Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số

Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

MỤC LỤC

Nội dung

Trang

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

2

2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

2

3. Đối tượng nghiên cứu

3

4. Giới hạn của đề tài

3

5. Phương pháp nghiên cứu

3

  a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận 

3

  b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn

3

  c) Phương pháp thống kê toán học

3

II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận

4

2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu

4

3. Nội dung và hình thức của giải pháp

5

   a) Mục tiêu của giải pháp

5

   b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

5

   c) Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp

27

     d)  Kết quả  khảo nghiệm, giá trị  khoa học của vấn đề  nghiên 
cứu, phạm vi và hiệu quả ứng dụng   

27

III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

1

28


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

2. Kiến nghị

29

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một bộ  môn khoa học tự  nhiên mang tính logíc, tính trừu  

tượng cao. Trong chương trình Toán  ở  cấp THCS hiện nay thì phần lớn hệ 
thống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn khá phù hợp với trình độ  kiến  
thức và năng lực của số đông học sinh.Tuy vậy có một số bài tập đòi hỏi học 
sinh phải có năng lực học nhất định mới có thể  nắm được, đó là dạng toán  
tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số  mà người 
ta thường gọi chung là tìm cực trị của một biểu thức. Các bài toán này rất phổ 
biến trong các đề  thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, các đề  thi giải toán trên 
máy tính cầm tay, các đề thi giải toán bằng tiếng việt và đề thi giải toán bằng 
tiếng anh qua mạng internet. Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn 
thuần chỉ  cung cấp cho các em một số  kiến thức cơ  bản thông qua việc làm  
bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện 
khả năng và thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các  
kiến thức đã học.
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp  
8 và khối lớp 9, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp phải 
dạng toán khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị  nhỏ  nhất của một biểu thức đại số 
và thường mắc phải những sai sót khi giải dạng bài tập này, nhiều học sinh  
thi  giải toán qua mạng internet chưa biết tính nhanh kết quả  bài toán bằng 
máy tính cầm tay nên không đủ  thời gian để  hoàn thành bài thi. Do đó người 
giáo viên cần phân loại được các dạng bài tập và định hướng phương pháp 
giải   cho   từng   dạng,  sau   mỗi  dạng   toán  cần   cung  cấp   thêm  cho   học  sinh 
phương pháp tìm cực trị của một biểu thức bằng máy tính cầm tay để các em 
có thể  vận dụng linh hoạt trong từng tình huống cụ  thể. giúp học sinh hiểu 
sâu sắc bản chất của từng dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách  
thành thạo. Từ đó rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo.
Với những lý do trên đây, tôi chọn đề  tài nghiên cứu: “Một số  kinh  
nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức 
đại số” với mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công 
tác bồi dưỡng học sinh giỏi để  các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận  
được sự góp ý chân thành của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả.

2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

2


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

Đề tài: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm 
cực trị  của một biểu thức đại số” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn  bản chất 
của từng dạng bài toán tìm cực trị của một biểu thức, nắm vững phương pháp 
giải của từng dạng, giúp cho học sinh biết phân loại và vận dụng phương 
pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy  
được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, phát triển năng lực tư 
duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học sinh có 
được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán và  
niềm đam mê bộ môn.
Thông qua đề  tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về 
phương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ  thể trong quá trình tìm tòi lời 
giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô­gic, phương pháp suy luận  
và khả  năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề  tài lời giải được chọn lọc với 
cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ  hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư  phạm. 
Học sinh tự  đọc có thể  giải được nhiều dạng toán cực trị, giúp học sinh có 
những kiến thức toán học phong phú để  học tốt môn toán và các môn khoa  
học khác.
3. Đối tượng nghiên cứu:
 
Một số  kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khi dạy  
chuyên đề về tìm cực trị của một biểu thức đại số.

4. Giới hạn của đề tài:
Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ một số dạng toán tìm cực  
trị của một biểu thức
Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối lớp 8 và khối lớp 9    trường 
THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.
Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 
2016 ­ 2017
5. Phương pháp nghiên cứu:
a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận:
­ Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu các tài  
liệu trên mạng internet, các bài toán tìm cực trị  của một biểu thức trong các  
đề thi học sinh giỏi các cấp qua các năm.
­ Tiến hành phân theo từng dạng bài tập và đề  xuất phương pháp giải  
cho từng thể loại bài tập.
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

3


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

­ Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận, thống nhất.
b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
­ Điều tra, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
­ Thực nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 8 và khối 
lớp 9   trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh 
ĐăkLăk qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2016 ­ 2017
­ Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy
c) Phương pháp thống kê toán học:

­ Thống kê kết quả học tập của học sinh sau khi  áp dụng đề tài.
­ Đối chiếu so sánh giữa các năm học với nhau.

II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận:
Nhằm đáp  ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con 
đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ  nhà 
trường phổ  thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến  
bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư  duy sáng tạo, rèn tính tự  học, thì 
môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó. Việc học toán không 
phải chỉ là học trong sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô 
ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề 
và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán về tìm giá trị lớn nhất và tìm  
giá trị  nhỏ  nhất của một biểu thức đại số  là dạng toán rất quan trọng trong  
chương trình môn đại số  8 và đại số  9 làm cơ  sở  để  học sinh học tiếp các  
chương sau này. Có thể nói đây là những bài toán khó thường xuất hiện trong 
các đề thi học sinh giỏi, các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách  
giải, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong bi ến  
đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả  năng phán đoán. Với mục 
đích nhằm nâng cao chất lượng dạy và học toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang  
bị cho học sinh kiến thức về tìm giá trị  lớn nhất và giá trị  nhỏ  nhất của một  
biểu thức đại số. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán cực 
trị  một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả  cao. Để  thực hiện tốt 
điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như 
quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp.  
Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tò mò ham 
tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời khơi dậy cho các em sự 
tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn. Hơn nữa, các bài toán cực trị sẽ 
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

