SKKN: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Lời giới thiệu: 
Chủ  đề  hàm số  là một nội dung cơ  bản của chương trình toán THPT. Một  
bài toán   về  chủ  đề  hàm số  không chỉ  đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự  biến  
thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề  khác như: tìm giá  
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn. Ứng dụng cách tìm  
giá trị  lớn nhất, giá trị  nhỏ  nhất của hàm số  vào giải quyết các bài toán thực tế,  
giảm chi phí, nâng cao chất lượng và hiệu quả trong công việc…
Nội dung tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong những 
nội dung quan trọng và thường gặp trong các kỳ  thi THPT Quốc gia trong những  
năm gần đây, nhưng rất nhiều học sinh còn mơ hồ và lúng túng không biết giải bài 
toán này. Bài toán tìm giá trị  lớn nhất, giá trị  nhỏ  nhất của hàm số  có nhiều dạng  
khác nhau. Học sinh không biết phân loại bài tập để  có cách giải hữu hiệu, trong  
quá trình làm bài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót trường hợp.
Học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá 
trị nhỏ nhất của hàm số ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về lí thuyết; chưa được 
rèn luyện nhiều về kĩ năng. Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm 
về  bài toán tìm giá trị  lớn nhất, giá trị  nhỏ  nhất của hàm số  với mong muốn giúp  
học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng vào  
giải toán thành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề  tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng 
dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”
2. Tên sáng kiến:  “Ứng dụng đạo hàm để  tìm giá trị  lớn nhất và giá trị  nhỏ 
nhất của hàm số”
3. Tác giả sáng kiến:
­ Họ và tên: NGUYỄN THỊ THƠM
­ Địa chỉ: Trường THPT Trần Hưng Đạo­ Tam Dương –Vĩnh Phúc.
­ Số điện thoại: 0985794595 
­ Email: 
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Thơm
1

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào bài 3: Giá trị  lớn nhất và giá trị 
nhỏ nhất của hàm số – Chương I:  Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ 
thị của hàm số. Trong chương trình Giải tích 12 bậc THPT. Cụ thể như sau:
­ Về  phía học sinh, tôi lựa chọn học sinh các lớp 12A3, 12A4 trường THPT 
Trần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc, do tôi trực tiếp giảng dạy năm học  
2018– 2019.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Năm học 2018 ­2019.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
PHẦN I. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA :
Cho HS  xác định trên  tập D
a) Số M gọi là GTLN của HS  trên tập D nếu   và  sao cho 
Kí hiệu 
b) Số m gọi là giá trị lớn nhất của  trên D nếu  sao cho 
Kí hiệu 
2. NHẬN XÉT
Cho hàm số  liên tục trên đoạn 
Nếu  giữ nguyên dấu trên đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại 
các đầu mút của đoạn.
3. QUY TẮC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
LIÊN TỤC TRÊN ĐOẠN 
Bước 1. Tìm các điểm  trên khoảng  mà tại đó  
hoặc  không xác định
Bước 2. Tính 
.
Bước 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có
4. CHÚ Ý KHI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT:
 Nếu hàm số  liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên  thì và  (và ).
 Nếu hàm số  là hàm số tuần hoàn với chu kỳ  thì để tìm GTLN, GTNN của 

nó trên  ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn có độ dài bằng .
 Khi bài toán yêu cầu tìm GTLN, GTNN mà không nói trên tập nào thì ta 
hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.

2


PHẦN II. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1.1. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 
Phương pháp
Tự luận
 Xét hàm số  trên khoảng . Tính 
 Tìm các điểm , tại đó  hoặc  không xác định.
  Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng 
  Kết luận

Trắc nghiệm:
Nhập MODE 7 . .
Start?  End?  Step? . 
Nhìn bảng giá trị. Kết luận.
3
0;2
Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số  y = x − 3x + 1  trên khoảng  ( )  là

A.  3 .

C.  −1

B.  1 .

D.  0

Lời giải

TXĐ: R

Lập BBT:

Từ BBT suy ra, 
Sử dụng Casio
Nhập MODE 7 . .
Start?  End?  Step? . Kết luận.
Bài tập tương tự:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên khoảng  là:
A.   
B.
C. 
Câu 2. (MH – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên khoảng 
A.   B. 
C. 
D. 
Câu 1.

Câu 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm sốtrên nửa khoảng.
A.  B. 

