Đề thi học kì 2 môn Toán 10 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THCS&THPT Nguyễn Tất Thành

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
Năm học 2019 -2020
Lớp: 10
Mơn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút
-----------------------

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
------------------------Mã đề 101

Phần I. Trắc nghiệm (3điểm)
Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm.
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(−3;5) . Phương trình nào dưới đây là
phương trình của đường trịn đường kính AB ?
A. ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 =
5.

B. ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 =
25 .

C. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 =
25 .

D. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 =
5.

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x 2 + y 2 + 2mx − 4(m + 1) y + 4m 2 + 5m + 2 =
0

là phương trình của một đường trịn trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
A. −2 < m < −1 .

m < 1

Câu 3: Rút gọn biểu thức P =
A. P =| cos x − sin x | .

 m < −2

.
B. 
m > 2

 m ≤ −2

C. 
.
 m > −1

D. 
.
 m ≥ −1

C. P = cos x − sin x .

D. P = cos x + sin x .

2 cos 2 x − 1
ta được

cos x + sin x

B. P = sin x − cos x .

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 =
9 và đường thẳng
∆ : 3 x + 4 y − 2m + 4 =
0 (trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao
cho đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường trịn (C ) . Tích các số thuộc tập hợp S bằng:
A. −36 .

D. −486 .

C. −56 .

B. 12 .

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 =0 . Tìm tọa độ tâm I và
bán kính R của đường tròn (C ) .
A. I (−1; 2), R =
2.
Câu 6: Cho biết

B. I (−1; 2), R =
4.

C. I (1; −2), R =
2.

D. I (1; −2), R =

4.

π

1
< x < π và sin x = . Tính cos x .
3
2
2
3

2
3

B. cos x = − .

A. cos x = .

C. cos x =

2 2
.
3

D. cos x = −

2 2
.
3

Câu 7: Cho a, b ∈  là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau
Mệnh đề 1: sin(=
Mệnh đề 2: sin(=
a + b) sin a cos b + sin b cos a .
a − b) sin b cos a − sin a cos b .
Mệnh đề 3: cos(=
Mệnh đề 4: cos(=
a − b) cos a cos b − sin a sin b .
a + b) cos a cos b + sin a sin b .
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 0 .
D. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
1
2

− . Tính sin 2x .
Câu 8: Cho biết sin x + cos x =
3
4

A. sin 2 x = − .

3
4

B. sin 2 x = .

1

2

C. sin 2 x = .

D. sin 2 x = −1 .


Câu 9: Cho biết tan x = 5 . Tính giá trị biểu thức Q =
B. Q =

A. Q = 1 .

19
.
11

3sin x − 4 cos x
.
cos x + 2sin x

C. Q = −1 .

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :

D. Q =

11
.
9

x2 y 2
+
=
1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng
25 9
C. 16 .
D. 2 .

A. 4 .
B. 8.
Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(2;0) , B(0; 2) . Cho biết quỹ tích các
điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 + MB 2 =
12 là một đường trịn bán kính R . Tìm R .
B. R = 4 .

A. R = 5 .

C. R = 3 .

D. R = 2 .

Câu 12: Cho biết sin x + sin y =
1 . Tính cos( x + y ) .
3 và cos x − cos y =
A. cos( x + y ) =
1.

B. cos( x + y ) =
−1 .

C. cos( x + y ) =
0.

Phần II. Tự luận (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm)
1. Giải phương trình

1
2

D. cos( x + y ) =.

x2 − 2 x + 6 = 2 x −1 .

2. Giải bất phương trình − x 2 + 3x + 4 ≤ x + 1 .
Câu 2 (2 điểm)
π
< a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a .
1. Cho biết
2

2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C =
4sin A sin B sin C .
Câu 3 (2,5 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =
0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) tại điểm A(−1;1) .
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x − 4 y − 2 =
0 và cắt
đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 .

x2
+ y 2 = 1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E )
4
2
và điểm M ∈ ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF1 + MF22 và diện tích ∆ MF1 F2 .

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :

Câu 4 (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện
tan

A
B
C
+ tan + tan =
3.
2
2
2

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
-------------------------- Hết -------------------------Ghi chú :

- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
- Học sinh không được sử dụng tài liệu.


ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
Năm học 2019 -2020
Lớp: 10

Mơn:Tốn
Thời gian làm bài: 90 phút
-----------------------

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
------------------------Mã đề 102

Phần I. Trắc nghiệm (3 điểm)
Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm.
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (−1;3) và N (3; −5) . Phương trình nào dưới đây là
phương trình của đường trịn đường kính MN ?
A. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 =
B. ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 =
16 .
20 .
C. ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 =
16 .

D. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 =
20 .
2
3

Câu 2: Cho biết π < x < 2π và cos x = . Tính sin x .
1
5
C. sin x = .
.
3

3
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x 2 + y 2 − 4mx + 2(m − 1) y + 6m 2 − 5m + 3 =
0

A. sin x = −

5
.
3

B. sin x =

1
3

D. sin x = − .

là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
A. −2 < m < −1 .

m < 1

.
B. 
m > 2

 m < −2

.

D. 
 m > −1

C. 1 < m < 2 .

2sin 2 x − 1
ta được
cos x + sin x
B. M = sin x − cos x .

Câu 4: Rút gọn biểu thức M =

C. M =| cos x − sin x | .
D. M = cos x + sin x .
A. M = cos x − sin x .
2
2
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y + 4 x − 6 y + 4 =
0 . Tìm tọa độ tâm I và
bán kính R của đường trịn (C ) .
A. I (2; −3), R =
B. I (2; −3), R =
C. I (−2;3), R =
D. I (−2;3), R =
3.
9.
3.
9.
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :
A. 6 .

B. 12 .

x2 y 2
+
=
1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng
100 64
C. 2 .
D. 4 .

1
3

Câu 7: Cho biết sin x − cos x =
. Tính sin 2x .
8
9

A. sin 2 x = .

2
3

B. sin 2 x = − .

Câu 8: Cho biết cot x = 3 . Tính giá trị biểu thức P =
A. P = −1 .

B. P = 1 .

8
9

C. sin 2 x = − .
4 cos x − 5sin x
.
sin x + 2 cos x
11
C. P = .
9

2
3

D. sin 2 x = .

D. P =

Câu 9: Cho a, b ∈  là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau
a+b
a −b
.
cos
2
2
a+b
b−a
2 cos
cos

.
Mệnh đề 3: cos a + cos b =
2
2

Mệnh đề 1: sin a + sin b = 2sin

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 3 .
B. 1.

−11
.
7

b−a
a+b
.
cos
2
2
a+b
a −b
sin
Mệnh đề 4: cos a − cos b = 2sin
.
2
2

Mệnh đề 2: sin a − sin b = 2sin

C. 2 .

D. 4 .


Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; −1) và B(5; −5) . Cho biết quỹ tích các điểm K
thỏa mãn điều kiện KA2 + KB 2 =
20 là một đường trịn bán kính R . Tính R .
A. R = 3 .
B. R = 5 .
D. R = 2 .
C. R = 5 .
2
2
Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x − 2) + ( y + 1) =
4 và đường thẳng
∆ : 4 x − 3 y + m + 1 =0 (trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho
đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) . Tổng các số thuộc tập hợp S bằng:
C. 20 .
A. −24 .
B. 24 .
Câu 12: Cho biết sin x − sin y =
1 và cos x + cos y =
3 . Tính cos( x + y ) .
A. cos( x + y ) =
0.

B. cos( x + y ) =
−1 .

Phần II. Tự luận (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm)
1. Giải phương trình

1
2

C. cos( x + y ) =.

D. −20 .
D. cos( x + y ) =
1.

x2 − 2 x + 6 = 2 x −1 .

2. Giải bất phương trình − x 2 + 3x + 4 ≤ x + 1 .
Câu 2 (2 điểm)
π
1. Cho biết
< a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a .
2

2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C =
4sin A sin B sin C .
Câu 3 (2,5 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =
0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) tại điểm A(−1;1) .
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x − 4 y − 2 =

0 và cắt
đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 .
x2
+ y 2 = 1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E )
4
2
và điểm M ∈ ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF1 + MF22 và diện tích ∆ MF1 F2 .

