Bài giảng Cơ lý thuyết: Phần 1 - ĐH Phạm Văn Đồng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
KHOA KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ
*******

ThS. NGUYỄN QUỐC BẢO
KS. HỒ NGỌC VĂN CHÍ

BÀI GIẢNG

CƠ LÝ THUYẾT
(Bậc cao đẳng)

Quảng Ngãi, 06/2018


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .....…………….………………………………...................……………….. 4
PHẦN I. TĨNH HỌC
Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
1.1. Các khái niệm cơ bản……………….…...…………………...... . ... ………. 5
1.2. Hệ tiên đề tĩnh học… …………………...………………….............………. 8
1.3. Liên kết và phản lực liên kết …………...…………………...... …..………10
Chương 2: HỆ LỰC PHẲNG
2.1. Momen của lực đối với một điểm………….…………………………...…. 18
2.2. Thu gọn hệ lực phẳng bất kì về một tâm…………………………………... 20
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kì ..……………………………... 24
2.4. Bài toán cân bằng vật rắn……………………………...…………………... 26
Chương 3: HỆ LỰC PHẲNG ĐẶC BIỆT
3.1. Hệ lực phẳng đồng quy ………………….………………………………... 32
3.2. Hệ lực phẳng song song……………………………….…………………... 36
3.3. Ngẫu lực……………………………………………….…………………... 38

Chương 4: BÀI TOÁN MA SÁT
4.1. Các khái niệm………………………………………….…………………... 40
4.2. Bài toán cân bằng ma sát………...…………………….…………………... 41
Chương 5: TRỌNG TÂM VÀ CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH
5.1. Trọng tâm của vật rắn ..……………………………….…………………... 46
5.2. Cân bằng ổn định..…………………………………….…………………... 51
Chương 6: ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM
6.1. Khái niệm về động học chất điểm ………………………………………... 57
6.2. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp vector………………...... 58
6.3. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ Descartes ...…...... 60
6.4. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ tự nhiên...…......... 62
6.5. Bài toán động học của chất điểm…………………………...……………... 65
Chương 7: CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
7.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn……………………………...………...... 72
7.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định...…......................... 73

2


7.3. Bài toán chuyển động cơ bản của vật rắn ...….............................................. 80
Chương 8: CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
8.1. Các tiên đề cơ bản của động lực học...…...................................................... 85
8.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. Hai bài toán cơ bản của
động lực...…................................................................................................................. 86
8.3. Lực quán tính. Nguyên lý D’ Alembert...…................................................. 93
Chương 9: CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM
9.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến ………....…................................................ 104
9.2. Vật rắn quay quanh một trục cốđịnh………....…...................................... .104
Chương 10: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC
10.1. Định lý biến thiên động lượng …………......…....................................... 110

10.2. Định lý biến thiên động năng………....…................................................ 116
Tài liệu tham khảo………....…................................................................................ 126

3


LỜI NÓI ĐẦU
Cơ lý thuyết là một khoa học cơ sở nghiên cứu chuyển động cơ học của vật rắn
và các qui luật tổng quát của chuyển động đó.
Do vậy, nhiệm vụ Cơ lý thuyết là: nghiên cứu các qui luật tổng quát của chuyển
động và cân bằng của các vật thể duới tác dụng của lực đặt lên chúng. Hay nói cách
khác, Cơ lý thuyết là khoa học về sự cân bằng và chuyển động của vật thể.
Theo tính chất của nội dung mà Cơ lý thuyết được chia thành 3 phần:
- Tĩnh học: Nghiên cứu các lực và điều kiện cân bằng của các vật thể dưới tác
dụng của lực.
- Động học: Nghiên cứu các tính chất hình học tổng quát của chuyển động.
- Động lực học: Nghiên cứu các qui luật chuyển động của các vật thể dưới tác
dụng của lực.
Với các ý nghĩa trên, Bài giảng Cơ lý thuyết được sử dụng để giảng dạy cho sinh
viên bậc cao đẳng các ngành Cơ khí và Xây dựng. Nội dung được biên soạn theo quan
điểm ngắn gọn, dể hiểu và bảo đảm tính logic của kiến thức.
Nội dung bài giảng được biên soạn theo chương trình ban hành năm 2017 gồm
10 chương và được sử dụng để giảng dạy với thời lượng là 30 tiết (2 tín chỉ).
Bài giảng được biên soạn cho đối tượng là sinh viên bậc cao đẳng, tuy nhiên nó
cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên các bậc đại học và trung cấp.
Mặc dù nhóm biên soạn cũng đã rất cố gắng để đáp ứng cho công tác dạy và học,
nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi các khiếm khuyết. Rất mong được sự đóng góp
các ý kiến quí báu để cho Bài giảng ngày được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm
ơn.
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vể địa chỉ email: hoặc