C. 

D. 
3

D.  


Câu 4.

Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số  trên khoảng  là . Khi đó, các giá 
trị lần lượt là :
 A .  Không có ; .

B. ; .

C. ; .

D. Không có . 

1.2. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Phương pháp
 Xét hàm số  trên đoạn . Tính 
 Tìm các điểm , tại đó  hoặc  không xác định.
  Tính 
  Tìm số lớn nhất  và số nhỏ nhất  trong các số trên. 

   Ta có  và .
Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên  lần lượt là:
A. 7 và 2.       B. 7 và  .
               C. 7 và 0.            D. 7 và .

Lời giải
Chọn D.
Ta có:  
Mà .
Suy ra ; .
Phân tich cac sai lâm dê măc phai cua hoc sinh
́
́
̀
̃ ́
̉
̉
̣
Học sinh không loại giá trị .
Tính   và .
Suy ra ; .
Sử dụng Casio
Nhập MODE 7 . .
Start? ­ End?  Step? . Kết luận.
Bài tập tương tự:
Câu 1. (QG – 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn  bằng

A. .

B. .
C. .
D. .
Câu 2.  (QG – 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn  bằng
A.  B. . C. .
D. .

Câu 3.  (MH – 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn  bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 4.  (QG – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số  trên đoạn 

A.  B. 

Câu 5.

C. 

D. 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn  đạt tại . Giá trị  bằng
A.  
B.  
C.  
4

D.  


Câu 6. (QG – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số  trên đoạn . 

A.  B. 

C. 

 

D. 

Câu 7. (MH – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2; 4].

     A.   B. 

C. 

D. 

Cho hàm số . Gọi ,  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 
số trên đoạn . Tính ?
A. .            B. .          C. .          D. .

Câu 8.

Câu 9.

Giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn là:
A.   
B.
C. 

D.  

Câu 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn  .

A. .

B. .

C. .

D. .

C. . 

D. . 

Câu 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn 

A. . 

B. . 

Câu 12.

Gọi  là giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn . Khi đó:
A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 13. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn  lần lượt là

A.  và .

B.  và .

C.  và .

D.  và 

C. 

D.  

Câu 14. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn  

A. 
B. 
Nếu hàm số  đơn điệu trên  thì: 
;   .

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn   
A. Không tồn tại 
B. 0                            C. ­2                           D. 2
Lời giải

Trên đoạn có:
, suy ra hàm số đồng biến trên đoạn 
Vậy 
Bài tập tương tự:
Câu 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên .
A.  B. 

Câu 2.
Câu 3.

C. 

D. 

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn .
A. .
B. .
C. .
Giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn  là:
A. .
B. .
C. .
5

D. .
D. 


1.3. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định
Ví dụ 4: Gọi  lần lượt là giá trị lớn nhất và hnỏ nhất của hàm số . Hãy tính ?
A. .
B. .
C. .
D. .

Lời giải
Chọn A.
Tập xác định: . Ta có: .
.
.
Vậy .
Phân tich cac sai lâm dê măc phai cua hoc sinh
́
́
̀
̃ ́
̉
̉
̣
Học sinh không tìm TXĐ của hàm số, Tìm GTLN, GTNN bằng cách lập 
BBT .
Bài tập tương tự:
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.

Giá trị lớn nhất của hàm số  
A.   
B.

C. 

D.  

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số .

A. .
B. .

C. 4.

D. 3.

Gọi ,   lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số  . Khi đó có bao nhiêu số 
nguyên nằm giữa , ?
A. .

B. .

C. Vô số.

D. .

DẠNG 2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp:
Tự luân thuân tuy:
̣
̀ ́
 B1:  Đặt .
 B2: Tìm điều kiện của t là .
 B3: Chuyển hàm số theo t:  .
 B4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số  trên .
Casio: (Nếu TXĐ  là đoạn).
 Tìm TXĐ, để chế độ chỉ có 1 hàm ấn shift + mode + 5 + 1.
 B1: Ấn MoDe sau đó chọn 7 (TABLE).

