Phương pháp giải nhanh 999 bài toán chọn lọc: Phần 2

(2V2a';-a";-V2a'“)
Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có VTPT
n = ( 2\/2 ; -t-y/2 ) nên có phương trình là
=>[ẢC-,AM] =

_ 2yỈ2a
^|8 + l + 2 ~ VĨT
Bài 4.30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a,
BC = a\Í3 . Hai mặt phẳng (SAC), (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm
I thuộc đoạn s c sao cho s c = 3IC. Tính thể tích hình chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AI, SB biết AI vuông góc với sc .
Hướng dẫn giải
Ta có Sabcd ~ a.aVs = sỊSa^
Gọi o là giao điểm hai đường chéo
AC, BD, theo giả thiết ta có s o -L (ABCD)
AC = Va B=* + BC' = Va"+3a=* = 2a
=>
=a
Lại có AI 1 s c => ASOC ~ AAIC
Cĩ CA
CI.CS = CO.CA
CO " c s
Sơ*
=
<=> s c = a\Zẽ nên
3
2_______
SO = ^ | s ơ - 0 ơ = a^/5
'VĨ5
1.
Vs.ABCD - -^S^ bcD-SO =

3
Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M, suy ra SB // (AIM)
do đó d(SB, AI) = d(SB, (AIM) = d(B, (AIM))
2v2x - y - v2z = 0 => d(D;(ACM)) =

oc

„ = 2CM: d(B,(AIM)) = 2d(C,(AIM))
Mà CI CM „BM
c s CB
Hạ IH ± (ABCD) thì có:

m

=

C!

^ —^AB
CD
^

^ - ® A A M C --

la C
Ta
cóO IM _-

V
- = -ỉ—V

''l.A M C -~
''S .A B C D

sc Vô

“

A X
__
/ A
2
v ĩ ũ f ĩ _ U'\/21
— = Ạ ^ a ; AM
= vAB
+BM
= ——
3
3
3
^
3
^___
. , _ / . „2 7 ^ a-v/sõ
_xTÀt s VtÕ
. tT Ị^ V154
AI = yjAC^ - CI =
■■ =>cosMAI = _ ' => sin MAI =
3
28
28

-'A A M l

= - AM. AI. sin MAI =

t j

12

3V

Vậy d(B, (AĨM)) = 2d(C, (AIM)) = 2^AÌAMC ^
^aami
-999B T-

4a

253


Bài 4.31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
đường tròn đường kính AD = 2a, SA vuông góc với (ABCD) và SA = aV ẽ.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Tính thể tích khối chóp
H.SCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và sc.
Hướng dẫn giải
Ta có: V h .sdc = Vs.HDC
v<
SH
SH.SB SA^ 6
SH D C

V.SBD C SB
SB"
SB" 7
Vs.HDC- — Vs.BDC
6 1

7 '3

SA. S bdc

rj - ^ ^ S bDC

Gọi K là hình chiếu của B trên AD
Ta có BK.AD = AB.BD
AB.BD sl\ ỉ 3
BK =
AD
a^^/3
3a^V2
S bcd ~ ^BK.BC . Vậy VShdc ~
4U
4
14
Vi AD // (SBC) nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A; (SBC)) = h
Dựng hình bình hành ABDE. Do AB ± BD nên AB ± AE
Trong tứ diện vuông ASEB ta có:
1
1 1
1
1

1 1 1
9
+
„ +
h ' SA' AB' AE' SA' AB' BD' 6a'
ayỈ6
a^/6
. Vậy d(AD, SC) =
3
'
3
Bài 4.32: Cho hình chóp s. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và B với AB = BC = a, AD = 2a. Các rnặt phẳng (SAC) vả (SBD) cùng
vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phang (SAB) và
(ABCD) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai
đường thẳng CD và SB.
Hướng dẫn giải
Gọi H là giao điểm của AC, BD
'

'

—

--------- —

+

--------- —

•

=í> SH 1 (ABCD) và BH = -B D
Kè HE 1 AB => AB 1 (SHE)

254

-999B T-


góc ((SAB), (ABCD)) = SHE - 60"
M àH E = - A D - — =>SH 3
3

3

^ V s.a b c d = Ì s H . S ^ c d = - 3

Gọi

o

là trung điểm AD => ABCD là hình vuông cạnh a

=> AACD là trung tuyến co = —AD , CD J_ AC => AD _L(SAC)
và BO // CD hay CD // (SBO), BO 1 (SAC) nên
d(CD; SB) = d(CD; (SBO)) = d(C; (SBO))
Tính chất trọng tâm tam giác BCO
IS = VlH^+HS^
3

6
Kẻ CK 1 SI mà CK 1 BO
C K 1 (SBO) ^ d(C; SBO)) = CK
IH=

Trong tam giác SIC có: Ssic = isH .IC - -SI.CK
2

2

2a^/3
SH.IC 2aV3
. Vậy d(CD; SB)
SI
5
5
Bài 4.33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, BC song song
AD. Biết rằng hình chiếu của s lên mp(ABCD) trùng với trung điểm của
AD, SB = a^/2 , AD = 2a, AB = BC = CD = a. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và tính khoảng cách giữa SB và AD.
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của AD
thì SH T (ABCD).
Tam giác vuông SBH ta có
SH = n/SB' -BH " = V 2 a '- a ' = a
Hạ đường cao BE của hình
thang ABCD.
Tam giác ABE vuông;
CK =

BE= Va B ^ -A E ' =. a ^ -

aV3

^a^^

2

^ (a + 2a)
VsABCD- - S

abcd - S

H ^^

2

aVs
-.a =

>V3
^

Gọi I là trung điểm của BC. Hạ HK vuông góc với SI.
Vì BC 1 SH° BC IIH nẽn.ẸC 1 HK. Do đo H K 1 (SBC).
d(AD, SB) = d(AD, (SBC)) = d(H, (SBC)) = HK
-999BT-

255

HS.HI

Tam giác vuông SHI ta có: HK =

7 h s^T h F
'7
Bài 4.34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại c và D,
AD = 3a, BC = CD = 4a. Cạnh bên SA = aVs và vuông góc với
mp(ABCD). Gọi E là điểm nằm frên cạnh AD sao cho AE = a, F là trung
điểm của CD. Tính thể tích khối chóp S.DEBE và côsin của góc giữa hai
đường thẳng SE và BF.