Quảng Ngãi, tháng 6/2018
Nhóm biên soạn

4


PHẦN I. TĨNH HỌC
Tĩnh học vật rắn khảo sát sự cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của một hệ lực
đã cho.
Tĩnh học giải quyết hai vấn đề chính trong tĩnh học là:
- Thu gọn hệ lực.
- Điều kiện cân bằng của hệ lực.
Về phương pháp nghiên cứu: áp dụng phương pháp tiên đề kết hợp phương pháp
mô hình.
Về ứng dụng: giải thích các hiện tượng thực tế, đồng thời làm cơ sở để học môn
học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu.

Chương 1.
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
A. MỤC TIÊU
- Giúp sinh viên trang bị kiến thức về các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề tĩnh học
làm cơ sở để giải các bài toán tĩnh học.
- Giúp sinh viên có kĩ năng xác định các phản lực liên kết của các loại liên kết.

B. NỘI DUNG
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1. Vật rắn tuyệt đối (vật rắn)
Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kì của vật luôn luôn
không đổi (hay nói cách khác dạng hình học của vật được giữ nguyên) dưới tác dụng

của các vật khác.
Trong thực tế các vật rắn khi tương tác với vật thể khác đều có biến dạng. Nhưng
biến dạng đó rất bé, nên ta có thể bỏ qua được khi nghiên cứu điều kiện cân bằng của
chúng.

ur
Ví dụ: Khi dưới tác dụng của trọng lực P dầm AB phải võng xuống (H. 1.1a),

thanh CD phải dài ra (H. 1.1b). Nhưng độ võng của dầm và độ võng của thanh rất bé,
ta có thể bỏ qua. Khi giải bài toán tĩnh học ta coi như dầm không võng và thanh không
dãn mà kết quả vẫn đảm bảo chính xác và bài toán đơn giản hơn.

5


A

B

C
D
P

P
(a)

( b)

Hình 1.1. Vật rắn biến dạng
Trong trường hợp ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối mà bài toán không giải được,

lúc đó ta cần phải kể thêm biến dạng của vật. Bài toán này sẽ được nghiên cứu trong
học phần Sức bền vật liệu.
Để đơn giản, ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối. Đó là đối tượng để chúng ta
nghiên cứu trong môn học này.
1.1.2. Lực
1.1.2.1. Định nghĩa
Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hổ cơ học của vật này với vật
khác mà kết quả làm thay đổi chuyển động hoặc biến dạng của các vật.
1.1.2.2. Các yếu tố của lực
Lực được xác định bởi ba yếu tố:
- Điểm đặt lực
- Phương, chiều của lực
- Cường độ hay trị số của lực
Đơn vị đo cường độ của lực trong hệ SI là Newton (kí hiệu N).
1.1.2.3. Biểu diễn lực
Lực được biểu diễn bằng một vector.
ur
uuur
Ví dụ: Lực F biểu diễn bằng vector lực AB (H. 1.2)

B
F

A
Hình 1.2. Biểu diễn vector lực

6


ur

uuur
Phương chiều của vector AB biểu diễn phương chiều của lực F , độ dài của
uuur
vector AB theo tỉ lệ đã chọn biểu diễn trị số của lực, gốc vector biểu diễn điểm đặt của

lực, giá của vector biểu diễn phương tác dụng của lực.
1.1.3. Các hệ lực khác
1.1.3.1. Hệ lực
Hệ lực là tập hợp các lực tác dụng lên một chất điểm, một vật hay một hệ vật.
uur uuur uur
uur
uur
Kí hiệu: ( F1 , F2 , F3 ...... Fn ) hoặc: ϕ Fk với k = 1, 2, ..., n.

