(Luận văn thạc sĩ) P -Nhóm và ứng dụng trong lý thuyết số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯƠNG BÁ VẤN

P-NHÓM
VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯƠNG BÁ VẤN

P-NHÓM
VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 60460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. HOÀNG VĂN HÙNG

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

Lý thuyết các p-nhóm
1.1

3

Nhóm, đồng cấu và đẳng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Nhóm giao hoán và nhóm xyclic

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Nhóm con và nhóm con chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4
1.5
1.6
2

1

Nhóm thương và các định lý đẳng cấu

. . . . . . . . . . . . . . . .

8

Tác động của nhóm trên một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Các p-nhóm và p-nhóm con Sylow

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ứng dụng lý thuyết các p-nhóm trong lý thuyết số

17
22

2.1

Bổ đề Burnside và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2

Định lý Fermat bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3

Định lý Willson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4

Định lý Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.5

Định lý Fermat về tổng hai bình phương . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.6

Luật tương hỗ bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.7

Về giá trị của ký hiệu Legendre

2
p

và

−1
p

. . . . . . . . . . . .

38

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41


1

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết nhóm nói chung và các p-nhóm nói riêng có nhiều áp dụng trong
Lý thuyết số. Sở dĩ như vậy vì tập các số nguyên Z với phép cộng là một nhóm
giao hoán. Thương của nhóm (Z,+) cho các nhóm con vô hạn của nó sinh ra các
nhóm xyclic hữu hạn. Trong các nhóm thương này nhóm Zp (hay Z/p Z) với p là
số nguyên tố đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết số. Có thể đưa
vào Zp phép tính nhân giữa các lớp đồng dư theo mođun p một cách tự nhiên với
phần tử đơn vị là lớp đồng dư 1(mod p) và mọi lớp đồng dư khác 0(mod p) đều
có nghịch đảo trong Zp . Với hai phép tính cộng và nhân được định nghĩa, tập Zp
trở thành một trường hữu hạn với p phần tử, tập các phần tử khác 0 của nó được
ký hiệu là Z∗p . Nhờ các đặc điểm vừa nêu, tập Zp trở thành một công cụ mạnh để
chứng minh nhiều sự kiện về tính chia hết trong Lý thuyết số.

Luận văn “p-nhóm và ứng dụng trong lý thuyết số” gồm hai chương.
Chương I với tiêu đề Lý thuyết các p-nhóm trình bày sơ lược về Lý thuyết
nhóm, khái niệm p-nhóm, tác dụng của một nhóm lên một tập và các định lý về
p-nhóm con Sylow. Kết quả quan trọng nhất của chương này là công thức về các
G-quỹ đạo trong một G-tập, được áp dụng nhiều ở chương II. Chương II với tiêu
đề Ứng dụng lý thuyết các p-nhóm trong lý thuyết số trình bày chứng minh
các định lý: Fermat bé, Wilson, Lucas, Định lý Fermat về tổng hai bình phương,
ký hiệu Legendre và luật tương hỗ bậc hai. Định lý Fermat bé và hệ quả của nó
là Định lý Wilson được sử dụng trong tất cả các chứng minh của các định lý kể
trên (trừ Định lý Lucas). Tác giả trình bày chứng minh Định lý Fermat bé dựa
trên Bổ đề Burnside. Khi áp dụng công thức trong bổ đề Burnside cho p-nhóm
ta thu được định lý Fermat bé. Việc áp dụng được tiến hành thông qua một hệ
quả của Bổ đề Burnside (Mệnh đề 2.1.4). Chứng minh Định lý Lucas dựa trên
công thức Ckpr = 0(mod p) khi 1 ≤ k ≤ pr − 1, p là số nguyên tố, r là số nguyên
dương và khai triển nhị thức Newton trong trường đặc số p. Công thức vừa nêu


2

được chứng minh dựa trên công thức về các quỹ đạo áp dụng cho p-nhóm có cấp pr .

Tư liệu được sử dụng trong luận văn này được trích từ các tài liệu tham khảo
[1-7].

Tác giả xin chân thành cám ơn các thầy cô thuộc Khoa Toán-Tin - Đại học
Khoa học-Đại học Thái Nguyên, vì sự tận tụy của các thầy cô đối với khóa cao học
mà tác giả là một trong các học viên. Tác giả cũng bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến
thầy hướng dẫn, T.S Hoàng Văn Hùng-giảng viên Đại học Hàng Hải Việt Nam, vì
sự quan tâm của thầy đến công việc của tác giả trong suốt quá trình chuẩn bị luận
văn.
Ngày, 29 tháng 05 năm 2016.
Tác giả
.

Trương Bá Vấn


3

Chương 1
Lý thuyết các p-nhóm
1.1

Nhóm, đồng cấu và đẳng cấu nhóm

Định nghĩa 1.1.1: Một tập hợp khác rỗng G với một luật hợp thành trong viết
theo lối nhân được gọi là một nhóm nếu các tính chất sau được thỏa mãn:
i) (ab)c = a(bc) với mọi a, b, c ∈ G ;

ii) ∃e ∈ G có tính chất: ae = ea = a với mọi a ∈ G;
iii) Với mỗi a ∈ G, tồn tại phần tử a ∈ G có tính chất: aa = a a = e.
Tính chất i) gọi là tính chất kết hợp. Phần tử e trong tính chất ii) được gọi là
phần tử trung hòa của G (khi luật hợp thành được viết theo lối nhân ta cũng gọi
e là phần tử đơn vị của G, phần tử trung hòa của nhóm với luật hợp thành viết
theo lối cộng thường được ký hiệu là 0). Phần tử a trong tính chất iii) được gọi
là phần tử nghịch đảo của a khi luật hợp thành trong trên G được viết theo lối
nhân và gọi là phần tử đối của a khi luật hợp thành trong trên G được viết theo
lối cộng. Thêm nữa, với mỗi a ∈ G phần tử nghịch đảo (tương ứng, phần tử đối)
của nó là duy nhất và được ký hiệu bởi a−1 (tương ứng,−a ).

Các nhóm có số phần tử hữu hạn được gọi là các nhóm hữu hạn. Số phần tử
của một nhóm G được gọi là cấp của G, ký hiệu bởi |G|.


