SKKN BỒI DƯỠNG HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ VỀ CHUYÊN ĐỀ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Trường THCS Eayông

Sáng kiến kinh nghiệm

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: BỒI DƯỠNG HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ VỀ CHUYÊN
ĐỀ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở các lớp THCS thì bộ mơn Tốn
có nhiều chun đề cần bồi dưỡng. Về việc này, người giáo viên không những
đưa ra những kiến thức mở rộng mà đòi hỏi những kiến thức đó phải có hệ
thống, phù hợp với kiến thức đã học và phù hợp với tiến độ chương trình
SGK. Như vậy nhằm giúp cho các em học sinh đựơc bồi dưỡng phát huy đựơc
khả năng của mình mà không bị nhồi nhét, đồng thời người giáo viên thể hiện
mình là một tấm gương cho học sinh về tính nghiên cứu có hệ thống để học
sinh noi theo.
II) ĐỐI TƯỢNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Đối tượng nghiên cứu.
Ap dụng cho học sinh giỏi lớp 9 là chủ yếu.
2. Cơ sở nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu.
- Dựa trên cơ sở có học sinh giỏi có đủ khả năng tiếp thu kiến thức mở rộng
hơn sách giáo khoa.
- Tìm tịi và nghiên cứu ở các sách tham khảo, chọn lọc và soạn thành hệ
thống cho phù hợp với học sinh.
- Học hỏi và tiếp thu ý kiến, kiến thức và phưong pháp giảng dạy của bạn bè,
đồng nghiệp.
- Không ngừng tự học để nâng cao kiến thức và rèn luyện tay nghề.
III) NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
1. Nội dung.
A. Hệ thống kiến thức, gồm các phần:
i/ Định nghĩa:

- Định nghĩa.
- Các bước giải một bài tốn cực trị.
Giáo viên: Nguyễn Thành Luân

Trang 1


Trường THCS Eayông

Sáng kiến kinh nghiệm

ii/ Một số dạng thường gặp và phương pháp giải.
 Tam thức bậc hai.
 Đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Một số đa thức dạng khác hay gặp.
 Phân thức có tử là hằng số, mẫu thức là tam thức bậc hai.
 Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.
 Dạng phân thức khác.
 Tìm cực trị của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến.
 Vận dung các bất đẳng thức đã biết: Cơsi, Bunhiacơpxki.
 Dùng tính chất số đối, số nghịch đảo và bình phương.
 Sử dụng tính chất khác.
 Phương pháp tìm miền giá trị.
iii/ Một số sai lầm thường gặp.
 Sai lầm khi chứng minh điều kiện 1: Có hai ví dụ.
 Sai lầm khi chứng minh điều kiện 2: Có hai ví dụ.
iv/ Hệ thống bài tập.
B. Phương pháp: Kèm theo trong phần hệ thống bài tập.
2. Kết quả nghiên cứu: Học sinh phát huy được khả năng của mình và hệ
thống kiến thức về phần này tương đối tốt.

******************************

Giáo viên: Nguyễn Thành Luân

Trang 2


Trường THCS Eayông

Sáng kiến kinh nghiệm

CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I/ Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số.
1. Định nghĩa:
+ ĐN 1: Cho biểu thức f(x,y…) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị
lớn nhất của f(x,y…) trên miền D nếu hai điều kiện sau thỏa mãn.
- Với mọi x, y … thuộc D thì f(x,y…) ≤ M với M là hằng số.
- Tồn tại x0, y0, … Thuộc D sao cho f(x0,y0…) = M
+ ĐN 2: Cho biểu thức f(x,y…) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị
nhỏ

nhất của f(x,y…) trên D nếu hai điều kiện sau thỏa mãn.

- Với mọi x, y … thuộc D thì f(x,y…) ≥ m với m là hằng số.
- Tồn tại x0, y0 … thuộc D sao cho f(x0,y0…) = m
2. Như vậy để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh rằng A ≤ M với M là hằng số.
Giáo viên: Nguyễn Thành Luân

Trang 3


Trường THCS Eayông

Sáng kiến kinh nghiệm

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh rằng A ≥ m với m là hằng số.
- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
Ta kí hiệu: GTLN của A là MaxA
GTNN của A là Min A
II/ Một số dạng thường gặp và phương pháp.
1. Tam thức bậc hai:
Ví Du 1: Tìm minA với A = 3x 2 + 12 x + 1
Giải:
A = 3( x 2 + 4 x + 4) − 11 = 3( x + 2)2 − 11 ≥ −11
Vậy minA = - 11 ⇔ x = −2
Ví dụ 2: Tìm maxB với B = −2 x 2 + x + 1
Giải:
2