 B2: Nhập biểu thức  vào máy.
 B3: Ấn “=” sau đó nhập giá trị Start, end, step với .
Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số  bằng:
A.  tại .
C.  tại .
6

B.  tại .
D.  tại 


Lơi giai
̀ ̉
Chon B
̣
Giai theo t
̉
ự luân:
̣
Ta có: .
Đặt , hàm số đã cho trở thành .
.
.
 tại .
Giai theo pp trăc nghiêm:
̉
́
̣
Thử .
Phân tich cac sai lâm dê măc phai cua hoc sinh: 

́
́
̀
̃ ́
̉
̉
̣
Học sinh không nhớ công thức lượng giác nên dễ biến đổi sai hoặc khi thử 
nghiêm bằng máy tính không đổi sang đơn vị radian.
Bài tập tương tự:
Câu 1.

Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số  bằng:
A.  tại .
C.  tại .

B.  tại .
D.  tại .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số  là:
A. 1.
B. .

C. .

D. .

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
A. .
B. .

C. .

D. .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số  là.
A. .
B. .

C. .

D. .

Câu 5.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là.
A. .
B. .
C. .
D. .

Câu 6.

: Giá trị nhỏ nhất của hàm số  bằng:
A.  tại .
C.  tại .

Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.

B.  tại .
D.  tại 

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn .
A. .
B. .
C. .

D. .

Giá trị lớn nhất của hàm số  là.
A. .
B. .

C. .

D. .

Giá trị lớn nhất của hàm số là.
A. .
B. .

C. .

D. .

C. .

D. .

Câu 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .

A. .

B. .
7


Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
A. .
B. .
C. .
D. .
Lơi giai
̀ ̉
Chon A
̣
Giai theo t
̉
ự luân:
̣
Đk: .
Đặt .
Hàm số đã cho trở thành: .
.

Ta có: . Vậy .
Giai theo Casio: 
̉
Đk: .
Nhập biểu thức   vào máy.
Lần 1: ấn “=” sau đó nhập giá trị .
Lần 2: ấn “=” sau đó nhập giá trị .
chọn A.
Phân tich cac sai lâm dê măc phai cua hoc sinh:
́
́
̀
̃ ́
̉
̉
̣
Học sinh thường hay quên tìm điều kiện của t nên sẽ chọn đáp án B  hoặc 
nhầm lẫn khoảng xác đinh của hàm số nên sẽ chọn D hoặc sử dụng Casio 
1 lần sẽ chọn đáp án C.
Bài tập tương tự:
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn  là.
A. .
B. .
C. .

D. .

Hàm số  với  đạt GTNN bằng:
A. .
B. .

D. .

C. .

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
A. .
C. .

B. .
D. .

Câu 4.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .
A. .
B. .
C. .
D. .

Câu 5.

Tìm GTLN, GTNN của hàm số .
A. .
C. .

Câu 6.

B. .
D. .

Hàm số  đạt GTLN tại hai giá trị x mà tích của chúng là.
A. .
B. .
C. .
8

D. .


DẠNG   3:   TÌM   GIÁ   TRỊ   LỚN   NHẤT   –   GIÁ   TRỊ   NHỎ   NHẤT   DỰA   VÀO 
BẢNG BIẾN THIÊN ­ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ , BẢNG BIẾN THIÊN ­ ĐỒ THỊ 
CỦA HÀM SỐ 
BÀI TOÁN 1:  Biết bẳng biến thiên – đồ thị của hàm số 
 Dựa vào đồ thị, BBT để xác định giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
Ví dụ  1: (MH – 2019) Cho hàm số   liên tục trên đoạn  và có đồ  thị  như hình bên.  
Gọi  và  lần lượt là giá trị  lớn nhất và nhỏ  nhất của hàm số đã cho trên đoạn . Giá  
trị của  bằng
A. .

B. .

C. .

D. . 

Lời giải

Chọn A
Vậy 
Bài tập tương tự:
Câu 1.

Giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của hàm số có đồ thị sau là:
y

1

1

­1

0

x

­1

A.  B. .
Câu 2.

D. .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị sau trên đoạn  là:

A.  B. 

Câu 3.

C. .

C. 

D. 

Cho hàm số  có đồ thị sau. Chọn khẳng định đúng?

9


A.  B. 
Câu 4.

C. 

D. 

Cho  hàm số  có đồ thị sau. Chọn phát biểu đúng?

A. 
C. 
Câu 5.

Hàm số  có đồ thị như hình vẽ  đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 
đoạn  tại điểm có hoành độ lần lượt là . Khi đó tổng  bằng:

A. 2.

Câu 6.

