Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐINH THỊ MỸ HẠNH

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI - 2012

1


Lời cảm ơn ............................................................................................
Danh mục viết tắt ..................................................................................
Danh mục các bảng ...............................................................................
Dan mục sơ đồ, biểu đồ .........................................................................
Mục lục .................................................................................................
MỞ ĐẦU..............................................................................................
Chương 1: CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ...............................
1.1.Tư duy .............................................................................................

1.1.1.Tư duy là gì? ................................................................................
1.1.2.Quá trình tư duy ...........................................................................
1.1.3.Những đặc điểm của tư duy ..........................................................
1.1.4.Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển ..............................................
1.2.Sáng tạo ...........................................................................................
1.2.1.Sáng tạo là gì? ..............................................................................
1.2.2.
1.2.3.Các cấp độ của sáng tạo ................................................................
1.3.Tư duy sáng tạo ...............................................................................
1.3.1.Tư duy sáng tạo là gì? ...................................................................
1.3.2.Các thành phần của tư duy sáng tạo ..............................................
1.4. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua môn Toán ...................
1.4.1.Một số biểu hiện sự sáng tạo của học sinh trong học Toán ...........
1.4.2.Phương hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua môn Toán ......
1.5.
1.5.1.
1.5.2.
1.5.3.

Chương
SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA
2.1.

v
2.1.1.GTLN - GTNN của hàm số .........................................................


2.1.2.GTLN - GTNN của một tập A...............................................
2.2.
2.2.1.

2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.Phương pháp hình học ..................................................................
2.2.5.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức .............................................
2.3.Các biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua
dạy học các bài toán về GTLN – GTNN................................................
2.3.1.Phương hướng chung ....................................................................
2.3.2.Các biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT
qua dạy học các bài toán về GTLN – GTNN .........................................

– GTNN............
..........................
..........................
..........................

2 .......................
..........................
..........................
..........................
..........................
..........................
..........................
..........................
..........................
..........................
..........................
..........................
..........................
3 .......................
..........................

..........................

3.1.
3.1.1.
3.1.2.

3.3.1.
3.3.2.
3.4.
3.4.1.
3.4.2.
3.4.3.

vi


1.
Do những yêu cầu thực tế của thời đại đòi hỏi người giáo viên không
chỉ trang bị cho học sinh những kiến thức cụ thể mà cần rèn luyện tư duy giúp
học sinh hình thành khả năng tự học và sáng tạo.

.

.

.
:
THPT
"
2.

:
", ĐHGD-ĐHQG HN, năm 2010;
12 nâng cao THPT" , ĐHGD-ĐHQG HN, năm 2010; … Nhưng theo tôi b
THPT
".
1


3.
-

.
.

.
4.
.
5.
-

.

6.
.
.
-

.

7.

.
8.
:
.
Chương 2.
.
Chương

.

2


CHƯƠNG 1
CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tư duy
1.1.1. Tư duy là gì?
Theo từ điển triết học: Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới
khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận…Tư duy xuất hiện trong
quá trình hoạt động sản m bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp phát
hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy là hoạt động tiêu biểu cho xã hội
loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ
chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn
ngữ…. Kết quả của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.
1.1.2. Quá trình tư duy
Tư duy là một hoạt động trí tuệ với quá trình gồm 4 bước cơ bản sau:
-

Bước 1: xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy.

-

Bước 2: huy động trí tuệ, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả

thuyết và cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
-

Bước 3: xác minh giả thuyết trong thực tiễn. Nếu giả thuyết đúng thì

khẳng định chính xác hoá và giải quyết vấn đề, nếu giả thuyết không phù hợp
thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới.
-

Bước 4: quyết định, đánh giá kết quả, đưa vào sử dụng.

Các thao tác trí tuệ cơ bản phục vụ quá trình tư duy là:
Phân tích, tổng hợp so sánh, tương tự trừu tượng hoá và khái quát hoá
cụ thể hoá, đặc biệt hoá tưởng tượng suy luận chứng minh.
1.1.3. Những đặc điểm của tư duy
Trước tiên tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ làm phương tiện.
Tư duy phải dựa vào các khái niệm. Tư duy phản ánh khái quát.
Tư duy phản ánh gián tiếp.
Tư duy không tách rời quá trình nhận thức cảm tính..
3


1.1.4. Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển
Có khả năng tự chuyển tải tri thức và kĩ năng sang một tình huống mới.

Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán.
Có khả năng áp dụng kiến thức để giải tốt các bài toán thực tế: định
hướng nhanh, biết phân tích suy đoán và vận dụng các thao tác tư duy để tìm
cách tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả.
1.2. Sáng tạo
1.2.1. Sáng tạo là gì?
Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị phụ
thuộc vào cái đã có
Dưới góc độ như một phạm trù triết học, sáng tạo được hiểu là quá
trình hoạt động của con người tạo ra những giá trị vật chất, tinh thần mới về
chất.
Theo Bách khoa toàn thư thì sáng tạo là hoạt động của con người trên
cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên,
xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt động
có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất.
Tổng hợp các quan niệm trên ta có thể hiểu sáng tạo một cách đơn giản
nhất chính là quá trình tìm ra cái mới độc đáo và có ích.
1.2.2.

o

Quá trình sáng tạo trải qua bốn giai đoạn:
Giai đoạn thứ nhất: là giai đoạn chuẩn bị cho công việc ý thức, nghĩa là
hình thành vấn đề đang giải quyết và giải quyết bằng các cách
nhau.
Giai đoạn thứ hai: giai đoạn ấp ủ được bắt đầu khi công việc có ý thức
ngừng lại. Công việc tiếp diễn là các hoạt động của tiềm thức.
Giai đoạn thứ ba: giai đoạn bừng sáng trực giác. Đây là giai đoạn nhảy vọt
về chất trong tiến trình nhận thức để quyết định cho quá trình tìm kiếm lời giải.
Giai đoạn thứ tư: đây là giai đoạn kiểm chứng. Ở giai đoạn này cần phải

triển khai lập luận, chứng minh logic và kiểm tra lời giải nhận được từ trực giác.
1.2.3. Các cấp độ của sáng tạo
Sáng tạo là hoạt động đa dạng và phong phú của con người, có thể phân
chia sáng tạo thành hai cấp độ:
4


Cấp độ 1 là hoạt động cải tạo, cải tiến, đối mới, nâng cao những cái đã
có lên một trình độ cao hơn.
Cấp độ 2 là hoạt động tạo ra cái mới về chất.
1.3. Tư duy sáng tạo
1.3.1. Tư duy sáng tạo là gì?
Một số nhà nghiên cứu cho rằng tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc
lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng
mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới tạo ra kết quả
mới. Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở
thuộc hoặc duy nhất.
1.3.2. Các thành phần của tư duy sáng tạo
- Tính mềm dẻo.
-

i pháp lạ, hiếm, không quen

Tính nhuần nhuyễn
Tính độc đáo
Tính hoàn thiện.
Tính nhạy cảm vấn đề

1.4. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua môn toán
1.4.1. Một số biểu hiện sự sáng tạo của học sinh trong học toán

Cấp độ thứ nhất đó là khả năng nắm bắt kiến thức nhanh và tốt; hình
thành kỹ năng, kỹ xảo và cách giải toán tương ứng. Trong cách giải có những
phương pháp riêng sáng tạo, hoặc có nhiều cách giải với một bài toán, hoặc
khả năng lựa chọn cách giải hiệu quả nhất đối với một bài toán.
Thứ hai đó là khả năng sáng tạo ra những kết quả mới có giá trị. Từ hai
cấp độ này ta thấy cấp độ 1 là phổ biến với học sinh phổ thông hơn và có một
số biểu hiện cụ thể mà chúng ta có thể khảo sát được như:
- Có khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức tốt.
- Có thể nắm bắt giáo trình một cách độc lập.
Sáng tạo trong cách giải toán (có nhiều cách giải, có cách giải độc đáo,
có cách giải hiệu quả nhất).
- Độc lập suy ra các công thức.
-

Chứng minh các định lý, hoặc tự tìm là các phương pháp giải các bài
toán không mẫu mực.
-

5


Cao hơn học sinh có thể tự ra lấy đề toán. Quá trình đề xuất bài toán
mới chính là quá trình phát hiện vấn đề mới, các phẩm chất của tư duy sáng
tạo nảy sinh từ đây và nhờ đó được phát triển tôi rèn.
-

