Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian vector

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính
Nguyễn Anh Thi
Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh

2014


Chöông 3

KHOÂNG GIAN VECTOR


Đònh nghóa
Cho V là một tập hợp khác ∅. Ta nói V là một không gian vector
trên R nếu trong V
i) tồn tại một phép toán "cộng vector", tức là một ánh xạ
V×V →
V
(u, v) → u + v
ii) tồn tại một phép "nhân vô hướng với vector", tức là một ánh
xạ
R×V → V
(α, u) → αu
thỏa các tính chất sau: với mọi u, v, w ∈ V và α, β ∈ R


Ñònh nghóa
1. u + v = v + u;
2. (u + v) + w = u + (v + w);
3. ∃0 ∈ V, u + 0 = 0 + u = u;
4. ∃(−u) ∈ V, (−u) + u = u + (−u) = 0;

5. (αβ)u = α(βu);
6. (α + β)u = αu + βu;
7. α(u + v) = αu + αv;
8. 1.u = u.


Khi đó ta gọi :
mỗi phần tử u ∈ V là một vector.
mỗi số α ∈ R là một vô hướng.
vector 0 là vector không.
vector (−u) là vector đối của u.


Ví dụ
Xét V = Rn = {u = (x1 , x2 , ..., xn )|xi ∈ R, i ∈ 1, n} với phép cộng
vector và phép nhân vô hướng xác đònh bởi:
u + v = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ),
αu = (αx1 , αx2 , ..., αxn )
với u = (x1 , x2 , ..., xn ), v = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn , α ∈ R. Khi đó Rn
là không gian vector trên R với vector không là 0 = (0, 0, ..., 0) và
vector đối của vector u là −u = (−x1 , −x2 , ..., −xn ).


Ví dụ
Tập hợp Mm×n (R) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với
một số thực thông thường là một không gian vector trên R. Trong
đó,
Vector không là ma trận không.
Vector đối của A là ma trận −A.

Ví dụ
Tập hợp
R[x] = {p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 |n ∈ N, ai ∈ R, i ∈ 1, n} gồm
các đa thức theo x với các hệ số trong R là một không gian vector
trên R với phép cộng vector là phép cộng đa thức thông thường
và phép nhân vô hướng với vector là phép nhân thông thường
một số với đa thức.


Ví dụ
Cho V = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Khi đó V là một
không gian vector trên R.

Ví dụ
Cho W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1}. Khi đó W không là
không gian vector, vì
u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W
nhưng u + v = (3, 5, 3) = W


Mệnh đề
Cho V là một không gian vector trên R. Khi đó với mọi u ∈ V và
α ∈ R, ta có
i) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0);
ii) (−1)u = −u.


2.1 Tổ hợp tuyến tính
2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính

2.1 Tổ hợp tuyến tính

Đònh nghóa
Cho u1 , u2 , . . . , uk ∈ V. Một tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , . . . , uk là
một vector có dạng
u = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αk uk
với αi ∈ R(i ∈ 1, k).
Khi đó, đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn của u theo các
vector u1 , u2 , . . . , um .


Tính chất
u là tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , . . . , uk khi và chỉ khi
phương trình α1 u1 + α2 u2 + · · · + αk uk = u có nghiệm
(α1 , α2 , . . . , αk ) ∈ Rk
Tổng của hai tổ hợp tuyến tính, tích của một số với một tổ
hợp tuyến tính cũng là các tổ hợp tuyến tính (của
u1 , u2 , . . . , uk ). Thật vậy,
k

k

α1 ui +
i=1

k

β1 ui =
i=1

k

(αi + βi )ui ;
i=1

k

αi ui ) =

α(
i=1

(ααi )ui .
i=1


Vector 0 luôn luôn là tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , . . . , uk vì
0 = 0u1 + 0u2 + · · · + 0uk
Mọi tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , . . . , uj (j ∈ 1, k) đều là tổ
hợp tuyến tính của u1 , u2 , . . . , uj , uj+1 , . . . , uk vì
α1 u1 + · · · + αj uj = α1 u1 + · · · + αj uj + 0uj+1 + · · · + 0uk .
Mọi tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , . . . , uk−1 , uk đều là tổ hợp
tuyến tính của u1 , u2 , . . . , uk−1 khi và chỉ khi uk là một tổ hợp
tuyến tính của u1 , u2 , . . . , uk−1 .