4


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

gắn toán học với thực tiễn vì việc tìm giá trị  lớn nhất, giá trị  nhỏ  nhất chính 
là việc tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
Trong những năm qua, tôi đã  trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển 
học sinh giỏi khối 8 và khối 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã 
trải nghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên  
đề  “Tìm giá trị  lớn nhất, giá trị  nhỏ  nhất của một biểu thức đại số” và tôi 
cũng đạt được thành tích trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, 
khi áp dụng chuyên đề  trên còn nặng về  phương pháp liệt kê các bài toán, 
chưa phát huy được hiệu quả học tập của học sinh. Chính vì vậy, để học sinh  
nắm vững và giải thành thạo các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất  
của một biểu thức đại số  thì khi dạy chuyên đề  đó giáo viên nên phân theo 
từng dạng bài toán, qua mỗi dạng có ví dụ  minh chứng và xây dựng phương  
pháp giải chung cho từng dạng, đồng thời lồng ghép kỹ  năng sử  dụng máy  
tính cầm tay để  tìm cực trị  của một biểu thức. Với những ý tưởng đó tôi đã 
thể  hiện trong đề  tài nghiên cứu: “Một số  kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh  
giỏi về  chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức đại số” sau khi đưa ra tập 
thể  tổ  chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy rèn 
luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa học, lập luận logic và chặt  
chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập. 
3. Nội dung và hình thức của giải pháp:
a) Mục tiêu của giải pháp:  
Đề tài “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm 

cực 
trị  của một biểu thức đại số” nhằm mục đích tìm tòi, tích lũy các đề  toán ở 
nhiều dạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, 
trang bị  cho học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 một cách có hệ  thống về  phương 
pháp giải các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu 
thức   đại  số  từ  cơ   bản  đến  nâng cao,  giúp học  sinh  nhận dạng và  đề   ra  
phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư 
duy linh hoạt và sáng tạo. Tạo hứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng  
toán cực trị đại số thông qua các bài toán có tính tư duy.
b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
Dạng 1: Biểu thức có dạng tam thức bậc hai   ax 2 + bx + c ( a 0 )

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

5


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

* Chú ý: Tam thức bậc hai  ax 2 + bx + c ( a 0 )  đạt giá trị nhỏ nhất nếu 
a > 0 và đạt giá trị lớn nhất nếu a < 0.
* Phương phap giai: 
́
̉
Đặt  A = ax 2 + bx + c   ( a 0 )
Trường hợp a > 0: Để  tìm giá trị  nhỏ  nhất của biểu thức A, ta thực  
hiện qua ba bước sau:
Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử  dụng một trong hai hằng đẳng thức:  
2

2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2   hoặc    ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2   để  biến đổi biểu thức A sao 
cho A   k  (với k là hằng số);
Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k
Bước 3: Kết luận AMin = k khi x = x0.
Trường hợp a < 0: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta thực hiện  
qua ba bước sau:
Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử  dụng một trong hai hằng đẳng thức:  
2
2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2   hoặc    ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2   để  biến đổi biểu thức A sao 
cho A   k  (với k là hằng số);
Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k
Bước 3: Kết luận AMã = k khi x = x0.
* Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của tam thức 
bậc hai   ax 2 + bx + c ( a 0 ) trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
Ấn 

   

    

    

     

     

Nhập giá trị của a, ấn phím 
Nhập giá trị của b, ấn phím 

Nhập giá trị của c, ấn phím 
Ấn phím 
, máy tính sẽ cho kết quả X 1 là nghiệm thứ nhất của tam 
thức bậc hai   ax 2 + bx + c ( a 0 )
Ấn tiếp phím 
, máy tính sẽ  cho kết quả  X2 là nghiệm thứ  hai của 
2
tam thức bậc hai   ax + bx + c ( a 0 )
Ấn tiếp phím 
, máy tính sẽ cho kết quả X là giá trị x 0 để tam thức 
bậc hai   ax 2 + bx + c ( a 0 )  đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

6


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

Ấn tiếp phím 
, máy tính sẽ cho kết quả Y là giá trị nhỏ nhất hoặc  
giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai   ax 2 + bx + c ( a 0 )
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A = x 2 − x + 3
Giải:
1
2

1

4

1
4

Ta có:  A = x 2 − 2x. + − + 3 = �
x−
�
Vì  �
�x −
�

�

2

1 � 11
�+  
2� 4

2

1�
� 0  với mọi x R
2�
2

1 � 11 11
nên  �
 với mọi x R

�x − �+
� 2� 4 4
1
1
 Dấu “=” xảy ra  x − = 0 � x =
2
2
1
11
Vậy AMin =   khi  x =
4
2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 9x2  + 6x  + 5
Giải:
Ta có: B = (9x2 + 6x + 1) + 4 = (3x + 1)2 + 4  
Vì (3x + 1)2   0 với mọi x R
nên (3x + 1)2 + 4   4  với mọi x R
 Dấu “=” xảy ra 

3x + 1 = 0 � x = −

Vậy BMin = 4 khi  x = −

1
3

1
3

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 1 – 6x – x2
Giải:
Ta có: C = ­ x2 – 6x  +  1 = ­ (x2 + 6x + 9) + 9 + 1 = 10 – (x + 3 )2
Vì (x + 3 )2   0 với mọi x R
nên 10 – (x + 3 )2   10  với mọi x R
Dấu “=” xảy ra   x + 3 = 0 x = ­3
Vậy CMax = 10 khi  x = − 3
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = ­ 2x2  +  5x  +1
Giải:
2

5 �
5 25 � 25
33
�2
� 5�
2
Ta có: D  = −2 �
x − 2x. + �+ + 1 = − 2 �
x− �
�x − x �+ 1 = −2 �
4 16 � 8
8
� 2 �
�
� 4�
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

7

Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.
2

2

5�
33
� 5 � 33
Vì  2 �
với mọi x R
x− �
�x − �  0 với mọi x R nên  − 2 �
8
� 4�
� 4� 8
5
5
Dấu “=” xảy ra    x − = 0 � x =
4
4
5
33
Vậy DMax =   khi  x =
8
4

