Phương pháp giải nhanh 999 bài toán chọn lọc: Phần 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (17.96 MB, 253 trang )
Hướng dân giải nhanhf gọn
BÀI TOÁN CHỌN LỌC
luyện thi đại học
>/ Các dạng toán căn bản & toán khó
theo chủ đề trọng tâm.
•/
Nâng cao, mở rộng kiến thức và các phưdng pháp
giải đúng, giải gọn, giải nhanh các bài toán thi
trong các kì thi tuyển sinh 0H-CO.
HòNìCh
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HQC QUOC GIA HÀ NỘI
T h .s L Í:
iio
A
n ii
p h ò
N h à g iá o ưu tú
Hướng dân giải nhanh, gọn
BÀI TOÁN CHỌN LỌC
LUYỆN THI DẠI HỌC
•/
Các dạng toán căn bản & toán khó
theo chủ để trọng tâm.'
Nâng cao, mở rộng kiên thức và các phương pháp
giải đúng, giải gọn, giải nhanh cấc bài toán thi
trong các kì thi tuyển sinh ĐH-CĐ.
NHÀ XUÃT BẢN ĐẬIÌỈ8C QUỐC GIA HÀ NỘI
f":í' ^
__
4
NHÀ XUÂ'lP«BẲN EÍẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
l
l i^Hấng Chuôi - Hai Bà Trưng - Hà Nội
ĐÍện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896;
' Hấnh chính: (04) 39711899; Tổng biên tạp; (04) 39714897
/
Faỉ: (04) 39714899
I
/
Ị
^
***
/
k
C h ịu tr á c h n h iệ m x u ấ t b ả n :
Giám đốọí' Tổng biên tập
TS. PHẠM THỊ TRÂM
Biên tập nội dung
LAN HƯƠNG
Sửa bài
LÊ THỊ SEN
Chế bản
CÔNG TI AN PHA VN
Trình bày bia
SƠN KỲ
Đối tác liên kết xuất bản
CÔNG TI AN PHA VN
A
- ___________SÁ C H LÍÊN KẾT
5»5S i@ |S §gj^5S ^$kflì||^í^|S Ị|8^6Ị^Ị5S $5lifl|j|^^^S ^^% 5S 65S 555S «»«$S «ai!|8^$® 56^66566555«
HƯỚNG DẪN GIÀI NHANH, GỌN 999 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LUYỆN THI ĐẠI HỌC
MâsỐ:lL-165ĐH2014
In 2.000 cuốn, khổ 16 X 24 cm tại Công ti TNHH in Bao bì Hưng Phú
Số xuất bản: 536-2014/CXB/ 53-109/ĐHQGHN
Quyết định xuất bản số: 169LK-TN/Q Đ-^B ĐHQGHN
Ụa xong và nộp lưu chiểu quý II năm 2014.
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm mục đích giúp các bạn học sinh lóp 12 có hệ thông các bài toán
đầy đủ của lớp 10, lớp 11, lớp 12; các bài toán căn bản và toán khó theo câ'u
trúc đề, theo từng nhóm bài toán để thí sinh tiếp cận, ôn tập hệ thông cách
giải đổng thời nâng cao trình độ; mở rộng kiến thức và phương pháp giải
Toán, rèn luyện kỹ năng làm bài và giải đúng, giải gọn, giải nhanh các bài
toán thi trong kỳ tuyển sinh Đại học sắp đến, chúrlg tôi biên soạn cuô'n.
HƯỚNG DẪN GIẢI NHANH, GỌN 999 BÀI TOÁN
CHỌN LỌC LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Cuổh sách này có 4 phần:
Phần 1 là TOÁN GIẢI TÍCH với các nội dung là khảo sát hàm sô', tích
phân, chứng minh bâ't đẳng thức và tìm giá trị lớn nhâ't, nhỏ nhâ't.
Phần 2 là TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ HÌNH HỌC với các nội dung là giải
phương trìrứi lương giác, tọa độ phẳng, tọa độ không gian và hình học
không gian.
Phần 3 là TOÁN ĐẠI số với các nội dung là sô' phức, tổ hợp và xác
suâ't, giải phương trình, bâ't phương trình, hệ phương trình đại sô' và mũ,
logarit.
Phần 4 là CÁC ĐỀ ÔN THI TổNG HỢP theo cấu trúc thi mới gổm 15 đề
trong đó có 6 đề kèm hướng dẫn giải hoàn chỉnh và 9 đề tự giải có đáp sô'
để kiểm tra kết quả.
Các bạn hãy thử thách với 820 bài toán theo chủ đề và 179 bài toán trong
các đề tổng hợp!
Dù đã cô' gắng kiểm tra trong quá trình biên tập song cũng không tránh
khỏi những sai sót mà tác giả chưa thây hết, râ't mong đón nhận các góp ý
của quý bạn đọc, các em học sinh để lần in sau cuốh sách được hoàn thiện
hơn.
Mọi ý kiên đóng góp xin liên hệ:
- Trung tâm sách giáo dục Alpha
225C Nguyễn Tri Phương, p. 9, Q. 5, Tp. Hổ Chí Minh.
- Công TNHH An Pha VN
50 Nguyễn Văn Săng, Quận Tân Phú, Tp. Hồ Chí Minh.
ĐT: 08.62676463. 38547464.
Email:
Xin trân trọng cảm ơn !
Tác giả
MỤC LỤC
PHÀN 1: TOÁN GIẢI TÍCH
§1. KHẢO SÁT HÀM SÓ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................... 05
§2. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ...................................................... 41
§3. CHỨNG MINH BÁT ĐẲNG THỨC ............................................ 70
§4. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHÁT VÀ NHỎ N H Á T..............................102
PHẦN 2: TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ HÌNH HỌC
§ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC................................................ 139
§2. TỌA Đ ộ PHẲNG.......................................................................... 166
§3. TỌA Đ ộ KHÔNG GIAN ..............................................................200
§4. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN .........................................................234
PHÀN 3: TOÁN ĐẠI SÓ
§1. SÓ PHỨC.......................................................................................265
§2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUÁT..............................................................289
§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI s ố ...........................................................314
§4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.........................................347
PHÀN 4: CÁC ĐÈ ÔN THI TỐNG HỢP ............................ 374
-999BT-
PHÀN 1: TOÁN GIÀI TÍCH
§1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Bài 1.1: Tìm các giá trị của tham số a để hàm số y = f(x) = ax^ - 3x" + 3x + 2
đồng biến trên R.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R.
f'(x) = 3ax" - 6x + 3.
