Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch với nhiều tài sản rủi ro luận văn ths toán học60 46 01 06

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN VĂN TRÁNG

ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ
CHI PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN
RỦI RO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN VĂN TRÁNG

ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI
PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN RỦI RO
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
NCVCC.TS.Nguyễn Hồng Hải

Hà Nội – Năm 2014


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU.................................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN

...................................
TÀI CHÍNH5

1.1. Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính............................................... 5
1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính.......................................................................... 5
1.1.2.Mô hình động của giá các loại cổ phiếu và trái phiếu...............................8
1.1.3.Bài toán phân bổ vốn đầu tư, tính chất không cơ lợi và tính đầy đủ
của một thị trường tài chính............................................................................................. 10
1.2. Một số khái niệm xác suất trong toán tài chính............................................... 14
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục............................................... 14
1.2.2. Quá trình chuyển động Brown......................................................................... 16
1.2.3. Martingale với thời gian liên tục..................................................................... 17
1.2.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô..................................................... 19

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI
PHÍ GIAO DỊCH ………………………21
2.1. Mô hình................................................................................................................................. 21
2.1.1. Thị trường vốn.......................................................................................................... 21
2.1.2. Bài toán của nhà đầu tư....................................................................................... 21
2.2. Chính sách tối ưu trong trường hợp không có chi phí giao dịch 23
2.3. Các trường hợp riêng..................................................................................................... 25
2.3.1. Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch tỉ lệ................................................... 25
2.3.2. Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch cố định............................................ 32

2.4. Trường hợp có cả chi phí cố định và chi phí tỉ lệ........................................... 38


2.5.Chi phí cố định và phí tỉ lệ với lợi suấ

2.6.Phân tích các chính sách tối ưu ..........

2.6.1.Các giới

2.6.2.Tần số g
2.6.3. Lượng tiền trung bình đầu tư vào cổ phiếu................................. 81
KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỞ RỘNG ...................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
LỜI NÓI ĐẦU
Thị trường tài chính là sản phẩm tất yếu của nền kinh tế thị trường, đó là nơi
diễn ra các hoạt động mua bán những sản phẩm phát hành bởi những cơ sở tài
chính như: các công ty, nhà xưởng, ngân hàng, nhà nước…Sự xuất hiện và tồn
tại của thị trường này xuất phát từ yêu cầu khách quan của việc giải quyết
mâu thuẫn giữa nhu cầu và khả năng cung ứng vốn trong nền kinh tế phát
triển. Trong nền kinh tế luôn tồn tại hai trạng thái trái ngược nhau giữa một
bên là nhu cầu và một bên là khả năng về vốn. Mâu thuẫn này ban đầu được
giải quyết thông qua hoạt động của ngân hàng với vai trò trung gian trong
quan hệ vay mượn giữa người có vốn và người cần vốn. Khi kinh tế hàng hóa
phát triển cao, nhiều hình thức huy động vốn mới linh hoạt hơn nảy sinh và
phát triển, góp phần tốt hơn vào việc giải quyết cân đối giữa cung và cầu về
các nguồn lực tài chính trong xã hội, làm xuất hiện các hình thức huy động
vốn như trái phiếu, cổ phiếu của các doanh nghiệp, trái phiếu chính phủ…-Đó

là những loại giấy tờ có giá trị, gọi chung là các loại chứng khoán. Và từ đó
xuất hiện nhu cầu mua bán, chuyển nhượng giữa các chủ sở hữu của các loại
chứng khoán khác nhau. Điều này làm xuất hiện một loại thị trường để tổng
hòa các mối quan hệ cung cầu về vốn trong nền kinh tế là thị trường tài chính.
Thị trường tài chính phát triển góp phần thúc đẩy mạnh mẽ sự phát triển kinh
tế của một quốc gia.
Toán học tài chính (Financial mathematics) ra đời hơn 100 năm nay, nhưng
đặc biệt phát triển trong thời gian gần đây và ngày càng tỏ ra hữu ích trong
thực tiễn đời sống kinh tế của các quốc gia. Nó là một ngành ứng dụng toán
học để nghiên cứu thị trường tài chính nhằm phân tích một cách khoa học
những sự kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủng hoảng tài chính, bảo hiểm,
…

vốn là những vấn đề tài chính có tính thời sự. Trong những năm gần đây

ngành tài chính đã thực sự trở thành một ngành công nghiệp then chốt có tác
Trang 1


