Problème de tournées de véhicules avec livraisons divisibles

Institut de la Francophonie pour l’Informatique
MEMOIRE DE FIN D’ETUDES
MASTER D’INFORMATIQUE

Probleme de tournees de
vehicules avec livraisons divisibles
par
NGUYEN Thanh Tuan
Responsable de stage:
Sophie MICHEL-LOYAL
Ce stage a ete realise au sein de l’equipe
REAOPT de l’INRIA
Hano , 2008


A ma famille


Remerciements
Tout d’abord, je tiens a remercier ma famille qui m’a
sou-tenu dans mes etudes et aussi dans mon stage.
Je tiens a remercier l’Institut de la Francophonie pour
l’In-formatique qui me permet d’e ectuer mon Master et de
faire ce stage en France.
Je tiens a remercier Madame Sophie Michel-Loyal pour
m’avoir dirige dans mes travaux tout au long de mon stage.
Je la re-mercie de ses conseils et encouragements.
Je remercie tous les professeurs, les doctorants du
Labora-toire Mathematique Appliquees du Havre, Monsieur
Francois Vanderbeck, Cedric Joncour et les membres de
l’equipe REA-LOPT - INRIA qui m’ont donne les meilleurs

supports toute la duree de mon stage.
Merci en n a mes camarades de promotion 12 IFI qui m’ont
donne les meilleurs sentiments dans mes etudes a l’IFI.

i


Resum
Dans le probleme de tournees de vehicules (Vehicle Routing
Problem - VRP) une otte de vehicules est disponible pour servir
un ensemble de clients avec la demande connue. Chaque client
est necessaire pour ^etre visite exactement par un vehi-cule et
l’objectif est de reduire la distance totale voyagee. Dans Le
probleme de tournees de vehicules avec livraisons divisibles (Split
Delivery Vehicle Routing Problem - SDVRP) la restric-tion que
chaque client doit ^etre visite exactement une fois est supprimee,
c’est-a-dire, des livraisons divisibles sont autorisees, plusieurs
vehicules peuvent ^etre utilises pour satisfaire la de-mande de
chaque client. Dans cette memoire, nous presentons un etat de
l’art de SDVRP et l’approche de la generation de colonnes pour le
SDVRP qui a et implementee avec la plate-

forme BapCod. Des resultats numeriques montrent lSe
cacit de la methode proposee.
Mots cles : Le probleme de tournees de vehicules, Le probleme de tournees de vehicules avec livraisons divisibles,
Re-cherche Operationnelle, Generation de Colonnes.

ii

Abstract
In the classical Vehicle Routing Problem (VRP) a eet of
capacitated vehicles is available to serve a set of
customers with known demand. Each customer is required
to be visited by exactly one vehicle and the objective is to
minimize the total distance traveled. In the Split Delivery
Vehicle Routing Pro-blem (SDVRP) the restriction that each
customer has to be visited exactly once is removed, i.e.,
split deliveries are allo-wed, the demand of each customer
can be ful lled by several vehicles.. In this report we
present a survey of the state-of-the-art on the SDVRP and
a column generation approach which is implemented for
the SDVRP with the place-form BapCod. Computational
results show the e ectiveness of the proposed method.
Keywords: Vehicle Routing Problem, Split Delivery Vehicle Routing Problem, Operations Research, Column
Genera-tion.

iii


Table des matieres
Remerciements
Resum
Abstract
Table des matieres
Table des gures
Introduction
0.1

Equipe REALO

pour l’Optimis
Description du
0.2.1
0.2.2

0.2

1 Le probleme de tournees de vehicules avec livraisons divisibles
1.1
1.2
1.3

iv
TABLE DES MATIERES

Introduction .
De nition et fo
Proprietes et c
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4


2

Generation de Colonnes et Reformulations
2.1
Introduction .
2.2

La generation
2.3
La reformulati
2.3.1
2.3.2

3

Implementation et Test
3.1
3.2

Conclusion et Perspectives
Bibliographie
A

Un exemple d’instance

B

Codes de SDVRP dans BapCod

BAPCOD - a g
Implementatio
3.2.1
3.2.2
3.2.3


Table des

gures

0.1 Un exemple du TSP . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Un exemple du VRP . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Un exemple du SDVRP . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Un cycle 4-split . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Un exemple de VRP et SDVRP . . . . . . . .