( )

1.1.3.2. Hệ lực tương đương
Hai hệ lực tương đương nhau khi chúng có cùng tác dụng cơ học.
uur uuur uur
uur
ur uur uur
uur
uur uuur uur
uur
Kí hiệu: ( F1 , F2 , F3 , ..., Fm ) ≡ ( P1 , P2 , P3 , ..., Pn ) hoặc: ( F1 , F2 , F3 , ..., Fm ) :
ur uur uur
uur
( P1 , P2 , P3 , ..., Pn ) .
* Chú ý: Nếu hai hệ lực tương đương có thể thay thế được cho nhau. Để khảo sát
một hệ lực phức tạp người ta thường biến đổi tương đương về một hệ lực đơn giản hơn

gọi là dạng tối giản.
1.1.3.3. Hệ lực cân bằng
Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nó, vật rắn tự do ở trạng thái cân
bằng.

uur

( )

Kí hiệu: ϕ Fk ≡ 0
1.1.3.4. Hợp lực
Hợp lực là một lực tương đương với hệ lực
ur

uur

( )

uur

ur

( )

Kí hiệu: R ≡ ϕ Fk ; R là hợp lực của ϕ Fk .
1.1.4. Trạng thái cân bằng của vật
Một vật rắn ở trạng thái cân bằng là vật đó nằm yên hay chuyển động đều đối với
vật khác “làm mốc” một hệ trục tọa độ nào đó mà cùng với nó tạo thành hệ quy chiếu.
Ví dụ như hệ tọa độ Descartes Oxyz chẳng hạn.
Trong tĩnh học, ta xem vật cân bằng là vật nằm yên so với trái đất.

7


1.2. Hệ tiên đề tĩnh học
1.2.1. Tiên đề 1 (Hai lực cân bằng)
Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng có
cùng phương tác dụng, ngược chiều nhau và cùng trị số.
uur
uur
Trên hình 1.3, vật rắn chịu tác dụng bởi hai lực F1 và F2 cân bằng.
uur uur
Kí hiệu :
( F1 , F2 ) ≡ 0

(1.3)

F2
F1

B
A

Hình 1.3. Hai lực cân bằng
Biểu thức trên là điều kiện cân bằng đơn giản cho một hệ lực gồm có hai lực.
1.2.2. Tiên đề 2 (Thêm hoặc bớt một hệ cân bằng)
Tác dụng của một hệ lực tác dụng lên một vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào
hay bớt đi hai lực cân bằng nhau.
Theo tiên đề này, hai hệ lực chỉ khác nhau một hệ lực cân bằng thì chúng hoàn
toàn tương đương nhau.

Từ hai tiên đề trên ta có hệ quả:
* Hệ quả trượt lực: Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi
ta dời điểm đặt lực trên phương tác dụng của nó.
uur
Chứng minh: Giả sử ta có lực F tác dụng lên vật rắn đặt tại điểm A (H. 1.4).
uur
uur
uur
Trên phương tác dụng của lực F ta lấy một điểm B và đặt vào đó hai lực F1 và F2 cân
uur
uur ur
bằng nhau, với F1 = − F2 = F .

F1

F2

F

A

B
Hình 1.4. Thêm bớt một cặp lực cân bằng

8


uur
uur uuur ur
Theo tiên đề 2 thì: F ≡ ( F1 , F2 , F )

ur uur
Nhưng theo tiên đề 1 thì ta cũng có: ( F , F2 ) ≡ 0, do đó ta có thể bỏ đi. Như vậy

ta có:

uur
uur uuur uur
uur
F ≡ ( F1 , F2 , F ) ≡ F1

Điều đó chứng tỏ lực đã trượt từ A đến B mà tác dụng của lực không đổi.
* Chú ý: Hai tiên đề trên và hệ quả chỉ đúng cho vật rắn cứng tuyệt đối. Còn đối
với vật rắn biến dạng thì các tiên đề và hệ quả không còn đúng nữa.
1.2.3. Tiên đề 3 (về 2 quy tắc hình bình hành lực)
Hai lực tác dụng tại một điểm tương đương với một lực tác dụng tại điểm đó và
có vector lực bằng vector chéo của hình bình hành có hai cạnh là hai vector lực của
các lực đã cho (H. 1.5)
A
F2

B
R

O F1

C

Hình 1.5. Quy tắc hình bình hành lực
uur uur uur

Về phương diện vector ta có: R = F1 + F2
uur
uur uur
Nghĩa là vector R bằng tổng hình học của các vector F1 , F2 .
Tứ giác OABC gọi là hình bình hành lực.
F1 2 + F22 + 2 F1 F2 cos α
uur uur
(trong đó α là góc hợp bởi 2 véctơ F1 , F2 )

Về trị số:

R=

1.2.4. Tiên đề 4 (về lực tương hỗ)
Ứng với mỗi lực tác dụng của vật này lên vật khác, bao giờ cũng có phản lực tác
dụng cùng trị số, cùng phương tác dụng, nhưng ngược chiều nhau.
ur
Giả sử một vật B tác dụng lên vật A một lực F thì ngược lại vật A tác dụng lên
ur
ur
vật B một lực F ' = − F . Hai lực này có trị số bằng nhau, ngược chiều nhau, nhưng
không cân bằng vì chúng đặt lên hai vật khác nhau (H. 1.6).

