Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE

Interdisciplinary Sci., 2014, Vol. 59, No. 6, pp. 10-19

BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA SINH VIÊN
KHI SỬ DỤNG CÁC PHÉP CHỨNG MINH TOÁN HỌC

Đào Thị Hoa
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tóm tắt. Các phép chứng minh phân tích, chứng minh tổng hợp, chứng minh phản
chứng và chứng minh loại dần là những phép chứng minh thường được sử dụng khi
giải các bài toán ở trường phổ thông. Tuy nhiên, khi sử dụng những phép chứng
minh này trong quá trình giải toán, sinh viên thường mắc phải một số sai lầm.
Bài báo phân tích một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép
chứng minh toán học, nguyên nhân dẫn đến sai lầm và biện pháp khắc phục những
sai lầm đó.
Từ khóa: Phép chứng minh, sai lầm, bài toán, giải toán.

1. Mở đầu
Trong dạy học toán ở nhà trường phổ thông, việc hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải
của bài toán và trình bày lời giải bài toán là một công việc rất thường xuyên và hết sức
cần thiết của mỗi giáo viên toán. Với dạng toán chứng minh, thầy và trò thường xuyên sử
dụng các phép chứng minh toán học như phép chứng minh phân tích, phép chứng minh
tổng hợp, phép chứng minh phản chứng, phép chứng minh loại dần, . . . Như vậy, những
tri thức và kĩ năng, kĩ xảo về các phép chứng minh toán học là một trong những hành trang
quan trọng mà mỗi giáo viên toán tương lai cần phải được trang bị và rèn luyện (Có thể
tìm hiểu về các phép chứng minh toán học trong nhiều tài liệu như trong [2, 4, 5]).
Trong quá trình dạy hoc các phép chứng minh toán học, khi kiểm tra hiểu biết của
sinh viên về các phép chứng minh này thông qua các bài tập, chúng tôi nhận thấy sinh
viên thường mắc phải một số sai lầm không đáng có. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để hạn

chế tối đa những sai lầm đó? Như vậy, một nghiên cứu cụ thể nhằm khắc phục sai lầm của
sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học là cần thiết và có ý nghĩa, góp phần
nâng cao năng lực chuyên môn nghiệp vụ cho sinh viên khoa Toán - Đại học Sư phạm.

Ngày nhận bài: 12/2/2014. Ngày nhận đăng: 15/5/2014.
Tác giả liên lạc: Đào Thị Hoa, e-mail:

10


Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học

2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Sai lầm khi sử dụng phép chứng minh phân tích và tổng hợp
Như ta đã biết, phân tích và tổng hợp là hai trong các phép chứng minh trực tiếp
thường được sử dụng trong dạy học toán ở phổ thông. Về mặt lí thuyết, hai phương pháp
chứng minh này rất rõ ràng và dễ hiểu. Mặc dù vậy, sinh viên vẫn mắc phải một số sai
lầm. Những sai lầm này sẽ được phân tích thông qua ví dụ cụ thể sau:
Ví dụ: Cho bài toán sau: “Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thỏa
mãn hệ thức sin A = 2 sin B cos C thì tam giác ABC cân tại A”.
a) Trình bày một lời giải của bài toán trên.
b) Trình bày những hiểu biết của mình về phép chứng minh đã sử dụng để giải bài
toán trên.
Trong bài toán trên, ở phần a của đề bài ta có: Mệnh đề đã cho là “ba góc của tam
giác ABC thỏa mãn hệ thức sin A = 2 sin B cos C”, mệnh đề cần chứng minh là “tam
giác ABC cân tại A”. Để trình bày phần a sinh viên có nhiều cách khác nhau, còn phần b
lại phụ thuộc vào phần a.
Với đề bài này, sinh viên thường mắc phải những sai lầm trong lời giải như sau:
Lời giải 1:
a) Vì tam giác ABC cân tại A ⇒ B = C ⇒ A = π − 2B ⇒ sin A = sin(π −