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :

Câu 4 (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện
tan

A
B
C
3.
+ tan + tan =
2
2
2

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
-------------------------- Hết -------------------------Ghi chú :

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
- Học sinh khơng được sử dụng tài liệu.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
------------------------Mã đề 103

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
Năm học 2019 -2020
Lớp: 10
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 90 phút
-----------------------

Phần I. Trắc nghiệm (3 điểm)
Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm.
x2 y 2
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) : + =
1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng
25 9
A. 8.
B. 4 .
C. 16 .
D. 2 .
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x 2 + y 2 + 2mx − 4(m + 1) y + 4m 2 + 5m + 2 =
0

là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
m < 1

A. 
.
m > 2

 m ≤ −2

B. 
.
 m ≥ −1

 m < −2

C. 
.
 m > −1

D. −2 < m < −1 .

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 =
9 và đường thẳng
∆ : 3 x + 4 y − 2m + 4 =
0 (trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao
cho đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường trịn (C ) . Tích các số thuộc tập hợp S bằng:
A. −486 .
C. −56 .
D. −36 .
B. 12 .
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(2;0) , B(0; 2) . Cho biết quỹ tích các
điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 + MB 2 =
12 là một đường trịn bán kính R . Tính R .
B. R = 4 .
C. R = 3 .
A. R = 2 .

D. R = 5 .
Câu 5: Cho biết tan x = 5 . Tính giá trị biểu thức Q =
A. Q =

11
.
9

B. Q =

19
.
11

3sin x − 4 cos x
.
cos x + 2sin x

C. Q = 1 .

D. Q = −1 .

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(−3;5) . Phương trình nào dưới đây là
phương trình của đường trịn đường kính AB ?
A. ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 =
B. ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 =
5.
25 .
C. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 =
25 .

2 cos 2 x − 1
Câu 7: Rút gọn biểu thức P =
ta được
cos x + sin x
A. P =| cos x − sin x | .
B. P = cos x + sin x .
π
1
Câu 8: Cho biết < x < π và sin x = . Tính cos x .
2
3

D. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 =
5.

C. P = cos x − sin x .

D. P = sin x − cos x .

2
2
2 2
2 2
C. cos x = − .
D. cos x = .
.
B. cos x = −
.
3
3

3
3
Câu 9: Cho a, b ∈  là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau
Mệnh đề 1: sin(=
Mệnh đề 2: sin(=
a + b) sin a cos b + sin b cos a .
a − b) sin b cos a − sin a cos b .

A. cos x =

Mệnh đề 3: cos(=
a − b) cos a cos b − sin a sin b .
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 3 .
B. 0 .

Mệnh đề 4: cos(=
a + b) cos a cos b + sin a sin b .
C. 2 .

D. 1 .


Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 =0 . Tìm tọa độ tâm I
và bán kính R của đường trịn (C ) .
A. I (−1; 2), R =
B. I (1; −2), R =
C. I (−1; 2), R =
2.
2.

4.
Câu 11: Cho biết sin x + sin y =
1 . Tính cos( x + y ) .
3 và cos x − cos y =
1
2

A. cos( x + y ) =.

B. cos( x + y ) =
−1 .

D. I (1; −2), R =
4.

C. cos( x + y ) =
1.

D. cos( x + y ) =
0.

C. sin 2 x = −1 .

D. sin 2 x = .

1
2

Câu 12: Cho biết sin x + cos x =
− . Tính sin 2x .

3
4

A. sin 2 x = − .
Phần II. Tự luận (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm)
1. Giải phương trình

1
2

B. sin 2 x = .

3
4

x2 − 2 x + 6 = 2 x −1 .

2. Giải bất phương trình − x 2 + 3x + 4 ≤ x + 1 .
Câu 2 (2 điểm)
π
1. Cho biết
< a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a .
2

2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C =
4sin A sin B sin C .
Câu 3 (2,5 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =
0.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) tại điểm A(−1;1) .
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x − 4 y − 2 =
0 và cắt
đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 .
x2
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :
+ y 2 = 1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E )
4
2
và điểm M ∈ ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF1 + MF22 và diện tích ∆ MF1 F2 .

