Định lý viet và ứng dụng

LÊ MINH CƯỜNG
"Dù bạn nghĩ rằng mình có thể hay không thể làm một việc gì đó thì bạn cũng luôn đúng"
- Henry Ford

Chuyên đề TỰ HỌC
(theo từng chuyên đề và có lời giải chi tiết)

TOÁN 10
Vol.1. CĐ1.ĐS
Sài Gòn, mùa Giông Bão – 2017
Tài liệu lưu hành nội bộ

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Tài liệu


1

CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1

Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai

1.1.1

Tìm tham số m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2

Biểu thức nghiệm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3
1.1.4
1.1.5
1.1.6
1.1.7

Biểu thức nghiệm không đối xứng . . . . . .
Tìm giá trị min/max của biêu thức nghiệm
Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình trùng phương . . . . . . . . . . . .

1.1.8

Các bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.9

Lời giải chi tiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

1

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

5
6
7
7
8

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Mục lục


1.1

Các bài toán về phương trình bậc hai và
phương trình qui về bậc hai
1

1.1

Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai
Lý thuyết


∆ = b2 − 4ac




−b
Định lí Vietè và các điều kiện về nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0, với S =

.
a



c

P =
a

−b

 S = x1 + x2 =
a .
• (Định lí Vietè) Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình thì

 P = x1 .x2 = c
a
• Phương trình vô nghiệm ⇐⇒

• Phương trình có nghiệm ⇐⇒

a=b=0
c=0
a=0
b=0

• Phương trình có nghiệm kép ⇐⇒

hoặc

a=0
∆<0

.

hoặc a = b = c = 0 hoặc

a=0
∆=0

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇐⇒

.
a=0

.
∆>0

a=0



∆ > 0
• Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇐⇒
.

S
>
0




P>0

a=0



∆ > 0
• Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇐⇒
.

S
<
0



P>0

a=0
∆≥0

.

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

2

• Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇐⇒ ac < 0.
Các biểu thức đối xứng qui về S, P:

GV. Lê Minh Cường - - 01666658231

a) x12 + x22 = S2 − 2P.

1.1.1

b) x13 + x23 = S3 − 3PS.
√
e) |x1 − x2 | = S2 − 4P.

d) (x1 − x2 )2 = S2 − 4P.

c) x12 x2 + x22 x1 = PS.

Tìm tham số m
Dạng 1.1.1.1. Tìm m để phương trình có nghiệm cho trước
Thay nghiệm vào phương trình, từ đó giải ra tham số m, sau đó thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình
ban đầu, giải ra nghiệm còn lại.

Ví dụ 1.1.1.
Biết phương trình x2 + 2mx − 12 = 0 có một nghiệm x1 = 3. Tìm m và nghiệm còn lại.
• Thay x1 = 3 vào phương trình ta được

1
9 + 6m − 12 = 0 ⇔ m = .
2
• Thay m =

1
vào phương trình ban đầu ta có:
2

x2 + x − 12 = 0 ⇔

x=3
x = −4

Vậy nghiệm còn lại là x = −4.

Bài tập 1.1.1. Tìm m để phương trình x2 − 9x + m = 0 có một nghiệm là −3. Khi đó tìm nghiệm còn lại.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 10

Ví dụ 1.1.2.
Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − 4m + 3 = 0

(1). Tìm m để phương trình (1).

1. có hai nghiệm trái dấu.
2. có hai nghiệm dương phân biệt.
1. Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
m2 − 4m + 3 < 0 ⇔ (m − 1)(m − 3) < 0 ⇔ 1 < m < 3.
2. Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi





∆ > 0
 2m − 2 > 0
S > 0 ⇔ 2(m − 1) > 0
⇔ m > 3.




P>0
(m − 1)(m − 3) > 0

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10


1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai

3

Dạng 1.1.1.2. Biện luận theo m có áp dụng định lí Viète
Định lí Vietè
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a = 0) có hai nghiệm x1 , x2 thì
c
x1 x2 = .
a

Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình
x2 − Sx + P = 0.

1.1.2

Biểu thức nghiệm đối xứng
Ví dụ 1.1.3.
Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 + 5 = 0 (1), với x là ẩn số. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt x1 và x2 thỏa mãn đẳng thức: 2x1 x2 − 5(x1 + x2 ) + 8 = 0.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
∆ = (m + 1)2 − (m2 + 5) > 0 ⇔ m2 + 2m + 1 − m2 − 5 > 0 ⇔ 2m − 4 > 0 ⇔ m > 2
S = x1 + x2 = 2(m + 1) = 2m + 2
Khi đó:
P = x1 x2 = m2 + 5
2x1 x2 − 5(x1 + x2 ) + 8 = 0 ⇔ 2(m2 + 5) − 5(2m + 2) + 8 = 0
m = 1 (loại)
⇔ 2m2 − 10m + 8 = 0 (a + b + c = 0) ⇔
. Vậy m = 4.
m = 4 (thỏa)

Bài tập 1.1.2. Cho phương trình : x2 − 2mx − 6m − 9 = 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1 , x2 trái dấu và thỏa mãn: x12 + x22 = 13.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 10

Bài tập 1.1.3.

Cho phương trình bậc hai x2 − 2(k − 2)x − 2k − 5 = 0 (với k là tham số).

1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị k.
2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị k sao cho x12 + x22 = 18.

Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 10

Bài tập 1.1.4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2 − 2mx + m − 1 = 0 có hai nghiệm
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 (x1 + x2 ) + x12 x22 = 0.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 10

Bài tập 1.1.5. Cho phương trình x2 − 2x − m = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: (x1 x2 + 1)2 − 2(x1 + x2 ) = 0.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 11

Bài tập 1.1.6. Cho phương trình x2 + 2(m + 2)x + 4m − 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số) (1). Chứng minh
rằng với mọi giá trị của tham số m thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm
của phương trình (1), tìm m để x12 + x22 = 30.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 11

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

b
x1 + x2 = − ;
a


Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

4

Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x + m2 + m − 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình
1
1
có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: + = 4.
x1 x2
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 11

GV. Lê Minh Cường - - 01666658231

Bài tập 1.1.7.