2B) ⇒ sin A = sin 2B ⇒ sin A = 2 sin B cos B ⇒ sin A = 2 sin B cos C (B = C theo
trên). Mà sin A = 2 sin B cos C là mệnh đề đã cho nên ta có điều phải chứng minh.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích
đi xuống.
Phân tích lời giải: Ở lời giải này, trong phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích đi
xuống, tuy nhiên trong trường hợp này mệnh đề đã cho “sin A = 2 sin B cos C” là mệnh
đề đúng nên chưa thể kết luận gì về mệnh đề cần chứng minh. Phép phân tích đi xuống
trong trường hợp này không phải là là phép chứng minh (sai lầm về luận chứng), do đó
phần trình bày trên không phải là lời giải đúng của bài toán. Như vậy, ở lời giải này cả
phần a và phần b đều sai.
Lời giải 2:
a) Để chứng minh tam giác ABC cân tại A, ta chứng minh B = C. Để chứng
minh B = C, ta chứng minh A = π − 2B. Để chứng minh A = π − 2B, ta chứng minh
sin A = sin(π−2B). Để chứng minh sin A = sin(π−2B), ta chứng minh sin A = sin 2B.
Để chứng minh sin A = sin 2B, ta chứng minh sin A = 2 sin B cos B. Để chứng minh
sin A = 2 sin B cos B, ta chứng minh sin A = 2 sin B cos C (B = C theo trên). Mà
sin A = 2 sin B cos C là mệnh đề đã biết nên ta có điều phải chứng minh.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích
đi lên.
Phân tích lời giải: Ở lời giải này, trong phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích
đi lên, tuy nhiên trong trường hợp này mệnh đề sin A = 2 sin B cos C kéo theo mệnh đề
11


Đào Thị Hoa

sin A = 2 sin B cos B được giải thích là do “B = C theo trên” là không có cơ sở, vì nếu
đã có B = C thì hiển nhiên tam giác ABC là cân tại A (sai lầm về luận cứ). Như vậy, ở
sai lầm 2 cả phần a và phần b đều sai.
Lời giải 3:

a) Để chứng minh tam giác ABC cân tại A, ta chứng minh B = C. Để chứng minh
B = C, ta chứng minh sin(B − C) = 0. Để chứng minh sin(B − C) = 0, ta chứng minh
sin B cos C − cos B sin C = 0. Để chứng minh sin B cos C − cos B sin C, ta chứng minh
sin C cos B = cos C sin B. Để chứng minh sin C cos B = cos C sin B, ta chứng minh
sin C cos B + sin B cos C = cos C sin B + sin B cos C. Để chứng minh sin C cos B +
sin B cos C = cos C sin B + sin B cos C, ta chứng minh sin(B + C) = 2 sin B cos C. Để
chứng minh sin(B +C) = 2 sin B cos C, ta chứng minh sin[π −(B +C)] = 2 sin B cos C.
Để chứng minh sin[π − (B + C)] = 2 sin B cos C, ta chứng minh sin A = 2 sin B cos C.
Mà sin A = 2 sin B cos C là mệnh đề đã biết nên ta có điều phải chứng minh.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích
đi xuống
Phân tích lời giải: Ở lời giải, trong phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích đi lên,
và trong trường hợp này mệnh đề sin A = 2 sin B cos C là mệnh đề đúng nên kết luận
được mệnh đề “tam giác ABC cân” là mệnh đề đúng. Lúc này phép phân tích đi lên là
phép chứng minh phân tích đi lên. Nhưng ở phần b) lại trả lời là phép chứng minh phân
tích đi xuống. Sai lầm ở đây là nhầm lẫn giữa phép phân tích đi lên và phân tích đi xuống.
Như vậy, ở sai lầm 3, phần a đúng và phần b sai.
Lời giải 4:
a) sin A = 2 sin B cos C ⇐ sin[π − (B + C)] = 2 sin B cos C ⇐ sin(B +
C) = 2 sin B cos C ⇐ sin B cos C + cos B sin C = 2 sin B cos C ⇐ cos B sin C =
sin B cos C ⇐ sin(C − B) = 0 ⇐ B = C ⇐ Tam giác ABC cân.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh tổng hợp.
Phân tích lời giải: Ở lời giải này, trong phần a, có sử dụng mệnh đề xuất phát là
mệnh đề đúng đã biết, nhưng lại sử dụng mũi tên “⇐”, đó không phải là sơ đồ của phép
chứng minh tổng hợp (sai lầm về luận chứng). Như vậy, ở sai lầm 4 cả phần a và phần b
đều sai.
Lời giải 5:
a) sin A = 2 sin B cos C ⇒ sin[π − (B + C)] = 2 sin B cos C ⇒ sin(B +
C) = 2 sin B cos C ⇒ sin B cos C + cos B sin C = 2 sin B cos C ⇒ cos B sin C =
sin B cos C ⇒ sin(C − B) = 0 ⇒ B = C ⇒ Tam giác ABC cân.