1.4.2. Phương hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua môn toán
Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc kết hợp các hoạt
động trí tuệ khác.
Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc rèn luyện khả

năng phát hiện vấn đề khơi dậy ý tưởng mới.
Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến
hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học.
Chú trọng bồi dưỡng tư duy sáng tạo qua việc rèn luyện từng yếu tố cụ
thể bằng việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập.
Các biện pháp cụ thể như:
Tập cho học sinh thói quen dự đoán, mò mẫn, phân tích, tổng hợp từ
trực quan hình tượng cụ thể.
- Tập cho học sinh biết nhìn tình huống đặt ra dưới nhiều góc độ khác
nhau.
-

Tập cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều phương pháp khác
nhau và lựa chọn cách giải quyết tối ưu nhất.
-

-

Tập cho học sinh vận dụng các thao tác khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự.

-

Tập cho học sinh biết cách hệ thống hoá kiến thức và phương pháp.
Tập cho học sinh biết cách vận dụng kiến thức vào thực tiễn.

-

Quan tâm tới sai lầm của học sinh tìm ra nguyên nhân và cách khác phục.

Tôn trọng tính sáng tạo của học sinh, luôn khuyến khích động viên kịp

thời chú trọng việc khơi gợi để học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề.
-

1.5.
1.5.1.
-

:
:

- Qua nghiê
GTLN - GTNN như sau:
6


GTLN - GTNN
12.
GTLN - GTNN
,

.

1.5.2.

GTLN - GTNN
GTLN -

GTNN
.

GTLN - GTNN
.

GTLN - GTNN.
GTLN - GTNN
.
GTLN - GTNN
.
.

GTLN - GTNN.
.
7


.
cao

.
GTLN - GTNN
.

.

.
Nguyên nhân
-

GTLN - GTNN
.

-

:
,
.
GTLN - GTNN
.
GTLN - GTNN

1.5.3.
G
:

8


.
.
.
GTLN - GTNN đ
sinh

GTLN - GTNN

CHƯƠNG 2
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA
Á TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
2.1.
2.1.1. GTLN - GTNN của hàm số

y

f x
x 0 D sao cho f x

M f x0

f x0

x

D

f x0

x

D

f x trên D
M max f x
D

x 0 D sao cho f x

f x trên D

m f x0
m min f

x

D

GTLN - GTNN
.
GTLN - GTNN
GTLN - GTNN

9

a, b
a, b .


x 0,1

sơ
2.1.2. GTLN - GTNN của một tập A
Cho tập A
*
1) a
2)

A

*

:

1)

a, a A

2)

A

GTLN - GTNN

.

2.2.
2.2.1.

- GTNN

-

f' x

y f x

.
-

GTLN - GTNN.
.
.

GTLN - GTNN
10

Ví dụ 1. Tìm GTNN của hàm số

.


0 x

2.2.2.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
tương ứng biến thiên trên
c min f x , d
a ,b

đương với việc tìm GTLN - GTNN. Dựa vào định lý dưới đây:
Định lý: Cho hàm số y
Khi đó phương trình f x
Từ định lý này ta suy ra cách tìm GTLN - GTNN của một hàm số
y

f x xác định trên a, b như sau:

Buộc phương trình f
bất đẳng thức: Nếu c y0
Đặc biệt nếu hàm số
f x

y0 có nghiệm suy ra. Nếu c

Ví dụ 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số y
2.2.3.
.
-

:
x2 y2 ;1 x2 ;...

Ho

x2

.
11

y2

a2 ,a 0,...


2.2.4. Phương pháp hình học
-

.

sau đây:
.
.
,…

3. Tìm GTNN của hàm số
f x

x2

x 1

x2

3x

1

x

2.2.5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp này dựa trực tiếp vào GTLN - GTNN của hàm số. Vì thế
lược đồ chung của phương pháp này có thể tiến hành theo các bước sau
- Trước hết chứng minh một bày đẳng thức có dạng f x

, x D vời

bài toán tìm GTNN hoặc f x, x
- Sau đó chỉ ra một phần tử x 0
4. Tìm GTLN của hàm số y

sin 2 xcos 6x

Cần lưu ý rằng trong hai bước trên không được xem nhẹ bước nào. Tùy
dạng của bài toán cụ thể mà ta sẽ lựa chọn một phương pháp chứng minh bất