2.1 L’algorithme de generation de colonnes . .

3.1 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Le changement de borne duale dans l’instanc

vi


Introduction
0.1

Equipe REALOPT - Reformulations
et algorithmes pour l’Optimisation
combinatoire

Ce stage a et realis au sein de l’equipe REAOPT de
l’IN-RIA.
Presentation de l’equipe de recherche
L’equipe REALOPT commune avec le LaBRI (CNRS/Universit
de Bordeaux 1/ENSEIRB) et l’IMB (CNRS/Universites de Bordeaux 1 et 2). L’objectif de l’equipe est de travailler sur la qualite
des formulations de problemes d’optimisation combina-toire.

S’approche consiste a combiner des techniques avancees telles
que l’approche polyedrale, l’approche de decomposition
Lagrangienne, et les techniques venant de l’optimisation nonlineaire et de la theorie des graphes. En partenariat avec des
industriels, l’equipe REALOPT travaille sur des applications
complexes en logistique (problemes de tournees), en plani ca-tion
de la production et ordonnancement des t^aches, conception

et gestion des reseaux et des horaires, et sur des
problemes de decoupe et de placement.

1
TABLE DES FIGURES


Axes de recherche
Le projet de l’equipe rassemble des expertises complementaires en optimisation combinatoire : programmation en nombres
entiers (etudes polyedrales, methode de "branch-and-price-andcut "), programmation quadratique ("semi-de nite-programming"),
et theorie des graphes (modelisation dans les graphes et exploitation de resultats pour reduire l’espace des solutions). REALOPT developpe des solutions approchees aux problemes de
grande taille et des heuristiques primales basees sur des approches de programmation mathematiques.

0.2

Description du stage

Le sujet du stage
Le probleme du Voyageur de Commerce (Traveling Salesman Problem - TSP) est un des problemes d’optimisation combinatoire les plus connus, Il pose le probleme suivant; Avec seul
vehicule partir d’un dep^ot, trouver un chemin de longueur totale minimale qui passe exactement une fois par chaque client
et revienne au dep^ot. (voir gure 0.1).

Le probleme de tournees de vehicules (Vehicle Routing

Pro-blem - VRP) est une version tendue du Probleme du
Voyageur de Commerce, qui consiste visiter des clients
partis d’un dep^ot et au moyen d’une otte de vehicules,
avec un co^ut minimal (voir gure 0.2).
Le probleme de tournees de vehicules avec livraisons divisibles
(Split Delivery Vehicle Routing Problem - SDVRP) est un assouplissement du VRP ou il s’autorise que plusieurs vehicules
peuvent ^etre utilises pour satisfaire la demande de chaque client
(voir gure 0.3), si elle reduit les co^uts globaux. Cette relaxa-tion
est tres importante si la demande de chaque client peut
TABLE DES FIGURES


Fig. 0.1: Un exemple du TSP
^etre superieure a la capacite de vehicule.
Le SDVRP a et introduit par Dror et Trudeau ([13], [14]),
qui ont souligne les proprietes des solutions optimales et
ont pro-poses une heuristique de recherche locale. Depuis
lors, plusieurs heuristiques ont ete developpees pour le
SDVRP. Ce stage etu-die une approche pour resoudre le
SDVRP : la methode de ge-neration de colonnes.