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  E = ( x − 1) + ( x − 3)
Đối với biểu thức E ở trên, học sinh dễ bị mắc sai lầm như sau: 

2

Vì  ( x − 1)  
2

2

 0  với mọi x R

và  ( x − 3)    0  với mọi x R
2

nên  ( x − 1) + ( x − 3)
2

2

0  với mọi x R

�x − 1 = 0
�x = 1
��
 
�x − 3 = 0
�x = 3
Vậy EMax = 0 khi  x = 1  và  x = 3

Dấu “=” xảy ra  � �

Phân tích sai lầm trên như sau:

Vì  ( x − 1)  
2

 0  (1)  với mọi x R

và  ( x − 3)    0  (2)    với mọi x R
Nhưng không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của E bằng 0 vì không 
đồng thời xảy ra dấu bất đẳng thức ở (1) và (2) .
Lời giải đúng như sau:
Ta có:  E = x 2 − 2x + 1 + x 2 − 6x + 9 = 2x 2 − 8x + 10  
                = 2(x 2 − 4x + 4) + 2 = 2(x − 2) 2 + 2
2
Vì  2 ( x − 2 ) 0  với mọi x R
nên  2(x − 2) 2 + 2 2  với mọi x R
 Dấu “=” xảy ra   x ­ 2 = 0 � x = 2
2

Vậy EMin = 2 khi  x = 2
* Bài tập tự rèn:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a)  x 2 − 4x + 5        b)  3x 2 − 11x + 6         c)  5x+2x 2 − 12        d)  49x 2 − 56x + 18
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
1
4

a)  − x 2 + 6x + 15     b)  −3x 2 − 2x­1          c)  4x − x 2 + 3        d)  − x 2 − x

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

8

Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

Dạng 2: Biểu thức có dạng là phân thức có tử là hằng số, mẫu là 
tam thức bậc hai
b

* Chú ý: Cho biểu thức A =  Q x  trong đó b là hằng số,  Q ( x )  là tam 
( )

thức bậc hai. Khi đó: Nếu b và  Q ( x )  đều có giá trị dương thì biểu thức A đạt 
giá trị  lớn nhất   Q ( x )   đạt giá trị  nhỏ  nhất.  Sẽ  không chính xác nếu lập 
luận rằng phân thức có tử  là hằng số  nên phân thức lớn nhất khi mẫu nhỏ 
nhất. Lập luận này có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn: Xét bài toán: Tìm giá 
trị lớn nhất của biểu thức  A =

1
x −4
2

Với lập luận như  trên: Vì tử thức có giá trị không đổi nên A đạt giá trị 
lớn nhất khi x2 – 4 đạt giá trị nhỏ nhất, mà giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 – 
4 là ­4 

x = 0. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là 

1
 khi x = 0 . Điều 

4

1
 Không phải là giá trị lớn nhất của biểu thức A ,chẳng  
4
1
1
hạn với x = 3 thì A = 
5
4

này không đúng vì 

* Phương phap giai: 
́
̉
Biến đổi tam thức bậc hai ở mẫu giống như cách biến đổi ở dạng 1; 
Từ đó xác định giá trị cực trị theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử,  
tử và mẫu đều dương.
* Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  
dạng 2 trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
Tìm  giá trị  nhỏ  nhất hoặc tìm giá trị  lớn nhất của tam thức bậc hai  ở 
mẫu thức bằng cách ấn máy như ở dạng 1 sau đó thay giá trị đó vào mẫu thức 
của phân thức đã cho rồi tính ra kết quả
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  A =
Giải:
2

2

x − 6x + 17
2

2

Ta có:  A = x 2 − 6x + 17 = x − 3 2 + 8  
(
)

Vì  ( x − 3) 0  với mọi x R
nên (x – 3 )2 + 8   8  với mọi x R
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

9


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.
2

( x − 3)

2

2 1
=  với mọi x R
8 4

+8

Dấu “=” xảy ra 

x – 3 = 0 

 x = 3 

1
4

Vậy AMax =   khi  x = 3
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  B =
Giải:

−5
x − 2x + 6
2

−5
5
1
Ta có:  B = x 2 − 2x + 6 = − x 2 − 2x + 6 = −
 
2
( x − 1) + 5

Vì  ( x − 1) 0  Với mọi x R
nên  ( x − 1) 2 + 5 5  với mọi x R
2

5

5
= 1  với mọi x R
2
(x − 1) + 5 5
5
−1  với mọi x R
 −
(x − 1) 2 + 5

Dấu “=” xảy ra  x – 1 = 0 
Vậy BMin ­1 khi  x = 1

 x = 1

2
6x − 5 − 9x 2
2
2
2
Giải: Ta có:  C = 6x − 5 − 9x 2 = − 9x 2 − 6x + 5 = −
 
2
( 3x − 1) + 4

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  C =

Vì  ( 3x − 1)

2

0  với mọi x R

nên  ( 3x − 1) + 4 4  với mọi x R
2

2

( 3x − 1)

2

+4

2 1
=  với mọi x R
4 2

2

1

  − 3x − 1 2 + 4 − 2  với mọi x R
(
)
Dấu “=” xảy ra 

3x – 1 = 0 

1
1

Vậy CMin =  −  khi x = 
2
3

 x = 

1
3

b

Dạng 3: Biểu thức đưa được về dạng  a + Q x  trong đó a, b là các 
( )
hằng số,  Q ( x ) là tam thức bậc hai. 
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

10


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.
b

* Dấu hiệu nhận biết:  Biểu thức A đưa được về  dạng    A = a + Q x
( )
trong đó a, b là các hằng số,  Q ( x ) là tam thức bậc hai thì A phải có dạng:
 A =

a1 x 2 + b1x + c1
 trong đó  a1 ,a 2

a 2 x 2 + b 2 x + c2

0;

a1 b1
=
a 2 b2

* Phương phap giai:
́
̉
b

­ Thực hiện chia tử thức cho mẫu thức, đưa về dạng  A = a + Q x
( )
b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  Q x  như ở dạng 2 sau đó thay vào 
( )
biểu thức A ta có kết quả cần tìm.
* Thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
a