Câu 4 (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện
tan

A
B
C
3.
+ tan + tan =
2
2
2

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
-------------------------- Hết -------------------------Ghi chú :

- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
- Học sinh không được sử dụng tài liệu.

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
Năm học 2019 -2020
Lớp: 10
Mơn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút
-----------------------

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
------------------------Mã đề 104

Phần I. Trắc nghiệm (3 điểm)
Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm.
2
3

Câu 1: Cho biết π < x < 2π và cos x = . Tính sin x .
A. sin x = −

5
.
3

B. sin x =

1
3

5
.

3

C. sin x = .

Câu 2: Cho biết cot x = 3 . Tính giá trị biểu thức P =
A. P = −1 .

B. P = 1 .

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :

4 cos x − 5sin x
.
sin x + 2 cos x
−11
.
C. P =
7

1
3

D. sin x = − .

D. P =

11
.
9

x2 y 2
+
=
1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng
100 64
C. 2 .
D. 4 .

A. 6 .
B. 12 .
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 4 =
0 . Tìm tọa độ tâm I và
bán kính R của đường tròn (C ) .
A. I (2; −3), R =
B. I (2; −3), R =
C. I (−2;3), R =
D. I (−2;3), R =
9.
3.
3.
9.
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 =
4 và đường thẳng
∆ : 4 x − 3 y + m + 1 =0 (trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho
đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) . Tổng các số thuộc tập hợp S bằng:
A. 20 .
B. −20 .
C. 24 .
D. −24 .
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (−1;3) và N (3; −5) . Phương trình nào dưới đây là

phương trình của đường trịn đường kính MN ?
A. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 =
B. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 =
20 .
16 .
2
2
2
2
C. ( x + 1) + ( y − 1) =
D. ( x + 1) + ( y − 1) =
16 .
20 .
2sin 2 x − 1
ta được
cos x + sin x
B. M =| cos x − sin x | .

Câu 7: Rút gọn biểu thức M =

A. M = cos x + sin x .
C. M = sin x − cos x .
Câu 8: Cho a, b ∈  là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau
a+b
a −b
.
cos
2
2
a+b

b−a
.
Mệnh đề 3: cos a + cos b =
2 cos
cos
2
2

Mệnh đề 1: sin a + sin b = 2sin

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 2 .
B. 1.

D. M = cos x − sin x .

b−a
a+b
.
cos
2
2
a+b
a −b
Mệnh đề 4: cos a − cos b = 2sin
.
sin
2
2

Mệnh đề 2: sin a − sin b = 2sin

C. 3 .

D. 4 .

1
3

Câu 9: Cho biết sin x − cos x =
. Tính sin 2x .
8
9

A. sin 2 x = − .

2
3

B. sin 2 x = − .

8
9

C. sin 2 x = .

2
3

D. sin 2 x = .

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x 2 + y 2 − 4mx + 2(m − 1) y + 6m 2 − 5m + 3 =
0

là phương trình của một đường trịn trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
m < 1

.
A. 
m > 2

B. 1 < m < 2 .

C. −2 < m < −1 .

 m < −2

.
D. 
 m > −1

Câu 11: Cho biết sin x − sin y =
1 và cos x + cos y =
3 . Tính cos( x + y ) .
1
D. cos( x + y ) =
1.
2

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; −1) và B(5; −5) . Cho biết quỹ tích các điểm K

A. cos( x + y ) =
0.

B. cos( x + y ) =
−1 .

C. cos( x + y ) =.

thỏa mãn điều kiện KA2 + KB 2 =
20 là một đường trịn bán kính R . Tìm R .
A. R = 3 .
B. R = 5 .
Phần II. Tự luận (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm)
1. Giải phương trình

C. R = 2 .

D. R = 5 .

x2 − 2 x + 6 = 2 x −1 .

2. Giải bất phương trình − x 2 + 3x + 4 ≤ x + 1 .
Câu 2 (2 điểm)
π
1. Cho biết
< a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a .
2

2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C =
4sin A sin B sin C .
Câu 3 (2,5 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =
0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(−1;1) .
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x − 4 y − 2 =
0 và cắt
đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 .
x2
+ y 2 = 1 . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của ( E )
4
2
và điểm M ∈ ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF1 + MF22 và diện tích ∆ MF1 F2 .