D

SE.BF
Ta có: cos(SE, BF) c o s ( S E ,B F )
__________ _
^
_S E ^F
và: SẼ.BF = (SÃ + AE) (BC + CF) = ÃẼ.BC = a.4a = 4a"
SE.BF = V s à ^ T à Ẽ ^ .V b
= 4a"V5

C ^ T c P^

=

V ịy c o s ( S E ,B F ) = ^ =^ .
Bài 4.35:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = a

và SA tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bàng 30°. Chân đườnạ vuông
góc hạ từ s xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đường thẳng BC,
điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM = 2MA. Tính khoảng cách giữa BC,
SA và thể tích tứ diện SMHC theo a.
Hướng dẫn giải
Xét ASHA vuông tại H có AH = SA.cos30° =
Mà AABC đều nên AH 1 BC
Ta có SH 1 BC suy ra BC 1 (SAH).
Hạ HK vuông góc với SA suy ra HK
là khoảng cách giữa BC và SA
Ta có: HK = AH.sin30° = — = ^
256

.
-999BT-


Vậy d(BC, SA) =

in/3

ựsa^

SsHA=ịsH.AH = ỉ
2

2 2

SsMH ~ —S;SAH

2

12

1.
Vãa^
3'
12
72
Bài 4.36: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2a,
AC = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng ay/2 . Gọi M, H lần lượt
VậyVsMHc=^CH.Ss^,H

là trung điểm của AB và BC, I là điểm thỏa mãn BI = —AC .Tính thể tích
3
khối chóp S.ABCVà khoảng cách giữa hai đường thẳng MH và SI.
Hướng dẫn giải
Vì các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của s lên mp
(ABC) là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mà tam giác
ABC vuông tại A nên H là trung điểm H của BC.
Do đó SH ĩ (ABC).
Tam giác ABC, SHB vuông:
BC= yl4a^+a^ =aVõ,
SH= J 2 a " -

5a^

aVã

1

Do đó VsABC~ ~S^ b(,.SH = >V3
3
Mặt phẳng chứa SI và song song
với MH' la (SBI).
Do đó d(MH, SI) = d(MH, (SBI)) = d(H, (SBI))
Hạ HD vuông góc với BI thì D là điểm
đối xứng với trung điểm E của AC qua H.
Hạ HK vuông góc với SD thì HK ± (SBI)
Tam giác vuông SHD ta có:
7
HK =
HK' HS'= ^ HD=* 3a"
3a"' a ' 3a^
a^JỸĨ
Vậy d(MH, SI) = HK =
Bài 4.37: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 2AC
= BC = 2a. Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60''.
Hình chiếu của s lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC.
-999B T-

257


Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AH
và SB.
Hướng dẫn giải
AABC vuông tại A có BC = 2a, AC = a, ố = 30”, c =
Gọi N là trung điểm của AC. Vì AC I. AB => AC -L HN, AC ± SH
=> AC±(SHN)=> SNH=60®.
s

Trong tam giác SNH
=>HN= ^ ; S H = —
2

Sabc -

2

■s

ã
Vs „ bc= | s H .S * ^ = Ì ^
Qua B kẻ a // AH => HA // (Sfe, a)
Gọi M là hình chiếu của H lên a và K là
^
hình chiếu của H trên SM khi đó d(HẦ; SB) = HK.
Tam giác ACH đều nên góc HBM = 60” => HM =

2

Trong tam giác HM ta c ó ---- 7T = —^ + ----- = — - .
^
^
HM' HS' 9a"'
Vậy d(HA; SB) = HK =

3a

Bài 4.38: Cho khối chóp S.ABC có tam giác đều ABC cạnh a và tam giác
cân SAB đinh s. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC. Biết góc

giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là 60®, SA =

, s c < HC, tính

thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa HK và mặt phẳng (SBC)
theo a.
^
Hướng dẫn giải
Tam giác SAC cân tại và tam giác ABC
đều có H là trung điểm AB nên
SH 1 AB, CH AB
60®.
Thể tích; Vs.ABC = Vs.ACH + Vs.BCH

s
X =>sĩĩc =

= —AH.Scr-H + ~BH.Sgpj| = —AB.SgQỊỊ
Tam giác đều ABC cạnh a có đường cao
CH =

258

SH = VSA^-AH'* = ^

-999B T-


SsHC= -SH.CH.sinSHC = ỉ ^ . ^ s i n 6 0 °
2

2 3
2

8

Vs. A B C

24
H, K là trung điểm của AB, AC nên HK là đường trung bình của tam
giác ABC => HK // BC => HK // (SBC)
Nên d(HK, (SBC)) = d(H, (SBC)) =
^SBC
Theo định lí cô sin ừong tam giác SHC có:

= ^^S.ABC
2SgBc

sc = ^JsH' +CH’' -2SH.CH.cos60° - 6 = SB
Nên tam giác SBC cân tại s. Gọi I là trung điểm BC
= > SỈ = y l s ơ - C Ỹ

SgBp
=-SI.B
C=
SBC
2

6

“Ííi

Vậy d(HK, (SBC)) = — .
8
Bài 4.39: Cho một tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Một mặt cầu (S)
tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, AD lần lượt tại B, c và D. Tính
bán kính R của mặt cầu (S).
Hướng dẫn giải
Gọi o là tâm của mặt cầu (S) thì OB = oc = OD = R
và OBA, OCA, ODA là những tam giác vuông tại
các đỉnh B, c, D. Gọi H là giao điểm của AO và
mp(BCD) thì H là tâm của tam giác đều BCD.
iVẽ
Ta có AH =
DH = i S
Vậy R = OD =

l^/2

Bài 4.40: Ba cạnh của tam giác ABC có độ dài 13, 14 và 15. Một mặt cầu
có bán kính R tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tại các tiếp điểm nằm
trên ba cạnh đó. Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng của tam
giác.
Giải
Tam giác ABC có 3 cạnh 13, 14, 15.
Ta có: s= pr = 7 p (p - a)(p - b)(p - c)
nên r = 4
Hạ OỊ ± (ABC) thì I là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác ABC.
Do đó d(0; (ABC)) = OI =
- r^ = 3.
-999BT-