Tìm a:  a = a 1

2

�a1x 2 + b1x + c1
� 2
−a�

.a 2 x + b 2 x + c 2   rồi  ấn dấu = cho kết quả 
Tìm  b:   Ấn   � 2
�a 2 x + b 2 x + c 2
�
b
bằng b. Khi đó ta có  A = a + a x 2 + b x + c
2
2
2

Ấn máy tìm nhỏ  nhất của biểu thức  a 2 x 2 + b2 x + c 2 như   ở  dạng 1, sau đó 
thay giá trị nhỏ nhất đó vào biểu thức A ta có kết quả cần tìm.
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A =
Giải:
Ta có:  A =

3x 2 + 6x + 11
x 2 + 2x + 3

3x 2 + 6x + 11
2
2
= 3+ 2
= 3+
2
2
x + 2x + 3
x + 2x + 3
( x + 1) + 2

A đạt giá trị lớn nhất khi  ( x + 1) + 2  đạt giá trị nhỏ nhất
2

( x + 1)

2

+ 2  đạt đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi  x = −1
2
2

Vậy  A Max = 3 + = 4  khi  x = −1
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  B =
Giải:

2x 2 + 8x + 10
x 2 + 4x + 3

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

11


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

Ta có:  B =

2x 2 + 8x + 10

4
4
= 2+ 2
= 2+
2
2
x + 4x + 3
x + 4x + 3
( x + 2) −1

B đạt giá trị lớn nhất khi  ( x + 2 ) − 1  đạt giá trị nhỏ nhất
2

( x + 2)

2

− 1  đạt đạt giá trị nhỏ nhất là ­1 khi  x = −2

Vậy  BMax = 2 +

4
= −2  khi  x = −2
−1

Dạng 4: Biểu thức là phân thức có tử là tam thức bậc hai, mẫu là 
bình phương của nhị thức bậc nhất. 
* Phương phap giai:
́
̉

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức có dạng 
ax + bx + c
2

( ux+v )

2

, trong đó x là biến. Ta thực hiện như sau:

­ Biến đổi tử thức về dạng  a ( ux+v ) + p ( ux+v ) + q  (p, q là hằng số)
2

a ( ux+v ) + p ( ux+v ) + q
2

­Phân thức trở thành

( ux+v )

2

2

1
�1 �
= a + p.
+q�
�
ux+v

�ux+v �

­Từ đó thực hiên tương tự như dạng 1
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A =

x2 − x +1

( x − 1)

2

Giải:
2
Ta có:   x 2 − x + 1 = x 2 − 2x + 1 + x − 1 + 1 = ( x − 1) + ( x − 1) + 1
A=

( x − 1) + ( x − 1) + 1 = 1 + 1 + 1
=
2
2
x − 1 ( x − 1) 2
( x − 1)
( x − 1)
2

x2 − x +1
2

2

1
1 1
3 �1
1 �
1� 3
 =  �
+ �+
�
� + 2. x 1 . 2  +  4  +  4  =  �
�x − 1 �
�x − 1 2 � 4
2

1
1�
Vì  �
+ � 0  với mọi  x 1
�
�x − 1 2 �
2

1
1� 3
nên  �
+ �+
�
�x − 1 2 � 4

 

Dấu “=” xảy ra 

3
 với mọi  x 1
4
1
1
1
−1
+ =0�
=
x −1 2
x −1 2

 x – 1 = ­2

 x = ­1

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

12


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.
3
4

Vậy AMin =   khi  x = − 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  B =

3x 2 + 14x + 15
       
x 2 + 4x + 4

Giải:
Ta có:  3x 2 + 14 x + 15 = 3( x 2 + 4 x + 4) + 2( x + 2) − 1 = 3( x + 2) 2 + 2( x + 2) − 1  
2

3x 2 + 14x + 15 3(x + 2) 2 + 2(x + 2) − 1
1
�1 �
=
 =  3 + 2.
−�
2
2
�
x + 4x + 4
(x + 2)
( x + 2) �x + 2 �

 

B=

    

2

2
�
�
1
�1 �
�1
�
= −�
+ 1�+ 4 = − �
− 1�+ 4
�
�− 2.
x+2 �
�x + 2 �
�x + 2 �
�
2

1
�
Vì  �
− 1� 0  với mọi  x
�
�x + 2 �

−2

2

 

1
�
nên  − �
− 1�+ 4 4  với mọi  x −2
�
�x + 2 �
1
1
−1 = 0 �
= 1 � x = −1 .
Dấu “=” xảy ra 
x+2
x+2
Vậy BMax = 4 khi  x = − 1

Cách khác:  
Ta có:  B =

3x 2 + 14x + 15 4(x 2 + 4x + 4) − (x 2 + 2x + 1)
=
x 2 + 4x + 4
(x + 2) 2
2

=

4(x + 2) 2 − (x + 1) 2
�x + 1 �
= 4−�

�
2
(x + 2)
�x + 2 �
2

x +1 �
Vì  �
�
� 0  với mọi  x
�x + 2 �

−2

2

x +1 �
nên  4 − �
�
� 4  với mọi  x −2
�x + 2 �
Dấu “=” xảy ra  x + 1 = 0 � x = −1
Vậy BMax = 4 khi  x = − 1

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  C =
Giải:

(

3x 2 − 8x + 6

x 2 − 2x + 1

)

2
3x 2 − 8x + 6 3 x − 2x + 1 − 2(x − 1) + 1
2
1
=
= 3 ­ 
+
Ta có:  C = 2
 
2
x − 2x + 1
x­1 ( x − 1) 2
( x − 1)

 

2

2

1
�1 �
�1
�
=  � �­ 2.
+ 1 + 2 = � − 1�+ 2

�x­1 � x­1
�x­1 �

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

13


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.
2

1
�
Vì  �
� − 1� 0  với mọi  x 1
�x­1 �
2

1

�
nên  �
� − 1�+ 2 2  với mọi  x 1
x­1
�

�

Dấu “=” xảy ra 

1
1
−1 �
= 1 � x −1 = 1 � x = 2
x­1
x­1

Vậy CMin = 2 khi x = 2
Cách khác:  

