Bài giảng Phương pháp tính - Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân

Chương 6
GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN


I. GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP 1 :
Xét bài toán Cauchy : tìm nghiệm y=y(x) của
phương trình vi phân với giá trị ban đầu y0
y’ = f(x, y), ∀x ∈ [a,b]
y(a) = y0
Các phương pháp giải gần đúng :
➢ Công thức Euler
➢ Công thức Euler cải tiến
➢ Công thức Runge-Kutta


1. Công thức Euler :
Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy ta
chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với
bước h = (b-a)/n
xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b
Nghiệm gần đúng của bài toán là dãy {yk} gồm các
giá trị gần đúng của hàm tại xk
Ta có yk ≈ y(xk) , k =0, n


Công thức Euler :

yk+1 = yk + h f(xk, yk) , k = 0, n-1

Ví dụ : Dùng công thức Euler tìm nghiệm gần
đúng của bài toán Cauchy
y’ = y – x2 +1, 0≤x≤1
y(0) = 0.5
với n = 5
Tính sai số biết nghiệm chính xác là :
y(x) = (x+1)2 – 0.5ex

giải
ta có h = 0.2
x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1


Công thức Euler
y0 = 0.5
yk+1 = yk + 0.2 (yk - xk2 +1)
k

xk

yk

y(xk)

|y(xk) - yk |

0

0

0.5

0.5

0

1

0.2

0.8

0.8292986

0.0292986

2

0.4

1.152

1.2140877

0.0620877

3

0.6

1.5504

1.6489406

0.0985406

4

0.8

1.98848

2.1272295

0.1387495

5

1

2.458176

2.6408591

0.1826831


* Nhận xét : công thức Euler đơn gian, nhưng sai số
còn lớn nên ít được sử dụng

2. Công thức Euler cải tiến :

yk+1 = yk + (k1+k2)/2 k = 0,1, ..., n-1
k1 = hf(xk, yk),
k2 = hf(xk+h, yk + k1)


Ví dụ :
Làm lại ví dụ trước nhưng dùng công thức Euler cải
tiến

giải
ta có h = 0.2
x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1
Công thức Euler cải tiến
yo = 0.5
yk+1 = yk + (k1 +k2) /2
k1= 0.2(yk - xk2 +1)
k2 = 0.2(yk + k1 – (xk+0.2)2 +1)


k

xk

yk

y(xk)

|y(xk) - yk |

0

0

0.5

0.5

0

1

0.2

0.826

0.8292986

0.0033

2

0.4

1.20692

1.2140877

0.0072

3

0.6

1.6372424

1.6489406

0.0117

4

0.8

2.1102357

2.1272295

0.0170

5

1

2.6176876

2.6408591

0.0232


3. Công thức Runge Kutta bậc 4 :


* Chú ý : Lập công thức Runge-Kutta bằng
máy tính casio không được vì công thức quá
dài, không đủ bộ nhớ, ta phải tính trực tiếp


Ví dụ : Xét bài toán Cauchy
y’ = 2.7xy + cos (x+2.7y), 1.2≤x
y(1.2) = 5.4
Dùng công thức Runge-Kutta tính gần đúng y(1.5)
với bước h = 0.3
giải
Công thức Runge-Kutta bậc 4
xo = 1.2, yo = 5.4, y1=y(1.5)
y1 = y0 + (K1+ 2K2+ 2K3+ K4) /6


Bấm máy (lập hàm dùng phím calc) ta được
K1 = 4.949578057 K2 = 8.367054617
K3 = 10.33000627 K4 = 19.41193853
y(1.5) = 15.69260639 ≈ 15.6926


II. GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PTVP :
Xét hệ phương trình vi phân cấp 1

y’1 = f1(x, y1, y2, ..., ym)
y’2 = f2(x, y1, y2, ..., ym)
...
y’m = fm(x, y1, y2, ..., ym)
với a≤ x ≤ b và thỏa điều kiện ban đầu
y1(a) = α1, y2(a) = α2, .... , ym(a) = αm
Nghiệm y = (y1, y2, …, ym)