1 1 9
1 9 9


B = −2 x 2 2 x ì + ữ+ = −2  x − ÷ + ≤
4 16  8
4 8 8




Vậy maxB =

9
1
⇔x=
8
4

+ Bài toán tổng quát: Cho tam thức bậc hai C = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Tìm maxC; nếu a < 0
Tìm min C; nếu a > 0
2
2
 2
b  b  
b2
b 
b2

Giải: C = ax + bx + c = a  x + 2 x ì + ữ + c − = a  x + ÷ + c −
2a  2a  
4a
2a 
4a






2

b2
Đặt k = c − . Do
4a

-

2

b 

 x + ÷ ≥ 0 nên:
2a 

2

b 

Nếu a < 0 thì a  x + ÷ ≤ 0 , do đó C ≤ k
2a 


maxC = k ⇔ x = −

b
2a

Giáo viên: Nguyễn Thành Luân

Trang 4


Trường THCS Eayông

-

Sáng kiến kinh nghiệm
2

b 

Nếu a > 0 thì a  x + ÷ ≥ 0 , do đó C ≥ k
2a 


MinC = k ⇔ x = −

b
2a

2. Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối.
VD1: Tìm GTNN của E = x − 5 + x − 7
Giải:
+ Cách 1: Khi x <5 thì E = 5 – x + 7 – x = 12 – 2x
Do x < 5 nên – 2x > -10 Do đó: 12 – 2x > 2 ⇔ E > 2 (1)
* Khi 5 ≤ x ≤ 7 thì E = x – 5 + 7 – x = 2 (2)
* Khi x > 7 thì E = x – 5 + x – 7 = 2x – 12

Do x > 7 nên 2x > 14 Do đó 2x – 12 > 2 ⇔ E > 2 (3)
Từ (1), (2), (3) ta đựơc minE = 2 ⇔ 5 ≤ x ≤ 7 .
+ Cách 2: Sử dụng tính chất A + B ≤ A + B Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB
≥ 0.

Ta có E = x − 5 + x + 7 = x − 5 + 7 − x ≥ x − 5 + 7 − x ≥ 2 ⇔ E ≥ 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( x − 5)(7 − x) ≥ 0 ⇔ 5 ≤ x ≤ 7
Vậy minE = 2 ⇔ 5 ≤ x ≤ 7
Ví Dụ khác: Cho
2
a) (0,5x2 + x)2 −3 0,5x + x
2
2
b) x − x + 1 + x − x − 2

Tìm GTNN của các biểu thức đã cho ?
3. Một số đa thức dạng khác hay gặp.
Ví dụ: Tìm GTNN của A = x( x – 3 )( x – 4 )( x – 7 )
Giải: A = ( x2 – 7x) (x2 – 7x + 12)
Đặt y = x2 – 7x + 6 Thì A = (y – 6) (y + 6) = y2 – 36 ≥ -36
MinA = -36 ⇔ y = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 6
Ví dụ: Tìm GTNN của B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3

Giáo viên: Nguyễn Thành Luân

Trang 5


Trường THCS Eayông

Sáng kiến kinh nghiệm

Giải: B = x2 + y2 – 2xy + x2– 2x + 1 + 2 = (x – y)2 + (x – 1)2 + 2 ≥ 2
MinB = 2 ⇔ x = y = 1
Ví dụ khác: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) M = x2 – 2xy + 2y2 + 2x – 10y +17
b) P = x2 – xy + y2 – 2x – 2y
c) F = x2 + xy + y2 – 3x – 3y
4. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai.
Ví dụ: Tìm GTNN của A =

2
6x − 5 − 9 x2

−2

−2

Giải: A = 9 x 2 − 6 x + 5 = (3 x − 1) 2 + 4
Ta có: (3x2 – 1) ≥ 0 nên (3x2 – 1) + 4 ≥ 4
Do đó theo tính chất a ≥ b; a, b cùng dấu ⇒
1

−2

1

−2

1 1

≤
a b

−1

ta có: (3x − 1)2 + 4 ≤ 4 ⇒ (3 x − 1) 2 + 4 ≥ 4 = 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3x – 1 = 0 ⇔ x =

1
−1
1
⇔x= .
. Vậy min A =
3
2
3

5. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức.
Ví dụ: Tìm GTNN của A =