B. 1.

C. 3.

D. .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số có bảng biến thiên sau trên khoảng  là:

A. .                  B. .
Câu 7.

B. 
D. 

C. .             D. 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số có bảng biến thiên sau trên  [
10

−4; +

)  là:


min y = −8.

A.  [ −4;+
Câu 8.

)

)

Giá trị  nhỏ  nhất của hàm số  
( 0; π )  là:

A. – 1.
Câu 9.

min y = −11.

         B.  [ −4;+

B. 1.

min y = −17.

      C.  [ −4;+

y=

)

min y = −9.

      D.  [ −4;+

)

1
sin x  có bảng biến thiên sau trên khoảng 

π
C.  2 .

D. Không tồn tại.

Cho hàm số   có bảng biến thiên sau. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. .               B. .             C. .            D. 
Câu 10. Cho hàm số   y = x − x − 1  có bảng biến thiên sau. Khẳng định nào sau đây 

đúng?

3
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng  4  và không có giá trị lớn nhất.
3
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng  4  và giá trị lớn nhất bằng  1 .

11


C. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
D. Hàm số  đạt giá trị  nhỏ nhất tại điểm có hoành độ   x = 1  và giá trị  nhỏ 
nhất bằng  1 .
Câu 11. Gọi   y1 ; y2   lần   lượt   là   giá   trị   lớn   nhất,   giá   trị   nhỏ   nhất   của   hàm   số 
1
1

y=
+
x − 1 x − 2  có bảng biến thiên sau  trên đoạn [ 3; 4] . Khi đó tích  y1. y2 là 

bao nhiêu?

3
A.  2 .

5
B.  6 .

5
C.  4 .

7
D.  3 .

Câu 12. Cho hàm số   có bảng biến thiên sau. Hàm số  đạt giá trị  lớn nhất là  tại .  

Khi đó tích  bằng:

A. 64.

B. 4.

C. 0.

D. 20.

Câu 13. Cho hàm số   có bảng biến thiên sau. Hàm số  đạt giá trị  nhỏ  nhất là  tại .  

Khi đó  bằng:

A. 16 3 .

B. .

C. 20.

D.  8 3 .

Câu 14. Cho hàm số   có bảng biến thiên sau. Hàm số  đạt giá trị  nhỏ  nhất là  tại .  

Khi đó  bằng:

A. .

B. .

C. .
12

D. .


Bài toán 2: Biết bảng biến thiên – đồ thị của 
 Dựa vào đồ thị của đạo hàm để lập BBT, từ đó xác định giá trị 
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
Vi du 2:

́ ̣  Cho đồ thị hàm số  như hình vẽ.

Hàm số  đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng  tại  bằng bao nhiêu?
A. .
B. .
C. .
D. .
Lơi giai
̀ ̉
Chon C
̣
Dựa vào đồ thị của hàm số  ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT suy ra hàm số  đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng  tại .
Bài tập tương tự:
Câu 1. Cho hàm số  xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số  như hình bên. 
Tìm giá trị  để hàm số  đạt giá trị lớn nhất trên .
A. .
B. .
C. .
D. .
O −1−21 2

Câu 2.

x y

Cho đồ thị hàm số  như hình vẽ.

Hàm số  đạt giá trị lớn nhất trên khoảng  tại  bằng bao nhiêu?

A. .
B. .
C. .
13

D. .


Câu 3.

Cho đồ thị hàm số  như hình vẽ.

Hàm số  đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng  tại  bằng bao nhiêu?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 4.

Câu 5.

Cho đồ thị hàm số  như hình vẽ.

Hàm số  đạt giá trị lớn nhất trên khoảng  tại . Khi đó giá trị của bằng bao 
nhiêu?
A. .
B. .
C. .
D. .
Vận dụng cao

Cho hàm số  liên tục trên . Đồ thị của hàm số  như hình bên. Đặt . Mênh đề
̣
 
nao d
̀ ươi đây 
́
đung
́ .
A. 
B. 
C. 
D. Không tôn tai gia tri nho nhât cua  trên 
̀ ̣
́ ̣
̉
́ ̉
Cho hàm số   có đạo hàm và liên tục trên . Biết rằng đồ  thị  hàm số    như 
dưới đây.
O 13

Câu 6.

x 2 4 −2 − 3 y

6

y

5
4

3
2

­1
O

x
1

2

­1
2

Lập hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .            B. .      C. .          D
   .  .
Câu 7. Cho hàm số   có đồ  thị   như hình vẽ. Xét hàm số  . Mệnh đề  nào dưới đây  
đúng?
A. .
B. .    
O

14

x y 1 1 3 −3 − 1 − 2


C. .    

D. .

Ví dụ 3: (QG­2019)Cho hàm số 
như hình vẽ bên.