4

Ví dụ về nhóm: Các tập sau đây cùng với các luật hợp thành trong được chỉ ra
là các nhóm:

- Tập hợp các số thực dương R+ với luật hợp thành trong là phép nhân
thông thường. Phần tử đơn vị là 1, nghịch đảo của số dương x là x−1 = x1 . Ta ký
hiệu nhóm này bởi (R+ , .)

- Tập hợp các số nguyên Z với luật hợp thành trong là phép cộng thông
thường. Phần tử trung hòa là số 0. Phần tử đối của số nguyên n là số nguyên -n.
Ta ký hiệu nhóm này bởi ký hiệu (Z,+).

- Tập hợp các ma trận vuông thực cấp n có định thức khác 0 với luật hợp
thành trong là phép nhân ma trận. Phần tử đơn vị là ma trận đơn vị cấp n. Nghịch

đảo của ma trận vuông A là ma trận nghịch đảo A−1 . Ta ký hiệu nhóm này bởi
GL(n, R).

-Tập hợp các song ánh từ một tập S khác rỗng tùy ý lên chính nó với luật hợp
thành trong là phép hợp các ánh xạ là một nhóm gọi là nhóm các phép thế của S,
ký hiệu là P(S). Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất. Nghịch đảo của song ánh f là
ánh xạ ngược của nó f −1 . Mỗi song ánh từ S lên chính nó gọi là một phép thế của S.

Định nghĩa 1.1.2: Cho G và G’ là hai nhóm với luật hợp thành trong được viết
theo lối nhân. Một ánh xạ h từ G vào G’ thỏa mãn tính chất: h(ab) = h(a)h(b)với
mọi a, b ∈G được gọi là một đồng cấu nhóm từ G vào G’.

Một đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời là một đơn ánh được gọi là một
đơn cấu; một đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời là một toàn ánh gọi là một
toàn cấu; một đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời là một song ánh gọi là


5

một đẳng cấu. Nếu có một đẳng cấu nhóm từ G vào G’ thì nhóm G gọi là đẳng
cấu với nhóm G’, hay G và G’ đẳng cấu với nhau, ký hiệu G≈G’. Nếu j là một
đẳng cấu nhóm từ G lên G’ thì ánh xạ ngược j −1 là một đẳng cấu nhóm từ G’ lên
G. Nếu G là một nhóm hữu hạn và G≈G’ thì G’ cũng là nhóm hữu hạn và |G|=|G’| .

1.2

Nhóm giao hoán và nhóm xyclic

Định nghĩa 1.2.1: Nhóm (G, ∗) được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel)
nếu a∗b=b∗a với mọi a,b∈G.

Các nhóm (R+ ,.), (Z,+), (R,+), là các nhóm giao hoán. Nhóm GL(n, R) là
nhóm không giao hoán. Nhóm P(S) không giao hoán nếu S có từ 3 phần tử trở lên.

Định nghĩa 1.2.2: Nhóm (G,.) được gọi là nhóm xyclic nếu tồn tại phần tử a
thuộc G sao cho nếu b thuộc G thì tồn tại số nguyên k sao cho b = ak . Phần tử a
khi đó được gọi là phần tử sinh của nhóm xyclic G.

- Nhóm (Z,+) là nhóm xyclic với phần tử sinh là 1.

- Đặt S= {1, −1}. Luật hợp thành trong S là phép nhân thông thường. Khi
đó (S,.) là một nhóm xyclic với phần tử đơn vị là 1, phần tử sinh là -1.

- Giả sử d là một số nguyên dương > 1 . Với mọi số nguyên r thỏa mãn 0 ≤ r
≤ d-1 ta ký hiệu n = r(modd) nếu có số nguyên k sao cho n = kd+r. Như vậy, với

số nguyên n bất kỳ ta sẽ có n = r( mod d) với một số nguyên r nào đó thỏa mãn 0 ≤
r ≤ d-1.Với hai số nguyên m, n đã cho, nếu m − n = 0(modd) ta viết m = n(modd)
và nói m, n thuộc vào cùng một lớp đồng dư theo modun d. Với mỗi số nguyên n


6

ta ký hiệu n là tập tất cả các số nguyên m thỏa mãn m = n( mod d) và gọi n là một
lớp đồng dư theo modun d. Tập các số nguyên Z được phân hoạch thành d lớp
đồng dư theo modun d là 0, 1, ..., d − 1. Một phần tử của lớp đồng dư r được gọi là
một đại diện của nó. Ta có các tính chất sau:

i) m = n(mod d)&m = n (mod d) ⇒ m + m = n + n (mod d);

ii) m = n(mod d)&m = n (mod d) ⇒ mm = nn (mod d)
Ký hiệu Zd = 0, 1, ..., d − 1 là tập các lớp đồng dư theo modun d. Trên Zd ta có
thể định nghĩa hai phép tính cộng và nhân theo quy tắc sau:

r + s = r + s;

r.s = rs

Khi đó nhóm (Zd ,+)là nhóm xyclic với phần tử sinh là 1, phần tử trung hòa
là 0 . Cấp của nhóm (Zd ,+) là d. Ký hiệu Z∗d = 1, ..., d − 1 , nếu d là số nguyên
tố thì luật nhân định nghĩa ở trên là một luật hợp thành trong của Z∗d , với luật
hợp thành nhân này Z∗d là một nhóm xyclic với phần tử đơn vị là 1. Chứng minh
khẳng định này (sẽ được trình bày ở chương sau) là một trong các ứng dụng của
lý thuyết các p-nhóm.

1.3

Nhóm con và nhóm con chuẩn tắc

Định nghĩa 1.3.1: Cho (G,∗) là một nhóm và H là một tập con khác rỗng của G.
Nếu luật hợp thành trong ∗ thu hẹp trên H biến H thành một nhóm thì H được
gọi là một nhóm con của G.

Mệnh đề 1.3.1: i) Để tập con khác rỗng H của nhóm (G,∗) là một nhóm con của
G điều kiện cần và đủ là với mọi phần tử a, b thuộc H ta có a ∗b thuộc H và a−1


7

thuộc H;

ii) Giao của một họ tùy ý các nhóm con của G là một nhóm con của G.