259


Bài 4.41: Cạnh đáy và đường cao của hình lăng trụ lục giác đều ABCDEP.
A'B'C'D'E'F' lần lượt bằng a và h. Chứng minh rằng sáu mặt phẳng
(AB'F'), (CD'B'), (EF'D'), (D'EC), (F'AE), (B'CA) cùng tiếp xúc với một
mặt cầu, xác định tâm và bán kính.
Hướng dẫn giải
Gọi o là tâm hình lăng trụ. Mặt phẳng (AB'F') tiếp xúc với mặt cầu tâm
o và mặt câu (S) này được xác định duy nhât. Sáu mặt phăng đêu cách
đều o suy ra rằng cả sáu mặt phẳng đều tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm o.
Gọi p là trung điểm cạnh AE, P' là trung điểm cạnh A'E'; Q là trung điểm
cạnh PF', và gọi R là hình chiếu của o lên đường thẳng PF', thi các điểm
p, P', Q, R, o, F' cùng nằm trên một mặt phang.
Ta có F'P' = - và QO = — . Vì QO // F'P’ nên ẾQỒ = p p l ^ '. Ngoài ra
2
4
ORQ = P P 'F '= 90° nên suy ra hai tam giác ORQ và PP'F' đồng dạng
nhau. Do đó, bán kính của (S) là:
3a
4
3ah
OR = PP’ . - ^ = h.
PF'
2\/ã + 4h"
Bài 4.42: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = s c = a, ASB = 60®, BSC = 90°
và CSA = 120°. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.
Hướng dẫn giải
^

Tacó AB = a, BC = aV2 vàAC = a\/3
nên tam giác ABC vuông ở B. Gọi SH là
đường cao của hình chóp, do SA = SB = s c
nên HA = HB = HC suy ra H là trung điểm
của cạnh AC.
Tâm mặt cầu thuộc trục SH. Vi góc
HSA = 60° nên gọi o là điểm đối xứng với
s qua điểm H thì; o s = OA = o c = OB = a.
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hìiứi chóp S.ABC
có tâm o và có bán kinh R = a.
Bài 4.43: Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao s o = 1 và cạrứi
đáy bằng 2 \Zẽ. Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tưomg ứng.
Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp
đó.
Hướng dẫn giải
Do ABC là tam giác đều nên;'
AM = MN
260

NA =

= Vẽ
-999BT-


S aamn

^
Do đó:

= -AM.AN.sinóO® = —
2

2

_ 1 3V3 ,

V samn -

0

ỉu

^/3

=^

iu

Vì SABC là hình chóp đều nên o trùng
với tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Do đó OM 1 AC, ON 1 AB va do
SO -L (ABC) nên ta suy ra SM J_ AC, SN
1 AB và SM = SN.
Xét tam giác vuông AOM; SOM:
/í
OM = ATtan30“ = ^/6 . — = V2 = ON
3
SM^ OM^ + SO^ = 2 + 1 = 3 SM = Vs , nên:
^

1 ^XTCXT- ^3V2
^3 ; ^S s A
N =_ ^AN.SN=

SsAM= -AM .SM
2

Gọi K là trung điểm của MN thì SK 1 MN.
SK"
SsMN =

SM^ - KM^
-M N . s k
2

=

2

SK =

2

2

nên:

- ; Samn = -M N.AK = ^
2

2

2

3V
V3
^
^ .
Sjp 1 +2V2 + V3
Bài 4.44: Tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8, các cạnh còn lại đều bằng
. Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện.
Hướng dẫn giải
Gọi M, F thứ tự là trung điểm của AB, CD và K là tâm đường tròn ngoại
tiếp AABC. Khi đó K thuộc CM. Hạ KO 1 FM thì o là tâm mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD, R = OD.
Ta có CM = DM = n/7 4 -9 = yỉẽE
Và MF = V65 - 16 = 7
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp AABC
abc
_
37
CK = R
Ta có R =
4S
■
V ẽõ’
Các tam giác đồng dạng OKM và CFM
OM CM
^
MK MF

_ ^ ^ ^ _ M K .C M (CM-R)CM 28 ,
MF
MF
7
Do đó bán kính hình cầu nôi tiếp: r =

\ỊĨÃ

-999BT-

261


Do đó OF = 3. Suy ra R = OD = VÕF^T f D^ = V9 + I 6 = 5
Vậy diện tích mặt cầu s = 47tR^ = lOOĩĩ.
Bài 4.45: Cho hình nón s, góc giữa đường sinh d và mặt đáy là a. Một mặi
phẳng (P) qua đinh s, hợp vói mặt đáy góc 60*^. Tính diện tích thiết diệr
và khoảng cách từ o đến mp(P).
Hướng dẫn giải
Thiết diện là tam giác SAB cân tại s.
Gọi I là trung điểm AB. Ta có AB ± OI, SI => SIO = 60®
ASOA, ASOI vuông tại o nên; s o = d.sina, OA = d.cosa s

AOHI là nửa tam giác đều nên: d(0,(P))= OH =

2

2

^

Bài 4.46: Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính 1
cho trước.
Hướng dẫn giải
Gọi bán kính đáy hình nón là X, chiều cao hình nón là y (0 < X < R, 0 <
< 2R). Gọi SS' là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì:
AH^ = HS.HS' => x^ = y(2R - y)
Gọi Vi là thể tích khối nón thì:
Vi = i Tĩx^y = ị 7iy.y(2R - y)
= ^(4R -2y).y.y
b
^ 4 R -2 y + y + y^^

32tiR^
81

32nR^
khi và chi khi 4R-2y = y
81
2R^/2
—
w A'
_ 8R
,
<=> y =
, từ
đó X2 =
——, hay
X=
3

9
V| đạt giá trị lớn nhất bằng

262

-999BI


Bài 4,47: Cho một hình cầu bán kính r = 1, nội tiếp một hình nón có chiều
cao h và bán kính đáy R. Xác định h và R để thể tích hình nón có giá trị
nhỏ nhât.
Hương dẫn giải
Cắt mặt cầu và hình nón đã cho bởi mặt phẳng (P) qua trục SH của hình
nón ta được một đường ưòn (O; r) nội tiêp tam giác cân SAB .
Ta có; r = OH, h = SH và R = HA.
__ AB + SA + SB 2R + 2>/h^ +
T.
/T2—
p = ----------------------------------------= R + vh + R
SsAB = - .SH. AB = SH.AH = Rh
2

Ta có: SsAB = pr <=> Rh = R +Vh^ +R^
< ^ R ( h - 1 ) = VĨTT r ^ « R V - 2 h + l ) = h n R 2
<íí> R^(h - 2) = h, h > 2.
Thể tích hình nón là V = —nR^h =
— „ h > 2.
3
3 (h -2 )
V' =

3(h-2)"

BBT:

, V' = 0
h
V'

Vậy minV = — khi h = 4, R = 2

h = 4.

