Giải đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế

; thì trung điểm IM là
; , phương trình đường tròn đường kính
29 29
58 26
2

2

197
37
5

IM là: x
y .
58
26
2

Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác đều OAB có AB a. Trên đường thẳng d đi qua O vuông góc với mặt

phẳng OAB lấy một điểm M sao cho OM x. Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc
của A lên MB và OB. Đường thẳng EF cắt đường thẳng d tại N .
a) Chứng minh rằng AN BM .
b) Xác định x theo a để thể tích khối tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất
đó.
Giải:
AF OB
M
a) Ta có

AF MB
AF OM
Mà AE MB nên BM AEF
Do AN AEF nên AN BM .
E

b) Theo câu a) ta có:











AN .BM 0 ON OA OM OB 0

O

OM .ON OA.OB.cos 60 0
ON

F

B

OA.OB.cos 60 a 2

OM
2x
N

4

A


a2 a2 3
a2
1
1 a2 3
x


x

Do MN OAB nên VABMN .MN .SOAB .




3
3 4
2x
12
2x
Theo bất đẳng thức Cô-si thì: x

Suy ra: VABMN

a2
a2
2 x.
2a
2x
2x

a3 6
.
12

Vậy thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABMN là

a3 6
a2
a 2
x
.
khi x
12
2x
2

Bài 6: (2,0 điểm)
1 1 1
2018. Tìm giá trị lớn nhất của
x y z
1

1
1
3029
biểu thức P



.
2x y z x 2 y z x y 2z
2
Giải:
1
11 1
*Xét bất đẳng thức phụ:
với mọi a, b 0.
ab 4 a b
*Dùng bất đẳng thức ở trên ta có:
1
1
1 1
1 1 2 1 1




2 x y z x y x z 4 x y x z 16 x y z

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

1

1 1 2 1
1
1 1 1 2
;

x 2 y z 16 x y z
x y 2 z 16 x y z
1 1 1 1 3029 2018 3029
Suy ra: P


2019
4 x y z
2
4
2

Tương tự ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2019 đạt được khi và chỉ khi x y z

3
.
2018

------------------------------------------ HT ---------------------------------------------

5