Hệ quả
Cho u1 , u2 , . . . , uk là k vector trong Rn với uj = (u1j , u2j , . . . , unj ),
j ∈ 1, k,

u1 = (u11 , u21 , . . . , un1 );
u2 = (u12 , u22 , . . . , un2 );
.........................
uk = (u1k , u2k , . . . , unk ).
Khi đó vector u = (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn là tổ hợp tuyến tính của
u1 , u2, . . . , uk khi và chỉ khi 
hệ pt UX= B có
 nghiệm
 X, 
u11 u12 . . . u1k
b1
α1
 u21 u22 . . . u2k 
 b2 
 α2 





U=
 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ;B =  . . . ; X =  . . . .
un1 un2 . . . unk
bn
αk


2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính

Đònh nghóa

1. Cho u1 , u2 , . . . , uk ∈ V. Xét phương trình
α1 u1 + α2 u2 + · · · + αk uk = 0

(1)

Ta nói
u1 , u2 , . . . , uk độc lập tuyến tính khi và chỉ khi với mọi
α1 , α2 , . . . , αk ∈ R ta có
α1 u1 + α2 u2 + · · · + αk uk = 0 ⇔ α1 = α2 = · · · = αk = 0
u1 , u2 , . . . , uk phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại
α1 , α2 , . . . , αk ∈ R không đồng thời bằng 0 sao cho
α1 u1 + α2 u2 + · · · + αk uk = 0


2. Tập con S ⊆ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tập con
hữu hạn {u1 , u2 , . . . , uk } ⊆ S (k ∈ N) tùy ý) đều độc lập tuyến
tính. Nếu S không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến
tính.

Ví dụ
Trong không gian R3 cho các vector
u1 = (1, 2, −3); u2 = (2, 5, −1); u3 = (1, 1, −8).
u1 , u2 độc lập tuyến tính.
u1 , u2 , u3 phụ thuộc tuyến tính.


Nhận xét
Các vector u1 , u2 , . . . , uk phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn
tại vector ui , sao cho ui được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến
tính của các vector còn lại.

Mệnh đề
Cho V là một không gian vector trên R và S = {u1 , u2 , . . . , um } là
tập hợp các vector thuộc V. Khi đó
Nếu S phụ thuộc tuyến tính thì mọi tập chứa S đều phụ
thuộc tuyến tính
Nếu S độc lập tuyến tính thì mọi tập con của S đều độc lập
tuyến tính.


Hệ quả
Cho u1 , u2 , . . . , uk là k vector trong Rn . Gọi A là ma trận có được
bằng cách xếp u1 , u2 , . . . , uk thành các dòng. Khi đó u1 , u2 , . . . , uk
độc lập tuyến tính khi và chỉ khi A có hạng là r(A) = k.


Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các
vector trong Rn
Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1 , u2 , . . . , um thành các
dòng.
Bước 2: Xác đònh hạng r(A) của A.
Nếu r(A) = m thì u1 , u2 , . . . , um độc lập tuyến tính.
Nếu r(A) < m thì u1 , u2 , . . . , um phụ thuộc tuyến tính.
Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay
bước 2, thành bước 2‘ sau đây:
Bước 2`: Tính đònh thức det A.
Nếu det A = 0 thì u1 , u2 , . . . , um độc lập tuyến tính.
Nếu det A = 0 thì u1 , u2 , . . . , um phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ
Trong không gian R5 cho các vector u1 = (1, 2, −3, 5, 1);
u2 = (1, 3, −13, 22, −1); u3 = (3, 5, 1, −2, 5); u4 = (2, 3, 4, −7, 4).
Hãy xét xem u1 , u2 , u3 , u4 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến
tính.

Ví dụ
Trong không gian R3 cho các vector u1 = (2m + 1, −m, m + 1);
u2 = (m − 2, m − 1, m − 2); u3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm
điều kiện để u1 , u2 , u3 độc lập tuyến tính.


3. Cơ sở và số chiều của không gian vector

3.1 Tập sinh
3.2 Cơ sở và số chiều


3.1 Tập sinh
Đònh nghóa
Cho V là không gian vector và S ⊂ V. S được gọi là tập sinh của V
nếu mọi vector u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta
nói S sinh ra V hoặc V được sinh ra bởi S, ký hiệu V = S


3.1 Tập sinh
Đònh nghóa
Cho V là không gian vector và S ⊂ V. S được gọi là tập sinh của V
nếu mọi vector u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta
nói S sinh ra V hoặc V được sinh ra bởi S, ký hiệu V = S

Ví dụ
Trong không gian R3 , cho
S = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (2, 3, 1)} Hỏi S có là tập
sinh của R3 hay không?


3.1 Tập sinh
Đònh nghóa
Cho V là không gian vector và S ⊂ V. S được gọi là tập sinh của V
nếu mọi vector u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta
nói S sinh ra V hoặc V được sinh ra bởi S, ký hiệu V = S

Ví dụ
Trong không gian R3 , cho
S = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (2, 3, 1)} Hỏi S có là tập
sinh của R3 hay không?
Với u = (x, y, z)
∈ R3 ,ta có


1 1 2 x
1 1
2
x
 1 2 3 y → 0 1
1 −x + y . Hệ có nghiệm,
1 1 1 z
0 0 −1 −x + z
suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , u3

Ví dụ
Trong không gian R3 , cho
S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 3, 1); u3 = (3, 4, 0)}.
Hỏi S có là tập sinh của R3 hay không?