Xét a = 0 thì f ’(x) = - 6x + 3 có đổi dấu: loại
Xét a 0, vì f không phải là hàm hằng (y' = 0 tối đa 2 điểm) nên điều
kiện hàm số đồng biến trên R là f'(x) > 0, Vx
[ a >0
í a >0
í a >0
<=><
<=><^
<=>-^
< » a > l.
' [a ' <0
[9 -9 a < 0
Ịa> l
Vậy a > 1.
Bài 1.2: Tìm m để hàm số y =
X+ m
đồng biến trên mỗi
khoảng xác định:
Hướng dẫn giải
D = R \{-m }.
^
.
,
Ta có: y =
(x + m ) ( 3 m - l ) - [ ( 3 m - l ) x - m ^ + ml
4m ^-2m
(x + m)^
(x + m)^
i------------ - = --------- —
Hàm số đồng biến trên mồi khoảng xác định
1
2
2
<=>4m —2m > 0 <4> m < 0 hoặc m > ^ .
Vậy m < 0 hoặc m > —.
2
Bài 1.3: Tìm a để hàm số:y = f(x) = x^ - ax^ + X + 7 nghịch biến trên
khoảng ( 1; 2).
Hưóng dẫn giải
Tập xác định D = R.
f'(x) = 3x^-2ax + 1
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)
khi và chỉ khi y' < 0 với mọi X e (1; 2)
íf(l) < 0
Í4 -2 a < 0
13
[f(2 )< 0
13
Vậy a > —
4 .
-999BT-
[ l3 - 4 a < 0
4
Bài 1.4: Tìm m để hàm số y = + 3x‘ + mx + m chỉ nghịch biến trên một
đoạn có độ dài bằng 3.
Hướng dẫn giải
D = R, y' = 3x^ + 6x + m, A' = 9 - 3m
Xét A' < 0 thì y' > 0, Vx: Hàm luôn đồng biến (loại)
Xét A' > 0 <=> m < 0 thì y' = 0 có 2 nghiệm X|, X2 nên
rn
X| + X2 = -2, X1X2 = —
BBT:
—
00
+00
X?
0 - 0
+
Theo đề bài: X2 - Xi = 3 <=> (X2 - X|)^ = 9 Cí> x^ +X2 - 2X|X2 =9
2
4
15
<=>(X2 + Xi) - 4 xi X2 = 9<=> 4 - —m = 9<=> m = - — (thoả).
3
4
Vậy m = - — .
4
Bài 1.5: Cho đồ thị của hàm số: y = (3a^ - l)x^ - (b^ + l)x^ + 3c^x + 4d có
hai điểm cực trị là (1; -7 ), (2; - 8). Tính tổng M = a^ + b^+ c'*+ d^.
Hướng dẫn giải
Đặt A = 3a^ - 1, B = -(b^ + 1), c = 3c^, D - 4d, thì hàm số đã cho là
y = Ax^ + Bx^ + Cx + D.
1 có: y' = 3Ax“ + 2Bx + c
3A + 2B + C = 0
A=2
y'(i) = o
y'(2)
,
=0
12A + 4B + C
^ = 0.
B = -9
Ta có; <1
y(l) = -7
A + B + C + D = -7
c = 12
8A + 4B + 2C +D = -8
y(2) = -8
D = -12
Nên được a = ± l,b = 2, c = +2, d = -3.
Vậy M = a^ + h^+ cV d = 1 + 8 + 16 + 243 = 268.
_ (x - 1)^ + a + 1
Bài 1.6: Cho hàm số y =
. Tìm a để đồ thị có 3 cực trị và
chứng minh khi đó 3 cực trị này thuộc một parabol cổ định.
Hướng dẫn giải
T’
_ (x -l)^ + a + l
o
Ta có' y =
-------------- = X 2- 3x
+ 3 + —, X ^ 0.rv
y' = 2 x - 3 =0
2x^ -3x^ - a
2x^ - 3x^ - a = 0, X;>t0 <=>a = 2x^ - 3x^, X ^ 0.
-999BT-
Bằng cách xét hàm số g(x) = 2x^ - 3x^, X 0 và lập BBT thì điều kiện hàm
số cho có 3 cực trị khi g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 0 là -1 < a < 0.
Từ tọa độ các điểm cực trị suy ra các điểm cực trị này nằm trên (P):
y = 3x^ - 6x + 3 cố định.
Bài 1.7: Cho (Cm): y = x^ + (m - 1)x^ - (m + 3)x - 1. Chứng minh rằng với
mọi m, hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phưoTig trình đường thang đi
qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị.
Hướng dẫn giải
Ta có y' = 3x“ + 2(m - l)x - (m + 3).
(
1
39
Vì A'= (m-1)^ + 3(m + 3) = m^ + m + 10= m + — + — >0
I
2j
4
Nên PT luôn có 2 nghiệm phân biệt suy ra với mọi m hàm số có cực đại,
cực tiểu.
Thực hiện phép chia ỵ cho y' ta có:
y. = x^ + ( m - l ) x - t (m
m + 3)x
3 t Y-- I
/
( X m -1 ^
2(m -l)^ 2(m + 3)
m + 2m - 12
+'
+
X+ •
=y
u
9 j \
9
Do XCĐ và XCT là nghiệm của phương trình y' = 0 nên ta có:
2(m - 1)^ 2(m + 3)
+ 2m - 12
ycĐ ■
9
3
2(m -l)^ 2(m + 3)ì
3)
m ^+ 2m -12
------- ---------------------------------------9
3
9
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
m ^+ 2m------12 .
y =_ —2(m - 1)^------2(m
i x++3)^
------------^
^
9
3
9
ycT =
J
------- ^
J
. ,.