Bài tập 1.1.8. Cho phương trình sau: x2 − 6x + m + 1 = 0 (1) (với x là ẩn số, m là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x12 + x22 = 20.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 11

Bài tập 1.1.9. Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + (4m + 1)x + 2m − 8 = 0 (m là tham số).
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi tham số m.
b. Tìm m để hai nghiệm x1 ; x2 của phương trình đã cho thỏa mãn điểu kiện |x1 − x2 | = 17.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 11

Bài tập 1.1.10. Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x − (2m + 1) = 0

(1)

(m là tham số).

1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Tìm m để phương trình (1) luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 12

Bài tập 1.1.11. Cho phương trình x2 − (2m − 1)x + m2 − 2m − 1 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả giá trị của
m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 − x1 x2 = 4.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 12

Bài tập 1.1.12. Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 − (m + 4)x + 3(m + 1) = 0 có hai nghiệm là
độ dài hai cạnh của một tam giác vuông, biết độ dài cạnh còn lại là 5.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 12

Bài tập 1.1.13. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình x2 − 2x + m − 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thoả
mãn điều kiện x12 + x22 − x1 x2 + x12 x22 − 14 = 0.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 12

Bài tập 1.1.14. Cho phương trình: x2 − (m−1)x−m = 0 (1) (với x là ẩn số, m là tham số). Xác định các giá
trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện: x1 (3 − x2 ) + 20 ≥ 3(3 − x2 ).
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 13

Bài tập 1.1.15. Tìm các giá trị m để phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 + 2m − 1 = 0 (m là tham số) luôn
1
1
có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức
+
= 2.
x1 − 1 x2 − 1
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 13

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10

1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai

5

Bài tập 1.1.16. Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x + m2 − 3 = 0. Tìm tất cả giá trị của tham số m để
x1 x2
phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: + = 2.
x2 x1
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 13

1.1.3

Biểu thức nghiệm không đối xứng
Ví dụ 1.1.4.
Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 thỏa mãn 3x1 + x2 = 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m2 + m + 2 > 0 ⇔ m +
Theo định lí Vi-ét ta có

1
2

2

+

7
> 0 (luôn đúng)
4

x1 + x2 = −2(m + 1)
x1 .x2 = m − 1.


 x1 + x2 = −2(m + 1)
x1 .x2 = m − 1.

Mà 3x1 + x2 = 0. Vậy ta có hệ:




.

3x1 + x2 = 0

2
1
Giải hệ ta được x1 = −1, x2 = 3 và m = −2 hoặc x1 = , x2 = −2 và m = − .
3
3
Bài tập 1.1.18. Cho phương trình x2 − 10mx + 9m = 0 (1) (m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m
để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa điều kiện x1 − 9x2 = 0.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 13

Bài tập 1.1.19. Tìm m để phương trình x2 − 2(m + 2)x + 6m + 2 = 0 có hai nghiệm mà nghiệm này gấp
đôi nghiệm kia.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 14

Bài tập 1.1.20. Biết phương trình x2 − x + m − 7 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 với x1 < x2 và x2 − x1 = 5. Tìm
m.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 14

Bài tập 1.1.21. Cho phương trình x2 − (2m + 1)x + m2 + 1 = 0.
1. Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x1 = 2x2 .
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 14

Bài tập 1.1.22. Cho phương trình x2 − 2x + m − 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 2x1 − x2 = 7.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 14

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Bài tập 1.1.17. Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để
phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn (2x1 + 1) (2x2 + 1) = 13.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 13


Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

6

Bài tập 1.1.23. Cho phương trình mx2 + 2(m − 4)x + m + 7 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 − 2x2 = 0.

Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 15

GV. Lê Minh Cường - - 01666658231

1.1.4

Tìm giá trị min/max của biêu thức nghiệm
Ví dụ 1.1.5.
Cho phương trình x2 − 2(m − 2)x − 6m = 0 (1) (với m là tham số).
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x12 + x22 .
1. Ta có: ∆ = (m − 2)2 − 1.(−6m) = m2 + 2m + 4 = (m + 1)2 + 3 > 0, với mọi m.
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
2. Theo định lí Vi-et, ta có: x1 + x2 = 2(m − 2) và x1 x2 = −6m.
Ta có:
P = x12 + x22

= (x1 + x2 )2 − 2x1 x2
= 4(m − 2)2 − 2.(−6m)
= 4m2 − 4m + 16
= (2m − 1)2 + 15 ≥ 15
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 15, đạt được khi m = .
2
Bài tập 1.1.24. Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình x2 + (2m − 1)x + m2 − 1 = 0 có hai
nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 15
Bài tập 1.1.25. Tìm m để phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2
sao cho T = x12 + x22 − (m − 1)(x1 + x2 ) + m2 − 3m đạt giá trị nhỏ nhất.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 15

Bài tập 1.1.26. Cho phương trình x2 − 2x + 3 − m = 0 (1) (m là tham số)
1. Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = −x1 2 x2 2 − 3 x1 2 + x2 2 + 4.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 15
Bài tập 1.1.27. Cho phương trình 2x2 − 2mx + m2 − 2 = 0 (1) với m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức A = |2x1 x2 − x1 − x2 − 4|
đạt giá trị lớn nhất.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 16

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10


1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai
1.1.5

7

Bài tập tổng hợp
Bài tập 1.1.28. Cho phương trình bậc hai x2 − 2x + m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = −1. Tính nghiệm còn lại.

Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 16
Bài tập 1.1.29. Cho phương trình x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0

(1).

1. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
2. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2. Tìm nghiệm còn lại.
3. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 13.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 16
Bài tập 1.1.30. Cho phương trình mx2 − 6(m − 1)x + 9(m − 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m để phương
trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x1 x2 .
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 17
Bài tập 1.1.31. Cho phương trình x2 − x + m + 1 = 0 (1) (m là tham số)
1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm các giá trị của m sao cho x12 + x1 x2 + 3x2 =
7.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 17

1.1.6

Bài tập nâng cao
Bài tập 1.1.32. Tìm m để phương trình x2 + x − m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x13 + x23 +
x12 x22 = 17.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 17
Bài tập 1.1.33. Cho phương trình x2 − (m − 1)x − m2 + m − 1 (1). Chứng minh rằng với mọi m phương
trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là x1 ; x2 (x1 < x2 ), khi đó tìm m để |x2 | − |x1 | = 2.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 17
Bài tập 1.1.34. Cho phương trình: x2 − mx + m − 1 = 0 (có ẩn số x).
a. Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
b. Cho biểu thức B =

2x1 x2 + 3
. Tìm giá trị của m để B = 1.
x12 + x22 + 2 (1 + x1 x2 )
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 18

Bài tập 1.1.35. Tìm m để phương trình x2 + 5x + 3m − 1 = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm x1 và x2
thỏa mãn x13 − x23 + 3x1 x2 = 75.
Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x13 + x23 = 8.


Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

8

Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 18
Bài tập 1.1.36. Cho phương trình: x2 − (2m − 1)x + m2 − 1 = 0

(1) (x là ẩn số)

GV. Lê Minh Cường - - 01666658231

1. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

1.1.7

2. Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình (1) thỏa mãn (x1 − x2 )2 = x1 − 3x2 .
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 18
Tìm m để phương trình: (m − 1)x2 − 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác

x1 x2 5
0 và thỏa mãn hệ thức: + + = 0.
x2 x1 2
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 19
Bài tập 1.1.37.

Bài tập 1.1.38. Cho phương trình (m − 1)x2 − 2(m − 2)x + m + 3 = 0

(1).

1. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
2. Với các giá trị m trong câu a). Tìm một hệ thức giữa x1 , x2 độc lập đối với m.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 19

Phương trình trùng phương
Dạng 1.1.7.1. Phương trình bậc bốn trùng phương
Để giải phương trình trùng phương dạng ax4 + bx2 + c = 0 ( ) ta đặt t = x2 ≥ 0 để đưa về phương trình bậc
hai at 2 + bt + c = 0 ( ).
• Nếu phương trình ( ) vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì phương trình ( ) vô nghiệm.
• Nếu phương trình ( ) có nghiệm t = 0 thì phương trình ( ) có nghiệm x = 0.
√
• Nếu phương trình ( ) có một nghiệm t = t0 > 0 thì phương trình ( ) có hai nghiệm x = ± t0 .
Ví dụ 1.1.6.
Giải phương trình 2x4 − 7x2 + 5 = 0.
5
Đặt t = x2 ≥ 0 ta được phương trình 2t 2 − 7t + 5 = 0 ⇔ t = 1,t = .
2
Với t = 1 thì x2 = 1 ⇔ x = ±1.
5
5

Với t = thì x = ±
.
2
2
Ví dụ 1.1.7.
Tìm m để phương trình x4 − 2mx2 + 2m − 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
Đặt t = x2 ≥ 0 ta được phương trình t 2 − 2mt + 2m − 1 = 0.
Phương trình x4 − 2mx2 + 2m − 1 = 0 có 
bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình t 2 − 2mt + 2m −
2

 ∆ = m − 2m + 1 > 0
1
1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ S = 2m > 0
⇔ < m = 1.

2

P = 2m − 1 > 0

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10


1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai

9

Bài tập 1.1.39. Giải phương trình x4 − 5x2 + 4 = 0.

Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 20

Bài tập 1.1.41. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x4 − (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 có bốn
nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 20

1.1.8

Các bài tập trắc nghiệm
Câu 1.1.1. Phương trình nào sau đây có tích các nghiệm gấp 3 lần tổng các nghiệm của nó?
A. x2 − 3x + 1 = 0.
B. x2 + 2x − 6 = 0.
C. x2 − x − 3 = 0.
D. x2 − 3x + 1 = 0.
Câu 1.1.2. Cho phương trình mx2 − 2(m + 1)x − 1 = 0, với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình có
tích hai nghiệm bằng 3.
1
A. m = 3.
B. m = −2.
C. m = 0.
D. m = − .
3
Câu 1.1.3. Cho phương trình (m − 1)x2 − 2mx + 3m − 5 = 0, với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để có
tổng các nghiệm bằng 2 lần tích các nghiệm của nó.
5
1
A. m = 1.
B. m = .
C. m = .
D. m = −1.

2
2
Câu 1.1.4. Cho phương trình (m + 2)x2 + (2m + 1)x + 2 = 0, với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để có
hai nghiệm trái dấu và tổng của chúng bằng 3.
7
A. m = − .
B. m = 1.
C. m = 2.
D. Không tồn tại m.
5
Câu 1.1.5. Tìm tổng các giá trị của tham số k để phương trình kx2 − 2x + k − 5 = 0 có tổng bình phương các
nghiệm bằng 2 lần tích các nghiệm của nó.
√
A. 0.
B. 5.
C. 6.
D. 29.
Câu 1.1.6. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình x2 − 3mx + 2 = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa
x12 − 3x1 x2 + x22 = −1?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 1.1.7. Tìm tập hợp M tất cả giá trị của m để phương trình 9x2 + 2(m2 − 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt
âm.
A. M = (−∞; −1√) ∪ (1;√
+∞).
B. M = (−∞; −2] ∪ [2; +∞).
C. M = (−∞; − 3] ∪ [ 3; +∞).
D. M = (−∞; −2) ∪ (2; +∞).

Câu 1.1.8. Cho hai phương trình x2 − 5x + k = 0 (1) và x2 − 7x + 2k = 0 (2). Biết rằng hai phương trình (1) và
(2) có một nghiệm chung là x0 > 0 khi k = k0 . Tính giá trị của biểu thức A = x02 + k02 .
20
6
A. A = .
B. A = .
C. A = 45.
D. A = 3.
81
9
Câu 1.1.9. Cho phương trình 2x2 − (a + 1)x + a + 3 = 0, với a là tham số. Tìm tổng tất cả giá trị của a để phương
trình có hai nghiệm phân biệt và hiệu của chúng bằng 1.
25
46
A. − .
B. −3.
C. 6.
D. − .
7
7
Câu 1.1.10. Cho phương trình 2x2 − (k + 2)x + 7 − k = 0. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của k để phương
trình có hai nghiệm phân biệt không nhỏ hơn 1?
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Bài tập 1.1.40. Cho phương trình: x4 + 2(m − 3)x2 + 3m + 9 = 0 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị
m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Nếu đã cố gắng hết sức vẫn chưa giải được hãy xem lời giải ở trang 20


Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

10

GV. Lê Minh Cường - - 01666658231

Câu 1.1.11. Cho phương trình (k + 2)x2 − 2k2 x − 1 = 0. Gọi K là tập hợp các giá trị của k để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x1 , x2 đối xứng nhau qua điểm x = 1 trên trục số. Tổng lập phương các phần tử của K bằng
A. 8.
B. −9.
C. 7.
D. −7.