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :

Câu 4 (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện
tan

A
B
C
3.
+ tan + tan =
2
2
2

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
-------------------------- Hết -------------------------Ghi chú :

- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
- Học sinh khơng được sử dụng tài liệu.


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;3) , B ( −3;5 ) . Phương trình nào dưới đây là
phương trình của đường trịn đường kính AB ?
A. ( x − 1) + ( y + 4 ) =
5.
2

2

B. ( x − 1) + ( y + 4 ) =
25 .
2

2

C. ( x + 1) + ( y − 4 ) =
25 .
2

2

D. ( x + 1) + ( y − 4 ) =

5.
2

2

Lời giải
Chọn D
Gọi I là trung điểm của AB .

x A + xB

= −1
 xI =
2
Ta có 
y A + yB
y
=
= 4
I

2
Vậy I ( −1; 4 )

R = IA =

(1 + 1) + ( 3 − 4 )
2

2

=

5

Phương trình đường trịn tâm I , bán kính R = 5 là: ( x + 1) + ( y − 4 ) =
5.
2

Câu 2.

2

Tìm tất cả các giá trị của tham số của m để phương trình

x 2 + y 2 + 2mx − 4 ( m + 1) y + 4m 2 + 5m + 2 =
0

là phương trình của một đường trịn trong mặt phẳng tọa độ Oxy .

m > 2
B. 
.
m < 1
 m ≥ −1
D. 
.
 m ≤ −2

A. −2 < m < −1 .

 m > −1
C. 
.
 m < −2

Lời giải
Chọn C
b 2m + 2 , c = 4m 2 + 5m + 2
Ta có a = −m ,=
Phương trình đã cho là phương trình đường trịn

 m < −2
2
2
⇔ a 2 + b 2 − c > 0 ⇔ ( −m ) + ( 2m + 2 ) − 4m 2 + 5m + 2 > 0 ⇔ m 2 + 3m + 2 > 0 ⇔ 
 m > −1

(

Câu 3 .

Rút gọn biểu thức P =
A. P =| cos x − sin x | .

)

2 cos 2 x − 1
ta được
cos x + sin x

B. P = sin x − cos x .

Chọn C

2 cos 2 x − 1 cos 2 x − sin 2 x
Ta có P == =
cos x + sin x
cos x + sin x

C. P = cos x − sin x .

D. P = cos x + sin x .

Lời giải

( cos x − sin x )( cos x + sin x ) = cos x − sin x
cos x + sin x


Câu 4 .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 =
9 và đường thẳng
∆ : 3 x + 4 y − 2m + 4 =
0 (trong đó m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m sao cho đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) . Tích các số thuộc tập hợp S
bằng:
A. −36 .
B. 12 .
C. −56 .

D. −486 .
Lời giải

Chọn A

Đường tròn (C ) :( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 =
9 có tâm I ( −1; 2 ) và bán kính R = 3 .
Đường thẳng ∆ : 3 x + 4 y − 2m + 4 =
0 là tiếp tuyến của đường tròn (C )
⇔ d ( I , ∆ ) =3

⇔

3 ( −1) + 4.2 − 2m + 4

5
⇔ 9 − 2m =
15

=
3

15
 9 − 2m =
⇔
−15
9 − 2 m =
 m = −3
⇔
 m = 12

Vậy S =
Câu 5.

{−3;12} nên tích các số thuộc tập hợp

S bằng −36 .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y − 1 =0. Tìm tọa độ tâm

I và bán kính R của đường tròn ( C ) .

22
.
A. I ( −2;1) , R =
2

22
B. I ( 2; −1) , R = .
2

21
C. I ( 4; −2 ) , R =.
2

D. I ( −4; 2 ) , R =
21.
Lời giải

Chọn B

Ta có:
2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y − 1 =0
1
⇔ x2 + y 2 − 4 x + 2 y − =
0
2

a
=

1

2
2
0 ta có hệ số b =
Ta có x + y − 4 x + 2 y − =
2


c =


Suy ra tâm I ( 2; −1) và bán kính =
R
Câu 6.