í
x"
1
,
i
X
X
Bài 1.8: Cho hàm sô y = — 3x - —. Chứng minh răng hàm sô có ba điêm
2
x
cực trị phân biệt A, B, c và tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
x^ -3x^ +1
Ta có; y' = X - 3 +
,X
0
y' = 0 » x ^ - 3 x ^ + I = 0
Đặt f(x) = x^ - 3x‘ + 1 thl f(-l) = -3, f(0)= 1, f(l) = - l,f (3 ) = 1 nên theo
tính chât hàm liên tục, phương trình y' = 0 có 3 nghiệm Xa, xb , xc thỏa
mãn điêu kiện -1 < Xa < 0 < xb < 1 < xc < 3. Từ đó suy ra đpcm.
Ta có: Xa + xb + Xc = 3,XaXb + xbXc + XcXa = 0 và xaXbXc = 1.
27
Từ đó tính được diện tích tam giác ABC là s = — .
-999BT-
Bài 1.9: Cho hàm số: y = —3mx^ + (m^ —m) X + 4. Tìm các giá trị của m
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng X = 1.
Hướng dẫn giải
Ta có y’ = 3x^ - 6mx + m^ - m. (1)
Hàm số có CĐ, CT <=> y’ = 0 có hai nghiệm X|, X2 phân biệt
[m > 0
<=í> A’ = 9m^ - 3(m^ - m) > 0 <íí> 2m^ + m > p
m < --
Khi đó CĐ, CT nằm về hai phía của đường thẳng X = 1
Xi < 1 < X2
<=> Xi - 1 < 0 < X2 - 1 <=> (Xi -1) (x - 1) < 0
X1X2 - (xi + X2 ) + 1 < 0 «í>
2m + 1 < 0
3
_
7 + n/ 37 , .
m -7m + 3 < 0 C:> ---- -— < m < ---- -— (chọn).
2
2
Bài 1.10: Cho hàm số: y = x^ - 6x^ + 3mx - m + 2, với m là tham số thực.
Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu và
khoảng cách giữa chúng bằng
.
Hướng dẫn giải
Ta có y' = 3x^ - 12x + 3m
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chi khi phương trình y' = 0
có hai nghiệm phân biệt <I3>A' = 36 - 9m > 0 <=> m < 4
Gọi các điểm cực trị là A(xi; yi). B(X2; y2), theo định lí Viet
|x , + X 2 =4
[X|X2 = m
Ta có yi= (2m - 8)xi + m + 2, y2 = (2m - 8)X2 + m + 2
AB =
-X 2)^ +(2m-8)^(x2 -x^)^
= yj(l + ( 2 m - 8 ) ^ [ ( X ; + X 2 ^ - 4 Xj X2]
= V(4m^ - 3 2 m + 6 5 ) ( 1 6 - 4 m )
nên AB =
o (4m^ - 32m + 65)(16 - 4m) = 1040
» 4m^ - 48m^ +193m = 0 <=> m(4m^ - 48m + 193) = 0
m = 0 (thỏa mãn). Vậy m = 0.
2
Bài 1.11: Cho hàm số y = ^
—- trong đó p
X +1
0, p^ + q‘ = 1. Tìm tất cả
các giá trị p, q sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị là AB = s/ĩõ .
8
-999BT-
Hưóìig dẫn giải
(2x + p)(x^+l)-2x(x'*+px + q) -px^ - 2(q - l)x + p
Điều kiện để đồ thị có hai điểm cực trị X|, X2 là phưcmg trình sau có hai
nghiệm phân biệt: px^ + 2(q - l)x
= 0.
A' > 0, p 0 Cí> (q - 1)^ + p^ > 0: đúng vì p 0.
Khi đó X, +X2 = ---- ------,Xj.X2 = - l nên
AB^ = (x,- X 2)^ +
2xj 2X2
Do đó AB = 10 =((q-l)^+ l-q^)(l + —^ )
^
’ 1-q
<=> q^ + 4q^ - 5q = 0 <=> q(q^ + 4q - 5) = 0
Chọn nghiệm q = 0 nên p = ± 1. Vậy p = ± 1, q = 0.
Bài 1.12: Cho hàm số: y = —x'’ - (3m + l)x^ + 2 (m + l), với m là tham số.
4
Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có
trọng tâm là gôc tọa độ.
Hướng dẫn giải
Ta có y’ = x ^ -2 (3 m + l)x = x[x - 2 (3 m + 1)]
y’ = 0
X = 0 và x^ = 2(3m + 1)
Hàm sổ đã cho có 3 điểm cực trị <=>3m + 1 > Ot Cí> m > - —
3
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là: A(0; 2m + 2),
B(-V6m + 2 ; -9m^ - 4m + 1) và C( Vom + 2 ; -9m^ -4 m + 1)
Vì hàm số chằn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, c đổi
xứng nhau qua Oy.
o
là trọng tâm của tam giác ABC » yA + ya + yc = 0
<=> 2m + 2 + 2(-9m^ - 4m + 1) = 0
2
m =- —
3
<» 9m + 3m - 2 = 0 <=>
1
m=—
3
Theo điều kiện thì chọn giá trị m = —.
-999BT- ■
Bài 1.13: Cho hàm số: y = x"* - mx^ + 2m - 1. Tìm m để đồ thị hàm số đã
cho có 3 điểm cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4
đỉnh của một hình thoi.
Hướng dẫn giải
Ta có y' = 4x^ - 2mx, y' = 0
4x^ - 2mx = 0 Cí> x = 0
2x^ m
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chì khi phương trình y' = 0 có 3
nghiệm phân biệt <=> m > 0.
Khi đó các điểm cực trị:
\
/
m m
1
m m^
+ 2m - l ,B (0;2m -l),C
V2
4
2
4
Vì tam giác ABC cân tại B, AC song song Ox nên o , A, B, c là 4 đĩnh
hình thoi khi và chỉ khi OABC là hình thoi
<=> o và B đối xứng nhau qua AC <=>
^
2
==
2m -1
.
2
^
—- = + 2m-l<=>m^ —4m + 2 = 0
ì
4
m = 2 ± yÍ2 (thỏa mãn). Vậy m = 2 ± -v/2 .