1.1.9

Câu 1.1.12. Cho phương trình 3x2 + 5x + 2m + 1 = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có hai
nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13 + x23 = 10?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Đáp án phần trắc nghiệm
1.1.1.B

1.1.11.C

1.1.2.D
1.1.12.A

1.1.3.B

1.1.4.D

1.1.5.B

1.1.6.B

1.1.7.D

1.1.8.C

1.1.9.C

1.1.10.D

Lời giải chi tiết
Bài giải 1.1.1. (của Bài tập 1.1.1 ở trang 2)
−3 + x2 = 9
x2 = 12
Ta có
⇔
(−3).x2 = m
m = −36.

Bài giải 1.1.2. (của Bài tập 1.1.2 ở trang 3)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt và trái dấu thì:
a.c < 0 ⇔ −6m − 9 < 0 ⇔ m > −

3
2

Mặt khác x12 + x22 = 13 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 13
x1 + x2 = 2m
Áp dụng định lí Viét ta có:
x1 x2
= −6m − 9

(1)

√
−3 + 3
(nhận)
m =
2 √
Thay vào (1) ta được: 4m2 − 2(−6m − 9) = 13 ⇔ 4m2 + 12m + 6 = 0 ⇔ 

−3 − 3
(loại)
m=
2
√
−3 + 3
thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu và thỏa x12 + x22 = 13.
Vậy m =

2


Bài giải 1.1.3. (của Bài tập 1.1.3 ở trang 3)
1. Ta có ∆ = [−2(k − 2)]2 − 4(−2k − 5) = 4(k2 − 2k + 9) = 4[(k − 1)2 + 8] ≥ 32 > 0 với mọi k ⇒
phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
2. Áp dụng Viet ta có x1 + x2 = 2(k − 2), x1 x2 = −2k − 5.
⇒ x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 4(k − 2)2 + 2(2k + 5) = 2(2k2 − 6k + 13).
Theo đề bài x12 + x22 = 18 ⇔ 2k2 − 6k + 13 = 9 ⇔ k2 − 3k + 2 = 0 ⇔ k = 1, k = 2.

Bài giải 1.1.4. (của Bài tập 1.1.4 ở trang 3)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = m2 − m + 1 > 0.
1 2 3
Vì m2 − m + 1 = m −
+ > 0 với mọi m ∈ R nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu
2
4
x1 , x2 .
x1 + x2 = 2m,
Áp dụng định lí Vi-ét ta có
.
x1 x2 = m − 1.
Do đó, 2 (x1 + x2 ) + x12 x22 = 0 ⇔ 4m + (m − 1)2 = 0 ⇔ m = −1.

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10


1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai

11

Bài giải 1.1.6. (của Bài tập 1.1.6 ở trang 3)
∆ = (m + 2)2 − 4m + 1 = m2 + 5 > 0 với mọi m cho nên phương trình có nghiệm với mọi m. Theo định lí Viét ta có x12 + x22 = (x1 + x2 )2 −2x1 x2 = 4(m + 2)2 −2(4m−1) = 4m2 + 8m + 18 = 30 ⇐⇒ m = 1, m = −3.

Bài giải 1.1.7. (của Bài tập 1.1.7 ở trang 4)
∆ = m+2
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > −2
x1 + x2 = 2(m + 1)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 x2 = m2 + m − 1
m2 + m − 1 = 0
1
1
x1 + x2
2(m + 1)
+ =4⇔
=4⇔ 2
=4⇔
x1 x2
x1 x2
m +m−1
m + 1 = 2(m2 + m − 1)

m=1
m2 + m − 1 = 0

⇔
⇔

3
2m2 + m − 3 = 0
m=−
2
3
Kết hợp với điều kiện suy ra m ∈ 1; −
là các giá trị cần tìm.
2
Do đó:

Bài giải 1.1.8. (của Bài tập 1.1.8 ở trang 4)
a) ∆ = (−3)2 − (m + 1) = 8 − m.
Để phương trình (1) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 ⇔ 8 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 8.
b) Với m ≤ 8, theo định lí Vi-ét ta có
x12

+ x22

x1 + x2 = 6

x1 .x2 = m + 1.
= 20 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 .x2 = 20. hay 62 − 2.(m + 1) = 20 ⇔ m = 7

Theo giả thiết ta có
(TM).
Vậy m = 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài giải 1.1.9. (của Bài tập 1.1.9 ở trang 4)
a. Ta có: ∆ = (4m + 1)2 − 4(2m − 8) = 16m2 + 33 > 0, ∀m ∈ R.
Do đó, phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .

b. Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , nên theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = −4m − 1
và x1 x2 = 2m − 8.
(1)
Từ giả thiết |x1 − x2 | = 17 ⇔ x12 + x22 − 2x1 x2 = 172 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 172 .
m=4
Thay (1) vào ta được: (−4m − 1)2 − 4(2m − 8) = 172 ⇔ m2 = 16 ⇔
.
m = −4

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Bài giải 1.1.5. (của Bài tập 1.1.5 ở trang 3)
Phương trình có 2 nghiệm
phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 + m > 0 ⇔ m > −1.