0.2.1

Objectifs detailles du stage

Les objectifs detailles sont :
- Etudier l’etat de l’art du SDVRP, la formulation, les proprietes, la complexit ...
- Comprendre la methode de generation de colonnes,
refor-muler le probleme.
- Etudier la plate-forme BapCod, sur laquelle, implementer

l’algorithme de generation de colonnes proposee pour le SDTABLE DES FIGURES


Fig. 0.2: Un exemple du VRP
VRP.
- Tester et comparer la formulation originale et la
reformu-lation de generation de colonnes.

0.2.2

Organisation du rapport

Le rapport est organise comme suit : Nous allons d’abord
adresser a l’etat de l’art du SDVRP, une formulation programmation mathematique du SDVRP, la complexit et les proprietes du probleme. Nous allons presenter, dans la chapitre 2,
les approches pour resoudre le SDVRP, et la methode de
genera-tion de colonnes, sur laquelle nous avons une
solution pour ce probleme et reformuler le SDVRP selon cette
methode. En n, dans la chapitre 3, nous allons examiner
l’algorithme de gen - ration de colonnes proposes pour le
SDVRP avec la plate-forme BaPCod.


TABLE DES FIGURES

Fig. 0.3: Un exemple du SDVRP

5


Chapitre 1

Le probleme de tournees de
vehicules avec livraisons
divisibles
1.1

Introduction

Dans le probleme de tournees de vehicules avec livraisons
divisibles une otte de vehicules homogenes capacites est disponible pour servir d’un ensemble de clients. Chaque client peut
^etre visite plusieurs fois, contrairement a ce qui est generalement suppose dans le probleme de tournees de vehicules, et la
demande de chaque client peut ^etre superieure a la capa-cite
de vehicule. Chaque vehicule doit demarrer et terminer son tour
au dep^ot. Le probleme consiste a trouver un ensemble
d’routes vehicule qui servent tous les clients, telle que la
somme des quantites livrees dans chaque tour n’excede pas la
capacite d’un vehicule et la distance totale voyagee est reduite.
Le SDVRP a et introduit dans la litterature il y a envi-ron
vingt ans par Dror et Trudeau ([13] et [14]) qui ont mo-tive
l’etude du SDVRP par prouver qu’il peut avoir des econo-mies
generees en permettant aux livraisons divisibles. Archetti,
Savelsbergh et Speranza [7] analysent les economies possibles
6


CHAPITRE 1. LE PROBLEME DE TOURNEES DE VEHICULES
7
AVEC LIVRAISONS DIVISIBLES

maximales obtenues par permettant des livraisons divisibles,
tandis que dans [8], des auteurs ont m^eme present une etude

calcule a n de montrer comment les economies dependent les
caracteristiques de l’instance. Les inegalites valides pour le SDVRP sont decrites par Dror, Laporte et Trudeau [14], tandis que
Belenguer, Martinez et Mota [4] propose une limite infe-rieure
pour le cas ou la demande de chaque client n’excede pas la
capacite de vehicule. Archetti, Mansini et Speranza [11]
analysent la complexit algorithmique du SDVRP et le cas des
vehicules avec petite capacite.
Les applications reelles de SDVRP ses trouvent dans le travail par Mullaseril, Dror et Leung [6], ou les auteurs considerent le
probleme de la gestion d’une otte de camions pour distri-buer
d’aliment dans un ranch de betail et formulent comme un SDVRP
avec fen^etres de temps (time windows). Sierksma et Tijssen [5]
considerent le probleme de determiner l’horaire de vol pour
helicopteres aux plates-formes pour l’echange de l’equipage
personnes employees sur ces plates-formes hors terre.

Dans ce chapitre, nous presenterons la formulation de
pro-bleme dans section 1.2, puis les proprietes et la
complexit de SDVRP en section 1.3.

1.2

De nition et formulation du probleme

Rappel de la theorie des graphes.
Rappelons quelques notions essentielles de la theorie des graphes.

De nition 1.2.1. (Graphe simple non-oriente) Un graphe simple
non-orient G est un couple (V;E), ou V est un ensemble dont
les elements sont les sommets, E est un ensemble de paires
(non ordonnees) de sommets, appelees ar^etes.