Bài 1.14: Cho hàm số; y = x'* - 2 (m + l)x^ + m + 1 (1), với m là tham số
thực. Xác định m để hàm sổ (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm
CỊĨC trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại
tiếp bằng 1.
Hướng dẫn giải
Ta có y' = 4x^ - 4 (m + 1)x = 4x (x^ -m - 1)
A
<=>
y' = 0 »
í ’^2" °
x = m + 11
Điều kiện hàm số có ba điểm cực trị: m + l > 0 < = > m > - l .
Tọa độ các điểm cực trị là:
A(0; m + 1); B(-Vm +1 ; - m^ - m), C( Vm + 1 , - m ^- m)
Vậy A ABC là tam giác cân tại A.
Gọi I là trung điểm BD: I (0;- m^ - m)
AI = (m+ 1)^ BC = 2Vm + l , AB = ^{m + ]) + ịm + ]ý
Diện tích
S abc
= —AI.BC = (m + 1)‘ Vm + 1
„
_ AB.BCAC _[(m + l) + (m + l)'’]2Vm + l
S*BC "
----------4
10
-999BT-
<=> m(m +3m + 1) = 0
_<=> m =
_ n0; m -= ----3 +----V5 hoặc
. . m=
_ ----3-v/5
----- .
2
2
Đối chiếu với điều kiện thì m = 0; m = — ----- là giá trị cần tìm.
Bài 1.15: Cho hàm số: y = - 3mx^ + (3m^ - 3)x + m^ + 1(1). Định m để
đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cách đều trục Ox.
Hướng dẫn giải
Ta có: y’ = - 3x^ - 6mx + 3m —3 = - 3(x^ - 2mx + m —1)
y' = 0 <=> x^ - 2mx + m^ - 1 =0
x = m + l=í>y = m^ + m ^ - 3m - 1
<=>
x = m - l ^ y = m^ + m^ - 3m + 3
Lập BBT thì hàm số luôn luôn có hai điểm cực trị
A(m + 1; m^ + m^ - 3m -1), B(m - 1; m^ + m^ -3m + 1).
Ta có A(m + I; m^ + m^ -3m -1), B(m - 1; m^ + m^ - 3m + 1) cách đều
trục Ox: d(A; Ox) = d(B; Ox)
(m^ + m - 1)^ = (m^ + m - 3m + 3)^
o - 8(m^ + m^ - 3m) - 8 = 0
<=> 8m^ + 8m^ - 24m + 8 = 0
Cí>8(m-l)(m^ + 2m - l ) = 0
.<» lĩi = 1 hay m = -1 ± ^Í2 . *
Bài 1.16: Tim các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số:
2 x ‘^ - x - 4
(x-l)^
Hướng dẫn giải
D = R \ {1}.
Ta có lim y = lim y = -0 0 nên tiệm cận đứng là X = 1 (khi X ^ 1 và X
x-»r
2 ---4
Ta có lim y -- h m ---- X-—^ = 2 nên tiệm cận ngang là y = 2.
1- Bài 1.17: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: y = vx^ - X+ 1 .
Hướng dẫn giải
Tiệrn cận xiên: y = ax + b, a ÍẾ 0.
'T
'
-
t
L
Vx^ -
x+
1
l a c ó : a i = lim ------------- = hm -
-999BT-
I-L Ị
X
X-M
X X
I ).
-X + 1
bi = lim (v x ^ -x + 1 - x ) = lim - p =
x->+oo\
/
X—
►
+«)
-1
-x + 1
lim
X-Mot, /^ 2 _
ỵ
1
X
2
X
X
1
— là tiệm cận xiên (khi X —>• +c») và:
2
,______
x->-00
-
x->4
X
Vậy đường thăng y = X -
32 - hm ------- ^
+
= lim
x jhl - -1 + ^1 +x
X
x + 1 +x
1
ỊT I
= hm — !
x-*-00
r
------ = -1
ỵ
b2 = lim (Vx^-x + 1+xỊ = lim - p-
----
’ ’‘^ V x " - x + l - x
- lim
^
. =
= lim — ị
L 1 1
- y - r ỉ - ^
nên đường thẳng y = - X +
Bài 1.18: Cho hàm số: y =
^—
, 1 1
—
2
2
là tiệm cận xiên của đồ thị (khi
X ->
-oo).
(C). Tìm trên đồ thị (C) điểm M sao cho
3
khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng
cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng.
Hướng dẫn giải
X
, a^ 3
a -3
3 = 0; tiệm cận ngang: A2: y - 1 = 0
Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C); M a; 1 +
Tiệm cận đứng Ai:
X-
Ta có d(M; A2) = 5d(M; A,) <=> —^ = 5|a - 3|
>-3|
Cí> (a - 3)^ = 1 <íi> a = 4 hoặc a = 2.
Vậy các điểm cần tìm là; M(4; 6), M(2; -4).
'
’
X+ 1
Bài 1.19: Tìm tât cả các diêm M thuôc (C): y = —— sao cho khoảng cách
X- 1
từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận của (C) ngắn nhất.
Hướng dẫn giải
Đồ thi (C): y =
X-1
có TCĐ: X = 1, TCN; y = 1 nên giao điểm 2 tiêm
cận là 1( 1; 1).
12
-999BT-
X +1
,
,
Ta có M(x; —— ) 6 (C) nên khoảng cách;
X -1
I M= J ( x - ự + | ^ - l
x -1
Dấu = khi (x - 1)^ =
4
=J ( x - ự +
0 Ì X - \ Ý
(x -ĩý
= 2 0 X = \ ±
>4
yíĩ .
(x-lf
Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán:
M,(l + V2 ; 1 + V2 ), M2 ( 1- V2 ; I-V 2 ).
Bài 1.20: Chửng minh rằng đồ thị hàm số y = x"* + 2m^x^ + 1 luôn cắt đường
thẳng y = X + 1 tại đúng hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.
Hướng dẫn giải
Phưomg trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
x"* + 2m^x^ + 1 = X + 1 <» x(x^ + 2m^x - 1) = 0
o X = 0 hoặc x^ + 2m^x - 1 = 0
Xét hàm số f(x) = x^ + 2m^x - 1.