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
dụng điều chỉnh và thúc đẩy mọi hoạt động của ngành kinh tế và đã trở thành
nơi hội tụ của các ý tưởng xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực
tế khác nhau. Hiện nay chúng ta đang chứng kiến một sự cộng tác chặt chẽ
giữa các nhà toán học, các nhà kinh tế và các nhà tài chính trong việc ứng
dụng các thành tựu toán học hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh tế,
phân tích và thấu hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có
những hành động và quyết sách hợp với quy luật. Một số mô hình toán tài
chính nổi tiếng như: “Mô hình về định giá các tài sản vốn” của W.Sharpe
(1964), mô hình Markowitz, mô hình Black – Scholes, mô hình khuếch tán…
Tại Việt Nam,nền công nghiệp tài chính đã có nhiều thành tựu và việc ra đời

của thị trường chứng khoán đòi hỏi các nhà quản lý phải có những hiểu biết
sâu sắc về các hoạt động cũng như các quy luật chi phối thị trường đó.Toán
học tài chính sẽ là công cụ không thể thiếu để các chuyên gia kinh tế và tài
chính điều hành hữu hiệu mọi hoạt động của thị trường này.
Trước đây, các nhà toán học nghiên cứu các mô hình theo kiểu ghép giá và
chi phí giao dịch vào làm một. Tức là chi phí giao dịch đã bị tính lẫn vào giá.
Tuy nhiên chi phí giao dịch có tính cố định và đã biết còn giá có tính ngẫu
nhiên nên điều này dẫn đến việc ghép những thông tin đã biết vào cái chưa
biết làm thông tin bị đánh mất. Bây giờ chi phí giao dịch được biết trước nên
cần tách riêng chúng ra. Luận văn này làm về một mô hình có tính đến chi phí
giao dịch như vậy. Đây là một mô hình giúp ta đưa ra kết quả sâu sắc và xác
thực cho bài toán tài chính có tính đến chi phí giao dịch.
Với việc nghiên cứu như vậy cấu trúc luận văn như sau:
Chương I : Kiến thức cơ sở về toán tài chính
Chương này nhằm trình bày những khái niệm cơ bản về thị trường tài chính,
các bộ phận tạo nên thị trường tài chính và lý thuyết hiện đại về toán học ngày
nay được áp dụng trong thị trường tài chính. Ngoài ra còn giới thiệu một số
Trang 2


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
mô hình và bài toán cơ bản trong tài chính cũng như những kiến thức cơ sở về
xác suất được dùng trong toán tài chính như: quá trình Wiener, Mactingal và
tích phân Itô.
Chương II : Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch Chương này
dành cho việc xây dựng một mô hình toán tài chính để giải quyết bài toán đầu
tư và tiêu thụ tối ưu với thời gian liên tục cho một nhà đầu tư phải chịu cả hai
loại chi phí giao dịch là: chi phí giao dịch cố định (Constant Absolute Risk
Aversion(CARA)) và chi phí giao dịch tỉ lệ (Constant Relative Risk
Aversion(CRRA)) trong việc giao dịch (n+1) tài sản bao gồm một tài sản

không rủi ro (gọi là trái phiếu(Bond)) và n tài sản rủi ro (gọi là cổ
phiếu(Stoke)) ( n 1) . Với mục đích so sánh, trước tiên chúng ta sẽ trình bày
một số kết quả về chính sách đầu tư tối ưu trong trường hợp không có chi phi
giao dịch. Tiếp đến ta xét trường hợp chỉ có một loại chi phí giao dịch là chi
phí giao dịch tỉ lệ hoặc chi phí giao dịch cố định. Sau cùng chúng ta trình bày
các kết quả về chính sách đầu tư tối ưu trong trường hợp có cả chi phí giao
dịch cố định và chi phí tỉ lệ để từ đó đưa ra những phân tích tổng
quan nhất cho các chính sách tối ưu trong đầu tư.
Trong nghiên cứu này, kết quả đầu tiên mà chúng ta tìm ra được là chính
sách giao dịch tối ưu trong trường hợp nhiều loại tài sản rủi ro phải chịu các
chi phí giao dịch cố định và lợi suất của các tài sản rủi ro không tương quan
(lợi suất tài sản không tương quan nên chúng ta có thể tách những tính toán về
các loại tài sản rủi ro thành phép tính cho mỗi loại tài sản riêng biệt). Khi đó
chính sách đầu tư tối ưu với mỗi tài sản rủi ro đó là nhà đầu tư giữ lượng vốn
đầu tư vào tài sản giữa hai mức cố định đó là hai hằng số mà ta có thể tính
toán bằng một công thức rõ ràng. Khi lượng vốn này đạt đến một trong hai
ngưỡng nhà đầu tư sẽ giao dịch để đạt mục tiêu tối ưu.
Trang 3