2

4
-

0

00
+

V

Bài 4.48: Một hình trụ có bán kính R và chiều cao R y/ẽ. Cho hai điểm A và
B lần lượt nằm trên đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình
trụ bằng 30°. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của
hình trụ và tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Hướng dẫn giải

^
Sxq = 2TtR.RV3 = 2 S n R ^
Stp = Sxq + 2Sđáy ~ 2 -v/s tcR^ + 2 tĩR^ = 2( >/3 + 1)tĩR^
V = kR . R^/3 = V3 tĩR^
Gọi o và O' là tâm của hai đường ưòn đáy.
Gọi AA' là đường sinh của hình trụ thì
0'A' = R, AA' = R Vs và góc BAA ’bằng 30°.
--Vì OOV/mp(ABA) nên khoảng cách giữa 0 0 '
A T » l _ r ___1_1___ _____ _____________________________ / A Ti ,
và AB
băng khoảng cách giữa OO' và mp(ABA').
Gọi H là trung điểm BA' thì khoảng cách đó bằng 0'H.
-999BT-

263


Tam giác BA'A vuông tại A' nên: BA' = AA'tan30° = R Vs . ^

= R.

v3

Do đó BA'0' là tam giác đều, vậy 0'H =

r Vs

Bài 4.49: Cho một khối trụ có bán kính đáy R = 5(cm) và khoảng cách giữa
hai đáy là 7(cm). Người ta cắt khối trụ đó bằng một mặt phẳng song song
với trục của khối trụ và cách trụ một khoảng 3(cm). Tính diện tích của

thiết diện.
____
Hướng dẫn giải •'
Gọi tâm của hai đáy là o và O'.
B|
Thiết diện khi cắt khối trụ là hình chữ nhật AA'B'B
1
1
Gọi K là trung điểm của AB
1
1
Ta có OK i. AB => O K 1 AA'
O K 1 (AA’B'B).
ì
------- ^
Vậy OK là khoảng cách từ trục 0 0 ' tới mặt
———
phang thiết diện, tức là OK = 3.
Trong tam giác vuông OKA: KA^ = OA^ - OK^ = 5^ - 3^ = 16. B’
^ KA = 4, AB = sT
Vậy diện tích của thiết diện AA'B'B là: s = AB.BB' = 56 (cm^).
Bài 4.50: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S(0; R). Hình trụ nào có diện tích
xung quanh s lóm nhất và hình trụ nào có thể tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi X là khoảng cách từ tâm hình cầu o đến đáy hình trụ: OI = X.
Đáy hình trụ là đường fròn có bán kính:
r= Vr ' - x' , 0 < x Diện tích xung quanh hình trụ là:
Sxq = 2nr.2x = 4 u x \/ r ^ - x ^ - 4nJx^(R^ -x ^ )
x^ +(R^ -x^)

< 4 k,= 2tcR^
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x^ = R^ - x^ <=> X
Vậy Sxq đạt giá trị lớn nhất khi X =

.

2

Thể tích của khối trụ là:
V = 7ir^.2x = 2 tĩ.x(R^ - x^) = -2:ix^

+ 2;rR^x, 0 < X < R

V' = - 6 tĩx^ + 2TĩR^ V' = 0 <» X = Ạ
V3

X 0

Bảng biến thiên:

V'

Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi X =

V

R

75

+

0

—

Cách khác: dùng bất đẳng thức Côsi.
264

-999BT-


PHẢN

3: TOÁN ĐẠI sò

§ l . s ổ PHỨC
Bài 1.1; Tìm phần ảo của số phức w = 1 - zi + z , biết số phức z thỏa mãn;
(1 + i)z - 1 - 3i = 0.
Hướng dẫn giải
Giả sử z = X + yi (x, y e R)
z = X - yi
Theo giả thiết, ta có:
(1 + i ) ( x - y i ) - 1 - 3i = 0 o ( x + y - l) + ( x - y - 3 ) i = 0
íx = 2
o
. Suy ra z = 2 - i

[y•2=-i

Ta CÓ; w = 1 - (2 - i)i + 2 + i = 3 + i - 2i + i = 2 - i.
Vậy phần ảo của z là -1.
Bài 1.2: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)" biết rằng n nguyên dương
thoả mãn log4(n - 3) + logs(n + 6) = 4.
Hướng dẫn giải
Xét phương trình log4(n - 3) + log5(n + 6) = 4, n nguyên dương
Vì hàm số f(x) = log4(x - 3) + logs(x + 6), X > 3 là hàm đồng biến (3; + 00)
màf(19) = 4.
Do đó phương trình log4(n -3) + logs(n + 6) = 4 có nghiệm duy nhất n = 19.
z = (1 + i)'^ - [(1 + i)Y (1 + i) = (21)’ (1 + i) = 512i’(l + i)
= 512(iT i(l + 0 = 5121(1 +i) = -512 + 512i.
Vậy phân thực là -512.
Bài 1.3: Cho số phức z thỏa măn z ---- -—
. Tìm phần thực của số
1 + 3i
5
phức
Hướng dẫn giải
Gọi số phức z = a + bi (a, b e R)
DT- _
2
6 + 71
, , . a - b i 6 + 71
1 + 31
5
1 + 31
5
_
( a - b i) ( l-3 i) 6 + 71
10

5
<=> lOa + lObi - a + 3b + i(b + 3a) = 12 + 141
<» 9a + 3b + 1(1 Ib + 3a) = 12 + 141
Í9a + 3b = 12
ía = l ^
■o ( ,
o <
nên z = 1 + 1 .
llb + 3a = 14
b=l
-999BT-

265


2017

«2017 _ / I

la c ó z

1 ;\2017/ _

=(1+ 1)

- yj2 ^COS—+ Ì sin —j

2017n
201711
= 2“ ^®n/2 cos= 2^°°® +i.2 1008

+ isin
7
Vậy phần thực của
là 2'”®*.
Bài 1.4: Tìm một acgumen của sổ phức: z = (1 —i ^/3 )(1 + i).
Hướng dẫn giải
/r /
\
• • í "V
Ta có 1 -i\/3 = 2 cos í —
+ isin
l 3 jJ
l 3j
II

.

IC I

.