' Ta có f(0) = -1 0 và f ’(x) = 3x^ + 2m^ > 0
nên hàm số này đồng biến trên R.
Vì limf(x)= lim(x^+2m^x-l ) = -00
và lim f(x) = lim (x^ + 2m^x - 1) = +00
X-+-M0
X-++O0
nên phưomg trình f(x) = 0 luôn có nghiệm nhất X 0: đpcm.
Bài 1.21: Cho hàm số; y = -x^ + 3x - 1. Xác định m để đường thẳng d:
y = mx - 2m - 3 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt tronẸ đó có đúng một điểm
có hoành độ âm.
Hướng dẫn giải
PT hoành độ giao điểm của d và (C)
x^ + (m - 3)x - 2 - 2m = 0 <=>(x - 2)(x^ + 2x + m + 1) = 0
X=2
x ^ + 2x + m + l = 0
(*)
YCBT tưomg đưomg với (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và có đúng 1
nghiệm âm
Ta xét 2 trường hợp:
PT (*) có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0
íp = m + l = 0
«>
<=>m = - l
[s = - 2 < 0
PT (*) có 2 nghiệm trái dấu và khác 2
-999BT-
13
\p = m + \< ữ
\m < —\
\m ^ -9
[2^ + 2.2 + w + l ;>tO
Vậy m < -1 và m ÍẾ-9.
,
1
1
3
Bài 1.22: Cho hàm sô: y = —X®- —
6
2
™
—x + 2 . Tìm m để đường thẳng d:
2
y = m chi cắt đồ thị (C) của hàm số cho tại hai điểm A, B và tam giác
OAB cân tại gốc o.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
x = -l
Ta có: y' = —x^ - X - - ; y' = 0 o
X= 3
Bản biến thiên
X
—00
—1
y'
+
0
3
-
+00
0
+
Ỵ]_
+00
y
~2
PhưoTig trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C)
1
3
1
2
3
„
—x ^ - ^ x ^ - - ^ x + 2 = m.
6
2
'
2
’
17
d chỉ căt (C) tại 2 diêm A, B khi m = ^
6
hoặc m =
o
2
.
Với m = — thì OA ^ OB: loại.
6
Với m =
2
thì OA =OB: chọn. Vậy m =
- ^ 2
Bài L23: Cho hàm số y =
X+ 2
x-1
.
có đồ thị là (C). Viết phưorng trình hai
đường thẳng di, d2 đi qua giao điểm I của hai tiệm cận và cắt đồ thị (C)
tại 4 điểm phân biệt là các đình của một hình chữ nhật biết đường chéo
hình chữ nhật đó có độ dài bằng >/30 .
'
Hưóìig dẫn giải
Ta có TCĐ: X =1 và TCX: y =1 nên giao điểm 1(1 ;1) là tâm đối xứng của
đồ thị hàm số
Giả sừ di cắt (C) tại A và B, d2 cắt (C) tại c và D thì I là trung điểm của
AB và CD.
14
-999BT-
Do đó, ACBD là hình bình hành nên ACBD là hình chữ nhật thỏa mãn
đề bài thì phải có AB = CD =
.
Gọi di là đường thẳng đi qua I có hệ số góc k có phưoTtig trình di là;
y = k(x - l ) + l < » y = k x - k + l
Phương trình hoành độ giao điểm của di và (C) là:
X+ 2
x -1
= k x -k + l< » k x -2 k x + k -3 = 0(l)
Điều kiện di cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(xi; yi) và B(X2; y2) là (1) có
2 nghiệm Xi; X2 phân biệt 1 o k > 0 .
X, + X2 = 2
Áp dụng định lý Viet ta có:
Dođó:
X,X2 =
k -3
[y2 = kXj - k +1
| y i + y 2 =2
|y ,y 2 = k^X|X2 -k (k -l)(x , +X2) + (k-l)^ = l - 3 k
AB =
<» ( x i - X2)^ + ( y , - y 2)^ = 30
<» (xi + X2)^ + (yi + y2)^ - 4 x i X2 - 4yiy2 = 30
« 12k^ - 3 0 k + 1 2 = 0 « k = 2 hoặc k = - .
2
Vậy các đường thẳng thỏa mãn là di: 2x - y - 1 = 0 hoặc
d2: X - 2y + 1 = 0 hoặc ngược lại.
Bài 1.24: Cho hàm số: y = X - 2mx^ + 4m - 4 (1). Định m để đồ thị (1) cắt
Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ Xi < X2 < X3 < X4 sao cho
X| + 2X2 + 3X3 + 4X4 ^ 7V2 .
Hướng dẫn giải
Ta có PT hoành độ giao diêm;
2mx + 4m - 4 = 0 <=>
X =2
X^ =
= 2m
z m - 2z
Điều kiện đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt:
[2/ í í - 2 > 0
jȒ>l
I2m —2 ^ 2
\m ^ 2
Có 2 trường hợp xảy ra:
Xét: 2m - 2 >2 < =>m>2 P T có 4 nghiệm lần lượt là:
Xi = -V2m - 2 ; X2 = - V 2 ; X3 = V 2 ; X4 ■■-42m ■
X| + 2X2 + 3X3 + 4X4 ^ yV2
-999BT-
15
<=>-V2m - 2 - 2 ^Í2 + 3 V2 +4> / 2m- 2 > 7V2
o V2m - 2 > 2V2 <=> m > 5 (thỏa mãn)
Xét: 2 m - 2 < 2 < = > m < 2 nên chọn; 1 < m < 2 .
PT có 4 nghiệm lần lượt là:
X| = -yỈ2 ; X2 = - V 2 m - 2 ; X3 = V2m-2 ; X4 = V2
Do đó Xi + 2X2 + 3x3 + 4X4 ^ 7\/2
0 - 4 2 - 2 V2m - 2 + 3 V2m - 2 + 4V^> 7>/2
o V2m- 2 > 4V2 <» m > 17 (loại)
Vậy m > 5 là giá trị cần tìm.