Ví dụ:- Nhóm (Z,+) là nhóm con của nhóm (R,+). Nhóm (R+ , .) là nhóm con
của nhóm (R∗ , .), trong đó R∗ là tập các số thực khác 0.

Giả sử H là một nhóm con của nhóm G với luật hợp thành trong viết theo
lối nhân, x là một phần tử của G. Tập tất cả các phần tử của G có dạng xy với y
là một phần tử của H được ký hiệu là xH và được gọi là một lớp ghép trái theo H
trong G. Hai lớp ghép trái theo H trong G hoặc là trùng nhau hoặc là có giao bằng
rỗng. Thực vậy, trước hết ta nhận xét rằng nếu u là phần tử của H thì uH=H. Nếu
xH và x’H có phần tử chung là z thì có các phần tử y và y’ thuộc H sao cho z = xy
= x’y’. Suy ra x = xyy −1 = xu với u = yy −1 thuộc H và x’H=(xu)H=x(uH)=xH.
Vậy G được phân hoạch thành các lớp ghép trái theo H trong G. Dễ thấy ánh xạ
xu → yu là một song ánh từ lớp ghép trái xH lên lớp ghép trái yH. Do đó, nếu G
là nhóm hữu hạn thì cấp của G chia hết cho cấp của nhóm con H bất kỳ của nó,
nghĩa là |G|:|H| là một số nguyên dương, hay |H| là một ước số của |G|. Lực lượng
của tập các lớp ghép trái theo H trong G gọi là chỉ số của nhóm H trong G và
ký hiệu bởi |G:H|. Nếu |G| hữu hạn thì |G:H|=|G|:|H| hay |G|=|H| |G:H|. Các lớp
ghép phải theo H trong G được định nghĩa tương tự và G cũng được phân hoạch
bởi các lớp ghép phải trong G. Nếu H là nhóm con của nhóm không giao hoán G
thì xH và Hx có thể khác nhau, nhưng có một song ánh từ tập các lớp ghép trái
theo H lên tập các lớp ghép phải theo H cho bởi tương ứng xH → Hx.

Định nghĩa 1.3.2: Nhóm con H của nhóm G với luật hợp thành trong viết theo
lối nhân được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu xH=Hx với mọi x thuộc G.

Đẳng thức xH=Hx tương đương với xHx−1 = H . Dùng mệnh đề 1.3.1 dễ chứng


8

minh rằng nếu H là một nhóm con của G thì tập hợp xHx−1 cũng là một nhóm
con của G, nhóm này gọi là một nhóm con liên hợp của H. Tương ứng H → xHx−1
gọi là phép lấy liên hợp trong G. Vậy nhóm con chuẩn tắc của G là một nhóm con
bất biến đối với mọi phép lấy liên hợp trong G.

Trong một nhóm bất kỳ G, nhóm con tầm thường chỉ gồm phần tử trung hòa
của G và bản thân G là các nhóm con chuẩn tắc của G. Nhóm con bất kỳ của
một nhóm giao hoán K là một nhóm con chuẩn tắc của K. Nhóm con U của nhóm
GL(n) gồm các ma trận vuông cấp n có định thức bằng 1 là một nhóm con chuẩn
tắc của nhóm GL(n).

Trong nhóm S3 các phép thế của tập A = {1, 2, 3}, nhóm con N gồm phép
thế đồng nhất và phép thế f của A cho bởi công thức f(1)=2, f(2)=1, f(3)=3
không phải là nhóm con chuẩn tắc. Thực vậy, gọi g là phép thế của A cho bởi
g(1)=3,g(2)=2,g(3)=1 ta có g −1 = g và h = gf g −1 là phép thế cho bởi h(1)=1,
h(2)=3, h(3)=2 không thuộc N.

1.4

Nhóm thương và các định lý đẳng cấu
Giả sử G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân và H là

một nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó xH=Hx với mọi x thuộc G. Ký hiệu G/H
là tập các lớp ghép trái theo H trong G. Dĩ nhiên G/H cũng chính là tập các lớp
ghép phải theo H trong G. Nếu x, y là hai phần tử của G thuộc cùng một lớp
ghép trái theo H (nói cách khác xy −1 thuộc H) ta viết x = y(modH) và ký hiệu x
là tập các phần tử thuộc cùng một lớp ghép trái theo H trong G với x. Ta định
nghĩa trên G/H một luật hợp thành trong viết theo lối nhân như sau: x.y = xy .
Khi đó G/H với luật hợp thành nhân vừa định nghĩa trở thành một nhóm. Thực

vậy, ta chứng tỏ rằng kết quả của phép tính x.y = xy không phụ thuộc vào việc


9

chọn đại diện x, y của các lớp ghép trái x, y . Nếu x = x(modH) và y = y(modH)
thì (xy)(x y )−1 = x(yy −1 )x −1 . Vì y = y (modH) nên yy −1 thuộc H. Do H là nhóm
con chuẩn tắc của G nên x(yy −1 )x −1 thuộc H. Vậy xy = x y ( mod H) nên xy = x y .
Các tính chất i), ii), iii) trong định nghĩa 1.1.1 dễ kiểm chứng. Phần tử đơn vị của
G:H là e, trong đó e là phần tử đơn vị của G. Chú ý rằng e =H theo nghĩa thuyết
tập. Phần tử nghịch đảo của x trong G/H là x−1 .

Định nghĩa 1.4.1: Nhóm G/H được xây dựng như trên gọi là nhóm thương của
G theo nhóm con chuẩn tắc H.

Định nghĩa 1.4.2: Cho f: G →G’ là một đồng cấu nhóm. Gọi e, e’ là các phần tử
trung hòa tương ứng của G và G’. Tập hợp f −1 (e ) = {x ∈ G : f (x) = e } gọi là hạt
nhân của đồng cấu f, ký hiệu là Kerf. Tập hợp Imf = f(G) = {y = f (x) : x ∈ G} gọi
là ảnh của đồng cấu f.

Nếu f là một đồng cấu nhóm thì e∈Kerf. Thực vậy vì e.e=e nên f(e)=f(e)f(e)
và f (e) = f (e)f (e)−1 = e . Dễ thấy f là đơn cấu tương đương với Kerf = {e}, f là
toàn cấu tương đương với Imf=G’.

