Một số khái niệm Toán học sơ cấp Luật ba

Một số khái niệm Toán học sơ cấp
Luật ba
Trong Toán học, luật ba (rule of three) là phương pháp tìm hạng tử thứ tư của một tỉ lệ
toán học khi ba hạng tử đầu đã biết, nghĩa là hạng tử thứ nhất chia hạng tử thứ hai đối với
hạng tử thứ ba chia hạng tử thứ tư. Để tìm hạng tử thứ tư, nhân hạng tử thứ hai và thứ ba,
rồi chia tích của chúng cho hạng tử thứ nhất.
Sử dụng kí hiệu toán học, với a, b, c và c là ba hạng tử đã biết, và x là hạng tử thứ tư chưa
biết cần tìm, và bài toán có thể biểu diễn như sau:

Theo như luật ba,

Lấy ví dụ, giả sử một chiếc xe, chạy với vận tốc không đổi, trong 3 giờ di được 90 km.
Chiếc xe có thể đi được bao nhiêu km trong 7 giờ nếu nó giữ nguyên vận tốc? Thay các
số bởi các chữ và sử dụng luật ba,
km.
Luật ba dựa trên nguyên lí, trong một tỉ số, tích của hạng tử thứ nhất và thứ tư bằng tích
của hạng tử thứ hai và thứ ba. Hoặc
thì
Phép cộng
Phép toán 3 + 2 = 5 bằng các quả táo
Phép cộng là một quy tắc toán học (toán tử) tác động tới hai hay nhiều đối tượng toán
học (toán hạng). Kết quả là tạo ra một đối tượng toán học mới. Ký hiệu của phép cộng là
"+". Kết quả này được xác định dựa trên các tiên đề sau gọi là những tiên đề cơ bản của
phép cộng:
•
Tiên đề về tính chất giao hoán: a + b = b + a (với a,b là các toán hạng).
•
Tiên đề về tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c ) (với a,b,c là các toán hạng).
•
Tiên đề về tính chất trung hoà: a + 0 = 0 + a = a
•

Tiên đề về tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
( a + b ) * c = ac + bc
•
Tiên đề về tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng:
( a + b ) / c = a / c + b / c
Khoảng hơn 500 năm trước, nhà toán học Weidemei do
muốn tiện lợi trong tính toán, đã thêm 1 nét sổ thẳng trên đường gạch ngang, ra dấu " +"
và được dùng rộng rãi trên thế giới.

Số nguyên
Trong toán học, số nguyên bao gồm các số tự nhiên dương (1, 2, 3, …), các số đối của
chúng (−1, −2, −3, ...) và
số không. Phát biểu một cách hình thức như sau: các số nguyên
là miền xác định nguyên duy nhất mà các phần tử dương của nó được sắp thứ tự tốt (well-
ordered), và các thứ tự đó được bảo toàn dưới phép cộng. Cũng như số tự nhiên, các số
nguyên hợp thành một tập vô hạn đếm được (Xem thêm: Phép chứng minh tập hợp số
nguyên là đếm được). Trong toán học,
tập hợp gồm tất cả các số nguyên thường được ký
hiệu bằng chữ Z in đậm, (hoặc
), đó là viết tắt của Zahlen (có nghĩa "số" trong tiếng
Đức).
Các tập hợp số
N: Tập hợp số tự nhiên
Z: Tập hợp số nguyên
Q: Tập hợp số hữu tỉ
R: Tập hợp số thực
I = R\Q: Tập hợp số vô tỉ

Tập hợp số thực
Phép tính

Hầu hết các phép toán số học đều áp dụng được với các số nguyên: cộng, trừ, nhân, chia,
khai căn, lũy thừa...
Số thực
Trong toán học, các số thực có thể được mô tả một cách không chính thức theo nhiều
cách. Số thực bao gồm cả
số dương, số 0 và số âm, số hữu tỉ, chẳng hạn 42 và -23/129, và
số vô tỉ, chẳng hạn số pi và căn bậc hai của 2; số thực có thể được xem là các điểm nằm
trên một trục số dài vô hạn.
Như vậy, số thực là số được định nghĩa từ các thành phần của chính nó, trong đó tập hợp
số thực được coi như là hợp của tập hợp các số vô tỉ với tập hợp số hữu tỉ. Số thực có thể
là số đại số hoặc số siêu việt. Tập hợp số thực được đặt làm đối trọng với tập hợp số
phức.
Tính chất
•
Tập hợp số thực là tập hợp vô hạn, không đếm được
Các phép toán
•
Phép cộng: Trên R, phép cộng được xây dựng bởi ánh xạ sau:
Rx R R: Phép cộng là đóng trên Q
(a,b)
a + b
Sao cho:
a R: a + 0 = a.
a, b R: a + b = (a + b).
Có thể thấy phép cộng xác định như trên là tồn tại và duy nhất.
Ngoài ra, ta còn có thể chứng minh được rằng:
1. a, b
R: a + b = b + a.
2. a, b, c R: (a + b) + c = a + (b + c).
3. a, b, c, R: a + c = b + c a =