Bất phương trình 
khi và chỉ khi
A. 

m

f ( 2) − 2

f ( x)

, hàm số 

y = f ( x)

 liên tục trên  ﾡ  và có đồ thị 

f ( x) < x + m m
x
 (  là tham số thực) nghiệm đúng với mọi 

.      B. 

m

f ( 0)

.         C. 

m > f ( 2) − 2

.                D. 

m > f ( 0)

( 0; 2 )  

.

Lời giải

Chọn B
Ta có .
Dựa vào đồ thị của hàm số  ta có với  thì .
Xét hàm số  trên khoảng .
.
Suy ra hàm số  nghịch biến trên khoảng .
Do đó .
Bài tập tương tự:
(QG­2019)Cho hàm số 

Câu 1.

f ( x)

như  hình vẽ  bên. Bất phương trình 
với mọi 
A. 

m

x

y= f

( x ) liên tục trên  ﾡ  và có đồ thị 

f ( x) > x + m m
(  là tham số  thực) nghiệm đúng 

( 0; 2 )  khi và chỉ khi

f ( 2) − 2

.         B. 

m < f ( 2) − 2

(QG­2019)Cho hàm số 
như hình vẽ bên.
Câu 2.

, hàm số 

1 2 x y O y= f ( x )

.      C. 

f ( x)

m

, hàm số 

15

f ( 0)

.                  D. 

y = f ( x)

m < f ( 0)

.

 liên tục trên  ﾡ  và có đồ thị 


Bất   phương   trình  

x

f ( x ) < 2x + m

  ( m   là   tham   số   thực)   nghiệm   đúng   với   mọi 

( 0; 2 )  khi và chỉ khi

m > f ( 0)
m > f ( 2) − 4
m
A. 
.     B. 
.           C. 
DẠNG 4. BÀI TOÁN THAM SỐ

f ( 0)

.                   D. 

m

f ( 2) − 4

.

Ví dụ  1:  Tìm giá trị  thực của tham số    để  hàm số    có giá trị  nhỏ  nhất trên đoạn  
bằng  
Lời giải
Đạo hàm 
Ta có 
Theo bài ra:  
Ví dụ 2: Cho hàm số  với  là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của  để hàm số có  
giá trị nhỏ nhất trên đoạn  bằng  

Lời giải
Đạo hàm 
Suy ra hàm số  đồng biến trên 
Theo bài ra: .
Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị của  để giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn  bằng 1.
Lời giải
Ta có .
Nếu :  nên hàm số đồng biến trên 
. Vậy  (nhận).
Nếu :  nên hàm số nghịch biến trên 
. Vậy (loại).
Bài tập tương tự:
Câu 1. (QG – 2017) Cho hàm số   (m là tham số  thực) thỏa mãn . Mệnh đề  nào sau 

dưới đây đúng ?
A. 

B. 

C. 
16

D. 


Câu 2. (QG – 2017) Cho hàm số  (m là tham số thực) thoả mãn . Mệnh đề nào dưới 

đây đúng ?
A.  B. 

C. 

D. 

Cho hàm số  với  là tham số thực. Tìm giá trị  lớn nhất của  để  hàm số  có 
giá trị nhỏ nhất trên đoạn  bằng  
Câu 3.

A. .
Câu 4.

B. .

C. .

D. .

Cho hàm số  Với tham số  bằng bao nhiêu thì thỏa mãn .

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của  để hàm số  có giá trị lớn nhất trên  bằng .

A. .

Câu 6.

B. .

C. .

D. .

Cho hàm số  , với tham số  bằng bao nhiêu thì .

A. .

B. .

C. 

Cho hàm số  với  là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của  để hàm số có 
giá trị lớn nhất trên đoạn  nhỏ hơn 
Câu 7.

A.        B.         C.                        D.
 
 
 
 
Cho hàm số . Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị , để giá trị nhỏ nhất của hàm 
số trên  luôn bé hơn  là:
Câu 8.

A.

 

B.

C.

 

 

D.