b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích
đi xuống.
Phân tích lời giải: Ở lời giải này, trong phần a, sinh viên sử dụng phép chứng minh
tổng hợp, nhưng trong phần b) lại trả lời đó là phép chứng minh phân tích đi xuống do chỉ
quan tâm đến kí hiệu “⇒” mà không quan tâm đến mệnh đề xuất phát là mệnh đề đã cho
hay mệnh đề cần chứng minh. Như vậy, ở sai lầm 5, phần a đúng và phần b sai.
12


Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học

Có thể thấy rằng, hai phép chứng minh phân tích và tổng hợp là hai phép chứng
minh rất cơ bản mà sinh viên ngành Sư phạm Toán cần nắm vững. Tuy nhiên trong thực
hành sinh viên vẫn mắc sai lầm như chưa hiểu rõ về phép chứng minh phân tích và phép
chứng minh tổng hợp; chưa phân biệt được phép chứng minh phân tích với phép chứng
minh tổng hợp; chưa nắm được khi nào thì phép phân tích trở thành phép chứng minh
phân tích. Đặc biệt là khi sử dụng phép phân tích đi xuống: nếu mệnh đề đã cho, đã biết
là đúng thì mệnh đề cần phải chứng minh chưa chắc đã đúng. Mặc dù vậy, sinh viên vẫn
thừa nhận rằng nếu mệnh đề đã cho, đã biết là đúng thì mệnh đề cần phải chứng minh là
đúng, cho nên dẫn đến những sai lầm.

2.2. Sai lầm khi sử dụng phép chứng minh phản chứng và phép chứng
minh loại dần
Khi chứng minh một mệnh đề toán học, ngoài các phép chứng minh trực tiếp, ta
còn có thể sử dụng phép chứng minh gián tiếp. Những phép chứng minh gián tiếp thường
được sử dụng là phép chứng minh phản chứng và phép chứng minh loại dần. Khi sử dụng
hai phép chứng minh gián tiếp này, sinh viên thường mắc phải một số sai lầm. Các sai lầm
này sẽ được phân tích thông qua các ví dụ cụ thể sau đây:
Ví dụ: Cho bài toán: “Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt
phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại”.