9


F

A

F'

B

Hình 1.6. Hai lực tương hỗ
1.2.5. Tiên đề 5 (về hóa rắn)
Vật bị biến dạng cân bằng thì khi hóa rắn lại nó vẫn cân bằng dưới tác dụng của
hệ lực đã cho.
Tiên đề này dùng để khảo sát vật thực bằng kết quả của khảo sát vật rắn tuyệt
đối.
1.3. Liên kết và phản lực liên kết
1.3.1. Các khái niệm
Vật rắn không tự do được ngăn cản sự dịch chuyển bằng các vật khác. Vật rắn
không tự do gọi là vật bị liên kết, vật ngăn cản gọi là vật gây liên kết.
Liên kết là những điều kiện cản trở chuyển động của vật.
Lực liên kết là lực tác dụng qua lại giữa các vật không tự do. Lực liên kết do vật
gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát và cản trở chuyển động được gọi là phản lực liên
kết, còn lực do vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết gọi là áp lực.
Các lực không phải là phản lực liên kết gọi là các lực hoạt động.
Ví dụ: Cho viên bi đặt trên mặt bàn (H. 1.7)

Hình 1.7. Áp lực và phản lực liên kết của viên bi
Viên bi là vật khảo sát, viên bi là vật chịu liên kết, mặt bàn là vật gây liên kết
P: áp lực; N: phản lực liên kết.

10


1.3.2. Các liên kết thường gặp
1.3.2.1. Liên kết tựa

Liên kết tựa là liên kết hình thành khi vật tựa lên bề mặt của vật khác. Vật này
tựa lên vật khác theo điểm, đường hoặc bề mặt (H. 1.8).

NB

B

NA

NB

A

NA

B

A
a)

b)

Hình 1.8. Các phản lực liên kết tựa
Giả thiết: không ma sát.

uur
Phản lực: phản lực pháp N

Đặc điểm:
+ Phương: vuông góc mặt tựa (đường tựa) hoặc phương chuyển động.

+ Chiều: hướng vào vật khảo sát (cản trở chuyển đông của vật)
+ Điểm đặt: tại điểm tiếp xúc.
1.3.2.2. Liên kết bản lề
a) Bản lề trụ
Liên kết bản lề trụ là liên kết chỉ cho phép vật quay quanh một trục cố định trong
không gian.
Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có thể quay đối với
nhau.

ur
Phản lực là R (H. 1.9) có đặc điểm:

+ Phương và chiều: đi qua tâm trục A và chưa được xác định.
+ Trị số: chưa xác định và phản lực được chia làm hai thành phần vuông góc
uur ur
nhau X , Y theo hai trục tọa độ.
+ Điểm đặt: đặt tại điểm tiếp xúc.

11


y

y

RA

YA

YA

RA

XA

XA

x

A

x

A

(a)

( b)

Hình 1.9. Phản lực liên kết bản lề trụ
b) Bản lề cầu
Liên kết bản lề cầu là liên kết không cho vật tịnh tiến theo 3 phương mà chỉ cho
phép vật quay quanh một điểm cố định trong không gian.
Bản lề cầu được hình thành nhờ một quả cầu gắn vào đầu vật gây liên kết (H.
1.10)

(a)

(b)
Hình 1.10. Phản lực liên kết bản lề cầu

ur
Phản lực R có đặc điểm:

+ Điểm đặt: tại tâm O của vỏ cầu
+ Phương và chiều: chưa xác định. Phản lực được chia làm ba thành phần

uur ur ur
X , Y , Z theo ba trục tọa độ.