Mệnh đề 1.4.2: Giả sử f: G→G’ là một đồng cấu nhóm. Ảnh Imf của đồng cấu f
là một nhóm con của G’. Hạt nhân Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của G. Hơn
nữa, nếu K là một nhóm con của nhóm G’ thì tập f −1 (K) = {x ∈ G : f (x) ∈ K} là
một nhóm con của G (nói chung không chuẩn tắc).

Định lý 1.4.3: Cho f: G→G’ là một đồng cấu nhóm và H=Kerf. Khi đó ta có

phân tích ánh xạ f thành hợp của dãy các đồng cấu ϕ, λ, j theo sơ đồ sau :
f : G → G : H → Imf → G

trong đó ϕ : G → G : H là đồng cấu chính tắc cho bởi công thức ϕ(x) = xH, λ : (G :


10
H) → Imf là đồng cấu cho bởi công thức λ(xH) = f(x), j: Imf →G’ là phép nhúng

Imf vào G’ cho bởi công thức j(y)=y với mọi y∈Imf.

Chứng minh. Từ định nghĩa của các ánh xạ ϕ, λ, j rõ ràng ta có f=j oλoϕ.
Chỉ cần chứng minh các ánh xạ đó là các đồng cấu. Ánh xạ j là đồng cấu
vì đó là phép nhúng Imf vào G’. Ánh xạ ϕ là đồng cấu vì theo định nghĩa
ϕ(xy) = (xy)H = (xH)(yH) = ϕ(x)ϕ(y) với mọi x,y thuộc G. Để chứng minh λ

là đồng cấu trước hết ta chứng minh rằng λ được xác định đúng đắn, tức ảnh
λ(xH) = f (x) không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của lớp ghép trái xH. Nếu
x = x (modH) thì xx−1 ∈ H do đó e = f (xx −1 ) = f (x)f (x )−1 và f(x)=f(x’). Vậy
λ xác định đúng đắn. Theo định nghĩa, λ ((xH)(yH))=λ(xyH)=f(xy)=f(x)f(y)= λ

(xH) λ (yH). Vậy λ là một đồng cấu.

Nhận xét: Từ định nghĩa của các đồng cấu ϕ,λ,j ta suy ra ϕ là toàn cấu và λ là
một đơn cấu, do đó có đẳng cấu G/H≈Imf. Thực vậy, khẳng định ϕ là toàn cấu
hiển nhiên. Nếu λ (xH)=f(x)=e’ thì x ∈ Kerf=H, do đó xH=H. Vậy Kerλ = {H}
và λ là đơn cấu vì H là phần tử trung hòa của nhóm G/H.

Định lý 1.4.4: Cho G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân, H
và K là các nhóm con chuẩn tắc của G và K⊂H. Khi đó nhóm thương H/K là một

nhóm con chuẩn tắc của nhóm thương G/K và ta có đẳng cấu (G/K):(H/K) ≈G/H.

Chứng minh. Rõ ràng K là một nhóm con chuẩn tắc của H. Xét ánh xạ f từ
G:K vào G:H cho bởi công thức f(xK)=xH. Ta chứng tỏ rằng ánh xạ f được xác
định đúng đắn, tức là f(xK) không phụ thuộc vào đại diện của lớp ghép trái xK.
Nếu x = x (modK) thì xx −1 ∈ K do đó xx −1 ∈ H vì K⊂H. Vậy f(xK)=xH=x’H
(vì H chuẩn tắc trong G), nghĩa là f(xK)=xH không phụ thuộc vào đại diện
của lớp ghép trái xK. Ánh xạ f là đồng cấu. Thực vậy, theo định nghĩa của


11

luật hợp thành trong G/K, G/H và định nghĩa của f ta có f((xK)(yK)) =f(xyK)
=xyH=(xH)(yH)=f(xK)f(yK). Rõ ràng ánh xạ f là toàn cấu với hạt nhân là tập
hợp Kerf = {yK : y ∈ H} = H/K. Vậy theo nhận xét sau định lý 1.4.3 ta có đẳng
cấu (G/K)/Kerf ≈ Imf hay (G/K)/(H/K)≈G/H.

Ví dụ: Nhóm (Z,+) là nhóm giao hoán nên mọi nhóm con của nó đều là nhóm
con chuẩn tắc. Ký hiệu nZ là tập các số nguyên là bội của số nguyên dương n. Dễ
thấy nZ là một nhóm con của (Z,+). Nếu d là một ước số nguyên dương của n thì
ta có nZ⊂dZ. Theo định lý 1.4.4 ta có đẳng cấu (Z/nZ)/(dZ/nZ)≈Z/dZ. Dùng
nhận xét sau định lý đồng cấu 1.4.3 dễ thấy Z/dZ ≈ Zd Vậy (Z/nZ)/(dZ/nZ) ≈ Zd .

Cho G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân, K là một
tập con của G. Ký hiệu NK là tập các phần tử thuộc G sao cho xKx−1 = K . Khi
đó NK là một nhóm con của của G. Thực vậy, nếu x, y ∈ NK thì (xy)K(xy)−1 =
(xy)K(y −1 x−1 ) = x(yKy −1 )x−1 = xKx−1 = K . Vậy x, y ∈ NK . Bởi vì xKx−1 = K ⇔
K = x−1 Kx nên nếu x ∈ NK thì x−1 ∈ NK . Theo mệnh đề 1.3.1 NK là một nhóm

con của G. Nhóm NK gọi là cái chuẩn tắc hóa của tập K.

Giả sử S là một tập con của G, tập tất cả các phần tử x thuộc G sao cho xy=yx
với mọi y thuộc S gọi là cái tâm hóa của S, ký hiệu là ZS . Rõ ràng ZS ⊂ NS và
ZG là một nhóm con chuẩn tắc của G. Các khẳng định sau đây dễ được kiểm chứng:

i)Nếu K là một nhóm con của G và H là một ước chuẩn của K thì K ⊂ NH ;

ii)Nếu H là một nhóm con của nhóm G và K là một nhóm con của NH thì
tập hợp KH = {xy : x ∈ K, y ∈ H} là một nhóm con của G và H là ước chuẩn của
KH.