2
2
2
x − 2)
(
3x 2 − 8x + 6 ( 2x − 4x + 2 ) + (x − 4x + 4)
=
= 2  +
Ta có:  C = 2
2
x − 2x + 1
( x 2 − 2x + 1)
( x − 1)
2

x−2�
Vì  �
�
� 0  với mọi  x 1

�x − 1 �

( x − 2)
nên  2  +
2
( x − 1)

2

2  với mọi  x 1

Dấu “=” xảy ra  x − 2 = 0 � x = 2
Vậy CMin = 2 khi x = 2
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:    D =
Giải:
Ta có:  D =

8x 2 − 50x + 79
.
x 2 − 6x + 9
2

8x 2 − 50x + 79 8(x 2 − 6x + 9) − 2(x − 3) + 1
1
�1 �
=
 =  8 − 2.
+�
2
2

�
x − 6x + 9
(x − 3)
(x − 3) �x − 3 �
2

2

1 �
1
�1
�
             =   �
.1 + 1 + 7 =  �
− 1�+ 7
�
�− 2.
x −3
�x − 3 �
�x − 3 �
2

1
�
Vì  �
− 1� 0  với mọi  x
�
�x − 3 �

3

2

1
�
− 1�+ 7 7  với mọi  x 3
�x − 3 �
1
1
−1 = 0 �
=1� x = 4
Dấu “=” xảy ra 
x −3
x −3

nên  �
�

Vậy DMin = 7 khi x = 4

Dạng 5: Biểu thức là phân thức có tử là nhị thức bậc nhất hoặc 
tam thức bậc hai, mẫu là tam thức bậc hai. 
* Phương phap giai:
́
̉

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

14

Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

ax 2 + bx + c
,
dx 2 + ex + g
trong đó x là biến, ta sử dụng một phương pháp gọi là “Phương pháp miền 
giá trị của hàm số”. Cụ thể như sau: 
ax 2 + bx + c
Đặt  y = 2
dx + ex + g
Tìm tập xác định của y
ax 2 + bx + c
y= 2
� y(dx 2 + ex + g) = ax 2 + bx + c
dx + ex + g

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của phân thức 

� (yd − a)x 2 + (ye − b)x + yg − c = 0 ( 1)
a
d

 Xét  y = , thay vào (1) để tìm x
 Xét  y

a
, phương trình (1) có nghiệm khi  V 0  tức là: 
d

(ye − b) 2 − 4(yd − a) ( yg − c )

0

Giải bất phương trình trên ta được  y1 y y2
Với  y = y1  thì  x =

− ( y1e − b )
− ( y2e − b )
 và với  y = y 2  thì  x =
2 ( y1d − a )
2 ( y2d − a )

Kết luận:  y Min = y1  khi  x =

− ( y1e − b )
2 ( y1d − a )

                 y Max = y2  khi  x =

− ( y2e − b )
2 ( y2d − a )

* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: Đặt  y =

4x − 3
x2 +1

4x − 3
x2 +1

Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có:  y =
Xét y = 0, ta có  −4x + 3 = 0 � x =

4x − 3
� yx 2 − 4x + y + 3 = 0
2
x +1

3
4

Xét y   0, phương trình  yx 2 − 4x + y + 3 = 0  có nghiệm khi  V' 0  tức là:
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

15


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.
4 − y ( y + 3) ��
0
y 2 + 3y − 4 ��
0

Với  y = −4  thì  x =

0
( y − 1) ( y + 4 ) ��

−4 ��
y 1

2
1
=−
−4
2

2
1

Với  y = 1  thì  x = = 2
1
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là ­4 khi  x = − , giá trị lớn 
nhất của biểu thức đã cho là 1 khi x = 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: Đặt  y =

8x + 3
4x 2 + 1

8x + 3
4x 2 + 1

Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có: 
y=

8x + 3
� 4x 2 y + y = 8x + 3 � 4x 2 y − 8x + y − 3 = 0
2
4x + 1

Xét y = 0, ta có  −8x ­3 = 0 � x = −

3
8

Xét y   0, phương trình  4x 2 y − 8x + y − 3 = 0  có nghiệm khi  V' 0  tức là:
16 − 4y ( y − 3) ��
0
−4y 2 + 12y + 16 �0
� y 2 − 3y − 4 �0 � ( y − 4 ) ( y + 1) �0 � −1 �y �4
4

Với  y = −1  thì  x = 4. −1 = −1
( )
Với  y = 4  thì  x =

4
1
=
4.4 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là ­1 khi  x = −1 , giá trị lớn 
nhất của biểu thức đã cho là 4 khi  x =

1
4

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

2x + 6x + 6
x 2 + 4x + 5
2

Giải: Đặt  y =

2x 2 + 6x + 6
x 2 + 4x + 5

Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có: 
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

16


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.
y=

2x 2 + 6x + 6
� y ( x 2 + 4x + 5 ) = 2x 2 + 6x + 6 � x 2 y + 4xy + 5y = 2x 2 + 6x + 6
2

x + 4x + 5

� (y − 2)x 2 + (4y − 6)x + 5y − 6 = 0

Xét y = 2, ta có  ( 4.2 − 6 ) x + 5.2 − 6 = 0 � x = −2
Xét y   2, phương trình  (y − 2)x 2 + (4y − 6)x + 5y − 6 = 0 có nghiệm khi  V 0  
tức là: (4y – 6 )2 – 4.(y – 2 )(5y – 6 )   0
 16y2 –  48y + 36 – 20y2 + 24y + 40y­ 48    0 
 ­4y2 + 16y – 12   0  y2 ­ 4y + 3   0 (y – 1 )(y ­ 3 ) = 0 1 y 3
Với  y = 1  thì  x =

− ( 4.1 − 6 )
2
=
= −1
2. ( 1 − 2 )
−2

Với  y = 3  thì  x =

− ( 4.3 − 6 ) −6
=
= −3
2. ( 3 − 2 )
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 1 khi  x = −1 , giá trị lớn 
nhất của biểu thức đã cho là 3 khi  x = −3
* Lưu ý:  Tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất 
hay và giải quyết nhiều bài toán khó về cực trị.