a) Trình bày một lời giải của bài toán trên.
b) Trình bày những hiểu biết của mình về phương pháp chứng minh đã sử dụng để
giải bài toán trên.
Ở bài toán này, mệnh đề đã cho: “(P )//(Q) và a cắt (P )”, mệnh đề phải chứng
minh: “a cắt (Q)”. Khi giải bài này sinh viên có thể mắc phải một số sai lầm trong lời giải
như sau:
Lời giải 1:
a) Giả sử (P )//(Q), a cắt (P ) nhưng a không cắt (Q). Vì a không cắt (Q) nên
a//(Q) mà theo giả thiết (P )//(Q) nên a//(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )). Vậy điều
giả sử là sai, suy ra a và (Q) cắt nhau.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phản
chứng. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phản chứng)
Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm ở phần a, đó là lập
luận: “Vì a không cắt (Q) nên a//(Q)” và lập luận: “a//(Q) mà theo giả thiết (P )//(Q)
nên a//(P )”. Ở lập luận thứ nhất thiếu trường hợp a ⊂ (Q); lập luận thứ hai thiếu trường
hợp a ⊂ (P ).
Lời giải 2:
a) Giả sử (P )//(Q), a cắt (P ) nhưng a//(Q). Vì a//(Q) mà theo giả thiết (P )//(Q)
nên a ⊂ (P ) hoặc a//(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )). Vậy điều giả sử là sai, suy ra a
và (Q) cắt nhau.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phản
13


Đào Thị Hoa

chứng. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phản chứng)
Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm ở phần a, đó là xác
định mệnh đề phủ định chưa đúng, bởi vì mệnh đề cần chứng minh là “a cắt (Q)” nên
mệnh đề phủ định không phải là “a//(Q)”. Mệnh đề phủ định đúng phải là: “a ⊂ (Q)

hoặc a//(Q)”. Như vậy là thiếu trường hợp a ⊂ (Q).
Lời giải 3:
a) Giả sử (P )//(Q), a cắt (P ) nhưng a ⊂ (Q). Vì a ⊂ (Q) mà theo giả thiết a cắt
(P ) nên (P ) ∩ (Q) ̸= ∅ (mâu thuẫn giả thiết (P )//(Q)). Vậy điều giả sử là sai, suy ra a
và (Q) cắt nhau.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phản
chứng. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phản chứng)
Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm tương tự như ở sai
lầm 2, đó là xác định mệnh đề phủ định chưa đúng, bởi vì mệnh đề cần chứng minh là “a
cắt (Q)” nên mệnh đề phủ định không phải là “a ⊂ (Q)”. Mệnh đề phủ định đúng phải
là: “a ⊂ (Q) hoặc (a)//(Q)”. Như vậy là thiếu trường hợp a//(Q).
Lời giải 4:
a) Giả sử a cắt (P ) nhưng a//(Q). Vì a//(Q) mà theo giả thiết (P )//(Q) nên
a//(P ) (mâu thuẫn giả thiết a cắt (P )). Vậy điều giả sử là sai, suy ra a và (Q) cắt nhau.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phản
chứng. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phản chứng)
Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm tương tự như ở sai
lầm 2, ngoài ra khi lập luận: “a//(Q) mà theo giả thiết (P )//(Q) nên a//(P )” là chưa
chính xác, bởi vì còn thiếu trường hợp a ⊂ (P ).
Lời giải 5:
a) Vị trí tương đối của a và (Q): a ⊂ (Q), a//(Q), a cắt (Q).
(i): Nếu a ⊂ (Q) thì theo giả thiết a cắt (P ) nên (P ) ∩ (Q) ̸= ∅ (mâu thuẫn giả
thiết (P )//(Q)). Nên a không thuộc (Q).
(ii): Nếu a//(Q) thì theo giả thiết (P )//(Q) nên a ⊂ (P ) hoặc a//(P ) (mâu
thuẫn giả thiết a cắt (P )). Nên a không song song với (Q).
Vậy từ (i) và (ii) suy ra a và (Q) cắt nhau.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phản
chứng. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phản chứng).
Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm ở phần b, đó là xác
định phép chứng minh chưa chính xác bởi phép chứng minh được sử dụng trong lời giải

này là phép chứng minh loại dần. Như vậy là sinh viên chưa phân biệt được phép chứng
minh phản chứng với phép chứng minh loại dần.
Lời giải 6:
a) Giả sử a cắt (P ) nhưng a không cắt (Q), thế thì a ⊂ (Q) hoặc a//(Q).
(i): Nếu a ⊂ (Q) thì theo giả thiết a cắt (P ) nên (P ) ∩ (Q) ̸= ∅ (mâu thuẫn giả
14


Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học

thiết (P )//(Q)). Nên a không thuộc (Q).
(ii): Nếu a//(Q) thì theo giả thiết (P )//(Q) nên a ⊂ (P ) hoặc a//(P ) (mâu
thuẫn giả thiết a cắt (P )). Nên a không song song với (Q).
Vậy điều giả sử là sai, suy ra a và (Q) cắt nhau.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh loại dần.
(Sau đó trình bày về phép chứng minh loại dần).
Phân tích lời giải: Với cách trình bày này, sinh viên mắc sai lầm ở phần b, đó là
xác định phép chứng minh chưa chính xác bởi phép chứng minh được sử dụng trong lời
giải này là phép chứng minh phản chứng. Như vậy là sinh viên chưa phân biệt được phép
chứng minh loại dần với phép chứng minh phản chứng.
Thông qua ví dụ trên, có thể thấy rằng khi sử dụng các phép chứng minh gián tiếp
là chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần, sinh viên thường mắc phải một số sai
lầm như: Chưa hiểu rõ về các loại chứng minh này; chưa phân biệt được chứng minh phản
chứng và chứng minh loại dần; xác định mệnh đề phủ không đúng; sử dụng luận cứ không
đúng.

2.3. Biện pháp khắc phục sai lầm khi sử dụng một số phép chứng minh
toán học
Để hạn chế tối đa những sai lầm có thể mắc phải khi sinh viên sử dụng các phép
chứng minh toán học, chúng tôi đề xuất một số biện pháp sư phạm như sau:

2.3.1. Nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng của mỗi phép chứng minh
Mỗi phép chứng minh có dấu hiệu đặc trưng riêng. Việc nhấn mạnh vào dấu hiệu
đặc trưng của mỗi phép chứng minh sẽ giúp sinh viên hiểu rõ hơn, đầy đủ hơn về các phép
chứng minh đó.
Đối với phép chứng minh phân tích, mệnh đề xuất phát phải là mệnh đề cần chứng
minh chứ không phải là mệnh đề đúng đã biết. Đối với phép chứng minh tổng hợp, mệnh
đề xuất phát phải là mệnh đề đúng đã biết chứ không phải là mệnh đề cần chứng minh.
Cần nhấn mạnh khi nào thì phép phân tích trở thành phép chứng minh phân tích.
Chú ý đến chiều mũi tên trong sơ đồ của mỗi phép chứng minh phân tích và tổng
hợp.
Đối với phép chứng minh phản chứng, ta bác bỏ mệnh đề phủ định của mệnh đề
cần chứng minh, cần chú ý thiết lập đúng mệnh đề phủ định đó. Đối với phép chứng minh
loại dần, ta khẳng định mệnh đề có k khả năng xảy ra và khẳng định xảy ra ở khả năng
thứ i bằng việc loại bỏ k - 1 khả năng còn lại, cần chú ý xét hết các khả năng xảy ra của
mệnh đề.
2.3.2. Minh họa mỗi chứng minh thông qua các ví dụ
Sau khi sinh viên đã nắm được dấu hiệu đặc trưng của mỗi phép chứng minh, cần
lấy ví dụ về mỗi loại chứng minh, phân tích các ví dụ để sinh viên hiểu rõ hơn về mỗi loại
chứng minh.
15