* Chú ý:
1) Phương và chiều của các phản lực liên kết bản lề chưa xác định. Để tính toán
ta giả định cho nó một chiều nào đó, nếu kết quả phản lực liên kết mang dấu dương

12


"+" thì chiều giả định là đúng, nếu kết quả mang dấu âm "-" thì chiều thực ngược
chiều giả định.
2) Trong kỹ thuật có các mô hình liên kết gối đỡ dung để đỡ các dầm, khung. Có
hai dạng:
- Dạng 1: Gối đỡ di động (gối con lăn)
Có phản lực liên kết được xác định như liên kết tựa có một thành phần (H. 1.11a)

a)

b)

Hình 1.11. Phản lực liên kết của gối di động và gối cố định
- Dạng 2: Gối đỡ cố định

Có phản lực liên kết được xác định như liên kết trụ có hai thành phần (H. 1.11b).
1.3.2.3. Liên kết dây mềm
Giả thiết: dây mềm, thẳng không giãn bị kéo căng (H. 1.12).
ur
Phản lực là sức căng dây T có các đặc điểm:
+ Phương: dọc dây
+ Chiều: hướng ra ngoài vật khảo sát (cản trở chuyển động của vật)
+ Điểm đặt: tại điểm buộc dây.

T

1

T2
P

Hình 1.12. Minh họa sức căng dây
1.3.2.4. Liên kết thanh
Liên kết thanh là liên kết mà vật khảo sát có liên kết bản lề với một thanh thẳng
hoặc cong (H. 1.13a)

13


B

D

E
S CE

S CD

S AB

A

D

C

A

C S AD

P

B

P

a)

b)

Hình 1.13. Minh họa ứng lực trong liên kết thanh
Giả thiết: chỉ có lực tác dụng ở hai đầu và bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh.
ur
Phản lực là ứng lực S có đặc điểm:
+ Phương: đường thẳng nối hai đầu thanh.

+ Chiều: hướng vào thanh khi thanh chịu kéo và hướng ra khỏi thanh khi
thanh chịu nén (H. 1.13b).
+ Điểm đặt: tại điểm tác dụng của lực
1.3.2.5. Liên kết ngàm
Khi vật liên kết và vật bị liên kết liên kết cứng với nhau (như hàn cứng, chôn…)
thì đó là liên kết ngàm (H. 1.14).

uur
uur
Phản lực liên kết ngàm gồm R A và M A . Thành phần R A được xác định bởi hai
uuur
uur
thành phần X A và Y A .

MA

YA

A

XA

Hình 1.14. Thành phần phản lực liên kết ngàm
1.3.3. Tiên đề về giải phóng liên kết (tiên đề 6)
Vật chịu liên kết cân bằng (H. 1.15a) được xem là vật tự do cân bằng (H. 1.15b)
nếu thay liên kết bằng phản lực liên kết tương ứng.

14

N

P

P

a)

b)

Hình 1.15. Giải phóng liên kết cho vật
Ví dụ 1.3: Treo một quả cầu đồng chất có trọng lượng P như hình vẽ (H. 1.16).
Xác định hệ lực tác dụng lên quả cầu.
Giải:

Hình 1.16. Hệ lực tác dụng lên quả cầu đồng chất
Vật khảo sát: quả cầu.
Hệ lực tác dụng:
- Lực cho: P .
- Các phản lực liên kết:
+ Tại A: Liên kết dây có phản lực là sức căng T .
+ Tại B: Liên kết tựa có phản lực tựa: N .

(

)

Quả cầu cân bằng dưới tác dụng của hệ lực P, T , N .
Ví dụ 1.4: Xác định hệ lực tác dụng lên dầm như hình vẽ (H. 1.17).
Giải:

Vật khảo sát: dầm AB.
Hệ lực tác dụng:

ur

- Các lực đã cho: Lực tác dụng F

15


- Các phản lực liên kết:

uuur uur

+ Tại A là gối đỡ cố định: Phản lực gồm X A , YA .
uuur

+ Tại B là gối đỡ di động: Phản lực là N B .

uuur uur uuur

Dầm AB cân bằng dưới tác dụng của hệ lực ( F , X A , YA , N B ).

YA

A

F

NB

XA

B
O

Hình 1.17. Hệ lực tác dụng lên dầm AB cân bằng

C. CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Mục đích, đối tượng và phương pháp nghiên cứu của tĩnh học vật rắn
2. Thế nào là chất điểm, cơ hệ, vật rắn tuyệt đối, trạng thái cân bằng?
3. Lực là gì? Các yếu tố để xác định lực? Cách biểu diễn một lực?
4. Định nghĩa, ký hiệu các hệ lực?
5. Hai hệ lực cân bằng có tương đương với nhau không? Vì sao?
6. Khi nào hai lực trực đối cân bằng nhau?
7. Phát biểu các tiên đề tĩnh học.
8. Thế nào là liên kết và phản lực liên kết? Trình bày các liên kết thường gặp và cách
xác định các phản lực liên kết.