* Bài tập tự rèn:
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) 

x2
x2 − x +1
x 2 − 8x + 7
x 2 + 4 2x + 3
       b) 
        c) 
       d) 
x 2 − 5x + 7
x2 + x +1
x2 +1
x2 +1

Dạng 6: Biểu thức là đa thức nhiều biến. 
* Phương phap giai:
́
̉
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức nhiều biến ta thực  
hiện thêm bớt cùng một hạng tử hoặc tách một hạng tử thành hai hạng tử rồi  
áp dụng hằng đẳng thức  A 2 + 2AB + B2 = (A + B) 2  hoặc  A 2 − 2AB + B2 = (A − B) 2 để 
biến đổi biểu thức đã cho về dạng:  
2
2
A = m +  [ f (x, y) ]  +  [ g(x, y) ]  m  (m là hằng số) 
2
2
Hoặc A = n  −   [ f (x, y) ]   −   [ g(x, y) ]  n  (n là hằng số). 

Dấu “=” xảy ra 

f ( x, y ) = 0

g ( x, y ) = 0

  

Kết luận: AMin = m  hoặc AMax = n 
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

17


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A = 3x 2 + y2 + 10x − 2xy + 26
Giải:  A = 3x 2 + y 2 + 10x − 2xy + 26 = ( x 2 − 2xy + y 2 ) + 2x 2 + 10x + 26
2
2
�2
�
5 �5 � �5 �
= ( x − y ) + 2 ( x + 5x + 13 ) = ( x − y ) + 2 �
x + 2x. + � �− � �+ 13�
2 �2 � �2 �
�

�
2

2

2

2
2
�
2
� 5 � 27 �
� 5 � 27
= ( x − y) + 2 �
�x + �+ �= ( x − y ) + 2 �x + �+
� 2� 4 �
� 2� 2
�
2

Vì  ( x − y )

2

0  với mọi x, y
2

5�
      2 �
�x + � 0  với mọi x

�

2�

5

2

27

27
 với mọi x, y
2
x=y
�x − y = 0
�
5
�
�
��
� 5
5 �x=y=−
2
x+ =0
x=−
�
�
� 2
�
2

�
nên  ( x − y ) + 2 �
�x + �+
� 2� 2
2

Dấu “=” xảy ra 
Vậy AMin = 

27
5
 khi  x = y = −
2
2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  B = 4x 2 + 3y 2 − 4x+30y + 78
77 �
2
2
�
Giải:  B = ( 2x ) − 2.2x.1+12 +3y 2 +30y + 77 = ( 2x − 1) + 3 �y 2 + 10y + �
3 �
�
77 �
2�
2
2
2
�

�
= ( 2x − 1) + 3 �y 2 + 2y.5 + 52 − 52 + �= ( 2x − 1) + 3 �
( y + 5) + �
3 �
3�
�
�
= ( 2x − 1) + 3 ( y + 5 ) + 2
2

Vì  ( 2x − 1)

2

2

      2 ( y + 5 )

0  với mọi x

2

0  với mọi y

nên  ( 2x − 1) + 3 ( y + 5 ) + 2 2  với mọi x, y
2

Dấu “=” xảy ra 

2

2x − 1 = 0
�
y+5 = 0

1
x=
� 2
y = −5

1
2
Vậy BMin = 2 khi 
y = −5
x=

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

18


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x 2 – 2xy + 10y2 + 6y + 
5

Giải: 
A = (x2 – 2xy + y2) + (9y2 + 6y + 1) + 4 = (x – y )2 + (3y +1)2 + 4
2

Vì  ( x − y ) 0  với mọi x, y
      ( 3y + 1) 0  với mọi y
nên (x – y )2 + (3y +1)2 + 4   4 với mọi x, y
2

x−y=0
1
�x=y=−
3y + 1 = 0
3
1
Vậy CMin = 4 khi  x = y = −
3

Dấu “=” xảy ra 

Ví   dụ   4:   Tìm   giá   trị   lớn   nhất   của   biểu   thức:  
D = 15 − 10x − 10x 2 + 24xy − 16y 2

Giải: 

D = − ( x 2 + 10x + 25 ) − ( 9x 2 − 24xy + 16y 2 ) + 40 = 40 − ( x + 5 ) − ( 3x − 4y )
2

Vì  ( x + 5)

2

      ( 3x − 4y )

2

0  với mọi x
2

0  với mọi x, y

nên  40 − ( x + 5 ) − ( 3x − 4y )
2

Dấu “=” xảy ra 

2

40  với mọi x, y

x +5 = 0
�
3x − 4y = 0

x = −5
Vậy DMax = 40 khi 
15
y=−
4

x = −5
�
15
y=−

4

Ví   dụ   5:   Tìm   giá   trị   nhỏ   nhất   của   biểu   thức: 
E = x − 4xy + 5y 2 + 10x − 22y + 31
2

Giải:  E = ( x 2 ­ 4xy+4y 2 ) + ( y 2 ­2y  +1) +10 ( x  – 2y ) + 25 + 5
= ( x  –  2y ) +  2.5. ( x  –  2y )   +  52 +   ( y  −  1) +  5  =   ( x  –  2y  +  5 ) +   ( y  −  1) +  5
2

2

Vì  ( x − 2y + 5 )
      ( y − 1)

2

2

2

2

0  với mọi x, y

0  với mọi y

nên  ( x  –  2y  +  5 ) +   ( y  −  1) +  5 5  với mọi x, y
2

2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

19


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.
�x − 2y + 5 = 0
�
�y − 1 = 0
x = −3
Vậy EMin = 2 khi 
y =1