=
α
Biết sin
A.

3
.
5

−4
= 2
−2
2
= −1
−2
−1
2

a 2 + b2 −=
c

2
 1
22 + ( −1) −  − =

 2

4
, ( 90° < α < 180° ) . Khi đó giá trị cos α bằng:
5
1
3
B. .
C. − .

5
5

22
2

1
D. − .
5


Lời giải
Chọn C

3

cos α =

9
4
5
⇒
1 ⇔ cos 2 α =
1 − sin 2 α ⇔ cos 2 α =
1−   =
(1)
Ta có: sin 2 α + cos 2 α =
3
25 
5

cos α = −

5
2

Do ( 90° < α < 180° ) ⇒ cos α < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: cos α = −
Câu 7.

3
5

Cho a, b ∈  là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau

+ b ) sin a cos b + sin b cos a .
Mệnh đề 1: sin ( a=
− b ) sin b cos a − sin a cos b .
Mệnh đề 2: sin ( a=
a − b ) cos a cos b − sin a sin b .
Mệnh đề 3: cos (=
a + b ) cos a cos b + sin a sin b .
Mệnh đề 4: cos (=
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
Lời giải
Chọn B

D. 3 .

+ b ) sin a cos b + sin b cos a ⇒ Mệnh đề 1 đúng.
sin ( a=

sin ( a=
− b ) sin a cos b − cos a sin b ⇒ Mệnh đề 2 sai.
a − b ) cos a cos b + sin a sin b ⇒ Mệnh đề 3 sai.
cos (=
cos (=
a + b ) cos a cos b − sin a sin b ⇒ Mệnh đề 4 sai.
Câu 8.

Vậy có duy nhất mệnh đề 1 đúng.
1
− . Tính sin 2x .
Cho biết sin x + cos x =
2
3
3
A. sin 2 x = − .
B. sin 2 x = .
4
4
Chọn A

C. sin 2 x =
Lời giải

1
1

2
sin x + cos x =
− ⇒ ( sin x + cos x ) =
2
4
1
⇔ sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 x =
4
1
3
⇔ 1 + sin 2 x = ⇔ sin 2 x =− .
4
4

Câu 9.

Cho biết tan x = 5 . Tính giá trị biểu thức Q =
A. Q = 1 .

B. Q =

19
.
11

D. sin 2 x = −1 .

3sin x − 4 cos x
.
cos x + 2sin x

C. Q = −1 .
Lời giải

Chọn A

1
.
2

D. Q =

11
.
9


s in x
−4
3sin x − 4 cos x
3 tan x − 4 3.5 − 4
cos x
=
=
= = 1.
Ta=
có Q
cos x + 2sin x 1 + 2 s in x 1 + 2 tan x 1 + 2.5
cos x
3

Câu 10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho elip ( E ) :
B. 8 .

A. 4 .

x2 y 2
1 . Tiêu cự của elip ( E ) bằng
+
=
25 9
C. 16 .
D. 2 .

Lời giải
Chọn B
(E) :

a 2 = 25
x2 y 2
⇒ c 2 = a 2 − b 2 = 16 ⇒ c = 4 .
1 có  2
+
=
25 9
b = 9

c 2.4
= 8.
Vậy tiêu cự của elip ( E ) bằng 2=

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm cố định là A ( 2;0 ) , B ( 0; 2 ) . Cho biết quỹ tích các
điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 + MB 2 =
12 là một đường trịn bán kính R . Tìm R .
A. R = 5 .

C. R = 3 .

B. R = 4 .

D. R = 2 .

Lời giải
Chọn C
Gọi M ( x; y ) thỏa MA2 + MB 2 =
12 (1) .
Ta có MA2 =( x − 2 ) + y 2 và MB 2 = x 2 + ( y − 2 ) .
2

(1) ⇔ ( x − 2 )

2

2

+ y 2 + x2 + ( y − 2) =
12 ⇔ 2 x 2 + 2 y 2 − 4 x − 4 y − 4 =
0
2

⇔ x2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 =
0.