1 + i = n/2 cos —+ isin — .
V 4
4
^ Tt It^
( n Tt'!
Từ đó suy ra: (l-i\/3 ) (1 + i) = 2-v^ cos ----+ — + isin — + —
l 3 4 ;j
l 3 4j
= 2^/2 cos|

12

I+ isin

12

Vây một acgumen của số phức z là —— .
12

Bài 1.5: Tìm các acgumen của số phức: z = 2 + y/s + Ì .
Hướng dẫn giải
Biểu diễn hình học số phức z = 2 + ^/3 + i thì số phức z tuơng ứng với
điểm A (2 + Vs , 1).
^ 1- = 2-yf3
OH
2 + ^/3
2(2-\Í3)
l +( 2 - S )

Đặt (p = AOH ta có tan (p =
. „
2tancp
=> sin 2ọ = -----l + tan^(p

2(2-S) 2{2-S) 1
8-4^/3 ~ 4 (2 -> /3 )” 2
^Tuơng
™ ..tự cos2cp
o =

_ ---1 “ tan^
— (p _ >/3
—.
l + tan^(p
2
Suy ra: 2(p = —+ 2fn <=> (p = — + £n.
6

12

Nhung sincp > 0 nên chọn ọ = — + 2kit (k e Z)
12
Vây acgumen của z = 2 + ^/3
266

+

i bằng

— +

12

2kit (k

G

Z).
-999BT-

Bài 1.6: Cho số phức z thỏa mãn
- 6z + 13 = 0.
6
Tính z + z +i
Hướng dẫn giải
Phưcmg trình z ^ -6 z + 1 3 = 0 c ó A = 9 - 1 3 = —4 = {2iý
Do đó z = 3 + 2i hay z = 3 —2i.
- Với z = 3 + 2i, ta có
6
z+■
3 + 2i + = |3 + 2 i + l - i | = l4 + i|= > /Ĩ 7
z+i
3 + 3Ĩ
- Với z = 3 —2i, ta có
6
z H------r = 3 —2i +
= 3 - 2i +
z +i
3 -3 Ĩ
3 -3 i
= |3 - 2 i + — (3 + i) 1= ỉ|2 4 - 7 i| = 5.
10
5'
'
Bài 1.7: Tính mô đun của số phức z biết (1+ 2i)z + (1 - 2 z )i = 1 + 3i.
Hướng dẫn giải
Giả sử z = a + bi; a, b e R => z = a - b i
Ta có (1+ 2i)z + (1 - 2 z )i = 1 + 3i.
« (1+ 2i)(a +bi) + (1 - 2(a -bi))i = 1 + 3i.

<=> a + bi + 2ai - 2b + (1 -2a)i - 2b = 1 + 3i
<=> a - 4b + (b + 1)i = 1 + 3i
ía -4 b = l
ía = 9
<=>1
[b + l = 3
|b = 2
Vậy z = 9 + 2 i= > |z | = Vs5 .
Bài 1.8: Tính môđun của số phức z, biết z^ + 12i = z và z có phần thực dưong.
Hướng dẫn giải
Đặt z = X + yi (x, y e R; X > 0)
Tacóz^ + 1 2 i= z <=> (x + yi)^ + 12i = X -yi
<íí> x^ - 3xy^ + (3xV + 12)i = X - yi

I

- 3xy^ = X

[SxV -

+12 = -y

íx^ =3y^ +1
3 (2 y ^+ l)y -y ^+ 1 2 = -y
[x = 2 (Dox>0)

<=>

= 3y^ + 1
[2y^+y + 3 = 0

iy = - i
Do đó z = 2 - i . Suy ra \z\-y/E.
-999BT-

267


Bài 1.9: Tính |z |, biết số phức z thỏa mãn z = (1 + i)(3 - 2i) -

5i.z
(2 + i)

Hướng dẫn giải
Đặt z = a + bi, a, b e R ta có;
5iz
<=> a + bi = 5 + i -(2 - i)(a - bi)
z = (l + i ) ( 3 - 2 i) (2 + i)
<=>a + bi = 5 + i - (l + 2)(a - bi)
<=>a + bi = 5 + i - a —2b + (b —2a)
1
[5 -2 a -2 b = 0
<=>
< = > 5-2a-2b + (l - 2a)i = 0 0
2
1 - 2a = 0
Vậy môđun |z| -

+ b^ -

.
2
Bài 1.10: Tính I z -2i| biết số phức z thỏa mãn: (z - 2i).(z - 2i) + 4iz = 0.
Hướng dẫn giải
Đặt z = a + bi (a, b G R).
Ta có: |z - 2ì| = |a + (b - 2)i| =
+ b^ - 4b + 4
Theo giả thiết: (z - 2i).( z - 2i) + 4iz = 0
o (a + (b - 2)i).(a - (b + 2)i) + 4i(a + bi) = 0
o (a^ + b^ - 4 - 4b) + [a(b - 2) - a(b + 2) + 4a]i = 0
<=> a^ + b^ - 4b - 4 = 0 và a(b - 2) - a(b + 2) + 4“ = 0.
Do đó |z - 2i| = |a + (b - 2)i|
= Va^ + b^ - 4b + 4 + 8 = Tẽ - 2^/2
Vậy môđun của z - 2i bằng 2\/2 .
Bài 1.11: Tính môđun của số phức w = b + ci (b, c e R), biết số
phức zo =

là nghiệm của phưong trình z^ + bz + c = 0.

Hướng dẫn giải
(2i)'‘( - l - 2 i ) 2 (-l - 2i)(l + i)
=-3 -i
Ta có: Z q =
2i
(-2 i)"(l-i)
Vì zo là nghiệm của phưong trình z^ + bz + c = 0 nên
(-3 - i)^ + b(-3 - i ) + c = 0 o 8 - 3 b + c + ( 6 - b ) i = 0
Í8 -3 b + c = 0
íb -1 0
w = 10 + 6i

|6 - b = 0
c=6
Vậy |w| = Vĩo^+6^ = 2sỈM .
268

-999BT-


Bài 1.12: Viết dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của các số phức:
z = -2 + 2i ^/3 .
Hướng dẫn giải
T
2tĩ . .271^
1
Ta có: z = -2+i2\/3 = 4 - _ +i _ = 4 cos—- + isĩn —
3
3
2
2
TC . . n ' ] . .
,
= 2 cos^ + isin — = l + iv3va
3
3j
/
/
\
71
71
n . . n

= -2 cos —+1 sin — = 2 cos 71 + — + isin 71 + —

Vậy z có hai căn bậc hai là:
Z2

l

Zi

l

3j

3

3j

3 jj

V

4 ji . . 4 tc'
= 2 c o s ^ + isin — = - l - i S
3
3j
.