đẳng thức thích hợp cũng như cách chỉ ra phần tử x 0 D ở bước hai của thuật
toán.
Kết luận: Một bài toán tìm GTLN - GTNN có thể có nhiều cách giải,
nhiều phương pháp giải. trong mỗi phương pháp lại có khả năng rèn luyện
cho học sinh nhiều cách suy nghĩ tìm tòi và định hướng cũng như nhiều loại
hình tư duy, thao tác tư duy nổi bật là tư duy suy nghĩ. Chính vì vậy đây chính
là mảnh đát tốt để có cơ hội phát triển tư duy suy nghĩ cho học sinh
2.3. Các biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy
học các bài toán về GTLN - GTNN
12


2.3.1. Phương hướng chung
- Tập cho học sinh thói quen mò mẫm, dự đoán, phân tích tổng hợp.
Tập cho học sinh biết nhìn tình hưống đặt ra với nhiều góc độ khác
nhau, giải quyết vấn đề dưới nhiều khía cạnh, biện luận các khả năng xảy ra.
-

Tập cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều phương pháp khác
nhau, tìm ra cách giải quyết tối ưu.
-

Tập luyện cho học sinh biết vận dụng các thao tác, khái quát hóa, đặc
biệt hóa và tương tự.
-

Tập cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức và phương pháp.
- Quan tâm đến các sai lầm của học sinh, tìm nguyên nhân và đưa ra
cách khắc phục.
-

2.3.2. Các biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy
học các bài toán về GTLN - GTNN
2.3.2.1. Rèn luyện theo các thành phần cuả tư duy sáng tạo
* Rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo

1
P 1

Xét lời giải sau đây. P
Ta có
1

x

x

2; y

Do vậy P
Dấu bằng xảy ra khi x
nhưng x y 1 thì x2 y2 2 (không thỏa mãn điều kiện x2 y2 1). Vậy sai
lầm của lời giải ở đâu?
Phân tích: Nếu phụ thuộc vào cách giải đã có thực hiện một cách máy
móc thì giải bài toán nhiều khi vấp phải sai lầm. Ta đều thấy ngay không thể
xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức P 8 (Phần 2 của định nghĩa về
luận min P = 8 là sai


13

Cách giải đúng như sau:
y
x

P

y

1

x )

1

2 ( x
1

y

2y

2

1

y )

2

(3)

1

Ta có: x
x

1)

Do x2
1

(6)

Từ (1), (2), (3), (4) và (6) suy
ra P

x

3 2
4

(7)
Dấu "=" trong (7) xảy ra
đồng thời có dấu bằng trong
(2), (3), (4), và (6)
y

x

2
2
N
h
ư
v
ậ


y tồn
tại

Dấu "=" xảy ra

(x0,

14

y0)

Vậy min y

thảo

R

mãn

Cách 2. Cũng từ phương

diện sử dụng bất đẳng thức cổ điển
nhưng thông qua một số phép biến
đổi khác
Ta có

x02 y02
1 Vậy

min
P=3
24

y

khi x

p dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

2

y 2

.
Nếu không có sự "mềm dẻo" trong
suy nghĩ giải quyết vấn đề thì dễ dẫn đến
sai lầm khi giải bài toán trên
*

Rèn luyện tính nhuần nhuyễn
của tư duy suy nghĩ

2. Tìm GTNN của hàm số y

3

x 1

3x

1

. Bằng cách nhìn bài toán
dưới nhiều phương diện trên cở hàm số
mũ ta có các lời giải khác nhau.
1. Nhìn bài toán dưới
phương diện sử dụng bất đẳng thức
cổ điển
x

,3x

1

0,3 x

1

3y

dấu "=" xảy ra khi 3x

Vậy min y
Cách 3. Nhìn bài toán dưới
dạng một phương trình siêu việt từ
phương diện tập giá trị của hàm số
Ta có
y 3x