Vậy quỹ tích của điểm M là đường trịn có tâm I (1;1) và bán kính R=

12 + 12 + 2= 2

Câu 12. Cho biết sin x + sin y =
3 và cos x − cos y =
1 . Tính cos ( x + y )

1.
A. cos ( x + y ) =

−1 .
B. cos ( x + y ) =

0.
C. cos ( x + y ) =

1
D. cos ( x + y ) =.
2

Lời giải
Chọn B
Ta có: sin x + sin y =
3 ⇒ ( sin x + sin y ) =
3 ⇔ sin 2 x + 2sin x sin y + sin 2 y =
3 (1) .

2

1 ⇔ cos 2 x − 2 cos x cos y + cos 2 y =
1 ( 2) .
cos x − cos y =
1 ⇒ ( cos x − cos y ) =
2

Lấy (1) cộng với ( 2 ) vế theo vế, ta được
−1
2 + 2sin x sin y − 2 cos x cos y =
4 ⇔ cos x cos y − sin x sin y =

cos x cos y − sin x sin y =
−1 .
Vậy cos ( x + y ) =
PHẦN II. TỰ LUẬN (7 điểm)
Câu 1.


1. Giải phương trình

x2 − 2 x + 6 = 2 x −1 .
Lời giải

1

x≥

1

2

2 x − 1 ≥ 0

x ≥
2
x − 2x + 6 = 2x −1 ⇔  2
⇔   x = −1 (l ) .
2
2 ⇔ 
2
 x − 2 x + 6= ( 2 x − 1)

0 
5
3 x − 2 x − 5 =
  x = ( n)
3

5 
Vậy S =   .
3
2. Giải bất phương trình

− x 2 + 3x + 4 ≤ x + 1.
Lời giải

x +1 ≥ 0
 x ≥ −1
 2


Bpt ⇔ − x + 3x + 4 ≥ 0
⇔ −1 ≤ x ≤ 4
 2
 2
2
2 x − x − 3 ≥ 0
− x + 3x + 4 ≤ ( x + 1)
−1 ≤ x ≤ 4
3

≤x≤4

3
⇔  x ≥
⇔ 2

2

 x = −1
  x ≤ −1
3 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình cần tìm là
=
S  ;4  ∪ {−1}.
2 

Câu 2.
1. Cho biết

π
< a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a .
2
Lời giải

Cho biết

π
< a < π và tan a = −2 . Tính cos a và cos 2a .
2

1
1
1
1
5
Ta có: 1 + tan 2 a =
⇒ cos 2 a = 2 = 2 =
⇒ cos a =
±
2
cos a
1 + tan a 1 + ( −2 )
5
5

Vì

π
5

< a < π thuộc góc phần tư thứ hai nên cos a < 0 ⇒ cos a =−
2
5
2


5
3
cos 2a =2 cos a − 1 =2  −
 − 1 =−
5
 5 
4sin A sin B sin C .
2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2C =
2

Lời giải

π . Do đó ta có
Với tam giác ABC ta có A + B + C =
sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 2sin( A + B ) cos(A − B) + sin 2C = 2sin C cos( A − B ) + 2sin C cos C
sin 2 A + sin 2 B=
+ sin 2C 2sin C.[ cos( A − B ) − cos(A + B)]=2 sin C.(-2).sinA.sin (-B)

4sinA.sinB.sin C
Ta được: sin 2 A + sin 2 B + sin 2C =
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu 3.

0
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn ( C ) tại điểm A ( −1;1) .
b. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d :3 x − 4 y − 2 =
0 và cắt
đường tròn ( C ) tại hai điểm A , B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 8 .
Lời giải

a. Đường trịn ( C ) có tâm I ( 3; −2 ) .

Ta có: IA = ( −4;3)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tại điểm A ( −1;1) là:

−4 ( x + 1) + 3 ( y − 1) = 0 ⇔ −4 x + 3 y − 7 = 0 ⇔ 4 x − 3 y + 7 = 0 .
b. Đường tròn ( C ) có tâm I ( 3; −2 ) , R = 5 .
Do AB = 8 nên I ∉ ∆ .
Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d :3 x − 4 y − 2 =
0 nên
∆ có dạng: 3 x − 4 y + C =
0 , C ≠ −2 .