 

Cho hàm số  với  là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của  để hàm số có 
giá trị nhỏ nhất trên đoạn  bằng  
Câu 9.

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 10. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực  để  hàm số đạt giá trị 

lớn nhất tại điểm  

A.            B. 

             C. Không có giá trị   

D. 

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực khác  của tham số  để hàm số  đạt giá trị lớn nhất  

tại  trên đoạn ?
A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 12.  (MH – 2018) Gọi  là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực  sao cho giá 

trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn  bằng 3. Số phần tử của  là
A. .
B. .
C. .
D. .
DẠNG 5: ỨNG DỤNG MAX­MIN TRONG CÁC BÀI TOÁN THAM SỐ
Bài toán 1. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm 
(nghiệm đúng với mọi ) ?
Phương pháp:
  Biến đổi bpt về dạng:,,.
  Bất pt (1) có nghiệm.

17


  Bất pt (1) nghiệm đúng với mọi .

Vi du 1
́ ̣ : Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi ?
A. .
B. .
C. .
D. 
Lơi giai
̀ ̉
Chon D
̣
Giai theo t
̉
ự luân:
̣
Với , bpt .
Xét .
Hàm số nghịch biến và liên tục trên.
Ycbt .
Giai theo pp trăc nghiêm:
̉
́
̣
Do hàm số bậc nhất trên bậc nhất nên giá trị lớn nhất,nhỏ nhất đật tại các 
đầu mút nên suy ra kết quả!
Bài tập tương tự:

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 

?
       A. .

B. .

C. .

D. .

Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình có nghiệm?
      A. .
B. .
C. .
D. 
Câu 2.
Câu 3.

Tìm tất cả  các giá trị  thực của m để  bất phương trình  nghiệm đúng với 

mọi?
A. .
Câu 4.

B. .

C. .

D. .

Tìm tất cả  các giá trị  thực của m để  bất phương trình nghiệm đúng với 

mọi?
A. .

B. .

C.             D. .

Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trìnhcó nghiệm?
A. .
B. .
C. .       D. .

Câu 5.
Câu 6.

Tìm tất cả  các giá trị  thực của m để  bất phương trình  nghiệm đúng với 

mọi?
A. .

B. .

C. .

D. .

Bài toán 2:Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng 

  Bước 1 : Đưa bất phương trình  (hoặc),  về dạng  (hoặc ), .
  Bước 2 : Lập bảng biến thiên của hàm số  trên . 
  Bước 3 : Từ  bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các 
giá trị cần tìm của tham số m.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  để hàm số  
nghịch biến trên khoảng  là
18


A. .

B. .

Giải

Hàm số nghịch biến trên khoảng 

C. .

D. 

 

Xét hàm số  trên khoảng 
Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán 
Chọn đáp án C
Bài tập tương tự:
Câu 1. (Thử  QG L1 – VP ­ 2017) Tìm giá trị  nhỏ  nhất của tham số  m để  hàm số 

đồng biến trên khoảng
A. 5
B. 
C. 0
D. 1
Câu 2. (Thử  QG L1 – VP ­ 2017) Tìm tất cả  các giá trị  của tham số  m  để  hàm số 
đồng biến trên khoảng .
A.  B. 
C. 
D. 
Câu 3. Cho hàm số  . Tìm tất cả  các giá trị  thực của tham số    để  hàm số  đã cho 
đồng biến trên khoảng  
A.  B. 
C. 
D. 
Câu 4. Cho hàm số   với  là tham số  thực. Tìm tất cả  các giá trị   để  hàm số  đồng  
biến trên khoảng  
A.  B. 
C. 
D. 
Câu 5. (Thử QG L1 – VP ­ 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số  để hàm số  đồng  
biến trên khoảng 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 6. (MH – 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng 
biến trên khoảng  
A. 5

B. 3
C. 0
D. 4
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ
Ví dụ 1: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức , trong 
đó  là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp ( được tính bằng mg). Tìm  
lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất.
A. mg
B. mg.
C. mg.
D. mg.
Lời giải
 hoặc 
Bảng biến thiên:
19


Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để  huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg. 
Khi đó, độ giảm huyết áp là 100
Ví dụ 2. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách 300km. Vận tốc 
dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng 
lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức 
,
trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước  
đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
Lời giải
Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là  (km/h).
Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách 300km là  (giờ).
Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là 
(jun),v>6 

