PP&BT BAT DANG THUC TUYỆT

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 1: Tìm GTNN- GTLN
Cách 1: Ta có thể dùng BĐT trị tuyệt đối |A|. Khi sử dụng trị tuyệt đối thì ta tìm |A|= B
=> - B ≤|A|≤B, lúc này GTNN= -B và GTLN= B.
Cách 2: Ta dùng phương pháp “ tìm tập giá trị của hàm số ”
Cách 3: Ta dùng “kĩ thuật chọn điểm rơi”
Cách 4: Ta dùng “ Đạo hàm”
Dạng 2: C/m BĐT có kèm điều kiện:
Khi gặp các bài cm BĐT có kèm điều kiện nhưng giả thiết không quá đơn giản ( giả
thiết đơn giản như: abc=1,a+b+c=1…)
Cách 1: Sử dụng phương pháp đồng bậc cho các bài có bậc không bằng nhau. Nhân hai
vế của giả thiết vào hai vế của bdt cần chứng minh hay thế ẩn, hằng số này bằng ẩn
khác có số bậc khác nhau sao cho cuối cùng các ẩn có bậc bằng nhau. Hoặc sử dụng “kĩ
thuật chọn điểm rơi” để cân bằng bậc. Rùi dễ dàng cm hơn, với cách này cần chú ý khi
khi nhân điều kiện vào có đồng bậc hay không????
Cách 2: Ta sử dụng hệ gồm một phương trình là giả thiết( giả thiết rắc rối) và cùng một
phương trình là một bất đẳng thức quen thuộc sao cho hai p/trình co nét tương đồng.
Sau đó ta cộng hai p.trình thành một p.trình. Và suy ra một giả thiết mới (Sáng tạo giả
thiết) để dễ chứng minh hơn. Đối với cách này rất khó, khó ở chỗ suy nghĩ ra phương
trình để sử dụng làm hệ.
Cách 3: Đặt ẩn phụ, một số cách đặt ẩn phụ thường gặp là: Đặt a+b=t hay ab=u, 1/a=v
rùi suy ra bdt mới cần cm và giả thiết mới cần tương ứng. Đối với một số bài đối xứng
thì ta có thể chia cho
x
n
cho bdt cần cm hoặc giả thiết, với n là số mũ cao nhất. Sau
khi chia xong thì biến đổi tiếp.
Page 1
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Một số Bất đẳng thức phụ

1.
, , 0a b c ≥
9( )( )( ) 8( )( )
2 2 2 2 2 2
6
a b b c c a a b c ab bc ca
a b a c b c b a c b c a abc
+ + + ≥ + + + +
⇔ + + + + + ≥
Áp dụng
9
( )( )( ) 8( )
a b c
a b b c c a ab bc ca
+ +
≤
+ + + + +
2.
, , 0a b c >
( )( )
0
2
2
a a b a c
a bc
cyc
− −
≥
+
∑

3.
, , 0a b c
>
2
( ) 3 ( )ab bc ca abc a b c+ + ≥ + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 2ab bc ca a b b c c a ab c bc a a bc+ + = + + + + +
2 2 2
3( ) 3 ( )ab c bc a a bc abc a b c≥ + + = + +
Page 2
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
PHƯƠNG PHÁP TÌM TẬP GIÁ TRỊ HÀM SỐ
Như trên đã nói tới “pp tìm tập giá trị hàm số” đây là một pp tuy mới mà cũ. Mà lại rất khó sử
dụng. Các bạn cùng đọc và suy ngẫm nhé!!!!
1. Tìm gtnn & gtln của M=
22
22
644
yx
xyyx
+
++−
HD: - nếu y=0 thì M=-4 (*)
 Nếu y≠0 chia tử mẫu cho y^2 ta được M=
1
644
2
2
+









