Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 8: Kiểm định giả thiết thống kê

CHƯƠNG 8
Kiểm đònh giả thiết thống kê
(3LT + 3BT)
1. Khái niệm
Giả thiết thống kê (giả thiết) là các phát biểu
liên quan đến các số đặc trưng của ĐLNN, quy luật
phân phối của ĐLNN, tính độc lập của các ĐLNN…
Kiểm đònh là dựa vào một mẫu cụ thể, thực hiện
một số thủ tục để đưa ra quyết đònh chấp nhận hoặc
bác bỏ giả thiết thống kê.
Giả thiết cần kiểm đònh ký hiệu Ho. Giả thiết
phải chấp nhận nếu bác bỏ Ho ký hiệu là H1.


Vì quyết đònh đưa ra chỉ dựa trên một mẫu cụ
thể nên quyết đònh có thể bò sai. Ta gọi sai lầm
loại I là quyết đònh bác bỏ Ho trong khi Ho đúng, sai
lầm loại II là quyết đònh chấp nhận Ho trong khi Ho
sai. Xác suất mắc sai lầm loại I gọi là mức ý nghóa,
ký hiệu α.
Để tiến hành thủ tục kiểm đònh, trước tiên
người ta xây dựng tiêu chuẩn kiểm đònh như sau:
Xét ĐLNN X và các giả thiết Ho, H1.
Xét mẫu ngẫu nhiên X1, X2, …, Xn. Tiêu chuẩn
kiểm đònh là một thống kê G = G(X1, X2, …, Xn) được
chọn sao cho khi Ho đúng thì quy luật phân phối xác
suất của ĐLNN G được xác đònh.


Với mức ý nghóa α, chọn miền bác bỏ Ho là Wα
sao cho:

P(G∈Wα /Ho) = α
Sau khi lấy mẫu cụ thể, hàm G có giá trò kiểm
đònh g. Quy tắc quyết đònh như sau:
* g∈Wα : bác bỏ Ho.
* g∉Wα : chấp nhận Ho.
2. Kiểm đònh số đặc trưng tổng thể
2.1 Kiểm đònh trung bình tổng thể
2.1.1 Kiểm đònh hai phía (H1 : µ ≠ µo)
Cho trước một mẫu cụ thể kích thước n, xét phát
biểu cho rằng giá trò µo là trung bình tổng thể µ với


mức ý nghóa α. Để xem phát biểu trên có chấp nhận
được hay không, ta cần kiểm đònh giả thiết:
Ho: µ = µo với H1: µ ≠ µo
TH1,2,3 n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng
thể có phân phối Chuẩn"
Khi một trong các trường hợp trên xảy ra thì với
X −µ
mẫu ngẫu nhiên kích thước n,
có phân phối
σ/ n
Chuẩn Chính Tắc hay được xấp xỉ với phân phối
Chuẩn Chính Tắc. Trường hợp chưa biết σ thì thay
bởi S.


Phân tích vấn đề theo cách I
Giả đònh Ho đúng, tức là µ = µo. Lúc này ĐLNN
X − µo

có phân phối Chuẩn Chính Tắc, vì vậy biến
σ/ n
X − µo
≤ zα/2 xảy ra với xác suất 1–α. Với α từ 5%
cố
σ/ n
X − µo
trở xuống, ta cho rằng biến cố
≤ zα/2 chắc
σ/ n
chắn xảy ra trong thực tế, tức là với mẫu cụ thể kích
x − µo
thước n nào cũng phải có
≤ zα/2. Nếu với một
σ/ n
x − µo
> zα/2 thì
mẫu cụ thể kích thước n, ta thấy
σ/ n


đây là điều vô lý, chứng tỏ giả đònh µ = µo sai. Vậy
nếu dấu hiệu này xảy ra ta quyết đònh bác bỏ giả
thiết Ho.
X − µo
Khi
có phân phối Chuẩn Chính Tắc thì
σ/ n
X − µo
biến cố

> zα/2 vẫn có thể xảy ra với xác suất
σ/ n
α. Vậy lập luận để dẫn đến điều vô lý nêu trên có
thể bò sai với xác suất α, tức là quyết đònh bác bỏ giả
thiết Ho có thể gặp sai lầm với xác suất α.