D. BÀI TẬP ÔN TẬP
Bài tập 1: Xác định hệ lực tác dụng lên dầm như hình vẽ:
P=10KN

A
1m

C

M=10KN.m

1m

B

Hình 1.18. Minh họa cho bài tập 1
Bài tập 2: Hai thanh AC và BC không trọng lượng nối với nhau và với tường bằng các
bản lề A, B và C (Hình 1.19). Tại bản lề C có treo vật nặng P. Xác định hệ lực tác
dụng vào bản lề C.

16


Hình 1.19. Minh họa cho bài tập 2
Bài tập 3: Xác định hệ lực tác dụng lên dầm như hình vẽ:
P=10KN

M=10KN.m

A

C
2m

2m

B
2m

Hình 1.20. Minh họa cho bài tập 3

17


Chương 2.
HỆ LỰC PHẲNG
A. MỤC TIÊU
- Giúp sinh viên trang bị kiến thức về thu gọn hệ lực phẳng, các dạng thu gọn và
các dạng cân bằng của hệ lực phẳng.
- Giúp sinh viên hình thành kĩ năng lập được các phương trình cân bằng đối với
các hệ lực cụ thể để xác định các phản lực.

B. NỘI DUNG
2.1. Momen của lực đối với một điểm
2.1.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng, cho lực F đặt tại A và điểm O (H. 2.1).

()

* Định nghĩa: Momen của lực F đối với điểm O [kí hiệu: mO F ] là một đại
lượng đại số:

()

mO F = ± F .d

(2.1)

Trong đó: + F là trị số của lực.
+ d là khoảng cách thẳng góc từ O đến đường tác dụng của lực gọi là
tay đòn momen.

+ Dấu “+” khi lực quay quanh O ngược chiều kim đồng hồ và dấu "-"
khi lực quay quanh O cùng chiều kim đồng hồ.

Hình 2.1. Momen của lực đối với một điểm
2.1.2. Nhận xét
1. Đối với hệ lực không gian thì momen của lực F đối với điểm O là một đại
lượng vector:

18


uuur ur
r ur
mO F = r ∧ F

( )

(2.2)

uur
m O ( F1 ) = F .r .sin α = F .d .

và:

(2.3)

Với: d = OH= r.sinα
2. Về mặt hình học: Trị số tuyệt đối momen của một lực đối với một điểm bằng
hai lần diện tích tam giác tạo bởi lực đó và điểm lấy momen của nó (H. 2.1).
ur

mO F

( )

= 2 dt [ ∆OAB]

()

3. Momen đại số mO F biểu thị tác dụng làm quay vật quanh tâm O.
4. Khi lực đi qua điểm lấy mômen (d = 0) thì mômen của lực đối với điểm đó
bằng không (0).
Ví dụ 2.1: Cho một khung chịu lực như hình vẽ (H. 2.2). Biết a = 0,1m, F1 =
200N, F2 = 300N, F3 = F4 = F5 = 100N, α = 300.
Xác định mômen của từng lực đối với điểm O?

F3

F2

a

F1

O
a

F5

a

a

a

Hình 2.2. Hệ lực phẳng tác dụng vào vật
Giải
Ta có:
uur
m O ( F1 ) = − F1 .a = − 200x 0.1 = − 20 N m
uur
m O ( F2 ) = − F2 .2 a . sin α = − 200 x2x 0.1x sin 30 0 = − 30 N m
uur
m O ( F3 ) = + F3 .a = 100x 0.1 = 10 N m
uur
m O ( F4 ) = − F4 .a = − 100x 0.1 = − 10 Nm
uur
uur
m O ( F5 ) = 0 (vì đường tác dụng của lực F5 đi qua O)

19

F4


2.2. Thu gọn hệ lực phẳng bất kì về một tâm
2.2.1. Định lý dời lực song song
r

* Định nghĩa: Lực F tác dụng tại A tương đương với tác dụng của nó tại O (lực
F ' ) và một ngẫu lực có momen bằng momen của lực F đối với điểm O (H. 2.3).

()

F ≡ [ F' , ngẫu lực m = mO F ]

(2.4)

CM: Đặt tại O hai lực cân bằng ( F ', F " ) có cùng trị số với lực F (F’ = F” = F).
Theo tiên đề 2, ta có:

) [ (

(

)]

F ≡ F ', F ", F ≡ F ', F , F "
ur
( F , F ") là một ngẫu lực có momen m = mO ( F ) .