Đào Thị Hoa

Cũng có thể cho bài toán với một vài lời giải tương ứng, rồi yêu cầu sinh viên cho
biết phép chứng minh đã sử dụng trong mỗi lời giải.
Ví dụ: Cho bài toán: “Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 2. Chứng minh
rằng ba bất đẳng thức: a(2 − b) > 1; b(2 − c) > 1; c(2 − a) > 1 không cùng xảy ra”. Hãy
chỉ ra các phép chứng minh đã sử dụng trong mỗi lời giải sau đây:
Lời giải 1: Vai trò a, b, c như nhau trong đoạn [0; 2], đặt max {a, b, c} = a ⇒ c ≤

a ⇒ c(2 − a) ≤ c(2 − c).
Mặt khác vì 0 ≤ c ≤ 2 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có c(2 − c) ≤ 1.
Do đó c(2 − a) ≤ 1. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Lời giải 2: Để chứng minh rằng ba bất đẳng thức: a(2 − b) > 1; b(2 − c) > 1;
c(2 − a) > 1 không cùng xảy ra, ta chỉ cần chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba bất
đẳng thức a(2 − b) ≤ 1; b(2 − c) ≤ 1; c(2 − a) ≤ 1.
Để chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba bất đẳng thức a(2−b) ≤ 1; b(2−c) ≤ 1;
c(2−a) ≤ 1, ta chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba bất đẳng thức a(2−b) ≤ a(2−a) ≤
1; b(2−c) ≤ b(2−b) ≤ 1; c(2−a) ≤ c(2−c) ≤ 1. Để chứng minh xảy ra ít nhất một trong
ba bất đẳng thức a(2−b) ≤ a(2−a) ≤ 1; b(2−c) ≤ b(2−b) ≤ 1; c(2−a) ≤ c(2−c) ≤ 1,
ta chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba trường hợp a ≤ b và a(2 − a) ≤ 1 hoặc b ≤ c
và b(2 − b) ≤ 1 hoặc c ≤ a và c(2 − c) ≤ 1. Để chứng minh xảy ra ít nhất một trong ba ba
trường hợp a ≤ bva(2 − a) ≤ 1 hoặc b ≤ c và b(2 − b) ≤ 1 hoặc c ≤ a và c(2 − c) ≤ 1,
ta chứng minh tồn tại max {a, b, c} hoặc bằng b, hoặc bằng c, hoặc bằng a và chứng minh
0 ≤ a; b; c ≤ 2. Đây là điều đúng đã biết nên ta có điều phải chứng minh.
Lời giải 3:
Giả sử ba bất đẳng thức: a(2 − b) > 1; b(2 − c) > 1; c(2 − a) > 1 cùng xảy ra
⇒ a(2 − b)b(2 − c)c(2 − a) > 1 (*). Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số
không âm a, 2 − b, b, 2 − c, c, 2 − a, ta có a(2 − b)b(2 − c)c(2 − a) ≤ 1, mâu thuẫn với
(*). Vậy giả sử là sai, nên ta có điều phải chứng minh.
2.3.3. Yêu cầu sinh viên lấy các ví dụ về mỗi loại chứng minh
Việc sinh viên lấy được các ví dụ về mỗi loại chứng minh, sẽ giúp giáo viên nắm
được mức độ nhận biết kiến thức của sinh viên về các phép chứng minh để kịp thời điều
chỉnh cho phù hợp. Đồng thời qua đó sinh viên được củng cố về các loại chứng minh.
Có thể yêu cầu sinh viên tự tìm hiểu về các bài toán chứng minh ở phổ thông và sử
dụng các phép chứng minh phù hợp. Cũng có thể đưa ra một bài toán cụ thể ở phổ thông
và yêu cầu sinh viên sử dụng nhiều phép chứng minh để giải bài toán.
Ví dụ: Sử dụng các phép chứng minh toán học giải bài toán sau bằng nhiều cách
và chỉ rõ phép chứng minh đã sử dụng trong mỗi cách: “Cho hai số thực x, y thỏa mãn
x + y = 2. Chứng minh rằng x.y ≤ 1”.