Bài 1.13 Viết dưới dạng lượng giác của số phức; z = ^
Hướng dẫn giải
íí/ n \] . . / 71\\1

Ta có ỉ - i \í s =
- 22 cos - — +isin
1
l 3j
V3Ì
(/

Và 1 + i = ^/21 cos —+ i sin —
4
4
71 7ĩ'
{ 71 71^1
1 -iS
2 cos f - —— + isin --- -- -1 + i ~ 72 L l 3 4 j
l 3
■■
cos { — + isin
l 12j.
l 12j
-r-í ,
^ i 1 ' __ l-(cos(p + isin(p)
Bài 1.14: Viêt dưới dạng lượng giác của sô phức z = --------- - r^ -----.
1 + cos (p+1 sin cp
Hướng dẫn giải
_ 1 - (cos ọ 4- i sin (p) _ (1 - cos cp) - i sin (p
1 + C0S(p + isincp (1 + cos (p) + i sin (p
„.o(p..(p
(p
__Ọ
2sin —-i.s in —cos—

sin —- ic o s ^
,
2
2
2 ,
ị
2
2 , _ i.ta n s
r.2 c o s2 ^

Ọ
2
9
:
•
9
2
os—
cos — + i.s in —
2

2

2

2

2

- Khi tan —>0 dang lương giác là: z = ta n — cos - — + isin - —
2

'
2y
\ 2)
\ 2) _
/
>
- Khi tan —< 0 dang lương giác của nó là: z = - tan — cos —+ i sin
2
2 ^ 2 2 ^
-999BT-

269


- Khi tan — = 0 thì không có dạng lượng giác.
2
Bài 1.15: Viết dưới dạng lượng giác số phức z = 1 +(^/2 - l)i.
Hưóìig dẫn giải
Dùng công thức hạ bậc: cos a = — —---- , sin a = -----—----- ., . *
n ^2 + V2 . • _ \l2-yf2
Ta tính được: cos-^ = ---- ^----- và sin-r ------- —
8
2
8
2
nên |z| =

= x/4^^2^ = V 2 .V 2 ^ ^

Ta có: z = 1 + (^/2 - l)i= yl2.\j2-yỈ2 ----- + i — ^

V2.V2 -V ^
SỈ2 .4 2 - S

^
V2.V2 -V 2

V2 + V2 + 1. yj2-y/2
■ in
• ^
= V4-2V2 cos^JT+ is
8

8

Bài 1.16: Tìm các căn bậc hai của số phức: z = 1 +4V3 i.
Hướng dẫn giải
Giả sử: X + yi, (x, y 6 R) là căn bậc hai của số phức z.
Ta có (x + yi)^ = l + 4 \/3 i <=> x^-y^ - 1 + 2(xy - 2 Vs )i = 0
[ x '- y '= l
12xy = 4 V3

<=>

x
2n/ s

x^=4
<=>s

y=-2^/3

Vậy có 2 căn bậc hai của z là; Z i = 2 + ^ / 3 i , Z2 = -2 - V s i.
Bài 1.17: Tìm các căn bậc hai của số phức z - 17 + 20 V2 i.
Hướng dẫn giải
Giả sử: X + yi, (x, y e R) là căn bậc hai của số phức z.
Ta có (x + yi)^ = 17 + 20^/2 i
« X - y - 17 + 2(xy-10V 2)i = 0
x" - y " - 1 7 = 0
x = 5,y = 2V2

lx y -1 0 V ^ = 0

x = -5,y = -2\Ỉ2

Vậy có hai căn bậc hai của z là 5 + 2V2Ì, - 5 - 2 ^/2 i.
Bài 1.18: Tìm sô phức z thoả mãn: [(1 + i)z - 3].(2iz - 3 + 2i) = 0.
Hướng dẫn giải
+ i)z-3 =
Tacó [(1+ i ) z - 3 ] .( 2 iz - 3 + 2i) = 0<»
2iz - 3 + 2i = 0

r(l

270

0

-999BT-

_ 3

z=
<»

2

o
z= —:

L

2i

u'
Vậy sô' phức

z=-

L

3 3.
—
-—

2

2

3,

2
i - —1

2

_ 3 3,
z = —- —1
<=>

2

2

_ --1i1 +
3.
z=
+ —
_ i1
2

L

3•
z =_ - l1+ —
1.

2

Bài 1.19: Tìm số phức z thỏa mãn; z^ + (2 - iy/8)z + 2=

3(1 +i\/2)

iv2 -1

^

Hướng dẫn giải
Đặt z = a + bi, a, b e R
PT »

(2 - iV8)z . 2 = 2 Í 1 ± 4 M

z ỊV2)

,

1+ 2

<=> z + (2 - i\Ỉ8)z + 2 = -(1 + \-j2Ýz
o z^ + (2-i^/8)z + 2 = (1 - 2i\/2)z <=>z +z + 2 = 0
<=> (a - bi)^ + a + bi + 2 = 0
<=> a^ —b^ + a + 2 + i(b —2ab) = 0
\
a =—
|a ^ - b ^ + a + 2 = 0
2
o
o
Ib - 2ab = 0
V ĩĩ

b -±
Vậy có 2 số phức thỏa măn đề bài là: z = —+

,z = —-

.

Bài 1.20: Tìm số phức z thỏa măn: (z + i)^ + I z - 2 p = 2(z - 3i)^.
Hưóìig dẫn giải
Đặt z = X + yi (x, y G R)
Khi đó: (z + 1 )H 1 z - 2 I = 2(z - 3i)^
<=> (x + (y + l)i)^ + 1(x - 2) + yi p = 2(x - (y + 3)i)^
<» x^- (y + \ ý + 2x(y + 1)i + (x - l ý + y^ = 2x^ - 2(y + 3)^ - 4x(y + 3)i
f - (y + 1)^ + (x - 2Ỷ +y^ - 2x^ - 2(y + 3)^
<=>
|2x(y+l) = -4x(y + 3)
jx^ - (y +1)^ + (x - 2Ý + y^ = 2x^ - 2(y + 3)^
|2x(3y + 7) = 0
7
íx = 0
hay "
<=>
497
l2y^ -1 0 y + 21 = 0(A<0)
= 4x

X =

497
36

-999BT-

271


_ 497 7.
Vậy z =
.
36 3
Bài 1.21 : Tìm số phức z sao cho z^ là số thuần ảo và |z - 2i| = 4 .
Hướng dẫn giải
Gọi z = a + bi, (a, b € R). Ta có
|z - 2i| =
+(b-2)^ , z^ = a^ - b^ + 2abi
I
ía " + (b -2 f= 4
Nên z - 2i = 4 và z thuân ảo <=> ị
]a^-h^=0
a =2
a = -2
<=>i ^ ^ hoăc -i ”
hoăc ,
[b = 0
[b = 2
[b = 2
Vậy z = 0, z = 2 + 2i, z = -2 + 2i.
Bài 1,22: Tìm số phức z thoả mãn: Iz| = 5 và phần thực của z bằng hai lần
phân ảo của nó.
Hướng dẫn giải