−b

 x1 + x2 =
=2
a
Theo định lý Vi-ét
.

 x1 x2 = c = −m
a
Thay vào điều kiện ta có:

m=3
(nhận)
(−m + 1)2 − 2.2 = 0 ⇔ (1 − m)2 − 4 = 0 ⇔
.
m = −1 (loại)


Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

12
Bài giải 1.1.10. (của Bài tập 1.1.10 ở trang 4)

1. Phương trình (1) có ∆ = m2 + 2 > 0, ∀m.
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

GV. Lê Minh Cường - - 01666658231

2. Theo hệ thức vi-ét ta có

S = x1 + x2 = 2m − 2

P = x1 .x2 = −(2m + 1)
Theo đề bài ta cần x1 , x2 là hai nghiệm
 đối nhau của phương trình (1) nên:
m = 1
S=0
2m − 2 = 0
⇔
⇔m=1
⇔

m > −1
P<0
− (2m + 1) < 0
2
Vậy khi m = 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Bài giải 1.1.11. (của Bài tập 1.1.11 ở trang 4)
Phương trình x2 − (2m − 1)x + m2 − 2m − 1 = 0 (1).
Xét ∆ = [−(2m − 1)]2 − 4.1.(m2 − 2m − 1) = 4m + 5.
5
Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 4m + 5 ≥ 0 ⇔ m ≥ − .
4
x1 + x2 = 2m − 1
.
Áp dụng hệ thức Vi-ét,
x1 x2 = m2 − 2m − 1
Ta có
x12 + x22 − x1 x2 = 4 ⇔ (x1 + x2 )2 − 3x1 x2 = 4
⇔ (2m − 1)2 − 3(m2 − 2m − 1) = 4
⇔ m2 + 2m = 0 ⇔

m=0
m = −2 (loại

.

Vậy m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài giải 1.1.12. (của Bài tập 1.1.12 ở trang 4)
Ta có ∆ = (m − 2)2 ≥ 0, ∀m. Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3, x = m + 1. Ta xét hai
trường hợp sau.

Trường hợp 1: m + 1 và 3 là độ dài hai cạnh góc vuông. Khi đó

(m + 1)2 + 9 = 25
⇔ m = 3.
0 < m+1 < 5
Trường hợp 2: 5 và 3 là độ dài hai cạnh góc vuông. Khi đó
√
(m + 1)2 = 25 + 9
⇔ m = 34 − 1.
m+1 > 5
Vậy giá trị cần tìm là m = 3, m =

√
34 − 1.

Bài giải 1.1.13. (của Bài tập 1.1.13 ở trang 4)
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi ∆ = 2 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2.
Áp dụng định lý Vi-ét, ta được x1 + x2 = 2; x1 .x2 = m − 1. Ta có:
x12 + x22 − x1 x2 + x12 x22 − 14 = 0 ⇔ (x1 + x2 )2 − 3x1 x2 + x12 x22 − 14 = 0
⇔4 − 3(m − 1) + (m − 1)2 − 14 = 0 ⇔ m2 − 5m − 6 = 0 ⇔

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

m = −1
m = 6.

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10


1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai

13

Kết hợp với điều kiện m ≤ 2, ta được giá trị cần tìm là m = −1.

x1 (3 − x2 ) + 20 ≥ 3(3 − x2 ) ⇔ 3x1 − x1 x2 + 20 ≥ 9 − 3x2
⇔ 3(x1 + x2 ) − x1 x2 + 11 ≥ 0
⇔ 3(m − 1) + m + 11 ≥ 0
⇔ 4m ≥ −8 ⇔ m ≥ −2.
Kết hợp với điều kiện m = −1, suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán khi
m ≥ −2 và m = −1.

Bài giải 1.1.15. (của Bài tập 1.1.15 ở trang 4)
Đặt f (x) = x2 + 2(m + 1)x + m2 + 2m − 1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⇐⇒
2>0
∆ = (m + 1)2 − (m2 + 2m − 1) > 0
√ .
⇔
f (1) = 0
m = −2 ± 2
1
1
Theo đề
+
= 2 ⇐⇒ 3 (x1 + x2 ) − 2x1 x2 − 4 = 0 ⇐⇒ m2 + 5m + 4 = 0 ⇐⇒ m = −1, m = −4
x1 − 1 x2 − 1 √
(thỏa điều kiện m = −2 ± 2).

Bài giải 1.1.16. (của Bài tập 1.1.16 ở trang 5)
Ta có: ∆ = (m + 1)2 − m2 + 3 = 2m + 4.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: 2m + 4 > 0 ⇔ m > −2.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2(m + 1) và x1 .x2 = m2 − 3.
Ta có :

(1)

x1 x2
+ =2
x2 x1
⇔(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 0 ⇔ 4(m + 1)2 − 4(m2 − 3) = 0
⇔4m2 + 8m + 4 − 4m2 + 12 = 0 ⇔ m = −2.
Từ (1) và (2) suy ra không có giá trị m thỏa mãn để:

(2)
x1 x2
+ = 2.
x2 x1

Bài giải 1.1.17. (của Bài tập 1.1.17 ở trang 5)
Đây chính là lúc sự tìm tòi, kiên trì của học sinh phát huy sức mạnh .

Bài giải 1.1.18. (của Bài tập 1.1.18 ở trang 5)
Điều kiện (1) có 2 nghiệm phân biệt là 25m2 − 9m > 0

x2 = m











 x1 + x2 = 10m
 10x2 = 10m
 x2 = m
 x1 = 9m
⇔
.
Theo định lý Vi-ét, ta có: x1 − 9x2 = 0 ⇔ x1 − 9x2 = 0 ⇔ x1 = 9m




m=0


 2


x1 x2 = 9m
x1 x2 = 9m

9m − 9m = 0
 m=1

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10

(*)

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Bài giải 1.1.14. (của Bài tập 1.1.14 ở trang 4)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0
⇔ (m − 1)2 + 4m > 0 ⇔ m2 + 2m + 1 > 0 ⇔ (m + 1)2 > 0 ⇔ m + 1 = 0 ⇔ m = −1.
Do đó với m = −1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
x1 + x2 = m − 1
Áp dụng hệ thức Vi-ét
x1 x2 = −m.
Theo đề bài ta có:


Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

14

• Với m = 0 ta có 25m2 − 9m = 0, suy ra m = 0 không thỏa mãn (∗).
• Với m = 1 ta có 25m2 − 9m = 25.12 − 9.1 = 16 > 0, suy ra m = 1 thỏa mãn (∗).