CHAPITRE 1. LE PROBLEME DE TOURNEES DE VEHICULES
8
AVEC LIVRAISONS DIVISIBLES

De nition 1.2.2. (Chemin) Un chemin d’un noeud X a un
noeud Y dans un graphe non-orient G est un ensemble
d’ar^etes A = (X1;X2);(X2;X3);:::;(Xn 1;Xn) tel que A 2 V et X
= X1 et Xn = Y ; la longueur du chemin A est jAj.
De nition 1.2.3. (Chemin Elementaire) Un chemin A = f(X1;X2);
(X2;X3);:::;(Xn 1;Xn)g est elementaire si chacun des sommets du
par^eteours est visite une seule fois : 8i;j tels que 1 i;j n
et i 6= j on a : Xi 6= Xj. Un chemin elementaire est un chemin simple (chaque ar^ete est empruntee une seule fois) et
sans boucle.
Le SDVRP peut ^etre de ni sur un graphe G = (V;E) avec
l’ensemble de sommet V = f0;1;:::;Ng, ou 0 designe le de-p^ot
et les autres sommets representent les clients, et l’ensemble
d’ar^etes E. Le co^ut cij (egalement appelee longueur) du
par^e-teours d’une ar^ete (i;j) 2 E, suppose qu’elle n’est pas
negative et satisfaite a l’inegalit triangulaire. Une demande di
est asso-ciee chaque client i 2 V f 0g. Un nombre illimite de
vehicules sont disponible, chacune avec capacite Q 2 Z. Nous
supposons qu’une limite superieure M sur le nombre de
vehicules neces-saires pour servir les clients est disponible.
Chaque vehicule doit demarrer et terminer son tour au de-p^ot.
Les demandes de clients doivent ^etre satisfaites, et la quan-tite
livree dans chaque visite ne peut pas depasser Q. L’objectif est de
reduire la distance totale voyagee par les vehicules.

Nous o rons ci-dessous une entiere mixte
programmation formulation (P) pour le SDVRP. Nous
utilisons les notations suivantes :
{ xij est une variable binaire qui prend la valeur 1 si le
vehicule k voyage directement a partir de i a j et 0 sinon, {
aik est la quantite de la demande de i livree par le vehicule


CHAPITRE 1. LE PROBLEME DE TOURNEES DE VEHICULES
9
AVEC LIVRAISONS DIVISIBLES

k.
{ yik est une variable binaire qui prend la valeur 1 si le
vehicule k visite le client i et 0 sinon.
Le SDVRP est formule comme suit :
N

M

min P =
N

Xj
N

X

j

N

Xi

a

ik

X

i

u

ik

La contrainte 1.2 assure que chaque vehicule demarre et
termine son tour au dep^ot. Dans la contrainte 1.3, x ijk = 1
indique que le vehicule k visite point j apres point i et y ik = 1
indique que le vehicule k visite point demande i. A chaque
demande point i, la quantite de livraison aik ne doit pas depasser la demande, ce qui est assure par les contraintes 1.4. Les


CHAPITRE 1. LE PROBLEME DE TOURNEES DE VEHICULES
10
AVEC LIVRAISONS DIVISIBLES

contraintes 1.5 et 1.6 assurent que la livraison totale de la route
ne peut pas depasser la capacite de vehicule mais doit ^etre au
PN

moins i di (M 1)Q. Les contraintes 1.7 garante que la
demande est satisfaite pour tous les points. En n, on retrouve
les contraintes d’elimination des sous-tours en 1.8.
On peut distinguer deux cas du SDVRP, la demande d i
de chaque client i est discrete ou continue, c’est-a-dire,
dans le cas que la demande est unitaire, a ik est entiere, et
inversement, aik est continue. Dans ce rapport, nous
etudions seulement le cas que la demande est discrete.