Phân tích vấn đề theo cách II
Kết quả của việc ước lượng µ với độ tin cậy 1–α
cho thấy biến cố µ∈[ X – ε, X + ε], viết cách khác là
 X – µ≤ ε, xảy ra với xác suất 1–α.

Giả đònh Ho đúng, tức là µ = µo, thì biến cố
 X – µo≤ ε phải xảy ra với xác suất 1–α. Với α từ 5%
trở xuống, ta cho rằng biến cố  X – µo≤ ε chắc chắn
xảy ra trong thực tế, tức là với mẫu cụ thể kích thước
n nào ta cũng phải có  x – µo≤ ε. Nếu với một mẫu cụ
thể kích thước n, ta thấy  x – µo> ε thì đây là điều
vô lý, chứng tỏ giả đònh µ = µo sai. Vậy nếu dấu hiệu
này xảy ra ta quyết đònh bác bỏ giả thiết Ho.
Ta có:


x − µo
 x – µo > ε = zα/2 σ ⇔
> zα/2
σ/ n
n
Vì độ tin cậy là 1–α nên ngay khi Ho đúng, biến
cố  X – µo > ε vẫn có thể xảy ra với xác suất α. Vậy

lập luận để dẫn đến điều vô lý nêu trên có thể bò sai
với xác suất α, tức là quyết đònh bác bỏ giả thiết Ho
có thể gặp sai lầm với xác suất α.
Các phân tích trên gợi ý cho ta chọn:
X − µo
Tiêu chuẩn kiểm đònh: G =
σ/ n
(Nếu chưa biết σ thì thay bởi S)
Miền bác bỏ Ho: Wα = (–∞, –zα/2)∩(zα/2, +∞)


TH4 n ≤ 30, chưa biết phương sai tổng thể
σ2, tổng thể có phân phối Chuẩn
X −µ
Lúc này
có phân phối Student n–1 bậc tự
S/ n
do. Tất cả lập luận bên trên đều áp dụng được, miễn
là thay zα/2 bởi t(n–1)α/2. Vậy ta chọn:
X − µo
Tiêu chuẩn kiểm đònh: G =
S/ n
Miền bác bỏ Ho: Wα = (–∞, –tα/2)∩(tα/2, +∞)
Tóm tắt – Kiểm đònh hai phía trung bình tổng
thể (H1: µ ≠ µo)
Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghóa α.
Tính giá trò kiểm đònh (KĐ) và tra giá trò tới hạn


(TH). Nếu giá trò kiểm đònh có trò tuyệt đối lớn hơn

giá trò tới hạn thì bác bỏ Ho (KĐ > TH).
x − µo
Công thức tính giá trò kiểm đònh:
σ/ n
(Nếu chưa biết σ thì thay bởi s)
Giá trò tới hạn được tra theo hai trường hợp:

n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng thể có
phân phối Chuẩn"
Giá trò tới hạn: zα/2

n ≤ 30, chưa biết σ2 và tổng thể có phân
phối Chuẩn
Giá trò tới hạn: t(n–1)α/2


Ví dụ
(1) Trọng lượng ghi trên bao bì của một loại sản
phẩm 6Kg. Lấy ngẫu nhiên 121 sản phẩm và cân
thử thì tính được trọng lượng trung bình là 5,975Kg
và phương sai là 5,7596. Với mức ý nghóa 5% thì
trọng lượng ghi trên bao bì có chấp nhận được
không?
Ta cần kiểm đònh giả thiết:
H o: µ = µ o

"Trọng lượng ghi trên bao bì chấp
nhận được"

H1: µ ≠ µo "Trọng lượng ghi trên bao bì không

chấp nhận được"
Ta có:
n = 121 x = 5,975 µo = 6 s2 = 5,7596 ⇒ s = 2,399


Giá trò kiểm đònh: KĐ =

x − µo

= –0,1146

s/ n
Giá trò tới hạn: α = 5% ⇒ TH = zα/2 = z0,025 = 1,96
=NORMSINV(1–0,025)

Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH không thoả, quyết
đònh chấp nhận giả thiết Ho.
Trọng lượng ghi trên bao bì chấp nhận được (với mức
ý nghóa 5%).
(2) Đường kính của một chi tiết máy được sản xuất
theo chuẩn là 3,02cm. Lấy ngẫu nhiên 25 chi tiết và
đo thử thì tính được đường kính trung bình là 3,14cm
với độ lệch chuẩn là 0,275cm. Với độ tin cậy 95%
hãy cho biết các chi tiết sản xuất có đúng chuẩn
không ?