3
Gọi M là trung điểm của AB . Khi đó: AM = 4 , AI= R= 5 ⇒ IM =
3.3 − 4. ( −2 ) + C

IM d ( I ; ∆ ) nên ta có:
Mà =

32 + ( −4 )

2

C = −2
15 ⇔ 
= 3 ⇔ 17 + C =
C = −32

C = −2 không thỏa mãn điều kiện.
C = −32 thỏa mãn điều kiện nên phương trình đường thẳng ∆ là: 3 x − 4 y − 32 =
0.
x2
+ y2 =
1. Gọi F1 ; F2 là hai tiêu điểm của ( E )
4
và điểm M ∈ ( E ) sao cho MF1 ⊥ MF2 . Tính MF12 + MF2 2 và diện tích ∆MF1 F2 .

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip ( E ) :

Lời giải

x2
Ta có F1 − 3;0 , F2 3; 0 . Gọi M ( x; y ) , ta có M ∈ ( E ) ⇔
1 (1) . Mặt khác ta có
+ y2 =
4


MF1 − 3 − x; − y ; MF2 3 − x; − y .
 

Do MF1 ⊥ MF2 nên MF1.MF2 =0 ⇔ x − 3 x + 3 + y 2 =0 ⇔ x 2 + y 2 =3 ( 2 ) .

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

)(

 x2
2
1
 +y =
Từ (1) và ( 2 ) ta có  4
.

 x2 + y 2 =
3

2 6 3
2 6
 2 6 3
 2 6
3
3
Suy ra M 
hoặc M 
hoặc M  −
;
;−
 hoặc M  −
.
 3 ; 3 
 3 ; − 3 

3
3 
3
3 






2

Vậy MF12 + MF2=
2 ( x 2 + y 2 ) +=
6 12.

S ∆MF1F=
2

1
1
MF1.MF=
.
2
2
2

( x + 3)

2

+ y2 .

( x − 3)

2

2
+ y=

1
2

(x

2

4
− 3) + y 2 ( x 2 + 6 ) + y=
1.
2


Câu 4.

Cho ∆ABC có số đo ba góc là A , B , C thỏa mãn điều kiện tan
Chứng minh ∆ABC là tam giác đều.

A
B
C
+ tan + tan =
3.
2
2
2

Lời giải

A B π C
A B C π
 A B

π C 
+ + = ⇒ + = − ⇒ tan  + =
 tan  − 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
A
B
A
B
tan + tan
tan + tan
C
1
2
2 =
2
2 =
⇒
cot ⇒
A
B
A
B
C
2
1 − tan .tan
1 − tan .tan
tan

2
2
2
2
2
A
B
B
C
C
A
⇒ tan .tan + tan .tan + tan .tan =
1.
2
2
2
2
2
2

Ta có

A
B
C
+ tan + tan =
3
2
2
2

A
B
C
A
B
B
C
C
A
⇔ tan 2 + tan 2 + tan 2 + 2 tan .tan + 2 tan .tan + 2 tan .tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
B
B
C
C
A


= 3  tan .tan + tan .tan + tan .tan 
2
2

2
2
2
2

Ta có tan

⇔ tan 2

A
B
C
A
B
B
C
C
A
+ tan 2 + tan 2 − tan .tan − tan .tan − tan .tan =
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2

2

1
A
B 1
B
C 1
C
A
⇔  tan − tan  +  tan − tan  +  tan − tan  =
0
2
2
2  2
2
2  2
2
2
A
B
A
B


A B
0
 tan 2 − tan 2 =

 tan 2 = tan 2
2 = 2



A B C π
B
C
B
C


B C
⇔  tan − tan =
tan ⇔  =(vì 0 < ; ; < ) ⇔ A = B = C .
0 ⇔  tan =
2 2 2 2
2
2
2
2


2 2
A
A
 C
 C
C A
0

 tan 2 − tan 2 =
 tan 2 = tan 2
2 = 2




Suy ta ∆ABC đều.
-------------------- HẾT --------------------