12

Định lý 1.4.5: Cho G là một nhóm và K,H là hai nhóm con của G và K ⊂ NH .
Khi đó:
a)HK=KH;
b)K∩H là một nhóm con chuẩn tắc của K;
c) Có đẳng cấu K/K∩H≈KH/H.

Chứng minh. a)Theo định nghĩa của cái chuẩn tắc hóa của H ta có xH=Hx với
mọi x∈K, điều này có nghĩa là KH=HK.
b) Vì K ⊂ NH nên với mọi x thuộc K ta có: x(K ∩ H)x−1 = xKx−1 ∩ xHx−1 =
K ∩ H là một nhóm con chuẩn tắc của K.

c) Chú ý rằng phần tử bất kỳ của KH/H có dạng (xy)H=xH với x∈K, y∈H. Xét
đồng cấuf : K→KH/H cho bởi công thức f (x)=xH. Đồng cấu này rõ ràng là toàn
cấu và hạt nhân của nó là Kerf = {x ∈ K : xH = H} = K ∩ H . Theo định lý đồng
cấu 1.4.3, rõ ràng ta có đẳng cấu: K/K∩H≈KH/H.

1.5

Tác động của nhóm trên một tập

Định nghĩa 1.5.1: Cho S là một tập khác rỗng và G là một nhóm với luật hợp
thành trong viết theo lối nhân. Ta nói nhóm G tác dụng trên tập S bởi ánh xạ T
nếu có một ánh xạ T:G×S→S đặt tương ứng mỗi phần tử (x,s)∈G×S với phần tử
T(x,s)∈S sao cho nếu ký hiệu T(x,s) bởi x(s) thì các tính chất sau đúng:
i) x(y(s))=(xy)(s) với mọi x,y∈G và mọi s∈ S;
ii) e(s)=s với mọi s∈ S.

Nếu G tác động trên S ta cũng nói S là một G-tập. Rõ ràng nếu S là một
G-tập thì với mỗi x∈ G ánh xạ x(.): s ∈ S , s → x(s) ∈ S là một phép thế của S vì
nó có ánh xạ ngược là ánh xạ x−1 (.) : s ∈ S, s → x−1 (s) ∈ S . Tương ứng x→x(.) xác
định một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các phép thế P(S).


13

Ví dụ 1:- Cho G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân. Xét
tác dụng của G trên chính nó bởi ánh xạ T : G × G (x, s) → xs ∈ G Dễ kiểm chứng
rằng ánh xạ này thỏa mãn hai tính chất nêu trong định nghĩa 1.5.1. Với mỗi x cố
định thuộc G, ánh xạ Tx : G → G cho bởi Tx (s) = xs là một phép thế của G. Khi
G tác dụng trên chính nó bởi ánh xạ T được định nghĩa như trên ta nói G tác
dụng trên chính nó bằng các dịch chuyển. Có thể kiểm chứng rằng ánh xạ từ G
vào nhóm các phép thế P(G) của nó cho bởi tương ứng: x → Tx là một đơn cấu.
Do đó mọi nhóm G đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm P(G).

Ví dụ 2: - Giả sử G là một nhóm với luật hợp thành trong viết theo lối nhân.
Xét ánh xạ C : G × G (x, s) → xx−1 ∈ G. Cũng dễ kiểm chứng rằng ánh xạ C

thỏa mãn hai tính chất nêu trong định nghĩa 1.5.1. Khi G tác dụng trên chính
nó bởi ánh xạ C ta nói G tác dụng trên chính nó bởi các phép liên hợp. Ánh
xạ Cx : G → G cho bởi Cx (s) = xsx−1 là một phép đẳng cấu từ G lên chính nó
và tương ứng x → Cx là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các tự đẳng cấu của G.

Nếu G là một nhóm giao hoán thì tương ứng x → Cx là đồng cấu tầm thường.
Ảnh của nó là nhóm con của nhóm các tự đẳng cấu của G gồm duy nhất tự đẳng
cấu đồng nhất.Nếu G là nhóm tùy ý thì hạt nhân của đồng cấu x → Cx gồm tất
cả các phần tử x thuộc G có tính chất xyx−1 = y với mọi y thuộc G. Tập các
phần tử như vậy chính là tâm của nhóm G. Như vậy lý luận này cho một chứng
minh của khẳng định rằng tâm ZG của nhóm G là một nhóm con chuẩn tắc của nó.

Ký hiệu 2G là tập tất cả các tập con của G, ta đặt x∅x−1 = ∅ với mọi x thuộc
G, còn nếu A là tập con khác rỗng của G thì ta đặt xAx−1 = xyx−1 : y ∈ A . Khi
đó G cũng tác dụng trên các tập con 2G của nó bằng các phép liên hợp. Nếu A, B là
hai tập con của G thì ta nói B liên hợp với A nếu tồn tại x∈G sao cho B = xAx−1 .


14

Rõ ràng nếu B liên hợp với A thì A liên hợp với B và ta có thể nói A, B là các tập
con của G liên hợp nhau. Dễ kiểm chứng rằng quan hệ liên hợp có tính phản xạ
và tính truyền ứng nên quan hệ này là một quan hệ tương đương.

Vì các phép liên hợp là các tự đẳng cấu của G nên G cũng tác dụng trên tập
các nhóm con của nó bằng các phép liên hợp. Khái niệm hai tập con liên hợp vừa
định nghĩa ở trên cảm sinh khái niệm hai nhóm con liên hợp.

Mệnh đề 1.5.1: Giả sử S là một G-tập và s∈S. Tập hợp Gs = {x ∈ G : x(s) = s}
là một nhóm con của G.

Chứng minh. Nếu x, y ∈ Gs thì (xy)(s) = x(y(s)) = x(s) = s, do đó x, y ∈ Gs . Nếu
x ∈ Gs thì x−1 (s) = x−1 (x(s)) = (x−1 x)(s) = e(s) = s nên x−1 ∈ Gs . Theo mệnh đề

1.3.1 Gs là một nhóm con của G.

Định nghĩa 1.5.2: Nhóm Gs gọi là nhóm con đẳng hướng trong G của phần tử s.