Bảng biến thiên:
Để  ít tiêu hao năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên) là 
9km/h.
Ví dụ 3: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inox có nắp đậy 
với thể tích là . Chi phí mỗi  đáy là  nghìn đồng, mỗi  nắp là  nghìn đồng và mỗi  
mặt bên là  nghìn đồng. Hỏi ông An cần chọn bán kính đáy của bể là bao nhiêu để 
chi phí làm bể là ít nhất ? (Biết bề dày vỏ inox không đáng kể)
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi  lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. 
Thể tích khối trụ 
Diện tích đáy và nắp là ; diện tích xung quanh là
Khi đó chi phí làm bể là
Đặt , ;
, 
Lập bảng biến thiên, ta thấy  đạt giá trị nhỏ nhất khi 
Vậy với bán kính đáy là  thì chi phí làm bể là ít nhất
Ví dụ 4: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người 
nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ  là . Nếu xem  
là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm . Hỏi tốc độ truyền bệnh sẽ lớn 
nhất vào ngày thứ mấy?
Lời giải
Ta có . Cần tính giá trị lớn nhất của hàm số 
20

Khi đó: .      
Bảng biến thiên 
t

15

0

g'(t)

+

+∞

0
675

g(t)
0

0

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ 

 Bài tập tương tự    :
Câu 1. (MH – 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn 
góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x 
(cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. 
Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

     A. x   6. 
B. x   3. 
C. x   2. 
D. x   4.
Câu 2. Người ta khảo sát gia tốc  của một vật thể chuyển động ( là khoảng thời  
gian tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 và 
ghi nhận được  là một hàm số liên tục có đồ  thị như  hình bên dưới. Hỏi trong thời 
gian từ  giây thứ  nhất đến giây thứ  3 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể  có 
vận tốc lớn nhất?
A. giây thứ 2.          
C. giây thứ 1,5.

B. giây thứ nhất.
D. giây thứ 3.

a(t)
6

3

O

21
­6

1

1,5

2

3

t


Người ta khảo sát gia tốc  của một vật thể chuyển động ( là khoảng thời  
gian tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và  
ghi nhận được  là một hàm số liên tục có đồ  thị như  hình bên dưới. Hỏi trong thời 
gian từ  giây thứ  nhất đến giây thứ  10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể  có  
vận tốc lớn nhất?
Câu 3.

A. giây thứ 7.   B. giây thứ nhất. C. giây thứ 10.
D. giây thứ 3.
Câu 4. Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một bồn nước bằng gạch và xi măng có dạng 
hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều rộng là (m), chiều dài gấp 2 lần chiều 
rộng và không nắp, có chiều cao là (m), có thể tích là . Tìm chiều rộng của đáy hình 
chữ nhật để chi phí xây dựng là thấp nhất.
A. .

B. .
C. .             D. .
Câu 5. Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường  
(mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian  (giây), hàm số đó là . Thời 
điểm  (giây) mà tại đó vận tốc  của chuyện động đạt giá trị lớn nhất là:
A. s.

B. s.
C. s.

D. s.
Câu 6. Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh cm. Người ta cắt một tấm gỗ có hình một 
tam giác vuông  từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau. Biết (cm) là một 
cạnh góc vuông của tam giác  và tổng độ dài cạnh góc vuông  với cạnh huyền  bằng 
cm. Tìm  để tam giác  có diện tích lớn nhất.
A. cm

B. cm

C. cm

D. cm

Câu 7.  (QG – 2018) Ông  dự định sử  dụng hết  kính để  làm một bể cá bằng kính  

có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép  
có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả 
làm tròn đến hàng phần trăm)?
22


A. .

B. .

C. .

D. 

Câu 8. (QG – 2018) Ông A dự định sử dụng hết m2 kính để làm một bể các bằng 

kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối 
ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết 
quả làm tròn đến hàng phần trăm) ? 
A. m3.             B. m3.
            C. m3.
                           D. m3.
PHẦN II. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
­ Sáng kiến có thể áp dụng với tất cả các em học sinh THPT khi học  Chương I ­ bài 
3: “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” – Giải tích 12.
­ Sáng kiến đã được áp dụng trong thực tế với các em học sinh tại lớp 12A3 trường 
THPT Trần Hưng Đạo, khi học Chương I ­ bài 3: “Giá trị  lớn nhất và giá trị  nhỏ 
nhất của hàm số” – Giải tích 12.
Thực tế cho thấy các em học sinh dễ tiếp thu bài giảng, dễ  làm quen với các 
bài tập về tính thể tích khối đa diện hơn.
+) Lớp thực nghiệm : 12A3
+) Lớp đối chứng  :    12A4
Kết quả
1. Kết quả kiểm tra theo lớp.