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
Đóng góp thứ hai của nghiên cứu này đó là chúng ta sẽ tiến hành phân tích
tổng quan chiến lược kinh doanh tối ưu. Chúng ta cung cấp được một cách
thức đơn giản để tính toán các giới hạn của miền không giao dịch và giới hạn
mục tiêu. Chúng ta sẽ phân tích những ảnh hưởng của sự ác cảm rủi ro, phí rủi
ro và tính dễ biến động trên miền không giao dịch, lượng tiền mục tiêu và tần
số giao dịch. Chúng ta cũng rút ra được dạng đóng của sự phân bổ ổn định
của lượng tiền đầu tư vào tài sản rủi ro đồng thời ta cũng kiểm tra được lượng
tiền trung bình ổn định đầu tư vào tài sản.
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của

NCVCC.TS Nguyễn Hồng Hải. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành
và sâu sắc tới người thầy của mình!
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã giảng dạy và giúp đỡ em
trong quá trình học tập và nghiên cứu tại khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa
Học Tự Nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội!
Xin cảm ơn gia đình và bạn bè những người đã động viên và giúp đỡ em
trong suốt thời gian qua!
Do thời gian nghiên cứu và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh
khỏi những hạn chế và thiếu sót, kính mong các thầy cô giáo và các bạn chỉ
dẫn và góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội,năm 2014
Tác giả
Nguyễn Văn Tráng

Trang 4


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN
TÀI CHÍNH
1.1.

Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính

Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về thị
trường tài chính cũng như các kiến thức xác suất cơ sở cần thiết cho việc
thiết lập mô hình toán tài chính chúng ta sẽ xây dựng và nghiên cứu trong
luận văn này.
1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính
Thị trường tài chính là thị trường mà ở đó diễn ra các hoạt động mua bán,

trao đổi, chuyển nhượng quyền sử dụng các tài sản tài chính thông qua những
phương thức giao dịch và công cụ tài chính nhất định.
Cấu trúc cơ bản của thị trường tài chính bao gồm các bộ phận sau đây:
1)

Các cá nhân: những cá nhân hoạt động riêng lẻ, các bà nội trợ…

2)

Các hãng: các hãng kinh doanh, các công ty, các liên doanh…

3)

Thị trường các chứng từ có giá trị: thị trường vốn, thị trường tiền tệ…

4)

Các cấu trúc trung gian: các nhà băng, các ngân hàng công thương,

ngân hàng đầu tư, các công ty bảo hiểm…
Bốn bộ phận đó liên kết chặt chẽ với nhau trong đó thị trường các chứng từ
có giá trị đóng vai trò then chốt. Ta hãy làm rõ hơn hoạt động của các bộ phận
nói trên:
1) Các cá nhân: trong hoạt động tài chính của họ có một vấn đề trung tâm
đó là các vấn đề về tích lũy vốn và tiêu dùng. Gắn liền với vấn đề này có bài
toán tối ưu về tiêu dùng và tích lũy (bài toán về phân bổ đầu tư). Dựa trên
nguyên lý của Von Neumann – Morgenstern về sự hoạt động hợp lý của các
Trang 5