'
“ 2x +1
1.25: Cho hàm sô y = — - —
'
’
*
có đô thị (C). Tìm m để đường thẳng d:
y = -X + m cắt (C) tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2 ^ 2 .
Hưứng dẫn giải
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phưomg trình
“ 2x "I" 1
— —— = - x + m ,x ^ -1 <=>-2x + 1 = (x + 1)(-x + m),
X +1
<=> x^ - (m + 1)x - m + 1 = 0
PhưoTig trình có 2 nghiệm X) ;X2 phân biệt Cí> A > 0
<» (m + 1 )^ - 4 (-rn + 1) > 0
<=> m + 6m - 3 > 0 o
m < -3 - 2 V3
m > -3 + 2 V3
Khi đó A(xi; -X| + m), B(X2; - X2 + m)
Ta có Xi + X2 = m + 1, X1X2 = -m + 1.
Nên AB^ = 8
(X2 - X|)^ + (y 2 - yi)^ - 8
o (X2 - X|)^ = 4 <=> (X| + X2)^ - 4 xiX2 = 4
<=> (m + 1)^ - 4(- m + l) = 4<=>m^ + 6m - 7 = 0
m =1 hoặc m -7 (chọn).
Vậy m = 1 hoặc m = -7.
Bài 1.26: Cho hàm số y =
2x + l
x -1
(1). Tìm các giá trị m để đưòmg thẳng d:
y = - 3x + m cắt đồ thị (C) của hàm số (1) tại A và B sao cho trọng tâm
của tam giác OAB thuộc đường thẳng X - 2y -2 = 0 (O là gốc tọa độ).
Hướng dẫn giải
’ 2x "I"1
PT hoành đô giao diêm —
= - 3x + m với X
X- 1
<=>2x+ 1 = ( x - l)(-3x+ m) <» 3x^-(l + m)x + m + 1 = 0 (*)
Đường thẳng d cắt (C) tại A và B phân biệt o PT (*) có 2 nghiệm phân
biệt khác 1
16
-999BT-
m > 11
A = (l + m)^-12(m + l )>0
<íí>(m + l ) ( m - l l ) > 0 <=>
m < -1
[3 -(1 + m) + m +1 ít 0
Gọi I là trung điểm của AB
1+ m
,
m -1
Xị + X2
=>XI =
—
; yi = -3xi + m = ——
o
Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB
G ed <=>
Vậy m =
1+ m
11
2= Oo m =
-2
G
1+ m m -1
(thỏa mãn)
là giá trị càn tìm.
'
Bài 1.27: Cho hàm sô: y =
X 4“ 1
'
'
— có đô thị (C). Gọi I là giao điêm của hai
3 —X
tiệm cận của (C). Tìm các số thực m để đường thẳng d: y = X + m cắt (C)
tại hai điểm phân biệt A, B tạo thành tam giác ABI có trọng tâm nằm
trên (C).
Hướng dẫn giải
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phưong trình
x+1
= X+ m
<=> x^ - x(2 - m) + 1 - 3m = 0(1), X ít 3
Vì phưcmg trình (1) không có nghiệm X = 3 nên d cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt khi PT (1) có 2 nghiệm phân biệt Xi, X2
<=>A>0<=>m^ + 8 m > 0 o m < - 8 hay m > 0
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(xi; Xi + m), B(X 2; X2 + m)
Trọng tâm tam giác AIB là G:
_ 3 + Xj +X2 _ 5 - m
y=
3
3
-1 + Xj + m '+ X2 + m _ 1 + m
5 - m
+1
G nằm trên (C), ta có: i i ĩ í i = —3
3
3 5 -m
3
<=> m^ + 8m - 2 0 = 0<=>m = -1 0 hay m = 2 (chọn)
Vậy m = -1 0 hay m = 2.
-999BT-
17
Bài 1.28: Cho hàm số: y =
2 x -l
(1) .Viết phương trình đường thẳng A đi
x+1
qua điểm I(-l; 2) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam
giác AOB có diện tích bằng yỊs với o là gốc toạ độ.
Hướng dẫn giải
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng A suy ra: A: y = k(x + 1) + 2
PT hoành độ giao điểm của A và (C):
—
—^
=
X+ 1
k(x + 1) + 2 <=> kx^ + 2kx + k + 3 = 0 (*),
X
Đường thẳng A cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
<=> PT (*) có 2 nghiệm Xi, X2 phân biệt khác - 1
'Ảr^O
<=> <A'> 0
Ả: < 0
3^0
Với k < 0 gọi A(xi; k(xi + 1) + 2),B(X2; k(x2 + 1) + 2) là các giao điểm
X, + X j = -2
của A với ( C) . Theo Viet ta có:
k +3
X,.X2=-
l ‘ ^
k
Do đó AB= V(X2 - Xi f +(k(x2 -Xj))^ = J(k% l)(x2 -Xj)^
= J (k ^ + 1)[(X2 +
)^ -4x^X2
Và
d(0;A )= -tÌ
Vk' +1
Diện tích tam giác ABC bằng -v/3 nên ta có:
- AB.d(0; A) = V3 » - j(k ^+ l).—
= V3
2
2 V
^ ylk^+1
<=> k^ +5k+4 = 0 < » k = - l , k = -4 thoả mãn k < 0
Vậy có 2 PT đường thẳng A là y = - X + 1, y = —4x - 2.