16


Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học

2.3.4. Tạo ra các tình huống có sử dụng các phép chứng minh toán học để sinh viên
trao đổi, thảo luận
Để có thể khắc phục những sai lầm cho sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh
toán học, giáo viên có thể tạo ra các tình huống có sai lầm, hoặc không có sai lầm để sinh
viên tự phân tích, tự xoay xở, tự tìm cách giải quyết. Trên cơ sở đó giáo viên nhận xét,
đánh giá, góp ý. Từ đó sinh viên thấy được tính đúng, sai trong cách nghĩ, cách làm, tránh
được những sai lầm, sinh viên sẽ có được những kĩ năng khi sử dụng các phép chứng minh
này, cũng như hướng dẫn học sinh giải các bài toán chứng minh sau khi ra trường.
Ví dụ 1: Cho bài toán: “Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng cắt nhau a và
b. Hai đường thẳng a, b cùng song song với mặt phẳng (Q). Chứng minh rằng (P ) song
song với (Q)”.
a) Trình bày lời giải của bài toán trên.
b) Trình bày những hiểu biết của mình về phương pháp chứng minh đã sử dụng để
giải bài toán trên.
Trong những lời giải sau, lời giải nào đúng, lời giải nào sai, vì sao?
Lời giải 1:
a) Giả sử mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với
mặt phẳng (Q) nhưng (P ) cắt (Q).
Gọi c là giao tuyến của (P ) và (Q), do a//(Q) và a ⊂ (P ) nên c//a.
Tương tự c//b.
Suy ra a//b (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy giả sử là sai, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
b) Phương pháp chứng minh đã sử dụng là chứng minh phản chứng. . .
Lời giải 2:

a) Mặt phẳng (P ) chỉ có thể song song với mặp phẳng (Q) hoặc mặt phẳng (P ) cắt
mặt phẳng (Q).
Nếu mặt phẳng (P ) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến c thì do a//(Q) và a ⊂ (P )
nên c//a.
Tương tự c//b.
Suy ra a//b (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy mặt phẳng (P ) song song với mặp phẳng (Q).
b) Phương pháp chứng minh đã sử dụng là chứng minh loại dần. . .
Lời giải 3:
a) Mặt phẳng (P ) chỉ có thể song song với mặp phẳng (Q) hoặc mặt phẳng (P ) cắt
mặt phẳng (Q). Nếu mặt phẳng (P ) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến c thì do a//(Q)
và a ⊂ (P ) nên c//a.
Tương tự c//b. Suy ra a//b (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy mặt phẳng (P ) song song với mặp phẳng (Q).
17


Đào Thị Hoa

b) Phương pháp chứng minh đã sử dụng là chứng minh phản chứng . . .
Nhận xét: Cả ba lời giải trên đều sai, cụ thể:
Ở lời giải thứ nhất, sai lầm ở phần a do xác định mệnh đề phủ định trong chứng
minh phản chứng chưa đúng và lập luận c//a, c//b suy ra a//b là chưa đủ, vì a có thể
trùng b.
Ở lời giải thứ hai, sai lầm cũng ở phần a do xác định các khả năng xảy ra của (P )
và (Q) chưa đủ và phần còn lại sai lầm như ở lời giải thứ nhất.
Ở lời giải thứ ba, sai lầm cũng tương tự như lời giải 2, ngoài ra còn xác định phép
chứng minh chưa đúng.
Ví dụ 2: Giải bài toán sau bằng phép chứng minh phản chứng: ‘Cho 2m −1(m ∈ N )
là một số nguyên tố. Chứng minh rằng m là một số nguyên tố” (1).