Để tìm nghiệm gần đúng, ta chia đoạn [a,b] thành n
đoạn nhỏ bằng nhau với bước h = (b-a)/n và các
điểm chia
xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b
Nghiệm gần đúng là dãy { yk=(y1 k, y2 k, …, ym k)}
với yi k ≈ yi(xk), i=1,m
Công thức Euler :
yi k+1 = yi k + h fi(xk, y1 k, … , ym k)
∀i=1..m; k = 0.. n-1


Công thức Euler cải tiến :
yi k+1 = yi k + (K1 i + K2 i) / 2
K1 i = h fi(xk, y1 k, … , ym k)
K2 i = h fi(xk+h, y1 k+K1 1, … , ym k+K1 m)
∀i=1,m; k = 0, n-1
Công thức Runge-Kutta bậc 4 :
yi k+1 = yi k + (K1 i+2K2 i+2K3 i+K4 i) / 6
K1 i = h fi(xk, y1 k, … , ym k)
K2 i = h fi(xk+h/2, y1 k+K11/2, … , ym k+K1 m/2)
K3 i = h fi(xk+h/2, y1 k+K21/2, … , ym k+K2 m/2)

K4 i = h fi(xk+h, y1 k+K31, … , ym k+K3 m)
∀i=1,m; k = 0, n-1


Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần đúng hệ
pt vi phân
y’1 = 3y1 + 2y2 – (2x2 +1)e2x
y’2 = 4y1 + y2 + (x2 +2x –4) e2x
với 0 ≤x≤0.5
điều kiện ban đầu y1(0)=y2(0)=1
bước h = 0.1


Công thức Euler
y1 0 = 1
y1 k+1 = y1 k + h (3y1k + 2y2 k – (2xk2 +1)e2xk)
y2 0 = 1
y2 k+1 = y2 k + h (4y1k + y2 k + (xk2 +2xk –4) e2xk)
xk

y1k

y2k

0

1

1

0.1

1.4

1.1

0.2

1.9154

1.3071

0.3

2.5903

1.6729

0.4

3.4870

2.2732

0.5

4.6940

3.2187

III. GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP CAO:
Xét phương trình vi phân cấp m
y(m) = f(x, y, y’, ... , y(m-1)), a≤x≤b
với điều kiện ban đầu
y(a) = α1, y’(a) = α2, .... , y(m-1)(a) = αm


Đặt y1 = y, y2 = y’, y3 = y”, ... , ym = y(m-1)
Ta chuyển phương trình vi phân bậc m về hệ m
phương trình vi phân cấp 1
y’1 = y2
y’2 = y3
...
y’m-1 = ym
y’m = f(x, y1, y2, ... , ym)
với điều kiện ban đầu
y1(a) = α1, y2(a) = α2, .... , ym(a) = αm,


Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần đúng pt
vi phân cấp 2 (tính xấp xỉ y và y’)
y “ – 2 y’ + 2y = sinx e2x , 0≤x≤0.5
điều kiện ban đầu
y(0) = -0.4, y’(0) = -0.6
với bước h = 0.1


đặt y1 = y, y2 = y’ chuyển pt về hệ
y’1 = y2

y’2 = sinx e2x– 2 y1 + 2y2
điều kiện y1(0) = -0.4, y2(0) = -0.6
Công thức Euler
y1 0 = -0.4
y1 k+1 = y1 k + 0.1 y2k
y2 0 = -0.6
y2 k+1 = y2 k + 0.1 (sinxke2xk - 2y1k +2y2 k)


xk

y1 k=y

y2 k=y’

0

-0.4

-0.6

0.1

-0.46

-0.64

0.2

-0.524

-0.6638

0.3

-0.5904

-0.6621

0.4

-0.6566

-0.6226

0.5

-0.7189

-0.5292


Ví dụ : Xét bài toán Cauchy
x“(t) = (Mt+5) x2(t) – 2Mx’(t)+1.2t + M, 1≤t
điều kiện ban đầu
x(1) = 1.3M, x’(1) = 1.8M
Dùng công thức Euler cải tiến, xấp xỉ giá trị của
hàm x(t) và x’(t) tại điểm t = 1.2 với bước h = 0.2
và M = 2.7
giải

đặt y1 = x, y2 = x’ chuyển pt về hệ
y’1 = y2
y’2 = (Mt+5)y12-2My2+1.2t+M
điều kiện y1(1) = 1.3M, y2(1) = 1.8M