1.3

Proprietes et complexit

Dans cette section on resume les contributions a la
com-plexit du SDVRP et on vois aussi les certaines
proprietes du SDVRP.

1.3.1

La complexit

Dans le cas Q = 2, nous montrer que toute instance du
SDVRP peut ^etre transformee en une instance du "minimum
weight b-matching problem". On a un algorithme de polyn^ome
pour resoudre ce probleme, qui est un cas particulier du "matching problem" general, le SDVRP peut ^etre resolu en temps
polyn^omial. Le "minimum weight b-matching problem" est de~
ni comme suit. Laisser G = (V ;E) un graphe non-oriente, pos-

sible avec des boucles, c~e

un parametre associe a vertex
un vecteur integrante de poids minimum x
P

(i) et (j) sont l’ensemble
d’ar^etes incidents a i et l’ensemble de boucles a i, i
V.
Theoreme 1.3.1. [11] Le SDVRP avec Q = 2 peuvent ^etre
xe +

l2 i 2xl

bi , i 2 V , ou

~


CHAPITRE 1. LE PROBLEME DE TOURNEES DE VEHICULES
11
AVEC LIVRAISONS DIVISIBLES

resolus en temps polyn^omial.
Preuvu Etant donne une instance du SDVRP avec Q = 2 de
ni sur graphe G = (V, E), nous construisons une instance du
"minimum weight b-matching problem" comme suit. Nous
construisons un graphe complete non-orient G = (V ;E) ou

~

V = V f 0g, c~ij

et nous de nissons bi = di, i 2 V . Alors, une boucle est ajoutee
chaque sommet i 2 V avec co^ut sur la boucle c~ = c

La solution optimale du SDVRP avec Q = 2 dans le cas de
co^uts generaux sur G peut ^etre obtenue en resolvant le "mini~

mum weight b-matching problem" sur le graphe G. La
valeur de x sur l’ar^ete (i;j) donne le nombre des routes qui
visitent des sommets i et j. La valeur de x sur une boucle
sur le som-met i donne le nombre de routes directs du
dep^ot au sommet i. Si la somme de x des bords incidents
a i et deux fois de x des boucles sur i depasse d i, il
depasse di par une unite et cela signi e que l’un des
vehicules qui visite i comporte uniquement une division.
Dans le cas Q 3, le SDVRP est NP-di cile.
Theoreme 1.3.2. [11] Le SDVRP ou chaque client a la demande unitaire est NP-di cile pour Q 3.

1.3.2

Les proprietes

Dans l’article [10], Arhetti, Hertz et Speranza ont preuves
qu’il existe toujours une solution optimale entiere a (P ).
Theoreme 1.3.3. Si (P ) a les solutions realisables alors il
existe toujours une solution optimale que les variables aik sont
entieres.
Dans le SDVRP, la demande de clients peut ^etre superieure
a la capacite de vehicule. Il existe une classe d’instances ou nous

CHAPITRE 1. LE PROBLEME DE TOURNEES DE VEHICULES
12
AVEC LIVRAISONS DIVISIBLES

Fig. 1.1: Un cycle 4-split
savons comment de facon optimale servir la partie de
depasser la capacite de vehicule de la demande.
De nition 1.3.1 (k
split cycle). Etant donne k clients et k
routes. La route 1 visite les clients i 1 et i2, la route 2 visite
les clients i2 et i3, la route k 1 visite les clients ik 1 et ik et la
route k visite les clients ik et i1. Le sous-ensemble de
clients i1;i2;:::;ik est appel k-split cycle.
On peut trouver un exemple d’un cycle 4-split dans la
gure 1.1. Dror et Trudeau ont montre que, si les distances
satisfont l’inegalit triangulaire, alors il existe toujours une
solution op-timale pour le SDVRP qui ne contient pas de
cycles de k split, k 2.
Theoreme 1.3.4. [14] Si la distance cij satisfait l’inegalit triangulaire, alors il existe une solution optimale du SDVRP
pour laquelle il n’y a pas de k split cycle (pour tout k)
Ce resultat est d’une grande importance puisqu’elle
permet une reduction du nombre de solutions examinees
pour trouver l’optimum, comme illustre dans le corollaire
remarquable sui-vant.
Corollaire 1.3.0.1. [14] Si le co^ut cij satisfait l’inegalit triangulaire, il existe une solution optimale pour le SDVRP ou
aucun couple de routes n’a plus d’un client splite en commun.