Dấu “=” xảy ra 

�x = −3
�
�y = 1

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
                 F = 19x 2 +  54y2 +  16z 2 −  16xz  −  24yz  +  36xy  +  5
Giải: 
F = ( 9x 2 +  36xy  +  36y 2 )   +   ( 18y 2 −  24yz  +  8z 2 )   +   ( 8x 2 − 16xz  +  8z 2 )   +  2x 2 +  5

=  9 ( x 2 +  4xy  +  4y 2 )   +  2 ( 9y 2 −  12yz  +  4z 2 )   +  8 ( x 2 −  2xz  +  z 2 )   +  2x 2 +  5 
=  9  ( x  +  2y ) +  2  ( 3y  −  2z ) +  8  ( x  −  y ) +  2x 2 +  5 
2

Vì  9 ( x + 2y )

2

      2 ( 3y − 2z )

2

2

0  với mọi x, y
2

0  với mọi y, z

      8 ( x − y ) 0  với mọi x, y
      2x 2 0  với mọi x
2
2
2
nên  9  ( x  +  2y ) +  2  ( 3y  −  2z ) +  8  ( x  −  y ) +  2x 2 +  5  5  với mọi x, y, z
2

x + 2y = 0
3y − 2z = 0
� x=y=z=0
Dấu “=” xảy ra 
x−y=0
x=0

Vậy FMin = 2 khi  x = y = z = 0

Dạng 7: Biểu thức là đa thức bậc cao. 
* Phương phap giai:
́
̉
Thực hiện phương pháp tương tự như ở dạng 6
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A = x 4 − 10x 3 + 26x 2 − 10x + 30
2
2
2
Giải:  A = ( x 2 ) − 2x 2 .5x + 25x 2 + x 2 − 2x.5 + 25 + 5 = ( x 2 − 5x ) + ( x − 5 ) + 5
Vì  ( x 2 + 5x )
      ( x − 5)

2

2

0  với mọi x
0  với mọi x

nên  ( x 2 − 5x ) + ( x − 5 ) + 5 5  với mọi x
2

2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

20


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.
�x = 0
x 2 − 5x = 0
� �x = 5 � x = 5
�
x −5 = 0
x =5

Dấu “=” xảy ra 

Vậy AMin = 5 khi  x = 5
2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  B = ( x 2 + x + 2 )
Nhận xét: Ta thấy ngay B  0 nhưng giá trị nhỏ nhất của B không phải 
bằng 0 vì  x2 – x + 2   0. Nếu ta khai triển đa thức trên theo hằng đẳng thức 
thì ta được đa thức bậc 4, việc tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc 4 rất phức  
tạp. Do đó ta chỉ cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức x 2 + x + 2 như ở dạng 
1.
1

1

2

7

1� 7
Giải: Ta có: x2 + x + 2 = x2 + 2. .x +  +  =  �
x + �+  
�
2
4 4
� 2� 4
2

1�
Vì  �
�x + � 0  với mọi x R
� 2�
2

1� 7
nên  �
�x + �+
� 2� 4

7
 với mọi x R
4
1
1
 Dấu “=” xảy ra  x + = 0 � x = −
2
2

Biểu thức b đạt giá trị nhỏ nhất 

 Biểu thức x2 + x + 2 đạt giá trị nhỏ 
7
4

nhất mà giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + x + 2 là  , đạt được khi  x = −

1
2

2

7 � 49
Lúc đó B =  �
� �=
�4 � 16
1
49
Vậy BMin =  khi  x = −
16
2

Ví   dụ   3:   Tìm   giá   trị   nhỏ   nhất   của   biểu   thức: 

C = ( x  −  1) (  x  +  2 ) ( x  +  3 ) (  x  +  6  )

Giải:  C  =   (  x  −  1) (  x  +  6 ) (  x  +  2 ) (  x  +  3)   =   (  x 2 +  5x  −  6 ) (  x 2 +  5x  + 6 ) =   (  x 2 +  5x ) –  36
2

Vì  ( x 2 + 5x )

2

0  với mọi x

     nên  (  x 2 +  5x ) –  36 −36  với mọi x
2

Dấu “=” xảy ra 

 x2 + 5x  = 0 

Vậy CMin = ­ 36 khi 

x=0
x = −5

x=0
x = −5

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  D = x 4 –  6x 3 +  10x 2 – 6x  +  19 
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

21


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

Giải:  D = x 4 –  6x 3 +  10x 2 – 6x  +  19  =  x 4 –  6x 3 +  9x 2 +  x 2 –  6x  +  9  +  10

2
2
             = ( x 2 –  3x  ) +   ( x  –  3) +  10 
Vì  ( x 2 − 3x )
      ( x − 3)

2

2

0  với mọi x
0  với mọi x

nên  ( x 2 –  3x  ) +   ( x  –  3) +  10  10  với mọi x
2

Dấu “=” xảy ra 

2

�x = 0
x 2 − 3x = 0
� �x = 3 � x = 3
�
x −3 = 0
x =3

Vậy DMin = 10 khi  x = 3
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  E = x 6 –  2x 3 +  x 2 –  2x  +  2 
Giải: 

E = x 6 –  2x 3 +  x 2 –  2x  +  2  =  x 6 –  2x 3 +  1  +  x 2 –  2x  +  1
2
2
    = ( x 3 –  1  ) +   (  x  –  1  )  

Vì  ( x 3 − 1)
      ( x − 1)

2

2

0  với mọi x
0  với mọi x

nên  ( x 3 –  1  ) +   (  x  –  1  )   0  với mọi x
2

Dấu “=” xảy ra 

2

x3 − 1 = 0
� x =1
x −1 = 0

Vậy EMin = 0 khi  x = 1
Dạng 8: Biểu thức là đa thức có dấu giá trị tuyệt đối. 
* Phương phap giai:
́

̉
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức có dấu giá trị tuyệt  
đối ta sử dụng một trong các bất đẳng thức sau đây:
a 0.  Dấu “=” xảy ra  � a = 0
a + b a + b  .  Dấu “=” xảy ra  ۳ ab 0  (a, b cùng dấu)
a −b
a − b  .  Dấu “=” xảy ra  ۳ ab 0  (a, b cùng dấu)
a + b + c a + b + c .    Dấu   “=”   xảy   ra   ۳��
ab 0; bc 0;ac 0   (a,   b,   c 
cùng dấu).
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A = x − 2 + x − 5
Giải: 
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