++








−
y
x
y
x
y
x
Đặt t= x/y thì bdt  M=
1
644
2
2
+
++−

t
tt

(
M+ 4
)
t
2
− 6t+ M− 4=0
Do p.trình có nghiệm t nên ta có:
∆’= 9-(M-4)(M+4)≥0

M
2
≤25
 -5<M<5(**)
Từ (*) (**) => gtnn là -5 và gtln là 5
2. Tìm gtnn và gtln của N=
22
2
43
yx
xyx
+
−
HD: xét x=0 và x≠0, với x≠0 ta chia tử mẩu cho x^2
Page 3
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
3. Cho
22

yx +
=1. Tìm gtnn và gtln của P=
2
2
221
)6(4
yxy
xyx
++
+−
(B08)
HD : Ta thấy dưới mẫu chưa đồng bậc vì có số 1, nên ta sử dụng giả thiết
22
yx +
=1 thế
vào số 1 để có 1 bdt đồng bậc rùi làm bình thường
4. Cmr:
∀ Nxyz
thoả mãn x(x+y+z)=3yz ta có:
333
)(5))()((3)()( xzxzzyyxzyyx +≤+++++++
(A09)
HD : Các bạn chiệu khó động não thữ bài này nha.^^
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Mình xin mạng phép copy phần này của tác giả vì phần này tác giả không phải mình.

I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Bài toán 1. Cho
, 0
1

a b
a b
>


+ ≤

, tìm GTNN của
2 2
1 1
2
P
ab
a b
= +
+
Giải
Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 4 4
4
2
2 ( )
ab
a b a ab b a b
+ ≥ = ≥
+ + + +
Dấu “=” xảy ra
1
1

2
Min 4 khi
1 1
2
2
a
a b
P x y
a b
b

=

=


⇔ ⇔ ⇒ = = =
 
+ =


=


Page 4
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Bài toán 2. Cho
, 0
1
a b

a b
>


+ ≤

, tìm GTNN của
2 2
1 1
2
1
P
ab
a b
= +
+ +
Giải
Lời giải 1. Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 4 4 4
2
2 2
1 2 1 ( ) 1
P
ab
a b a ab b a b
= + ≥ = ≥ =
+ + + + + + +
Dấu “=” xảy ra
2 2 2

1 2 ( ) 1 0
(voâ nghieäm)
1 1
a b ab a b
a b a b
 
+ + = − + =
 
⇔ ⇔
 
+ = + =
 
 
. Vậy không tồn tại
Min ...?..?P
Lời giải 2. Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
6 3 3 3
1 6 1 ( ) 1 4
P
ab ab ab ab
a b a ab b a b ab
= + + ≥ + = +
+ + + + + + + +
Mặt khác
2
1
2 4
a b

ab
+
 
≤ =
 ÷
 
. Vậy
2 2
4 1 8
3
2 6
2 2
P
a b a b
≥ + ≥
+ +
   
+
 ÷  ÷
   
Dấu “=” xảy ra
2 2
1 3
1
2
1
a b ab
a b a b
a b


+ + =

⇔ = ⇔ = =


+ =

.
Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
. Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách
1 1 1
2 6 3ab ab ab
= +
?..? Làm sao
Page 5
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
nhận biết được điều đó…?...Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và
qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải
các bài toán cực trị
II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một
trong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…
và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học
thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất
đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một số sai
lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu sâu

hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề
“Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”.
III. NỘI DUNG
1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Định nghĩa:
0a b a b≥ ⇔ − ≥
a b
a c
b c
≥

⇒ ≥

≥

a b a c b c
≥ ⇔ + ≥ +
a b
a c b d
c d
≥

⇒ + ≥ +

≥

1 1
0a b
a b

≥ > ⇒ ≤
b) Một số bất đẳng thức cơ bản
Bất đẳng thức Cauchy
Cho
n
số thực không âm
1 2
, ,..., ( 2)
n
a a a n
≥
ta luôn có
1 2
1 2
...
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
L
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2 n
a a a= = =L
.
Một vài hệ quả quan trọng:
Page 6