1

t

0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
Phương trình (2) có nghiệm

y3x 1

3

x1


do y
Dấu "=" xảy ra khi x
Vậy min y
R

Cách 4. Nhìn bài toán dưới phương diện đạo hàm
Ta có

15


Xét hàm số
f x

Do f(x) là hàm số chẵn nên chỉ cần xét f(x) với x 0
3x , t

Đặt t
g

t

t

g'

t

1

S

m số g(t)
y

y0

Việc rèn luyện tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo sẽ giúp học sinh
tìm được nhiều phương án cho một bài toán và từ đó sẽ tìm được phương án
tốt nhất.
* Rèn luyện tính độc đáo của tư duy sáng tạo

biểu thức

A

Lời giải. Nhận xét:
1
2x y z (x y)

Chúng ta đã có bất đẳng thức quen thuộc
dấu "=" xảy ra khi a
Từ đó ta có
4

1

x

4
2 x y y z z x
4


x

2y

z

Dấu "=" xảy ra khi
16

Vậy max A
Cách giải bài toán là tìm ra sự liên hệ giữa giả thiết của bài toán với bất
1

đẳng thức
nhau. Hướng giải trên thể hiện một phần tính độc lập của tư duy suy nghĩ.
* Rèn luyện tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo
Ví dụ 4. Cho x, y
Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

x, y 0 và x

Khi đó
P 32

dấu "=" xảy ra khi
Nhưng khi thay x
Sai lầm của lời giải ở đâu?
Lời giải sai ở chỗ với x, y 0 thì
Còn
Mặc khác, khi x

y
x

4 , dấu "=" xảy


nghĩa là với giả thiết đã cho không xảy ra khả năng x
Lời giải đúng như sau:
Ta có:
1

x

17

1
y

2


Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
x

P 32

y

dấu "=' xảy ra khi: y
Vậy minP
Như vậy khi dạy học giáo viên cần quan tâm đến các sai lầm của học
sinh, tìm nguyên nhân và đưa ra cách khắc phục. Việc sửa chữa sai lầm nên

theo hướng để học sinh tự tìm và tự khắc phục, như thế mới có độ bền và độ
chắc. Từ đó học sinh linh hoạt và sáng tạo trong học tập và rèn luyện được
tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo cho học sinh.
2.3.2.2. Hướng vào rèn luyện các hoạt động trí tuệ
Các hoạt động trí tuệ cơ bản có thể kể đến như: phân tích, tổng hợp,
khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa… Rèn luyện cho học sinh những
hoạt động đó là khâu quan trọng trong dạy học sáng tạo.
2.3.2.3. Khuyến khích học sinh tiếp cận bài toán bằng nhiều hướng khác
nhau từ đó tìm được nhiều lời giải cho một bài toán
1. Tìm GTLN - GTNN của biểu thức
với x, y là các số thực sao cho x 2 y 2 1.
.
Cách 1. Khi giải bài toán tìm GTLN - GTNN ta thường nghĩ ngay đến
phương pháp sử dụng đạo hàm. Từ phương diện đó ta có cách giải 1
Do x 2

y2

i) Nếu y
ii) Nếu y
Xét hàm số f t


18
f’

f 't) 0

t

t

x
f ' (x)
f (x)

Từ bảng biến thiên suy ra maxP
Qua ví dụ ta thấy: Nhờ việc chuyển hướng quá trình tư duy và nhìn nhận
đối tượng dưới nhiều khía cạnh mà học sinh có thể tìm ra nhiều hướng giải
quyết bài toán từ đó có được nhìu cách giải bài toán và nhờ đó việc tìm ra
được
được cách giải tối ưu.
2.3.2.4. Sáng tạo bài toán mới
Sáng tạo bài toán mới là một bước quan trọng trong quá trình giải toán,
một phương thức rèn luyện tư duy sáng tạo toán học, một trong những mục
tiêu chính của học tập sáng tạo. Để xây dựng bài toán mới, có thể hướng dẫn
học sinh theo các con đường sau đây:
Sử dụng các thao tác tư duy như: tương tự, đặc biệt hóa hay tổng quát
hóa để đi đến bài toán tương tự, bài toán đảo, bài toán tổng quát.
-

Nghiên cứu sâu bản chất của bài toán, đoán nhận được cơ sở sự hình
thành của bài toán để xây dựng các bài toán cùng dạng.
-

Ví dụ 1.
Bài toán 1. Cho a, b, c 0 thỏa mãn a
Tìm Giá trị nhỏ nhất của P 1