GV. Lê Minh Cường - - 01666658231

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Bài giải 1.1.19. (của Bài tập 1.1.19 ở trang 5)
Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 ⇔
= (m + 2)2 − (6m + 2) ≥ 0 ⇔ (m − 1)2 + 1 ≥ 0 (Đúng với mọi m)

x1 + x2 = 2 ( m + 2 ) ( a )
Theo vi ét, ta có:
.
x1 x2 = 6m + 2
(b)
Theo giả thiết giả sử x1 = 2x2 ta có:

4(m + 2)


 x1 =
x1 + x2 = 2 ( m + 2 )
x1 = x2
3
⇔
⇔

2
(
m
+ 2)
x1 = 2x2
3x2 = 2(m + 2)

 x2 =
3
Thay vào (b) ta được:

m=1
4(m + 2) 2(m + 2)

.
= 6m + 2 ⇔ 4m2 − 11m + 7 = 0 ⇔ 
7
3
3
m=
4
7
Vậy m = 1 hoặc m =
4

Bài giải 1.1.20. (của Bài tập 1.1.20 ở trang 5)
x1 − x2 = −5
x1 = −2
⇔
Ta có
x1 + x2 = 1
x2 = 3.
Do đó x1 x2 = m − 7 = −6 ⇔ m = 1.

Bài giải 1.1.21. (của Bài tập 1.1.21 ở trang 5)
Ta có ∆ = 4m − 3.
4
1. Để phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0 ⇔ m ≥ .
3
4
2. Phương trình có nghiệm khi m ≥ .
3
x1 + x2 = 2m + 1(1)
Theo định lý Viet

.
x1 x2 = m2 + 1(2)

2m + 1

 x2 =
3
Theo bài ra x1 = 2x2 , thay vào (1) ta được
.

2
(
2m
+ 1)
x =
1
3
Thay x1 , x2 vào (2) ta được phương trình m2 − 8m + 7 = 0. Suy ra

m = 1(loại)
m = 7(thỏa mãn)

.

Vậy m = 7 thỏa mãn bài toán.

Bài giải 1.1.22. (của Bài tập 1.1.22 ở trang 5)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 2 − m > 0 ⇔ m < 2.
x1 + x2 = 2
Theo định lí Vi-ét ta có

x1 .x2 = m − 1.
Mà 2x1 − x2 = 7 ⇒ x2 = 2x2 − 7, do đó ta thu được x1 = 3, x2 = −1 và m = −2.

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10


1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai

15

m2 + 127m − 128 = 0 ⇔

( thỏa mãn (∗))
m = −128 ( thỏa mãn (∗)).
m=1

Bài giải 1.1.24. (của Bài tập 1.1.24 ở trang 6)
Phương trình x2 + (2m − 1)x + m2 − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ > 0
5
⇔ (2m − 1)2 − 4(m2 − 1) > 0 ⇔ −4m + 5 > 0 ⇔ m < .
4
x1 + x2 = 1 − 2m
5
Với m < , áp dụng định lý Vi-ét, ta được
4
x1 x2 = m2 − 1
Ta có:
P = x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = (1 − 2m)2 − 2(m2 − 1)

= 2m2 − 4m + 2 + 1 = 2(m − 1)2 + 1 ≥ 1.
5
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ m = 1 (thỏa mãn điều kiện m < ).
4
Vậy với m = 1 thì P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải 1.1.25. (của Bài tập 1.1.25 ở trang 6)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 ⇔ m > −1.
x1 + x2 = 2(m − 1)
Theo định lý Vi-ét ta có:
.
x1 x2 = m2 − 3m
T = x12 + x22 − (m − 1)(x1 + x2 ) + m2 − 3m.

= (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 − (m − 1)(x1 + x2 ) + m2 − 3m
= 4(m − 1)2 − 2(m2 − 3m) − 2(m − 1)(m − 1) + m2 − 3m
= m2 + m + 2
1 2 7 7
= m+
+ ≥
2
4 4
1
Dấu ” = ” xảy ra khi m = −
2
1
Vậy khi m = − thì T đạt giá trị nhỏ nhất.
2
Bài giải 1.1.26. (của Bài tập 1.1.26 ở trang 6)
1. Vì a = 1 = 0 Ta có: ∆ = (−2)2 − 4.1.(3 − m) = m − 2
Để phương trình có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ m ≥ 2

2. Theo định lí Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2; x1 .x2 = 3 − m.
Khi đó: A = −x1 2 x2 2 − 3 (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 + 4 = 1 − m2 .

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Bài giải 1.1.23. (của Bài tập 1.1.23 ở trang
 6)
m = 0
(∗).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔
 m < 16
15

2(m − 4)

 x1 + x2 = −
(1)
m
Theo định lí Viète, ta có

 x x = m+7
(2).
1 2
m
−2m + 8
−4m + 16

, x2 =
.
Kết hợp (1) với điều kiện x1 − 2x2 = 0 suy ra x1 =
3m
3m
Thay vào (2) ta được


Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

16

Do m ≥ 2 ⇒ m2 ≥ 4 ⇒ −m2 ≤ −4 ⇔ 1 − m2 ≤ −3.
Suy ra A ≤ −3. Giá trị lớn nhất của A là −3 khi m = 2.