Bài 1.29: Cho hàm số: y = —x^ - 2x^ + 3x - —.Tìm m để đường thẳng A:
3
3
y = mx - - cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, c sao cho A cố định và
diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Hướng dẫn giải
Phưong trình hoành độ giao điểm của đường thẳng
1
= mx
A: y = mx - —và (C): —x^ - 2x^ + 3x
3
3
3
18
-999BT-
„ x ( x ^ _ 6 x + 9 -3 m ) = 0( l ) o [ ^ r _ ° e ^ ^ 9 _ 3 ^ , 0
Vóix = 0 = > y = - i ^ A ( 0 ; - ỉ )
Đường thẳng A: y = mx - ỉ cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, c
3
<=> PT - 6x + 9 —3m = 0 có 2 nghiệm phân biệt X], X2 khác 0
^ ÍA > 0
Í3m >0
ím >0
^ 9 - 3 m ^ 0 ^ m^3 ^ \m ^ 3
/
(
\
Khi đó B Xj|mXj---- , c
-Ta có
SOBC = 2 S oab
« - d ( 0 ; A)BC = 2Ỉd(0;A)AB
« BC = 2AB o B Ơ = 4AB^
<=> (X2 - X i) “ + m ^ ( x 2 - Xi)^ = 4 ( x ^ + m ^ x ^ )
< » (m^ + 1)(X2 - X|)^ = 4(m^ + l ) x ^ <íí> (X2 - x , ) ^ = 4x^
Xj = 3x,
X2 +X| = 0
0 x2 = 3xi
íx, + Xj = 6
Mà <
[x,X2=9-3m
3
3
4
4
nên có m = — (thỏa mãn). Vây m = —.
3x-l
có đồ thị (C). Viết phưong trình đường
X+2
thẳng A đi qua điểm M(0; -11), cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt
sao cho diện tích tam giác OAB gấp 2 lần diện tích tam giác 0MB.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng có hệ số góc m đi qua M có phưong trình: y = mx - 11.
3x —1
Xét phương trình: ——- = mx - 11
X "í"2
<:í> mx^ + 2(m - 7)x - 21 = 0 (vì X = -2 không là nghiệm)
Điều kiện tồn tại A, B phân biệt là:
ímí-tO
ị
<=> m^tO
[A'=m +7m + 49>0
Gọi A(xi; mxi - 11), B(X2; mx2 - 11)
,
14- 2 m
_ - 2’1
Theo định lý Viet ta có; X| + X2 = --------- ; X1X2 = ----m
m
Bài 1.30: Cho hàm số: y =
SoAB - 2 S obm
-999BT-
<=> ^ d (0 ; AB).AB - d(0; BM)BM
ù
19
o AB = 2BM (vì M, A, B thẳng hàng)
4X2(1 + 01^) o
<=>(xi-X2)^ + (l +m^)
Với
X|
X, = 3X2
X| + Xj =0
^3X2
7 - m , ^ 3(7-m )
■+ 14m + 49 = 0
, X| 2m
2m
<» m = -7: thoả mãn. Do đó m = -7 .
Với X| + X2 = 0, tưorng tự có m = 7: thoả mãn.
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn y = ±7x -11.
Bài 1.31: Cho hàm số: y = x"* - 2(m + l)x^ + 2m - 1 có đồ thị (Cm), với m
là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d; y = -1 cắt
đô thị (Cm) tại đúng hai điêm phân biệt A,B sao cho tam giác ĨAB có
X2 =
diện tích bằng 4-^/2' - ^
với 1(2; 3)
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:
x"* - 2(m + 1)x^ + 2m - 1 = -1 <=> x"*- 2(m + 1)x^ + 2m = 0(1)
Đặt t = x^ > 0. Khi đó phương trình (1) trở thành:
t^ - 2(rn + 1)t + 2m = 0 (2) _
ĐK (Cm) cắt d tại đúng hai điểm phân biệt là phương trình (1) phải có
đúng hai nghiệm phân biệt nghĩa là phương trình (2) phải có đúng một
nghiệm dương.
Mà phương trình (2) có A' = m^ + 1 >0, Vm nên (2) có hai nghiệm phân biệt.
Do đó (2) có đúng một nghiệm dương khi (2) phải có hai nghiệm trái dấu
ti< 0 < t2
<0<=>m<0.
Khi đó (2) có hai nghiệm:
ti = m + 1 - vm + 1I < 0 < tt2
2 = m + l1 + Vm^
Vr + 1
Toạ độ
,B(-y/t7;-l)
Ta có d(I; d) = |3 + 1| = 4 nên
S aiab =
^d(I; d).AB
»
AB = 2yjt^
4A B ' =
<=> 16t2 =16(2-V2)cí>^/m^TĨ = l - ^ / 2 - m
\m
ịm
\m^ +ì = i \ - ^ Í 2 - m y
\- 2 ạ - ^ Í 2 ) m = 2 ^Í2 -2
<=>
[m = l
Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn.
20
-999BT-
^ —- (1) . Tìm m để đồ thi của hàm số
X+1
(1) cắt đường thẳng A; y = X + 3 tại 2 điểm A, B sao cho tam giác ABI có
diện tích bằng 3, với điểm I(-l; 1).
Hướng dẫn giải
Phương frình hoành độ giao điểm:
[x ^ -1
2mx + m - 2
= X+3
x +1
12mx + m - 2 = (x + l)(x + 3)
Bài 1.32: Cho hàm số: y =
^ Ịx?t-1
Ịx^+2(2-m)x + 5 - m = 0 (*)
Đồ thị của hàm số (1) cắt A tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi
phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt X|, X2 khác -1.
ÍA’> 0
ím^-3m-l>0
\ ỉ-2 ( 2 - m ) +5-m ĩ^0
\m ^ -2
Do A, B thuộc A nên ta gọi A(xi; Xi + 3), B(X2; X2 + 3)
_
í x , +x , = - 2(2 - m )
Theo đinh lí Viet: <
[x,Xj = 5 - m
TacóSiAB = 3<=> -d(I,A).AB = 36
2
<=> —.^•y/2Õc^^-X^ = 3 <=>(Xj + X2)^ -4X jX2 = 36
•» 4(2 - m)^ - 4(5 - m ) = 36 <::> m ^ - 3 m - 1 0 = 0
m=5
m = -2
Ket hợp điều kiện ta được m = 5.
Bài 1.33: Cho hàm số: y = x^ - 3x^ + (m +l)x + 1 có đồ thị (Cm) với m là
tham số.Tìm m để đường thẳng (d): y = X + 1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm
phân biệt P(0; 1), M, N sao cho bán kính đưòmg tròn ngoại tiếp tam giác
'
5\/2
0MB băng —^ với o là gôc tọa đô.
2
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (d):
x^ — 3x^ + (m + 1)x + 1 = X + 1
'x = 0
<=> x(x - 3x + m) = 0 <=>
x^ -3 x + m = 0
-999BT-
21
ĐK (Cm) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt <=> PT - 3x + m = 0 có 2 nghiệm
9
Xi, X2 phân biêt khác 0<» m?ẾO;m< —.