Nhận xét: -Khi G tác dụng trên tập các nhóm con của nó bằng các phép liên hợp
thì nhóm con đẳng hướng của nhóm con H của G là cái chuẩn tắc hóa NH của nó.

Mệnh đề 1.5.2: Giả sử S là một G-tập và s, s’ là hai phần tử thuộc S sao cho tồn
tại phần tử x thuộc G thỏa mãn xs = s . Khi đó các nhóm con đẳng hướng Gs và
Gs của hai phần tử s, s’ liên hợp với nhau.

Chứng minh. Từ giả thiết suy ra rằng x−1 (s ) = s, do đó với mọi y thuộc Gs ta
có (xyx−1 )(s ) = (xy)(x−1 (s )) = (xy)(s) = x(y(s)) = x(s) = s . Do đó xyx−1 thuộc
Gs . Như vậy xGs x−1 ⊂ Gs . Tương tự, với mọi z thuộc Gs ta có x−1 zx (s) =
(x−1 z)(x(s)) = (x−1 z)(s ) = x−1 (z(s )) = x−1 (s ) = s. Do đó x−1 Gs x ⊂ Gs . Từ các


15

bao hàm thức nhận được ta có xGs x−1 = Gs và mệnh đề được chứng minh.

Định nghĩa 1.5.3: Cho S là một G-tập, s là một phần tử của S. Tập con G(s)
của S xác định bởi G(s) = {x(s) : x ∈ G} được gọi là G-quỹ đạo của phần tử s.

Mệnh đề 1.5.3: Tập các G-quỹ đạo của tập S tạo thành một phân hoạch của S.
Lực lượng của một quỹ đạo G(s) bằng chỉ số |G :Gs | của nhóm con đẳng hướng của

s trong G.

Chứng minh. Nếu G(s) và G(s’) có phần từ chung là σ thì tồn tại các phần tử
x,y của G sao cho x(s) = y(s’) =σ . Do đó G(s)=(Gx)(s)=G(x(s))=G(σ ),
G(s’)=(Gy)(s’)=G(y(s’)) =G(σ ) và G(s)=G(s’). Vậy hai G-quỹ đạo phân biệt phải
có giao bằng rỗng. Vì e(s)=s nên mọi phần tử của S đều nằm trong một G quỹ đạo
nào đó và tập các G-quỹ đạo tạo thành một phân hoạch của S. Giả sử Gs là nhóm
đẳng hướng của s trong G. Khi đó Gs (s) = {x(s) : x ∈ Gs } = {s}. Nếu xGs và yGs
là hai lớp ghép trái phân biệt theo nhóm con Gs trong G thì (xGs )(s) = {x(s)} và
(yGs )(s) = {y(s)}. Nếu x(s) = y(s) thì (y −1 x)(s) = s và y −1 x ∈ Gs , do đó xGs = yGs

.Mâu thuẫn. Vậy phải có x(s) = y(s). Bởi vì G được phân hoạch thành các lớp ghép
trái theo nhóm con Gs nên lý luận trên chứng tỏ lực lượng của quỹ đạo G(s) bằng
chỉ số|G :Gs |.

Mệnh đề 1.5.4: Số các nhóm con liên hợp với một nhóm con H của nhóm G bằng
chỉ số |G : NH | của cái chuẩn tắc hóa NH trong G. Nhóm con chỉ số 2 của nhóm G
bất kỳ là nhóm con chuẩn tắc của G.

Chứng minh. Xét tác dụng của G trên tập các nhóm con của nó bằng các liên
hợp. Khi đó nhóm con đẳng hướng của nhóm con H của G là cái chuẩn tắc hóa
NH của nó. Do đó theo mệnh đề 1.5.5 ta suy ra lực lượng của G-quỹ đạo của một


16

nhóm con H bằng |G : NH |. Nhưng các nhóm con của G nằm trong cùng G-quỹ
đạo với H chính là các nhóm con liên hợp với H. Do đó khẳng định đầu của mệnh
đề 1.5.6 được chứng minh. Nếu |G:H|=2 thì |G : NH | chỉ có thể bằng 1 hoặc bằng
2 vì H ⊂ NH . Nếu |G : NH | = 2 thì H không phải là nhóm con chuẩn tắc của G và

NH = H , đồng thời G-quỹ đạo của H có đúng 2 phần tử: H và một nhóm con liên

hợp H’ của nó. Xét tác dụng của G trên tập {H, H } bằng phép lấy liên hợp. Tác
dụng này cảm sinh một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các phép thế của hai phần
tử. Hạt nhân của đồng cấu này chính là NH = H , do đó H là nhóm con chuẩn tắc
của G. Mâu thuẫn. Vậy phải có |G : NH | = 1, tức là NH = G và H là nhóm con
chuẩn tắc của G.

Nếu S là một G-tập hữu hạn thì tập các G-quỹ đạo của nó cũng hữu hạn.
Giả sử tập các đại diện của các G-quỹ đạo của S là {si }i∈I , trong đó I là một tập
hữu hạn. Từ Mệnh đề 1.5.3 ta suy ra công thức sau:
card(S) =

|G : Gsi |

card(G(si )) =
i∈I

(1.1)

i∈I

Nếu nhóm G tác dụng trên chính nó bằng các liên hợp thì nhóm con đẳng
hướng của mỗi phần tử thuộc tâm ZG là chính G nên G-quỹ đạo của mỗi phần tử
thuộc tâm ZG gồm đúng một phần tử. Ký hiệu {si }i∈I là tập các phần tử đại diện
cho các G-quỹ đạo mà nhóm con đẳng hướng của mỗi phần tử si khác với G. Khi
đó, nếu G là nhóm hữu hạn thì công thức (1.1) cho ta biểu diễn sau:
card(G) = card(ZG )+

card(G(si )) = card(ZG )+

i∈I

|G : Gsi |

(1.2)

i∈I

Các công thức (1.1), (1.2) đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong lý luận ở
các phần tiếp theo của luận văn này.


17

1.6

Các p-nhóm và p-nhóm con Sylow

Định nghĩa 1.6.1: Cho G là một nhóm hữu hạn. Nếu cấp của G là lũy thừa cấp
n(n là số nguyên ≥0) của một số nguyên tố p thì G gọi là một p-nhóm.