(a)

(b)

(c)

Hình 2.3. Quá trình dời lực song song
* Nhận xét: Nhiều hiện tượng thực tế đã minh họa cho định lý trên, như: Khi ta
treo qủa cân, trường hợp treo lệch thì cần phải tạo thêm một ngẫu lực để đỡ (H. 2.4).

T

T

O

A
m o(F, F')
P

P

(a)

(b)

Hình 2.4. Minh họa cho định lý dời lực song song
Ví dụ 2.2: Cho tay đòn chịu lực như hình vẽ (H. 2.5).
Hãy thay thế tác dụng của lực F tại A bằng một lực và một ngẫu lực tại O. Biết F
= 3kN, d = 0,2m.

20


Giải:

Ta có:

[

Hình 2.5. Minh họa cho ví dụ 2.2

( )]

F ≡ F ', m0 F

Với: F’ = F = 3kN.

ur
mO ( F ) = - F .d = - 300 x0, 2 = - 60 Nm

2.2.2. Thu gọn hệ lực phẳng về một tâm
Cho hệ lực phẳng ( F1 , F2 ,..., Fn ) . Lấy một tâm O trong mặt phẳng tác dụng của hệ
lực gọi là tâm thu gọn (H. 2.6).
Áp dụng định lý dời lực song song để dời các lực về tâm O, ta có:

[
( )]
≡ [F , m = m (F )]

F1 ≡ F1' , m1 = mO F1
F2

'
2

2

O

2

……………………..

[

( )]

Fn ≡ Fn' , mn = mO Fn

(a)

(b)

(c)

Hình 2.6. Quá trình thu gọn hệ lực phẳng về một tâm
Như vậy thu gọn hệ lực phẳng ( F1 , F2 ,..., Fn ) về tâm O ta được hệ lực
( F '1 , F2 ,..., Fn ) đồng qui tại O và hệ ngẫu lực phẳng ( m1 , m2 ,..., mn ) .
21


Thu hệ lực phẳng đồng qui ta được vector chính:

∑F

RO =

k

= R

(2.5)

Thu hệ ngẫu lực phẳng ta được ngẫu lực có momen chính:

( )

M 0 = ∑ mk = ∑ m0 Fk

(2.6)

* Định lý: Khi thu hệ lực phẳng về một tâm O (gọi tâm thu gọn) ta sẽ được một
lực và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực (gọi là lực thu gọn và
ngẫu lực thu gọn). Lực thu gọn đặt tại tâm thu gọn được xác định bằng vector chính
của hệ lực, còn ngẫu lực thu gọn có momen bằng momen chính của hệ lực đối với tâm
thu gọn.
* Chú ý: Phương, chiều và gía trị của lực thu gọn không phụ thuộc vào tâm thu
gọn vì vector chính là vector tự do, còn ngẫu lực thu gọn phụ thuộc vào tâm thu gọn.
2.2.3. Các dạng chuẩn của hệ lực phẳng. Định lý Varignon
Các dạng chuẩn của hệ lực phẳng là các dạng tối giản khi thu gọn hệ lực phẳng
về một tâm, ta có các dạng chuẩn sau:
2.2.3.1. Hệ lực cân bằng
Khi vector chính và momen chính đối với một điểm bất kỳ bằng không:
ur

(

)

( R = 0; M 0 = 0 ) ⇔ F1, F2 ,..., Fn ≡ 0
2.2.3.2. Hệ lực tương đương với một ngẫu lực
Khi vector chính triệt tiêu (bằng 0) còn momen chính đối với một điểm bất kỳ
không triệt tiêu (khác 0):

(R = 0; M

0

≠0

)

⇔

(F , F ,..., F ) ≡ M
1

2

n

0

(2.7)

2.2.3.3. Hệ lực tương đương với một hợp lực
Khi hệ lực có vector chính không triệt tiêu ( R ≠ 0 ) thì hệ lực bao giờ cũng có hợp
lực, ta có hai trường hợp:
a) Khi M 0 = 0

uur

Hợp lực R ' đặt tại tâm thu gọn O với vectơ lực bằng vector chính của hệ lực

(

)

⇔ F1 , F2 ,..., Fn ≡ R0 ≡ R

b) Khi M 0 ≠ 0

22


(a)

(b)

(c)

Hình 2.7. Hệ lực tương đương với một hợp lực
uuur

Hệ lực thu về tâm O được một lực R ' và một ngẫu lực M 0 . Áp dụng định lý dời
lực song song ta biến đổi:

(R', M ) ≡ (R', R, R") ≡ R
0

uur

uur ur

uur

với vectơ: R " = - R ', R = R ' và d =

M0
hợp lực đặt tại O’ (H. 2.7).
R'

* Định lý Varignon (Varinhông): Khi hệ lực có hợp lực, momen của hợp lực đối
với một điểm bất kỳ bằng tổng momen của các lực thành phần đối với cùng điểm đó.