Lời giải sau đúng hay sai, vì sao?
Lời giải: Để chứng minh bài toán trên ta ta chỉ việc chứng minh bài toán: “Cho m
là hợp số. Chứng minh rằng 2m − 1(m ∈ N ) là hợp số” (2).
Thật vậy:
m là hợp số ⇔ m = pq với ∀pq ∈ N, p, q > 1.
Ta có: 2m − 1 = 2pq − 1 = (2p − 1)(2p(q−1) + 2p(q−2) + ... + 1).
Các thừa số của 2m − 1. đều nguyên dương và lớn hơn 1 do đó 2m − 1 là hợp số.
Vậy nếu 2m − 1(m ∈ N ) là một số nguyên tố thì m phải là số nguyên tố.
Nhận xét: Sai lầm ở lời giải bài toán trên là không sử dụng phép chứng minh phản
chứng theo đúng yêu cầu đề bài. Hơn nữa, chứng minh được bài toán (2) chưa đủ để khẳng
định là chứng minh được bài toán (1).
2.3.5. Yêu cầu sinh viên dự kiến những sai lầm thường gặp khi giải các bài toán cụ
thể có sử dụng các phép chứng minh này
Cùng với việc tạo ra các tình huống có sai lầm hoặc không có sai lầm để sinh viên
tự học tập, ta có thể xây dựng các đề toán cụ thể và yêu cầu sinh viên dự kiến những sai
lầm có thể xảy ra khi giải các bài toán đó.
Ví dụ 1: Dự kiến những sai lầm có thể xảy ra khi giải bài toán sau, phân tích nguyên
nhân sai lầm và cho lời giải chính xác:
“Trình bày lời giải
số a, b, x, y thỏa mãn a2 + b2 = 1 và x2 + y 2 = 2.
√ bài toán: Cho 4√
Chứng minh rằng: − 2 ≤ a.x + b.y ≤ 2.
Hãy cho biết phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên.”
Hướng dẫn: Có thể xảy ra sai lầm tương tự như ví dụ ở mục 1.
Ví dụ 2: Dự kiến những sai lầm có thể xảy ra khi giải bài toán sau, phân tích nguyên
nhân sai lầm và cho lời giải chính xác:
“Trình bày lời giải bài toán: “Cho ∆ABC.Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với
đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng
minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến d của chúng vuông góc với
18

Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học

mặt phẳng (ABC)”.
Hãy cho biết phương pháp chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên.”
Hướng dẫn: Có thể xảy ra sai lầm tương tự như ví dụ ở mục 2.

3. Kết luận
Các phép chứng minh phân tích, chứng minh tổng hợp, chứng minh phản chứng và
chứng minh loại dần là những phép chứng minh thường được sử dụng khi giải các bài toán
ở trường phổ thông. Khi sử dụng những phép chứng minh này trong quá trình giải toán,
sinh viên thường mắc phải một số sai lầm. Những sai lầm và nguyên nhân dẫn đến sai lầm
đã được phân tích thông qua các ví dụ là cơ sở để đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm
khắc phục những sai lầm mà sinh viên có thể mắc phải, thông qua đó giúp sinh viên nâng
cao chất lượng, hiệu quả học tập bộ môn phương pháp dạy học Toán học, cũng như chất
lượng và hiệu quả của việc dạy học toán sau khi ra trường.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang, 1997. Sai lầm phổ biến khi
giải toán. NXB Giáo dục.
[2] Hoàng Chúng, 1996. Lôgic học phổ thông. NXB Giáo dục.
[3] Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn, 2004. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải
toán. NXB Hà Nội.
[4] Nguyễn Đức Thuần, 1979. Suy luận và chứng minh. NXB Đại học Sư phạm Hà Nội.
[5] Nguyễn Anh Tuấn, 2012. Giáo trình lôgic toán và lịch sử toán học. NXB Đại học
Sư phạm.
ABSTRACT
A mistake often made by student teachers when
using the mathematical reasoning, and how to avoid it
Analysis, synthesis, contradiction, and exclusion are common forms of mathematical reasoning that are used to solve high school math problems. However, student teachers

themselves often make mistakes in this area.. This article looks at the most common mistakes made, why they are made and how to avoid making them.

19