2 x 2 − 8x + 6
x2 − 2x + 1

Giải:
3( x 2 − 2 x + 1) − 2( x − 1) + 1
2
1
= 3−
+

+ Cách 1: A =
2
( x − 1)
x − 1 ( x − 1) 2

Đặt y =

1
⇒ A = 3 – 2y + y2 = (y – 1) + 2 ≥ 2
x −1

Min A = 2 ⇔ y = 1 ⇔

1
= 1 ⇔ x = 2.
x −1

+ Cách 2: Viết A dưới dạng tổng của 2 với một biểu thức không âm.
( x − 2) 2
≥ 2 Vậy min A = 2 ⇔ x = 2.
A=2+
( x − 1) 2

6. Các dạng phân thức khác.
Giáo viên: Nguyễn Thành Luân

Trang 6


Trường THCS Eayông

Sáng kiến kinh nghiệm

Ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của A =

3 − 4x
x2 + 1

x 2 − 4 x + 4 − x 2 − 1 ( x − 2) 2
= 2
− 1 ≥ −1 . Vậy Min A = -1 ⇔ x = 2
Giải: A =
x2 + 1
x +1

Ta có: A =

−1
4 x2 + 4 − 4 x2 − 4 x − 1
(2 x + 1) 2
= 4− 2
≤ 4 . Vậy max A = 4 ⇔ x =
2
2
x +1
x +1

7. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x3 + y3 + xy biết x + y = 1
Giải: Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A.

A = (x + y) (x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2
+ Cách 1: Thay y = -x + 1 đưa về tam thức bậc 2 biến x.
+ Cách 2: Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện biểu thức A = x2 + y2
Ta có: x + y = 1 ⇒ x2 +2xy+ y2 = 1 (1)
Mặt khác: (x – y)2 ≥ 0 ⇔ x2 - 2xy+ y2 ≥ 0 (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 2(x2 + y2) ≥ 1 ⇔ x2 + y2 ≥
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y =

1
2

1
1
1
. Vậy min A = ⇔ x = y = .
2
2
2

8. Vận dụng bất đẳng thức đã biết.
Ví dụ: Tìm GTLN của A =

x − 1 + y − 2 với x + y = 4

Giải: Đ/k: x ≥ 1, y ≥ 2.
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki (ax + by )2 ≤ (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 )
Ta có: A = x − 1 + y − 2 = 1. x − 1 + 1.
x −1 = y − 2

Max A = 2 ⇔ 

x + y = 4

y−2 ≤

2( x − 1 + y − 2) = 2

 x = 1,5
⇔
 y = 2,5

Ví dụ: Cho a, b, c ≥ 0, a+b+c = 1 Tìm Max B với
B = a + b + b + c + a + c (dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxi).
Ví dụ: Tìm GTNN của: C =

( x + 2)( x + 3)
với x > 0.
x

Giải:

Giáo viên: Nguyễn Thành Luaân

Trang 7


Trường THCS Eayông

Ta có: C =

Sáng kiến kinh nghiệm

x2 + 5x + 6 
6
=  x + ÷+ 5
x
x

6
x

Theo BĐT Cơsi ta có: x + ≥ 2 6 Do đó: C ≥ 2 6 + 5
6
x

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = ⇔ x = 6 .

Vậy minC = 2 6 + 5 ⇔ x = 6

9. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức thông qua cực trị của biểu thức
khác bằng cách dùng tính chất.
-A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất.
1
lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất ( vơí B > 0 )
B

C lớn nhất ⇔ C2 lớn nhất ( Vơí C > 0)
Ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A =
Giải: Vì A > 0 ta có A lớn nhất ⇔
A nhỏ nhất ⇔
Xét biểu thức

1
nhỏ nhất
A

1
lớn nhất
A

1
( x 2 + 1) 2
x4 + 2 x2 + 1
2x2
= 4
=
= 1+ 4
A
x +1
x4 + 1
x +1

+ Ta có: 2x + 1 ≥ 0, x4 + 1 > 0 nên
2

Suy ra:

x4 + 1
( x 2 + 1) 2

2 x2

≥0
x4 + 1

1
1
≥ 1. Nên Min
=1 ⇔ x=0
A
A

Do đó: Max A = 1 ⇔ x = 0
+ Ta có: (x2 -1)2 ≥ 0 ⇔ x4 + 1 ≥ 2x2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2 = 1
Mà x4 + 1 > 0 nên
Max

1
2x
≤ 2
≤ 1 Suy ra:
4
A
x +1

1
1
= 2 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ± 1. Do đó: Min A = ⇔ x = ± 1.
A
2