Ta cần kiểm đònh giả thiết:
H o: µ = µ o

"Các chi tiết sản xuất đúng chuẩn"

H 1: µ ≠ µ o

"Các chi tiết sản xuất không đúng
chuẩn"
µo = 3,02 s = 0,275
Ta có: n = 25 x = 3,14
x − µo
Giá trò kiểm đònh: KĐ =
= 2,1818
s/ n
Giá trò tới hạn:
1–α = 95% ⇒ TH = t(n–1)α/2 = t(24)0,025 = 2,0639
=TINV(0,025*2; 24)

Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH thoả, quyết đònh
bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả thiết H1.


Các chi tiết sản xuất không đúng chuẩn (với độ tin
cậy 95%).

2.1.2 Kiểm đònh phải (H1 : µ > µo)
Từ dữ liệu của một mẫu cụ thể, với mức ý nghóa
α cho trước, ta cần kiểm đònh:
Ho: µ = µo với H1: µ > µo

TH1,2,3 n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng
thể có phân phối Chuẩn"

Khi một trong các trường hợp trên xảy ra thì với
X −µ
có phân phối
mẫu ngẫu nhiên kích thước n,
σ/ n
Chuẩn Chính Tắc hay được xấp xỉ với phân phối


Chuẩn Chính Tắc. Trường hợp chưa biết σ thì thay
bởi S.
X − µo
Giả đònh Ho đúng, tức là µ = µo. Do
có
σ/ n
X − µo
≤ zα
phân phối Chuẩn Chính Tắc nên biến cố
σ/ n
xảy ra với xác suất 1–α. Vì vậy nếu với một mẫu cụ
x − µo
thể kích thước n, ta thấy
> zα thì đây là điều
σ/ n
vô lý, chứng tỏ giả đònh µ = µo sai. Vậy nếu dấu hiệu
này xảy ra ta quyết đònh bác bỏ giả thiết Ho.


Khi

x − µo

> zα xảy ra, tức là khi bác bỏ Ho, thì

σ/ n
x−µ
x − µo
x−µ
≤ zα, do đó
>
. Điều này
ta vẫn có
σ/ n
σ/ n σ/ n
chứng tỏ khi bác bỏ giả thiết Ho thì µ > µo.
Vậy ta chọn:
Tiêu chuẩn kiểm đònh: G =

X − µo

σ/ n
(Nếu chưa biết σ thì thay bởi S)

Miền bác bỏ Ho: Wα = (zα, +∞)

TH4 n ≤ 30, chưa biết phương sai tổng thể
σ2, tổng thể có phân phối Chuẩn


Phân tích tương tự trên với phân phối Student,
ta chọn:

X − µo
Tiêu chuẩn kiểm đònh: G =
S/ n
Miền bác bỏ Ho: Wα = (tα, +∞)

Tóm tắt – Kiểm đònh phải trung bình tổng thể
(H1: µ > µo)
Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghóa α. Ta
tính giá trò kiểm đònh (KĐ) và tra giá trò tới hạn
(TH). Nếu giá trò kiểm đònh lớn hơn giá trò tới hạn
thì bác bỏ Ho (KĐ > TH).
x − µo
Công thức tính giá trò kiểm đònh:
σ/ n


(Nếu chưa biết σ thì thay bởi s)
Giá trò tới hạn được tra theo hai trường hợp:

n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng thể có
phân phối Chuẩn"
Giá trò tới hạn: zα

n ≤ 30, chưa biết σ2 và tổng thể có phân
phối Chuẩn
Giá trò tới hạn: t(n–1)α

Ví dụ
Trọng lượng của một con gà khi xuất chuồng
được chọn ngẫu nhiên là ĐLNN có phân phối Chuẩn.