22


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

Với mọi x R, ta có:   A = x − 2 + x − 5 = x − 2 + 5 − x x − 2 + 5 − x = 3
Do đó A   3. Dấu “=” xảy ra  (x ­ 2) (5 – x)   0 
Lập bảng xét dấu:
x
               2                         5
 x−2
       ­       0             + 
+
5−x

       +
             +        0            ­
( x − 2 ) ( 5 − x )        ­       0             +         0           ­
Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 2) (5 – x)   0 2   x   5  
Vậy AMin = 3 khi 2   x   5  
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  B = x + 1 + x − 1
Giải:
Với mọi x R, ta có:   B = x + 1 + x − 1 = x + 1 + 1 − x x + 1 + 1 − x = 2
Do đó B   2
Dấu “=” xảy ra  (x + 1) (1 – x)   0 
Lập bảng xét dấu:
x
              ­1                        1
  x +1
       ­       0             + 
+
1− x
       +
            +         0            ­
( x + 1) ( 1 − x )        ­       0             +         0           ­
Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 1) (1 – x)   0  ­1   x   1  
Vậy BMin = 2 khi ­1   x   1  
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  C = 3x + 5 − 3x − 7
Giải: Với mọi x R, ta có: 
C = 3x + 5 − 3x − 7 ( 3x + 5 ) − ( 3x − 7 ) = 3x + 5 − 3x + 7 = 12
Do đó C   12. 
Dấu “=” xảy ra  (3x + 5) (3x –7)   0 
Lập bảng xét dấu:
5
3

7
3

x

             −                       

  3x + 5

       ­      0             + 
+
       ­
             ­        0          +
       +      0             ­        0          +

3x − 7

( 3x + 5) ( 3x − 7 )

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

23


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.
−

x

7
3

Từ bảng xét dấu ta thấy: (3x + 5) (3x –7)   0 
5
3

Vậy CMax = 12 khi  x −  hoặc  x

5
3

x

7
3

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  D = x + 1 + 2x + 5 + 3x − 18
Giải:
Với mọi x R, ta có:   D = x + 1 + 2x + 5 + 18 − 3x x + 1 + 2x + 5 + 18 − 3x = 24
Do đó D   24. 
Dấu “=” xảy ra  x +1; 2x + 5; 18 ­ 3x cùng dấu  
Lập bảng xét dấu:
5
2

                −                       ­1                          6

x

­
           ­           0            +
+
        ­        0           +
+
+
+
+
+            0             ­
Từ bảng xét dấu ta có x +1; 2x + 5; 18 ­ 3x cùng dấu   ­1   x   6  
Vậy DMin = 24 khi ­1   x   6  

x +1
2x + 5
18 − 3x

Dạng 9: Biểu thức có chứa căn thức. 
* Phương phap giai:
́
̉
Với dạng toán này ta cần chú ý đặt điều kiện để  cho các căn thức có 
nghĩa, sau đó tùy theo đặc điểm của biểu thức chứa căn mà ta sử  dụng một  
trong các phương pháp sau đây:
Phương pháp 1: Nếu biểu thức đã cho có dạng  ax 2 + bx + c  thì ta biến 
đổi biểu thức lấy căn giống như cách biến đổi ở dạng 1 để tìm giá trị cực trị.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  A = −x 2 + x +

3
4

Giải: 
Với mọi x R, ta có: 
2

3
1 1�
�2
� 1�
A = −x + x + = − �
x − 2x + �
+1 = 1 − �
x− �
4
2 4�
�
� 2�
1
1
Dấu “=” xảy ra  x − = 0 � x =
2
2
1
Vậy AMin = 1 khi  x =
2
2

1 =1  

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

24


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề  tìm cực trị  của một biểu thức  
đại số.

Ví   dụ   2:   Tìm   giá   trị   nhỏ   nhất   của   biểu   thức 
B = 4x 4 − 4x 2 (x + 1) + (x + 1) 2 + 9

Giải: Với mọi x R, ta có:   
2
2
2
B= �
(�2x 2 ) − 2.2x 2 (x + 1) + (x + 1)2 �
�+ 9   =  (2x − x − 1) + 9

2x − x − 1 = 0 � ( 2x + 1) ( x − 1) = 0 �
2

Dấu “=” xảy ra 

x=−
x =1

9 = 3

1
2

1
2

Vậy BMin = 3 khi  x = −  hoặc  x = 1
Phương pháp 2: Nếu biểu thức có dạng  f (x) + g(x)  mà f(x) và g(x) 
đều có dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương 
của một hiệu thì ta áp dụng các hằng đẳng thức để khai căn và đưa biểu thức  
về dạng 
có chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi thực hiện như dạng 8.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   C = x 2 − 4x + 4 + x 2 − x +

1
4

Giải: Với mọi x R, ta có:   
2

1
1
2
� 1�
C = x − 4x + 4 + x − x + = ( x − 2 ) + �x − � = x − 2 + x −  
4
2
� 2�
1
1 3
= 2−x + x −
2−x+x − =

2
2 2
1
3
� 1�
x 2 
Do đó C    . Dấu “=” xảy ra  ( 2 −−x�) �x� � 0
2
2
� 2�
3
1
x 2
Vậy CMin =   khi 
2
2
2

2

Phương pháp 3:  Nếu biểu thức có dạng   f (x) + g(x)   mà biểu thức 
f (x) + g(x) có   giá   trị   là   một   hằng   số   thì   ta   áp   dụng   bất   đẳng   thức 

a+ b

a + b  (a,b   0) để tìm giá trị nhỏ nhất. Dấu “=” xảy ra 

a.b = 0 

a = 0 hoặc b = 0.

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  D = x − 25 + 42 − x
Giải: 
Biểu thức D có nghĩa khi: 

x − 25 0
� 25 x
42 − x 0

42

Với  25 x 42 , ta có:  
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 

25