()

( )

m0 R = ∑ m0 Fk

(2.8)

* Nhận xét: Định lý Varignon được áp dụng rộng rãi trong Cơ lý thuyết như: xác
định vị trí tác dụng của hợp lực trong hệ lực song song.
Ví dụ 2.3: Xác định hợp lực của hệ lực phẳng song song cho trên hình vẽ (H.
2.8). Biết F 1 = 100N, F 2 = 250N, F 3 = 500N, F 4 = 150N.
Giải:
Gọi R là hợp lực của hệ lực song song ( F1 , F2 , F3 , F4 ) , chọn R song song cùng
uur

chiều với F1 .

Hình 2.8. Hệ lực phẳng song song
Ta có : R = F1 - F2 + F3 - F4 = 100 - 250 + 500 – 150 = 200N.

23


Để xác định vị trí đường tác dụng của R , ta lấy gốc O như hình vẽ. Giả sử R
nằm bên phải của O và có cánh tay đòn là a.
Áp dụng định lý Varignon ta có:

ur
ur
uur
uur
uur
mO (R) = mO (F1 ) + mO (F2 ) + mO (F3 ) + mO (F4 )

- a.R = 0 + 1.F2 - 2.F3 + 3.F4
à

a=

F2 - 2 F3 + 3F4 250 - 1000 + 450
= 1,5m.
=
- R
- 200

Kết quả: R = 200N; a = 1,5m.
* Chú ý: Trường hợp a < 0 thì hợp lực nằm ngược với chiều gỉa định so với gốc
chọn (bên trái của 0).
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kì
2.3.1. Định lý về điều kiện cân bằng
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là vector chính và momen chính
của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu.

(

uur
uuur
 Ro = ∑ F k = 0
uur uur uur

F1 , F2 ,..., Fn ≡ 0 ⇔ 
uur
 M o = ∑ mo Fk = 0

)

( )

(2.9)

2.3.2. Các dạng phương trình cân bằng
a) Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các
lực trên hai trục tọa độ vuông góc và tổng momen các lực đối với một điểm bất kỳ
đồng thời triệt tiêu.

∑ X k
=0

=0
F1 , F2 ,..., Fn ≡ 0 ⇔ ∑ Yk

∑ m0 Fk = 0

(

)

( )

(2.10)

(O bất kỳ)
b) Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các
lực trên một trục tọa độ và tổng momen các lực đối với hai điểm A và B tùy ý đồng
thời triệt tiêu, với điều kiện AB không vuông góc với trục chiếu.
∑ X k
=0

F1 , F2 ,..., Fn ≡ 0 ⇔ ∑ m A Fk = 0

∑ mB Fk = 0

(

)

( )
( )

24

(2.11)


(AB không vuông góc với Ox)
c) Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng momen của các
lực đối với ba điểm A, B, C không thẳng hàng đồng thời triệt tiêu.

( )
( )
( )

∑ m A Fk = 0

F1 , F2 ,..., Fn ≡ 0 ⇔ ∑ mB Fk = 0

∑ mC F k = 0

(

)

(2.12)

(A, B, C không thẳng hàng)

* Chú ý: Nếu trong hệ lực còn có momen M thì trong các phương trình momen
được viết dưới dạng sau:

∑ m (F
0

k

)± M = 0

(2.13)

Dấu “+” hay “-“ phụ thuộc vào chiều của momen.
2.3.3. Các dạng phương trình cân bằng của các hệ lực đặc biệt
2.3.3.1. Hệ lực phẳng đồng quy
Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng gặp nhau tại
một điểm.
Nếu chọn điểm đồng qui làm tâm thu gọn, hệ lực đồng qui có hai phương trình
cân bằng là:
∑ X k = 0

∑ Yk = 0

(2.14)

2.3.3.2. Hệ lực phẳng song song
Hệ lực phẳng song song là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng song song
nhau.
Nếu chọn trục y song song với các lực, hệ lực song song chỉ có hai phương trình
cân bằng là:

∑ Yk = 0

∑ mO Fk = 0

hoặc:

( )
∑ m (F ) = 0

∑ m (F ) = 0
k

A

B

k

(AB không song song với các lực).

25

(2.15)

(2.16)