4
Giả sử M(xi; X| + 1), N(x2, X2 + 1)
T
' cSoMN =- 1—MN.d(0;(d))
A/rvT
OM.ON.MN
Ta có:
= --------- --------2
4R
Nên OM.ON = 2R.d(0; (d)) = 5^Í2 d(0; (d)) = 5
<=>
+ 2xj + 1)(2x2 + 2x2 + 1) ~ ^
V4m^ + 12m + 25 = 5 <» 4m^ + 12m = 0. Chọn m = -3.
Vậy giá trị cần tìm là m = -3.
/
ỵ _2
'
'
'
'
Bài 1.34: Cho hàm sô: y = ---- ^ . Viêt phưcmg trình tiêp tuyên của đô thi
x+1
hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại hai điểm A
và B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác lAB lớn nhất với I là
giao điểm của hai đường tiệm cận.
Hưóìig dẫn giải
Tiệm cận đứng X = -1, tiệm cận ngang y = 1.
3
Giao hai đường tiêm căn I(-l; 1). Ta có y' =—
X -1.
(x+lf
,
,
3
Xn-2
Tiêp tuyên tại M(xo; yo): y = — ^^(x-Xo)+^^2-^, Xo - 1
Xo+1
(Xo+1)
f -i.X ọ - S
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại A
, cắt tiệm cận ngang tại
Xo + 1
B(2xo+ 1; 1).
Ta có; lA
IB = 2|xo + l| suy ra ĨA.IB = 12
Xo +1
Nên S iab = —lA.IB = 6 . Ta có S|AB = r.p =
2
Do đó r lớn nhất khi p nhỏ nhất
Mà chu vi 2p = lA + IB + AB
tah
. ^ “S^lA
B
p
6
p
= lA + IB + VlA^ + IB^ > 2VIA.IB + V2IA.IB - 4V3 + 2>/6
p nhỏ nhất khi IA = IB <=> (xo + 1)^ = 3 <=> Xo =
Với
Xo =
-
1± V3
-1 + n/3 => dj : y = X + 2(1 + %/3)
Với Xo = -1 - \/3 => dj : y = X + 2(1 - V s).
22
-999BT-
Bài 1.35: Cho hàm số: y = x'* - 2x^ - 3. Tìm m để đường thẳng d: y = m cắt
đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt M, N, p, Q theo thứ tự từ trái sang phải,
sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ là độ dài 3 cạnh của một tam
giác vuông.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R.
y ’ = 4x^ - 4x; y' = 0
X= 0 hoặc X= ±1.
Bảng biến thiên
X —00
-
y'
y
-1
0 +
4-00
0
0 -3
+00
1
0 +
+00
-4 ^
Đường thẳng (d): y = m cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt khi -4 < m < -3.
Phưcmg trình hoành độ giao điểm: x"* - 2x^ - 3 - m = 0( l )
Đặt t = x^ (t > 0) thì PT trở thành: t^ - 2t - 3 - m = 0 (2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phưcmg trình (2) có hai
nghiệm dương phân biệt 0 < ti < Í2.
Từ đó tìm được tọa độ các điểm
M(-VỤ; 0), N (-V ^; 0), P( vĩ ; ; 0),
0)
Suy ra MN =
- yjĩ^ ,NF = 2yJt^, PQ = V Ụ Vì MN = PQ nên NP là độ dài cạnh huyền. Do đó điều kiện:
NP^ = MN^ + PQ^<=> 4t, = 2 ( V t^ - V ^ ) ' < ^ ( ti- t2 ) ^ - 8 t,t2
7
<=>4 = 8(-3 - m) <=> m = —- (chọn)
2
7
Vậy m = —- là giá trị cân tìm.
2 x -l
có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến
x -1
của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm
phân biệt A, B sao cho OA = 40B.
Hướng dẫn giải
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M(xo; yo) cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho
OA = 40B.
OB 1
Do AOAB vuông tại o nên: tanA = ---- ==—
^
OA 4
Bài 1.36: Cho hàm số: y =
-999BT-
23
'
'
1
4
=> Hê sô góc của d băng —hoăc
■
1
4
Hệ số góc của d là: y'(xo) = -
<0
K -If
.Nên có y'(xo) = - 7 0 - - —
4
Với
Xo = -1
_
( xq - I )
=
Xo =-1
4
Xq = 3
thì yo = —. Khi đó phương trình tiếp tuyến là:
2
1,
3_
1
5
4
2
4
4
5
Với Xo = 3 thì yo = —. Khi đó phương trình tiếp tuyến là;
2
1/( x - 3ox
1x +—
13 .
y == - —
) +^ =- —
4
2
4
4
Bài 1.37: Cho hàm số: y = - 3x^ + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) biết ràng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các
điểm phân biệt A, B sao cho OB = 90A.
Hướng dẫn giải
T a c ó y ' = 3x^-6x.
Tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao
cho OB = 90A nên hệ số góc của tiếp tuyến d là:
k = tan OAB = ±
= ±9 nên y’= ±9 <=> 3x^ - 6x = ±9
OA
^
x - 2 x - 3 =Q
Xo = - l
o
<=>
=3
x ^ - 2 x + 3 = 0(VN)
Với Xo = -1, phương trình của d là y = 9x + 7
Với Xo = 3, phương trình của d là y = 9x - 25.
Bài 1.38: Cho hàm số: y =
X-3
^ có đô thị (C). Viêt phương trình tiêp tuyê
X+1
của (C) biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến bằng 2^/2
Hướng dẫn giải
Ta có lim y = -oo; lim y =+00 nên tiệm cận đúmg là X = -1 .
lim y = 1; lim y = 1 nên tiệm cận ngang là y = 1.
X->+00
X-+-00
Đồ thị nhận giao điểm I ( - l; 1) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Ta có y ’ = — - — r-, X
-1
(x + ÌÝ
Phương trình tiếp tuyến d tại M(xo; yo) e (C),
24
Xo
-1
-999BT-