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
+
2
1 2
1 2
1 1 1
( ) vôùi 0, 1,
n i
n
a a a n a i n
a a a
 
+ + + + + + ≥ ∀ > =
 ÷
 
L L
+
2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,
i
n n
n
a i n
a a a a a a
+ + + ≥ ∀ > =
+ + +
L
L

+ Cho
2n
số dương (
, 2n Z n∈ ≥
):
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
n n
a a a b b b
ta có:

1 1 2 2 1 2 1 2
( )( )...( ) ... ...
n n n
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≥ +
Bất đẳng thức BCS
Cho
2n
số dương (
, 2n Z n
∈ ≥
):
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
n n
a a a b b b
ta có:

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +L L L
Dấu “=’ xảy ra
1 2
1 2
(quy öôùc neáu 0 0)
n
i i
n
a
a a
b a
b b b
⇔ = = = = ⇒ =L
Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Cho hai dãy số
1 2 1 2
, ,..., vaø , ,..., vôùi 0 1,
n n i
a a a b b b b i n> ∀ =
ta luôn có:
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
( )
n n

n n
a a a a
a a
b b b b b b
+ + +
+ + + ≥
+ + +
L
L
L
Dấu “=’ xảy ra
1 2
1 2
n
n
a
a a
b b b
⇔ = = =L
2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho
1 2
( , ,..., )
n
f x x x
là một hàm
n
biến thực trên
: :
n n

D f D⊂ ⊂ →¡ ¡ ¡
−
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., )
Max
( , ,..., ) : ( , ,..., )
n n
D
n n
f x x x M x x x D
f M
x x x D f x x x M
≤ ∀ ∈


= ⇔

∃ ∈ =


Page 7
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
−
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., )
Min

( , ,..., ) : ( , ,..., )
n n
D
n n
f x x x m x x x D
f m
x x x D f x x x M
≥ ∀ ∈


= ⇔

∃ ∈ =


3. Phương pháp chọn điểm rơi
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và
ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên.
a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Sử dụng hệ quả (1) và (2)
Bài 1. Cho
, 0
1
a b
a b
>


+ ≤


, tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 1
4P ab
ab
a b
= + +
+
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 2
2 ( )
P ab ab ab
ab ab ab ab
a b a b ab a b
 
= + + + ≥ + + = + +
 ÷
+ + + +
 
.
Mặt khác
1 1
4 2 .4 2 2
2 2
ab ab

ab ab
+ ≥ =
. Vậy
4 2 2P ≥ +
nên
2(2 2)MinP
= +
Sai lầm 2:
2 2 2
1 1 1 1 4 1 1 1 1
4 2 4 . 4 2 6
4 4 2 4 4 4
( )
P ab ab
ab ab ab ab ab ab ab
a b a b
 
= + + + + ≥ + ≥ + + = +
 ÷
+ +
 
Dấu bằng xảy ra
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b

a b

+ =


⇔ = ⇔ = =


+ =


. Thay
1
2
a b= =
vào ta được
7P
≥
7MinP
⇒ =
khi
1
2
a b= =
.
Page 8
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
1 1 1

2 2ab ab ab
= +
là do thói quen để
làm xuất hiện
2 2 2
2 ( )a b ab a b+ + = +
.
1
4 2 2 4
2
1
a b
MinP ab VN
ab
a b
=



= + ⇔ = ⇒


+ =


. Dấu “=” bất
đẳng thức không xảy ra
⇒
không kết luận được
4 2 2MinP = +

Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
1
2
a b= =
nên đã
tách các số hạng và
7MinP =
khi
1
2
a b= =
là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ
như
2
(1 )x x x
− + ≥
, dấu bằng xảy ra khi
1x
=
2
( 1) 1??Min x x
 
⇒ − + =
 
.
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với
,a b
, ta dự đoán
MinP
đạt tại

1
2
a b= =
, ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
4 2 4 . 7
2 4 4 2
( )
4
2
P ab ab
ab ab ab ab
a b a b
a b
 