Lớp

Sĩ số

Điểm
3

4

5

6

7

8

9

12A3

40

0

0

3

7

8

11

10

12A4

40

2

8

6

6

8

6

5

2. Kết quả kiểm tra theo nhóm và tỉ lệ:
Lớp

Số 
học 

Kết quả thực nhiệm
Giỏi

Khá

sinh

T.bìn

Yếu

h
SL

%

SL

%
23

SL

%

SL

%


12A3

39

21

53,85

8

20,51

10

25,64

0

0

12A4

41

11

26,83

8

19,51

12

29,27

10

24,39

­ Ở lớp thực nghiệm 12A3: Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB thấp hơn ở lớp  
đối chứng, tỉ lệ khá và giỏi cao hơn. 
­ Ở lớp đối chứng 12A4: Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB cao hơn ở lớp thực  
nghiệm, tỉ lệ có điểm khá giỏi thấp hơn.
Điều đó cho thấy học sinh  ở lớp thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu và vận dụng kiến  
thức tốt hơn. Khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán tốt hơn so với đối chứng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Nhà xuất bản Giáo dục ­ 2008).
[2] . Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao (Nhà xuất bản Giáo dục – 2009).
[3]. Sách bài tập Giải tích 12 (Nhà xuất bản Giáo dục ­ 2007).
[4] . Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao (Nhà xuất bản Giáo dục – 2009).
 [5] Đề thi đại học cao đẳng, THPT Quốc gia các năm.
 [6] Mạng Internet.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không có
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
­ Giáo viên: Nhiệt tình, có trách nhiệm cao, đầu tư chuyên môn, chuẩn bị kĩ bài tập 
và đáp án.
­ Học sinh: Chuẩn bị bài, sách giáo khoa,  và các đồ dùng học tập khác.
­ Thiết bị dạy học: Máy tính, máy chiếu, giấy A0, A3, A4, bút dạ, sách giáo khoa… 
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự  kiến có thể  thu được do áp dụng sáng 
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp 
dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
theo ý kiến của tác giả: 

24


So sánh phương pháp dạy khi chưa phân dạng và phương pháp dạy theo hướng  

phân dạng
a. Phương pháp dạy khi chưa phân dạng
Khi chưa phân dạng mà ra bài tập cho học sinh làm ta thấy như sau:
­ Học sinh không có phương hướng làm bài dẫn đến mất nhiều thời gian suy  
nghĩ.
­ Nhiều khi biến đổi không hiểu bản chất dẫn đến mắc sai lầm trong toán 
học.
Mặc dù dạy theo kiểu chưa phân dạng giúp các em phải kiên trì tư duy, tự phát 
hiện vấn đề để giải nhưng lại không khắc sâu tổng quan về chuyên đề.
b. Phương pháp dạy khi phân dạng
Sau khi học xong chuyên đề này các em có thể sẽ cảm thấy rất tự tin vào nội 
dung chương trình. Nhờ vào việc tận dụng những từ khóa và phương pháp sáng tạo, 
một  chuyên đề  như  thế  được ghi bài hết sức cô đọng trong một trang giấy, mà  
không bỏ lỡ bất kỳ một thông tin quan trọng nào. Tất cả những thông tin cần thiết  
để  đạt điểm cao trong kỳ  thi vẫn được lưu giữ  nguyên vẹn từ  những chi tiết nhỏ 
nhặt nhất
Sáng kiến   đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như  minh  
họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập 
với các mức độ khác nhau.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
Đề tài nghiên cứu có tính khả thi, và ứng dụng vào thực tiễn, mang lại hiệu quả cao  
trong giờ học “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” ở chương trình môn 
Toán 12.
    Giúp học sinh có niềm say mê và hứng thú với môn học.
      Với sáng kiến nhỏ  này, người viết mong nhận được ý kiến đóng góp của các  
đồng nghiệp nhằm bổ sung cho đề tài được sâu sắc và thiết thực hơn.
                 Tôi xin chân thành cảm ơn!

25