-Giả sử G là một nhóm hữu hạn và nhóm con H của G là một p-nhóm. Khi
đó ta nói rằng H là một p-nhóm con của G.

- Nhóm con H của nhóm hữu hạn G gọi là một p-nhóm con Sylow của G nếu
H là p-nhóm với cấp là pn và |G| : pn không chia hết cho p.

Định nghĩa 1.6.2: Cho G là một nhóm tùy ý với luật hợp thành trong viết theo
lối nhân và x là một phần tử của G. Số nguyên dương k gọi là số mũ của x nếu

xk = e. Nếu tập các số mũ của x khác rỗng thì số mũ bé nhất của x gọi là chu kỳ

của x. Trong trường hợp trái lại ta nói x có chu kỳ vô hạn. Số nguyên dương n gọi
là số mũ của nhóm G nếu xn = e với mọi phần tử x thuộc G.

Mệnh đề 1.6.1: Mọi phần tử x của một nhóm hữu hạn G đều có chu kỳ hữu hạn.
Mọi nhóm hữu hạn đều có số mũ hữu hạn. Nếu số mũ r của G hữu hạn thì chu kỳ
của mọi phần tử thuộc G đều là ước của r.

Chứng minh. Giả sử x là phần tử của G. Xét ánh xạ f từ nhóm (Z,+) vào nhóm
G cho bởi công thức f (n) = xn với mọi số nguyên n. Dễ thấy ánh xạ này là một
đồng cấu nhóm. Do đó ảnh của nó là một nhóm con H của nhóm G. Vì G hữu
hạn nên nhóm con H hữu hạn. Theo định lý đồng cấu ta có đẳng cấu (Z:Kerf)≈H.
Vì H hữu hạn nên ta suy ra hạt nhân của f không tầm thường, tức là tồn tại số
nguyên dương n sao cho xn = e. Vậy tập các số mũ của x khác rỗng, do đó x có
chu kỳ hữu hạn. Nếu G là nhóm hữu hạn thì theo điều vừa chứng minh, mỗi phần


18
nx làm số mũ của G. Nếu d>1

tử x của G có chu kỳ nx . Vậy có thể lấy số N =
x∈G

là chu kỳ của phần tử a thuộc G và r = dk+s với s là số nguyên thỏa mãn 0d-1 thì ta có e = ar = as . Vậy d chưa phải là số mũ bé nhất của a. Mâu thuẫn. Vậy
s = 0 và d là ước số của r.Với các phần tử của G có chu kỳ =1 khẳng định cuối
của mệnh đề là hiển nhiên.

Mệnh đề 1.6.2: Nếu G là một nhóm giao hoán hữu hạn có cấp m và p là một

ước số nguyên tố của m thì trong G tồn tại một nhóm con cấp p.

Chứng minh. Xem luật hợp thành trong của G được viết theo lối nhân. Trước
hết ta chứng minh bằng quy nạp theo m rằng nếu n là số mũ của G thì tồn tại số
nguyên dương k sao cho m là ước của nk . Nếu m=1 thì khẳng định là hiển nhiên.
Giả sử m > 1 và khẳng định đã được chứng minh cho tất cả các số nguyên dương
< m. Chọn một phần tử a = e và giả sử d là chu kỳ của a. Vậy d>1vàlà ước của
n. Nhóm H = e, a, ..., ad−1 là một nhóm con xyclic cấp d của G, vậy d cũng là
ước của m. Vì G là nhóm giao hoán nên H là nhóm con chuẩn tắc của G. Nhóm
thương G:H cũng là nhóm giao hoán và có cấp m’= m:d < m, đồng thời n cũng là
số mũ của G:H. Theo giả thiết quy nạp ta suy ra tồn tại số nguyên dương k’ sao
cho m’ là ước của nk . Khi đó m = m’d là ước của nk +1 và ta nhận được điều cần
chứng minh.

Với mỗi x ∈ G ký hiệu nx là chu kỳ của x. Đặt N=

nx thì N là số mũ của
x∈G

G. Theo điều vừa chứng minh tồn tại số nguyên dương k sao cho N k chia hết cho
m và do đó chia hết cho p. Vì p là số nguyên tố nên tồn tại số nx saocho nx chia
hết cho p. Đặt nx = ps thì do nx là chu kỳ của x ta phải có xs = e và p là chu kỳ
của phần tử xs . Vậy nhóm (xs )r : r = 1, ..., p là nhóm con cấp p của nhóm G.

Định lý 1.6.3: Nếu G là nhóm hữu hạn cấp m và p là một ước số nguyên tố của


19

m thì trong G tồn tại một p-nhóm con Sylow.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo cấp m của nhóm G. Giả sử
khẳng định đã đúng với các số nguyên dương < m. Ta sẽ chứng minh rằng khi
đó khẳng định cũng đúng đối với m. Nếu m là lũy thừa của p thì khẳng định là
hiển nhiên. Bây giờ giả sử n = mpr , n>1 và không chia hết cho p. Nếu trong G
tồn tại nhóm con thực sự H mà |G:H| không chia hết cho pthì p-nhóm con Sylow
của nhóm con H (tồn tại theo giả thiết quy nạp) cũng là p-nhóm con Sylow của
G và khẳng định đúng với m. Vậy chỉ còn phải chứng minh khẳng định đúng với
m kèm theo giả thiết là mọi nhóm con thực sự của G có chỉ số chia hết cho p. Xét
tác dụng của G trên chính nó bằng các liên hợp. Áp dụng công thức (1.2) ta có:
|G : Gsi |

card(G) = card(ZG ) +
i∈I

trong đó ZG là tâm của G và {si }i∈I là tập các phần tử đại diện cho các G-quỹ
đạo mà nhóm con đẳng hướng của mỗi phần tử si khác với G. Theo giả thiết tất
|G : Gsi |đều chia hết cho p. Vì m = card(G) chia hết

cả các số hạng của tổng
i∈I

cho p nên từ đẳng thức trên ta suy card(ZG ) chia hết cho p. Nói riêng G có tâm
không tầm thường. Vì tâm của G là một nhóm con giao hoán của nó nên theo
mệnh đề 1.6.2 ta suy ra ZG có một nhóm con xyclic cấp p. Ký hiệu nhóm con này
là H thì H là nhóm con chuẩn tắc của G vì H nằm trong ZG . Xét nhóm thương
G/H. Vì H là nhóm con cấp p của G và cấp của G không phải là lũy thừa của p
nên H là nhóm con thực sự của G. Theo giả thiết cấp của nhóm thương G/H chia
hết cho p, cấp đó bằng m:p nên bé hơn m. Theo gỉả thiết quy nạp, nhóm thương
G/H có một p-nhóm con Sylow K cấp pr−1 .Xét đồng cấu chính tắc ϕ : G → G/H .