= + + + + ≥ + + ≥
 ÷
+ +
 
+
 
 ÷
 
Page 9
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
Dấu bằng xảy ra
2 2
2 2
2

1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b

+ =


⇔ = ⇔ = =


+ =


.
Bài 2. Cho
, 0
1
a b
a b
>


+ ≤

, tìm GTNN của biểu thức
3 3 2 2
1 1 1

S
a b a b ab
= + +
+
.
Sai lầm thường gặp:
Ta có:
3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2
1 1 1 2 2 9 2 1 1
3
3 3 3 3 3 3
S
a b a b ab a b ab a b a b ab a b ab
 
= + + + + ≥ + +
 ÷
+ + + +
 
3 2
9 2 1 1 1 2 4 59
. 9 .
3 3
( )
3.
2
ab a b a b
a b
a b
 
= + + ≥ + ≥

 
+
+
 
+
 
 ÷
 
59
3
MinS =
Nguyên nhân sai lầm:
3 3 2
3
59
( )
3
1
a b a b
MinS a b vn
a b

+ =

= ⇔ =


+ =

Lời giải đúng

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
1
2
a b= =
, và ta thấy
3 3 2 2 3
3 3 ( )a b a b ab a b+ + + = +
vì thế
ta muốn xuất hiện
3
( )a b+
; ta áp dụng bất đẳng thức
3 3 2 2
1 1 1
2 2a b a b ab
+ +
+
và nếu vậy:
Page 10
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
3 3 2 2 3
1 1 1 9
2 2 ( ) ( )a b a b ab a b ab a b
+ + ≥
+ + − +
, ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải
áp dụng bất đẳng thức cho 5 số:
3 3 2 2 2 2 3 3
3
1 1 1 1 1 25 25

20
2 2 2 2 ( ) ( ) ( )
( )
4
S
a b a b ab a b ab a b ab a b a b
a b
= + + + + ≥ ≥ ≥
+ + + + +
+ +
Dấu bằng xảy ra khi
1
2
a b= =
.
Bài 3. Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
>



+ + =


. Tìm GTLN của
1 1 1

2 2 2
P
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10
9 2 9 2 9 2 18 9
P
x y z x y z x y z x y z
       
≤ + + + + + + + + = + + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
10
9
MaxP⇒ =
Sai lầm 2:
Page 11
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
3 3 2 3 3 2 3 3 2 9
3 2 3 .2 3 2
P
x y z x y z x y z
xyz x yz xy z
     

≤ + + ≤ + + + + + + + + =
 ÷  ÷  ÷
     
Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm
rơi.
2
2
10
( )
2
9
1 1 1
4
x y z
y x z
MaxP vn
z x y
x y z
= =


= =


= ⇔
= =



+ + =



, tức là không tồn tại
10
( , , ) :
9
x y z D P∈ =
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán
MaxP
đạt được tại
4
3
x y z= = =
nên tách
các số
2x x x= +
ra cho dấu bằng xẩy ra.
Cách 1: Ta có
1 1 1 1 1 1 1
2 16x y z x x y z x x y z
 
= ≤ + + +
 ÷
+ + + + +
 
, tương tự và ta có:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1
16
P

x y z x y z x y z
 
     
≤ + + + + + + + + =
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
, vậy
1MaxP =
khi
4
3
x y z= = =
.
Cách 2: Ta có
4
2
4
1 1
2 4 . . .
2
4
x y z x x y z x x y z
x y z
x yz
+ + = + + + ≥ ⇒ ≤
+ +
, mặt khác:
4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
. . .
4 2 16x x y z x x y z x y z x y z
   
≤ + + + ⇒ ≤ + +
 ÷  ÷
+ +
   
, tương tự ta có:
1 1 1 1
.4 1
16
P
x y z
 
≤ + + =
 ÷
 
. Dấu “=” xảy ra khi
1
4
x y z= = =
, suy ra:
Page 12