Giả sử z = a + bi, (a;b e R)

Ta có:

'
<=>
a = 2b
<=>

[a = 2b

Ía = -2V5,

|b = ± ^ " |b l-^

fa = 2V5
T b l^

Vậy có hai số phức cần tìm: z = -2-JE - i^ /5 ,z = 2^/5 + i y/E.
Bài 1.23: Tìm số phức z thỏa mãn (1 - 3i)z là số thực và thỏa mãn
z - 2 + 5i = 1.
Hướng dẫn giải
Giả sử z = a + bi, (a;b 6 R)
Khi đó (1- 3i)z = (1 - 3i)( a+ bi) = a + 3b + (b - 3a)i
(1 - 3i)z là số thực < » b - 3 a = 0<=>b = 3a
z - 2 + 5i = l o | a - 2 + (5-3a)i| = l o V(a-2)^ +(5-3a)^ =1
<=> lOa^ - 34a + 29 = 1 <» 5a^ - 17a +14 = 0
a =2 b =6
7
21

L 5
5
7 21
Vậy z = 2 + 6i hoặc z =
i.
5 5

272

-999BT-


Bài 1.24: Tìm số phức z sao cho: I z

z ,, 3tĩ
là -— .
I= — và một acgumen của ——
1+ i
4

Huứng dẫn giải
'
I
1 thì có z = 1—(coscp + isinọ)
Theo giả thiêt
Iz II= —
3
3
=>

z == —
(cosọ 3

isinọ) = —(cos(-3
^ n . .
1—
-- ] = s cos —+ isin —
V U + i = yỈ2 —1^ + ,-j2
4
4
V2
2
Nên:

—^
1+ i

+ i. sin(-(p
V íI cos(-cp
' ^ - —)
4'
' - —)
4'

3 2

Do đó: -(p- —= - — + 2kn<=>(p = —+ 2k7t
4
4

2
„
_ 1f
n . .
1.
Vậy: z = — cos^ + isin — = —1.
31,
2
2
. 1-V3Ì .
Bài 1.25: Tìm số phức z thỏa mãn: 2 |z -i| = 2 + z - z và ---- ^— có một
______ 2iĩ
acgumen là — - .
Hướng dẫn giải
Giả sử z = r(cos(p + isincp), r > 0.
(
-n . . -7t^
( 1 V3.]
l
3
3J
12 ' 2
—

nên

1-yíSi

K
cos| - —-(pj + isin “ o

%/3r .
2n
Theo giả thiêt - —- ^
3
3
3
2 2
Theo giả thiết 2 | z - i | = |2 + z - z I
Cí> I r + (>/3 r - 2)i) I = 12 + \Í3rì)
«
r - 2)^ = 4 + (^/3 r)^ o
- 4 Vs r = 0
<»r = 4^/3, v ìr > 0 .
Vậy số phức cần tìm: z = 2yÍ3 + 6i.
Bài 1.26: Tìm số phức z thỏa mãn: (iz - l)(z + 3i)(z - 2 + 3i) = 0.
Hướng dẫn giải
Ta có: (iz - l)(z + 3i)(z - 2 + 3i) = 0 nên:
- hoặc iz - 1 = 0 tức là z = -i
- hoặc z + 3i = 0 tức là z = -3i
-999BT-

273


- hoặc z - 2 + 3i = 0 t ứ c l à z - 2 - 3 i = 0 hay z = 2 + 3i
Vậy z = -i, z = -3i và z =2 + 3i.
Bài 1.27: Tìm số phức z thỏa mãn: z^ + 4 = 0.
Hướng dẫn giải

Ta có: z^ + 4 = 0 <=> (z + 2i)(z - 2i) = 0
<=>z + 2i = 0 hoặc z - 2 i = 0 o z = —2i hoặc z = 2i
Vậy z = 2i và z = -2i.
Bài 1,28: Tìm số phức z thỏa mãn: z^ =

.
V2
Hướng dẫn giải

Đặt z = x+iy (x, y e R). Ta có z^ = ^ ^ ^
<=> x^ - 3xy^ + i(3x^y - y^) = ^ ^ ^
x^ - 3xy^ =
<=>

^/2 ^ Ị(x - y)(x^ + + 4xy) = V2

3 x V -v ^ = —

l(x + y)(x^ + y ^ -4xy) = 0

V2
- Xét x + y = 0=> y = -x nên x^ - 3x^ =
-1
2V2
Do đó: y =

tV 2 y

=> X =

-1

7^'

nên ta đươc: Zi -

- Xét x^ + y^ - 4xy = 0.
Ta có hệ:

(x - y) [(x - y)^ + 6xy] = V2

x -y =
<=>

1
4

(x - y)^ - 2xy = 0
—1 + Ì
72(73 +1) .
V ậ y : z i = ^ - ; Z2+ 1.-

- 1)

T . A

7 2 ( - 7 3 + 1 ) _ . 72(73 + 1)
4

4

_

_

Bài 1.29: Giải phưomg trình nghiệm phức: z. z + 3(z - z ) = 4 - 3i.
Hướng dẫn giải
Đặt z = X + iy, (x, y e R)
Ta có:z. z + 3(z - z ) = x^ + y^ + 3.2iy = x^ + y^ + 6yi
274

-999BT-


_
—
—
Íy^ + = 4
o
D o đ ó : z .z + 3 ( z - z ) = 4 -3 i< = > r ^
1 6y = -3

x=±

VĨ5
1

_ VĨ5 i . .
_ ^ỈĨ5 i
Vậy z = — ----^ hoặc z = ---------- —.

2

2

2

2

Bài 1.30: Giải phưong trình trong tập số phức: z^ + (1 - 3i)z - 2(1+ i) = 0.
Hướng dẫn giải
Ta có A = (1 - 3i)^ + 8(1 + i) = 2i = (1 + iý
nên phưcmg trình có hai nghiệm là:
Zi =

-[-\

+ 3 i + ( l +i ) ] = 2 i , Z 2 = - [ - 1 + 3 i - ( l +i)] = - l +i.