10. Sử dụng tính chất.

Giáo viên: Nguyễn Thành Luân

Trang 8


Trường THCS Eayông

Sáng kiến kinh nghiệm

- Nếu hai số có tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai
số đó bằng nhau.
- Nếu hai số dương có tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau.
Ví dụ: Tìm GTLN của A = (x2 – 3x+1)(-x2 +3x + 21)
Ta có: x2 – 3x + 1 + 21 + 3x – x2 = 22 = Const
Nên A lớn nhất ⇔ x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 ⇔ x = 5 hoặc x = -2.
Khi đó A = 11.11 = 121. Vậy max A = 121 ⇔ x = 5 hoặc x = -2
11. Phương pháp miền giá trị của hàm số.
Ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A =
Giải: Xét hàm số y =

3 − 4x
x2 + 1

3 − 4x
; TXĐ: R
x2 + 1

Gọi y0 = a là giá trị của hàm số tương ứng với y0 ∈ R
Do đó: a =

3 − 4x
(1) có nghiệm.
x2 + 1

(1) ⇔ ax2 + a = 3 – 4x ⇔ ax2 + 4x + a - 3 = 0 (2)
* Nếu a = 0 thì (2) có nghiệm x =

3
.
4

* Nếu a ≠ 0 thì (2) có nghiệm khi và chỉ khi ∆′ ≥ 0 nghĩa là:
4 – a(a – 3) ≥ 0 ⇔ −a 2 + 3a + 4 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ a ≤ 4 .
Vậy hàm số có miền giá trị là [ −1; 4] nên min A = -1
Max A = 4 (Hiển nhiên ∃x ∈ TXĐ thỏa dấu “ =”)
III/ Một số sai lầm thường gặp trong lập luận.
1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1.
Ví dụ 1: Tìm GTLN của B =

1
x −4
2

+ Lời giải sai: B là phân thức có tử khơng đổi nên B đạt GTLN khi x 2 – 4
có giá trị nhỏ nhất.
Mà x2 – 4 ≥ - 4 dấu “=” xảy ra khi x = 0. Lúc đó B =

Giáo viên: Nguyễn Thành Luân

−1
4
Trang 9


Trường THCS Eayông

Suy ra max B =

Sáng kiến kinh nghiệm
−1
⇔ x = 0.
4

Điều này sai Ví dụ: x = 3 ta có: B =

1
−1
>
5
4

Sai ở chỗ dùng phép biến đổi bất đẳng thức sai.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của A = x2 + y2 biết x + y = 4.
+ Lời giải sai: A = x2 + y2 ≥ 2xy [do (x – y)2 ≥ 0 ]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y; mà x + y = 4 nên ta suy ra x = y
= 2.
Do đó: A ≥ 2.2.2 = 8. Vậy min A = 8 ⇔ x = y = 2.

Mặc dù kết quả đúng nhưng lập luận sai.
Sai ở chỗ: A ≥ 2xy; mà 2xy là biểu thức phụ thuộc vào biến ( xem định
nghĩa).
Giải đúng:
Theo giả thiết x + y =4 ⇔ x2 + 2xy + y2 = 16 (1)
Mặt khác: (x – y)2 ≥ 0 ⇔ x2 - 2xy + y2 ≥ 0 (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 2(x2 + y2 ) ≥ 16 ⇔ x2 + y2 ≥ 8
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y mà x + y = 4 suy ra x = y = 2 .
Vậy min A = 8 ⇔ x = y = 2.
2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2.
Ví dụ 3: Tìm GTNN của A = x + x


Lời giải sai: Ta có A = x + x =  x + ÷− ≥ −
2 4
4

1

Vậy min A =

1

1

−1
4

Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức B = (x – 1)2 + (x – 3)2
Lời giải sai: ta có (x – 1)2 ≥ 0 (1)

(x – 3)2 ≥ 0 (2)
Nên B = (x – 1)2 + (x – 3)2 ≥ 0 (3) Vậy min B = 0.
Sai dấu bằng ở (1) xảy ra khi x = 1
Giáo viên: Nguyễn Thành Luân

Trang 10


Trường THCS Eayông

Sáng kiến kinh nghiệm

Dấu bằng ở (2) xảy ra khi x = 3
Nên khơng có giá trị x thỏa dấu bằng ở (3).
IV/ PHẦN KẾT LUẬN CHUNG.
Trên đây là kinh nghiệm mà tôi đã thực hiện và đã rút ra được trong thực
tế giảng dạy. Cụ thể: phương pháp này đã thực hiện trên 15 học sinh lớp 9 có
học lực khá trở lên vào năm 2006 thì 13 em nắm tốt phương pháp này( Đạt
87%). Tôi mong rằng kinh nghiệm này góp phần vào việc tìm cực trị của mơn
Đaị số được nhanh chóng và khơng bị mắc phải sai lầm khi giải một bài toán
cực trị. Rất mong được sự góp ý của q thầy cơ và đồng nghiệp.

Giáo viên: Nguyễn Thành Luân

Trang 11