CHAPITRE 1. LE PROBLEME DE TOURNEES DE VEHICULES

13
AVEC LIVRAISONS DIVISIBLES

Une autre propriet structurelle des solutions optimales au
SDVRP est derivee d’Archetti, Savelsbergh et Speranza [7] qui
porte le nombre de divisions sur le nombre de routes. Laisser ni
^etre le nombre de livraisons recues par client i, c’est-a-dire le
nombre de routes que visite client i. Nous disons que client i est
un client avec une livraison divisible si n i > 1 et que le nombre
de divisions au client i est ni 1. Par consequent, le
Pn

nombre total de divisions est egal a

i=1(ni

1).

Theoreme 1.3.5. [7] Si le co^ut cij satisfait l’inegalit triangulaire, il existe une solution optimale pour le SDVRP ou le
nombre de divisions est inferieur au nombre de routes.
Preuvu Par contradiction. Envisager un contre-exemple a la
propriet avec aucun cycle de k-split (une solution toujours existe
en raison de theoreme 1.3.4) et le numero plus petit des routes.
Tout d’abord, nous constatons qu’il devra y avoir au moins deux
divisions par route. Supposons qu’il y a un route avec un
division unique. Puis nous peuvons reduire la demande du
client a la livraison divisible par le nombre qu’il recoit sur la
route et supprimer tous les autres clients servis sur la route.
Nous avont reduit le nombre de divisions par un et nous avons
reduit le nombre de routes par un. Par consequent, nous avont

construit un contre-exemple avec un route moins, qui contredit

la minimality de la contre-exemple original. Etant donne que
chaque visite a au moins deux divisions et en raison de corollaire 1.3.0.1, chaque tour est fait "connecte" gr^ace a ses
clients avec les livraisons divisibles au moins deux autres
routes. Cela signi e qu’il existe toutefois au moins un cycle de
k-split, qui est une contradiction. Par consequent, il existe
toujours une so-lution optimale de SDVRP dans laquelle le
nombre de divisions est inferieur au nombre de routes.


CHAPITRE 1. LE PROBLEME DE TOURNEES DE VEHICULES
14
AVEC LIVRAISONS DIVISIBLES

1.3.3

Analyse au pire cas

Le co^ut d’une solution optimale du VRP (z(V RP )) est
com-pare avec le co^ut d’une solution optimale du SDVRP
(z(SDV RP )) par calculer une limite superieure de l’ecart
entre deux valeurs. Dans le travail par Archetti, Savelsbergh
Speranza [7] il est demontr que :

et que cette limite est serree, c’est-a-dire il existe une instance
ou la solution optimale du VRP a une valeur qui est deux fois
aussi grand que la valeur de la solution optimale du SDVRP. Ce
resultat a rme que, avec egard pour une solution du VRP, les
livraisons divisibles peuvent economiser jusqu’a 50 % du co^ut.

Les instances utilises pour demontrer l’etancheit de limite cidessus, tous les vehicles ont grande capacite et la demande est
discrete. Par consequent, il est interessant d’analyser un cas
avec les vehicles de petite capacite. Dans le travail par Archetti,
Savelsbergh Speranza [7], il est montre que, lorsque la capacite
est Q = 3, puis

1.3.4

z(V RP )

3

z(SDV RP )

2

et que cette limite est serree.