2
2
Bài 1.31: Tìm các nghiệm phức của phương trình
2z^ - 2(5-2i)z + 28 - 4i = 0
Hướng dẫn giải
Ta có A’ = (5 - 2iý - 2 (28 - 4i) = -35 - 12i
Ta tìm các căn bậc hai X + yi của A':
,
..2
íx ^ -y ^ = -3 5
(x + yi) = -3 5 - 12i
^

[2xy = -12

Ta có: x^ + y^ = Vs5^ + 12^ = Vl369 = 37
Do đó giải được 2 căn bậc 2 là: ±(1 - 6i)
Vậy phưong trình có 2 nghiệm: Z i = 3 - 4i và Z2 = 2 + 2i
Bài 1.33: Giải phưoTig trình nghiệm phức: 2ix^ - 3x + 4 + i = 0.
Hướng dẫn giải
A = 9 - 8 i ( 4 + i) = 9 - 3 2 i - 8 i ^ = 1 7 -3 2 i
Ta tìm các căn bậc hai a + bi của A = (a + bi)^ = 17 - 32i
2 256
17
a ----^
_ [a^ -b^ -1 7 _
<=> (
Oi
2ab = -32
Từ đó, phưong trình cho có 2 nghiệm phức:
1 yjl313-17
4V
2
1^ V1313-17
4V
2

-999BT-

1
V1313 + 17
3+,
i;

4
1 ,
4

|Vl313+17
2

y
275


Bài 1.34: Giải phương trình nghiệm phức: = i.
Hướng dẫn giải
Đặt z = X + iy, (x, y e R). Ta có (x + iy)^ = i
3 _ 2
2
3x •
Cí>x -3 x y +i(3x y - y ) =

íx®-3xy^==0

[3 x V -y "-l
Ta có: x^ - 3xy^ = 0 <=> X (x^ - 3y^) - 0
<=>X = 0 hay X = ±y^/3
1
Nếu X = 0 => y = -1. Nếu x = ±\Ỉ3 Y => = ^ và X

y

.

_ . _ n/s
Vậy z = - 1 , z = ^
2

\ỉs

2

2

i ,
Vs i
^ và z = — ^ + —.
2

2

2

Bài 1.35: Giải phương trình nghiệm phức: z^ - (3 + i)z^ + (3 + 4i)z + 1 - mi = 0
biết phương trình có một nghiệm là z = i.
Hướng dẫn giải
Thay z = i vào phương frình ta có m = 3.
Khi đó phương ưình trở thành
z^ - (3 + iK + (3 + 4i)z + 1 -3 1 = 0
<=> (z - i)(z^ - 3 z + 3 + i) = 0 o z = i hoặc z^ - 3z + 3 + i = 0
Ta có A: 9 - 4(3 + i) = -3 - 41 = (1 - 21)^
Suy ra z = 2 - 1, z = 1 + 1.
Vậy nghiệm của phương trình là z = 1, z = 2 - 1, z = 1 + 1.
Bài 1.36: Giải phương trình nghiệm phức: z'* + 2z^ + z^ + 4z + 4 = 0.

Hướng dẫn giải
Ta có z = 0 không là nghiệm của phương trình
Chia hai vế của phương trình cho 7} ta dược;
7
4 4
z^ + 2z + 1 + —+ -^ = 0 <=> z + — + 2 z + - 1-3 = 0
z z
V z
z2 - z + 2 = 0
z = —± - ^ 1
z
<=>
„
C:>
<=>
2
2
z^
+
3z
+
2
=
0
z + - = -3
z = - l,z = -2
z
Vậy nghiệm của phương trình là z = -1, z = -2, z = - ± - ^ 1.
2

2

Bài 1.37: Giải các phương trình nghiệm phức;
(x + 1- 2) [x^ - (2 + i)x + 71 - 1] = 0.
Hướng dẫn giải
Ta có (x + 1- 2) [x^ - (2 + i)x + 71 -1] = 0
<=> X = 2 - 1hoặc x^ - (2 + i)x + 71 -1 = 0
276

-9995T-


Phương trình bậc hai có biệt thức
A = (2 + i)^ - 4 (7 i-l) = 7 - 24i = (4 - 3i)^ nên A có các căn bậc hai là
+ (4 - 3i). Từ đó giải cho 2 nghiệm x = 3 - i , x = - l +2i
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: X = 2 - i, X = 3 - i, x= -1 + 2i.
Bài 1.38: Giải phương trình nghiệm phức: 2z^ - 9z^ + 14z - 5 = 0.
Hướng dẫn giải
Ta có 2z^ - 9z^ + 14z - 5 = 0
<=> (2z - 1) (z^ - 4z + 5) = 0
<=> 2z - 1 = 0 hoặc z^ - 4z + 5 = 0
Biệt thức của phương trình bậc hai A = 16 - 20 = —4 nên có các căn bậc
hai là ±2i.
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm —, 2-i, 2+i
2
Bài 1.39: Giải phương trình nghiệm phức: - z ^ + 6z^ - 8z - 16 = 0.
Hướng dẫn giải
Xét z = -1 thì phương trình; 1 + 1 + 6 + 8 - 1 6 = 0 nghiệm đúng nên
phương trình tương đương: (z + 1)(z^ - 2z^ + 8z - 16) = 0
o (z + l)(z - 2)(z^ + 8) = 0 o z = -1 hoặc z = 2 hoặc z^ = -8

o z = -1 hoặc z = 2 hoặc z = ± 2i V2 .
Bài 1.40: Giải phương trình nghiệm phức: 8z'' + 8z^ = z + 1.
Hướng dẫn giải
Ta có 8z'* + 8z^ = z+ 1 <=> (z + l)(8z^ - 1) = 0
<» (z+ l)(2z - l)(4z^ + 2z + 1) = 0
<=> (z+ 1)(2z - 1) = 0 hay 4z^ + 2z + 1 = 0
Ta có 4z^ + 2z + 1 = 0 <=> ^2z 4-'1— 4 = 0

4

1
1 . ^/3,
1 va z = ------- -1.
là z = - —+
4 4
4 4
Vậy
Vay nghiệm:
ngniem: Z
z = -1
- l ,, z = —; z =
= — + - —1
2
4 4

va
và zz = ----------- ^—11 .

4

4

Bài 1.41: Trong các số phức z thoả mãn |z - 3i| = 1, tìm số phức có môđun
nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Đặt z = X + iy, X , y e R, ta có |z - 3i| = 1 <=> x^ + (y - 3)^ = 1
Từ x^ + (y - 3)^ = 1 ta có (y - 3)^ < 1 o 2 < y < 4
Do đó: |z| - -y/x^ + y^ = >^c^T7ỹ^-3)^"-i-'6ỹ^^ = -y/6y- 8 > V ĩ = 2
Dấu bàng xảy ra khi và chỉ khi X = 0 và y = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của |z| bằng 2 đạt khi z = 2i.
-999BT-

277