GV. Lê Minh Cường - - 01666658231

Bài giải 1.1.27. (của Bài tập 1.1.27 ở trang 6)
Phương trình (1) : 2x2 − 2mx + m2 − 2 = 0.
a) Thay m = 2 vào phương trình ta có 2x2 − 4x + 2 = 0 có ∆ = 0 > 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép
−b
x=
= 1.
2a
b) Phương trình (1) có hai nghiệm
⇔ ∆ = m2 − 2(m2 − 2) ≥ 0 ⇔ 4 − m2 ≥ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2.

 x1 + x2 = m
2
Theo định lý Viete ta có:

 x1 x2 = m − 2
2
1 2 25
2
2
Ta có: A = |2x1 x2 − x1 − x2 − 4| = |m − 2 − m − 4| = |m − m − 6| = m −
−
2
4
5
1 3
1
Có: −2 ≤ m ≤ 2 ⇒ − ≤ m − ≤ ⇒ 0 ≤ m −
2
2 2
2
25
1 2 25
25
⇒ − ≤ m−
−
≤0⇒A≤ .
4
2
4
4
1
25
khi m = .
Vậy giá trị lớn nhất của A là

4
2

2

≤

25
4

Bài giải 1.1.28. (của Bài tập 1.1.28 ở trang 7)
Xét phương trình x2 − 2x + m + 3 = 0
a) Khi phương trình có nghiệm x = −1 thì (−1)2 − 2(−1) + m + 3 = 0 ⇒ m = −6
−b
Mà x1 + x2 =
= 2 ⇒ nghiệm còn lại là x = 3.
a
b) Ta có: ∆ = (−1)2 − 1(m + 3) = −m − 2
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì ∆ > 0 hay m < −2.
Khi đó, theo Vi-et: x1 + x2 = 2; x1 .x2 = m + 3
Xét x13 + x23 = 8 ⇔ (x1 + x2 )3 − 3x1 .x2 (x1 + x2 ) = 8
⇒ 23 − 3.2(m + 3) = 8 ⇒ m = −3 < −2 (thỏa)
Vậy m = −3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13 + x23 = 8.
Bài giải 1.1.29. (của Bài tập 1.1.29 ở trang 7)
1. Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ −m + 6 < 0 ⇔ m > 6.
2. Ta có x = −2 là nghiệm của phương trình (1) nên

(−2)2 − (m + 5).(−2) − m + 6 = 0 ⇔ m = −20.
Với m = −20 thay vào phương trình (1) ta được
x2 + 15x + 26 = 0 ⇔

x = −2
x = −13.

3. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi
∆ > 0 ⇔ m2 + 14m + 1 > 0
Theo định lí Viète ta có

x1 + x2 = m + 5
x1 x2 = −m + 6.

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

(∗).

Khi đó x12 + x22 = x1 + x2 − 2x1 x2 = m2 + 12m + 13.

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10


1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai

17

Do đó
x12 + x22 = 13 ⇔ m2 + 12m + 13 = 13 ⇔ m2 + 12m = 0 ⇔

m=0
m = −12

(thỏa mãn (*))
(không thỏa mãn (*)).

Bài giải 1.1.30. (của Bài tập 1.1.30 ở trang 7)
m=0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔
m > −1.

6(m − 1)


 x1 + x2 =
m
Khi đó
Theo định lí Viète, ta có

9
(
m
− 3)

 x1 x2 =
.
m
x1 + x2 = x1 x2 ⇔

9(m − 3)
6(m − 1)
=
⇔ m = 7.

m
m

Bài giải 1.1.31. (của Bài tập 1.1.31 ở trang 7)
3
1. Có ∆ = −4m − 3. Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m < − .
4
2. Áp dụng hệ thức vi-ét, ta có

x1 + x2 = 1

.
x1 .x2 = m + 1
Khi đó x12 + x1 x2 + 3x2 = 7 ⇔ x1 (x1 + x2 ) + 3x2 = 7 ⇔ x1 + 3x2 = 7.
x1 + x2 = 1
x1 = −2
Từ đó ta có hệ phương trình
⇔
x1 + 3x2 = 7
x2 = 3
⇒ x1 x2 = −2.3 = m + 1 ⇒ m = −7.
Vậy m = −7 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài giải 1.1.32. (của Bài tập 1.1.32 ở trang 7)
Ta có ∆ = 12 − 4(−m + 2) = 4m − 7 và hệ số a = 1 = 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ
S = x1 + x2 = −1
7
khi ∆ > 0 ⇔ 4m − 7 > 0 ⇔ m > . Theo Định lý Viete, ta có
.
4

P = x1 x2 = −m + 2
Theo yêu cầu bài toán:
x13 + x23 + x12 x22 = 17 ⇔ (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ) + x12 x22 = 17 ⇔ S3 − 3PS + P2 = 17
⇔ (−1)3 − 3(−m + 2)(−1) + (−m + 2)2 = 17
⇔ −1 − 3m + 6 + m2 − 4m + 4 − 17 = 0 ⇔ m2 − 7m − 8 = 0
⇔ m = −1 (loại) hoặc m = 8 (nhận).
Vậy m = 8 thỏa yêu cầu bài toán.

Bài giải 1.1.33. (của Bài tập 1.1.33 ở trang 7)
1 2 3
Ta thấy a.c = −m2 + m − 1 = − m −
− < 0, ∀m.
2
4
Vậy với mọi m phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1 < 0 < x2 (x1 < x2 ).
Từ đó suy ra |x2 | − |x1 | = x2 + x1 = 2.
Theo định lí Vi-et: x1 + x2 = m − 1 nên m − 1 = 2 ⇔ m = 3.

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Vậy m = 0.


Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

18

Vậy m = 3.

GV. Lê Minh Cường - - 01666658231

Bài giải 1.1.34. (của Bài tập 1.1.34 ở trang 7)
Phương trình đã cho: x2 − mx + m − 1 = 0 (có ẩn số x).
a. ∆ = (−m)2 − 4(m − 1) = m2 − 4m + 4 = (m − 2)2 ≥ 0 với mọi m.
Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
b. Theo định lí Vi-ét ta có:

x1 + x2 = m
x1 .x2 = m − 1

.

Ta có:
B=

2x1 x2 + 3
2
2
x1 + x2 + 2 (1 + x1 x2 )

=

2x1 x2 + 3
2

(x1 + x2 ) − 2x1 x2 + 2 (1 + x1 x2 )
2 (m − 1) + 3 2m + 1

2x1 x2 + 3
=
=
= 2
.
2
m2 + 2
m +2
( x1 + x2 ) + 2

B=1⇔

2m + 1
= 1 ⇔ m2 − 2m + 1 = 0 ⇔ (m − 1)2 = 0 ⇔ m = 1.
2
m +2

Vậy với m = 1 thì B = 1.