Đặt K = ϕ−1 (K) thì K’ là một nhóm con của G và có đẳng cấu K /H ≈ K . Vậy
|K /H| = |K| = pr−1 . Từ đó suy ra |K | = |H| |K| = pr và K’ là p- nhóm con Sylow

của G. Định lý được chứng minh hoàn toàn.

Định lý1.6.4: Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một ước nguyên tố của |G|.


20

Khi đó:
i)Mỗi p-nhóm con của G đều được chứa trong một p-nhóm con Sylow nào đó của
G;
ii)Hai p- nhóm con Sylow bất kỳ của G liên hợp nhau;
iii)Số các p-nhóm con Sylow của G bằng 1(mod p).

Chứng minh. i) Gọi S là tập các p-nhóm con Sylow của G. Xét tác dụng của G
trên S bởi các liên hợp. Cố định một p-nhóm con Sylow P của G, nhóm con đẳng
hướng GP của P chứa P nên có chỉ số nguyên tố với p (vì P là nhóm con Sylow).
Vậy G-quỹ đạo của P có số phần tử nguyên tố với p. Ký hiệu quỹ đạo này là G(P).
Xét một p-nhóm con H của G có cấp >1 và xét tác dụng của H trên G(P) bằng
các liên hợp. Theo công thức về quỹ đạo (1.1) ta có:
card(G(P )) =

|H : HPi |

card(H(Pi )) =
i∈I

(1.3)

i∈I

trong đó Pi là các đại diện của các H-quỹ đạo không giao nhau và HPi là các
nhóm đẳng hướng của chúng trong H.Vì cấp của H chia hết cho p nên tất cả các
số hạng >1 ở vế phải của (1.3) (nếu có) đều chia hết cho p, trong khi ở vế trái
card(G(P)) là một số nguyên tố với p. Vậy phải có ít nhất một số hạng trong tổng
ở vế phải (1.3) bằng 1. Nghĩa là phải có một H-quỹ đạo trong G(P) gồm đúng một
phần tử, giả sử phần tử đó là một p-nhóm con Sylow P’ nào đó của G. Vì nhóm
con đẳng hướng (trong H) của P’ trùng với H nên H phải nằm trong cái chuẩn tắc
hóa (trong G) NP của nhóm P’. Vậy HP’ là nhóm con của NP và P’là nhóm con
chuẩn tắc của HP’.Theo định lý đẳng cấu thứ hai ta có:
HP /P ≈ H/(H ∩ P )

(1.4)

Vì cấp của H là lũy thừa của p nên cấp của nhóm thương ở vế phải (1.4)
phải là lũy thừa của p và ta có |HP’|=|P’||H/(H∩P’)|. Nhưng P’ là một p-nhóm
con Sylow của G nên từ đẳng thức nhận được ta suy ra |H/(H∩P’)| =1 hay H =
H∩P’. Vậy H⊂P’ và khẳng định i) được chứng minh.


21

ii)Lấy H trong chứng minh khẳng định i) là một p-nhóm con Sylow tùy ý của
G. Vì P’ cũng là một nhóm con Sylow nên bao hàm thức H⊂P’ kéo theo H=P’.
Nhưng P’ nằm trong G-quỹ đạo G(P) của P nên P’ liên hợp với P, tức là H liên
hợp với P. Do H được lấy tùy ý nên ta suy ra hai p-nhóm con Sylow tùy ý của G
liên hợp nhau.

iii)Từ khẳng định ii) suy ra rằng tập các p-nhóm con Sylow của G trùng với
quỹ đạo G(P). Lấy H trong chứng minh khẳng định i) trùng với P, ta suy ra H-quỹ
đạo của P trong G(P) gồm đúng 1 phần tử ( chính là P). Nếu Pi là một p-nhóm
con Sylow của G khác với P thì nhóm con đẳng hướng của Pi trong H (=P) phải là
một nhóm con thực sự của H, vì nếu trái lại thì lý luận tương tự như trong phần
cuối của chứng minh khẳng định i) ta suy ra P=H ⊂ Pi , nghĩa là Pi =P vì cả hai
đều là p-nhóm con Sylow của G, mâu thuẫn. Vậy tất cả các số hạng trong công
thức (1.3), trừ duy nhất một số hạng =1, đều chia hết cho p do H=P là p-nhóm
con Sylow của G. Từ đó suy ra khẳng định iii).


22

Chương 2
Ứng dụng lý thuyết các p-nhóm
trong lý thuyết số
2.1

Bổ đề Burnside và các hệ quả
Giả sử S là một G-tập, với mỗi g∈G tập hợp F ix(g) = {s ∈ S : g(s) = s} được

gọi là tập các điểm bất động của g.

Định lý 2.1.1 (Bổ đề Burnside): Giả sử G là một nhóm hữu hạn và S là một
G-tập hữu hạn. Gọi r là số các G-quỹ đạo trong S. Khi đó ta có đẳng thức:
r=

1
|G|

card(F ix(g))
g∈G

Chứng minh. Ta sẽ đếm số phần tử của tập A = {(g, s) ∈ G × S : g(s) = s} theo
hai cách. Cách thứ nhất, ta đếm theo các phần tử g của G. Theo cách này, số phần
tử của A sẽ là:
card(F ix(g))
g∈G

Cách thứ hai, ta đếm theo các phần tử s của S. Nhớ rằng nhóm con đẳng hướng
của phần tử s∈S là nhóm Gs = {g ∈ G : g(s) = s} ta có số phần tử của A là:
|Gs |
s∈S