Trước đây, trọng lượng trung bình là 1,7Kg. Người ta
áp dụng phương pháp chăn nuôi mới và cân thử 25


con gà xuất chuồng thì tính được trọng lượng trung
bình là 1,87Kg và phương sai là 0,25. Hãy cho nhận
xét về phương pháp chăn nuôi mới với mức ý nghóa
5%.
Do gà tăng trọng nên ta kiểm đònh giả thiết:
H o: µ = µ o

"Phương pháp chăn nuôi mới không
làm gà tăng trọng"

H1: µ > µo "Phương pháp chăn nuôi mới làm gà
tăng trọng"
Ta có: n = 25
0,5

x = 1,87

Giá trò kiểm đònh: KĐ =

µo = 1,7
x − 1,7
s/ n

= 1,7

s2 = 0,25 ⇒ s =

Giá trò tới hạn: α = 5% ⇒ TH = t(n–1)α = t(24)0,05 =
1,711
=TINV(0,05*2; 24)

Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH không thoả, quyết
đònh chấp nhận giả thiết Ho.
Phương pháp chăn nuôi mới không làm gà tăng
trọng (với mức ý nghóa 5%).

2.1.3 Kiểm đònh trái (H1 : µ < µo)
Từ dữ liệu của một mẫu cụ thể, với mức ý nghóa
α cho trước, ta cần kiểm đònh:
Ho: µ = µo với H1: µ < µo


Phân tích tương tự trên, ta đi đến kết luận:

TH1,2,3 n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng
thể có phân phối Chuẩn"
X − µo
Tiêu chuẩn kiểm đònh: G =
σ/ n
(Nếu chưa biết σ thì thay bởi S)
Miền bác bỏ Ho: Wα = (–∞, –zα)

TH4 n ≤ 30, chưa biết phương sai tổng thể
σ2, tổng thể có phân phối Chuẩn
X − µo

Tiêu chuẩn kiểm đònh: G =
S/ n
Miền bác bỏ Ho: Wα = (–∞, –tα)


Tóm tắt – Kiểm đònh trái trung bình tổng thể
(H1: µ < µo)
Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghóa α. Ta
tính giá trò kiểm đònh (KĐ) và tra giá trò tới hạn
(TH). Nếu giá trò kiểm đònh nhỏ hơn giá trò tới hạn
thì bác bỏ Ho (KĐ < TH).
x − µo
Công thức tính giá trò kiểm đònh:
σ/ n
(Nếu chưa biết σ thì thay bởi s)
Giá trò tới hạn được tra theo hai trường hợp:
n > 30 hoặc "n ≤ 30, biết σ2 và tổng thể có
phân phối Chuẩn"
Giá trò tới hạn: –zα


n ≤ 30, chưa biết σ2 và tổng thể có phân
phối Chuẩn
Giá trò tới hạn: –t(n–1)α
Ví dụ
Mức tiêu hao nguyên liệu để sản xuất một sản
phẩm là ĐLNN có phân phối chuẩn. Mức tiêu hao
trung bình là 1,2Kg với độ lệch chuẩn 3,1Kg. Sau
một thời gian sản xuất, người ta kiểm tra mức sử
dụng nguyên liệu của 25 sản phẩm thì thu được bảng

sau:
Mức NL (Kg) 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
Số sản phẩm
4 5 6 7 3
Với mức ý nghóa 5%, hãy cho nhận xét về mức
tiêu hao nguyên liệu trung bình.


Do lượng tiêu hao nguyên liệu trung bình giảm nên
ta kiểm đònh giả thiết:
Ho: µ = µo "Mức tiêu hao nguyên liệu trung bình
không thay đổi"
H1: µ < µo "Mức tiêu hao nguyên liệu trung bình
có giảm"
Ta có: n = 25

x = 1,1

µo = 1,2
σ = 3,1
x − µo
= –0,16
Giá trò kiểm đònh: KĐ =
σ/ n
Giá trò tới hạn: α = 5% ⇒ TH = –zα = –z0,05 = –1,645
=–NORMSINV(1–0,05)

Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ < TH không thoả, quyết
đònh chấp nhận giả thiết Ho.

Mức tiêu hao nguyên liệu trung bình không thay đổi
(với mức ý nghóa 5%).

2.2 Kiểm đònh tỷ lệ tổng thể
Ta chỉ xét trường hợp khi n đủ lớn (npo ≥ 10 và
n(1–po) ≥ 10).

2.2.1 Kiểm đònh hai phía (H1 : p ≠ po)
Từ dữ liệu của một mẫu cụ thể, với mức ý nghóa
α cho trước, ta cần kiểm đònh:
Ho: p = po với H1: p ≠ po
F−p
được xấp xỉ
Theo giả thiết n đủ lớn,
p(1 − p) / n
bởi phân phối Chuẩn Chính Tắc. Giả đònh Ho đúng,