) ( )
1 2
2
1 2
1 2
1 1 1 1
. .y y
x x
x x
P S
α α
α α
α α
= = =
− −
− −
− −
* Do đó: y
1
, y
2
là nghiệm của phương trình : y
2
– (y
1
+ y
2
)y + y
1

.y
2
= 0
10) Tìm giá trị tham số m thoả mãn điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số m: ax
2
+
bx + c = 0 (1)
a) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
0
0
0
a
P
≠


⇔ ≥


>

V
b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
0
0
0
a
P
≠



⇔ ≥


<

V
6