Un exemple

La gure 1.2 illustre les di erences entre les deux problemes,
le VRP et le SDVRP. On considere un reseau non orient avec
des co^uts sur les ar^etes, un dep^ot central et quatre clients a,
b, c, d avec leurs demandes entre crochets. On dispose d’une
otte de trois vehicules identiques. On a alors des vehicules de
capacite 18 et des demandes respectives de 7, 10, 6 et 13 pour
les quatre clients. La solution optimale du VRP a un co^ut total
de 22 et comprend trois tournees : (a, b), (c) et (d). Pour le
SDVRP, la solution optimale a un co^ut egal a 19 et deux

CHAPITRE 1. LE PROBLEME DE TOURNEES DE VEHICULES
15
AVEC LIVRAISONS DIVISIBLES

tournees (a, b, c) et (a, d). On visite deux fois le client a,
pour lui livrer 2 puis 5 unites de produit.

Fig. 1.2: Un exemple de VRP et SDVRP


Chapitre 2
Generation de Colonnes et
Reformulations
2.1

Introduction

Pour resoudre le SDVRP, plusieurs heuristiques ont et developpees. Le premier algorithme heuristique pour le SDVRP
est une recherche locale et est introduit par Dror et Trudeau
[13]. Une recherche Tabou et une heuristique basee optimisation
ont et recemment proposees par Archetti, Hertz et Speranza
[10]

et par Archetti, Savelsbergh, Speranza [12].

Belenguer, Martinez et Mota [4] ont etudies le Polyedre du
SDVRP et ont trouves les inegalites valides qui de nissent les
facettes. Les facettes ont et utilisees dans un "cutting plane algorithme" pour chercher une limite inferieure pour le SDVRP.
Les experiences informatiques pour tester l’e cacit de la limite inferieure ont et executees sur des instances de la TSPLIB et sur instances generees aleatoirement. De mesurer les

performances de la limite inferieure, les auteurs ont calcules a
l’ecart entre la limite inferieure et la limite superieure obtenues
pour resoudre les instances par un algorithme heuristique pour
le VRP. Les resultats informatiques montrent que l’ecart moyen
/>
16


CHAPITRE 2. GENERATION DE COLONNES ET
REFORMULATIONS

17

quant a la limite superieure est 3.05 % pour les instances
TS-PLIB et 7.81 % pour les instances aleatoires.
Les meilleures de notre connaissance, trois approches
exactes ont et proposees pour le SDVRP. L’une est propose par
Lee et al. [16] qui formulent le SDVRP comme un probleme de
pro-grammation dynamique. Les tests de calcul montrent que
l’al-gorithme est capable de resoudre les instances avec les
clients jusqu’a 7 dans un delai raisonnable. Jin, Liu et Bowden
[15] proposent plut^ot une approche exacte de deux etapes
pour re-soudre le SDVRP. Dans la premiere phase un probleme
de l’af-fectation est resolu pour determiner les clusters de clients
servis par le m^eme vehicule. La premiere etape fournit une
limite in-ferieure. La deuxieme etape consiste a resoudre une
FST pour chaque cluster ainsi determiner une limite superieure.
Cette li-mite superieure est utilisee pour generer des inegalites
valides qui sont inserees dans le probleme d’a ectation de la
premiere etape a l’iteration suivante. La procedure est adaptee

jusqu’a superieur et inferieur limites co ncider. Les tests
montrent que cette approche est capable de resoudre instances
avec jusqu’a 22 clients utilisant une fois calcule assez
volumineux (plus de 13 heures pour les instances avec plus de
20 clients). L’algorithme propose par Jin, Liu et Bowden [15]
suppose qu’un nombre xe de vehicules.
Jin, Liu et Eksioglu [1] proposent un algorithme de generation de colonnes et comparent cette approche avec le "cutting
plan algorithme" propose par Belenguer, Martinez et Mota [4].
La comparaison est faite sur la base de l’ecart entre la limite
superieure et inferieure a la n de l’heure en cours d’execution.
L’algorithme de generation de colonnes trouve mieux limites
superieures dans six instances et mieux limites inferieures dans