Bài giải 1.1.35. (của Bài tập 1.1.35 ở trang 7)
∆ = 29 − 12m
a=0
29
Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ⇔
m≤
12
∆≥0
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

x1 + x2 = −5

x1 .x2 = 3m − 1

⇔

x2 = −5 − x1
x1 .x2 = 3m − 1

Mặt khác, theo bài ra ta có:
x13 − x23 + 3x1 x2 = 75
⇔ x13 + (5 + x1 )3 − 3x1 (5 + x1 ) = 75
⇔ x13 + 6x12 + 30x1 + 24 = 0
⇔ (x1 + 1)(x12 + 5x1 + 25) = 0 ⇔ x1 = −1 ⇒ x2 = −4
5
Thay vào hệ thức x1 .x2 = 3m − 1 ⇒ 3m − 1 = 4 ⇔ m =
3
5
Vậy giá trị cần tìm của m là m = .
3

Bài giải 1.1.36. (của Bài tập 1.1.36 ở trang 8)
Xét phương trình: x2 − (2m − 1)x + m2 − 1 = 0

(1) (x là ẩn số)

1. Ta tính được ∆ = (2m − 1)2 − 4(m2 − 1) = −4m + 5. Do a = 1 = 0, phương trình (1) có 2 nghiệm
5
phân biệt khi và chỉ khi ∆ > 0 ⇔ −4m + 5 > 0 ⇔ m <
(∗).
4
2. Với

 điều kiện (∗), và theo Định lý Viète phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
b

 x1 + x2 = − = 2m − 1
a

 x1 x2 = c = m2 − 1.
a
Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10


1.1 Các bài toán về phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai

19

Kết hợp với giả thiết, ta có

(x1 − x2 )2 = x1 − 3x2 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = x1 − 3x2
⇔ x1 − 3x2 = (2m − 1)2 − 4(m2 − 1) = −4m + 5.
x1 + x2 = 2m − 1
x1 − 3x2 = −4m + 5

⇔

Mặt khác
m + 1 3(m − 1)
.
= m2 − 1 ⇔ m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1

2
2

x1 x2 = m2 − 1 ⇔

(nhận).

Vậy có 2 giá trị m = ±1 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài giải 1.1.37. (của Bài tập 1.1.37 ở trang 8)
Phương trình (m − 1)x2 − 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 khi và chỉ khi

2
m > 2
∆ >0
3m − 2 > 0
m − (m − 1)(m − 2) > 0
2
3 ⇔m>
⇔
⇔
⇔

3
m−1 = 0
m=1
m=1
m=1

2m


 x1 + x2 =
m−1
Theo định lí Vi-ét ta có:

 x1 .x2 = m + 2
m−1
x1 x2 5
x12 + x22 5
(x1 + x2 )2 − 2x1 x2 5
Mà + + = 0 ⇔
+ =0⇔
+ =0
x2 x1 2
x1 x2
2
x1 x2
2
2m 2
m+2
2m2 − 2m + 4
4m2
−2·
−2·
5
m−1
m−1 5
(m − 1)2
(m − 1)2
⇔
+ =0⇔

+ =0
m+2
m+2
2
2
m−1
m−1
2m2 − 2m + 4
4m2 − 2m2 − 2m + 4
5
5
(2m2 − 2m + 4) 5
(m − 1)2
(m − 1)2
+ =0⇔
+ =0⇔
+ =0
⇔
m+2
m+2
2
2
(m − 1)(m + 2) 2
m−1
m−1
√

−1 + 73
 m1 =
(4m2 − 4m + 8) + 5(m2 + m − 2)

9m2 + m − 2
18√ .
⇔
=0⇔
=0⇔

2(m − 1)(m + 2)
2(m − 1)(m + 2)
−1 − 73
m2 =
18
Bài giải 1.1.38. (của Bài tập 1.1.38 ở trang 8)
1. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi

m = 1
m−1 = 0
7
∆ = (m − 2)2 − (m − 1)(m + 3) > 0  m < .
6
2. Theo định lí Viète, ta có

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10


m−2
1

= 1+
 x1 + x2 =
m−1

m−1

 x1 .x2 = m + 3 = 1 + 4
m−1
m−1

(∗)
(∗∗).

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

GV. Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231

Khi đó,


m+1

 x1 =
x1 + x2 = 2m − 1
2
.
⇔

3
(
4x2 = 6(m − 1)
 x = m − 1)
2
2

Chương 1. CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU

20
Từ (∗) suy ra

1
= x1 + x2 − 1. Do đó
m−1

GV. Lê Minh Cường - - 01666658231

x1 .x2 = 1 + 4(x1 + x2 − 1) ⇔ x1 .x2 − 4(x1 + x2 ) + 3 = 0.
Bài giải 1.1.39. (của Bài tập 1.1.39 ở trang 9)
Đặt t = x2 ≥ 0 phương trình thành t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔ t = 1,t = 4.
Với t = 1 thì x2 = 1 ⇔ x = ±1.
Với t = 4 thì x2 = 4 ⇔ x = ±2.
Bài giải 1.1.40. (của Bài tập 1.1.40 ở trang 9)
Đặt t = x2 (t ≥ 0). Phương trình đã cho trở thành:
t 2 + 2(m − 3)t + 3m + 9 = 0.

(∗)

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Điều này đồng nghĩa với:





2
 m>9


∆ = (m − 3) − 3m − 9 > 0
 m<0
⇔ −3 < m < 0.
S = t1 + t2 = −2(m − 3) > 0 ⇔


m
<
3



P = t1 .t2 = 3m + 9 > 0

m > −3
Vậy với −3 < m < 0 thì phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt.

Bài giải 1.1.41. (của Bài tập 1.1.41 ở trang 9)
Đặt t = x2 ≥ 0 ta được phương trình t 2 − (3m + 2)t + 3m + 1 = 0 ⇔ t = 1,t = 3m + 1.
Với t = 1 thì x2 = 1 ⇔ x = ±1.
Với t = 3m + 1 thì x2 = 3m + 1.
2
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 khi và chỉ
 khi phương trình x = 3m + 1 có hai
1
−

0 < 3m + 1 < 4
3
nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2 ⇔
⇔
.

3m + 1 = 1
m=0

Thầy Lê Minh Cường - 01666658231

Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10