Luận văn Thạc sĩ Khoa học
cá nhân trong các điều kiện bất định người ta đã tìm cách tốt nhất để xác định
việc phân bổ vốn, xác định quan hệ giữa tích lũy và tiêu dùng sao cho hàm lợi
ích đạt cực đại.
2) Các hãng : đó là một tổ chức có đất đai, nhà máy, công xưởng và các
loại tài sản có giá trị khác như chợ, các phát minh… Hoạt động của các hãng
là tổ chức, điều hành các hoạt động sản xuất, kinh doanh để đạt lợi nhuận cao
nhất.
3) Các cấu trúc trung gian ( cấu trúc về các phương diện tài chính): đó là
các ngân hàng công thương, ngân hàng tín dụng, các hãng bảo hiểm…
4)

Thị trường các chứng từ có giá trị: đó là tập hợp các thị trường có tổ

chức để mua bán, trao đổi những chứng từ (các hợp đồng) đã được tiêu chuẩn
hóa như: trái phiếu (bonds), cổ phiếu (stocks), quyền lựa chọn (options), các
hợp đồng trong tương lai (futures) … Như sau này ta sẽ thấy thị trường trái
phiếu và thị trường các quyền lựa chọn là hai thị trường quan trọng nhất.
Dựa trên các thị trường này các hãng có thể tăng vốn của họ để phát triển
sản xuất kinh doanh, các cá nhân có cơ hội và phương tiện để hoạt động tài
chính.
Ngoài các chức năng hoạt động của nó, thị trường các chứng từ có giá trị
đóng một vai trò quan trọng trong việc cung cấp các thông tin về giá cổ phiếu,
lãi suất, các chỉ số tài chính… có thể sử dụng được trong các lĩnh vực kinh tế,
các cá nhân có thể sử dụng các thông tin đó để thực thi các quyết định về các
dự án đầu tư về phương diện tài chính.
Người ta quan tâm đến các hoạt động trong thị trường các chứng từ có giá
trị. Vì vậy ta cũng nên tìm hiểu về các loại chứng từ đó.
a) Trái phiếu: đó là một loại hợp đồng dài hạn được phát hành bởi chính
phủ, các ngân hàng, các công ty tín dụng và các thể chế tài chính khác với

mục tiêu là tích lũy vốn.
Trang 6


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
Như thường lệ các trái phiếu có liên quan đến các loại chứng từ có giá trị
dài hạn có lãi suất xác định hoặc lãi suất thay đổi. Một ví dụ về trái phiếu đó
là tín phiếu kho bạc. Ở các nước phương Tây còn có các loại trái phiếu sau
đây: trái phiếu kho bạc, trái phiếu của các hãng lớn, zero coupon bonds,…
b)

Cổ phiếu: đó là một loại chứng từ có kỳ hạn được phát hành bởi các

hãng nhằm tích lũy vốn. Giá của một loại cổ phiếu được xác định như trạng
thái hiện hành của thị trường vốn cũng như hoạt động sản xuất tương ứng của
hãng.
Người sở hữu cổ phiếu nói chung có quyền tham gia vào các hoạt động của
hãng theo nguyên tắc “số phiếu bầu = số tiếng nói” và được hưởng cổ tức.
c)

Quyền lựa chọn hoặc hợp đồng về quyền lựa chọn: đó là một loại

chứng từ có giá trị mà người sở hữu nó có quyền mua hoặc bán một tài sản
nào đấy ( ví dụ: cổ phần của một công ty ) theo các điều khoản đã ghi trên hợp
đồng.
Quyền lựa chọn được chia làm hai loại: loại Châu Âu và loại Châu Mỹ.
-

Quyền lựa chọn loại châu Âu có thời hạn kết thúc xác định (gọi là thời hạn
đáo hạn).

-

Quyền lựa chọn loại châu Mỹ cho phép người sở hữu có quyền mua hoặc

bán tại thời điểm bất kỳ trước hoặc ngay tại thời hạn đáo hạn. Hiện nay quyền
lựa chọn loại Châu Mỹ chiếm đa phần trong các loại hợp đồng về quyền lựa
chọn.
Cần lưu ý rằng không phải quyền lựa chọn loại Châu Âu chỉ có ở Châu Âu
và loại Châu Mỹ chỉ có ở Châu Mỹ. Hơn nữa mỗi quyền lựa chọn Châu
Âu,Châu Mỹ lại chia làm hai loại:
-

Quyền lựa chọn mua (call option) : cho phép người sở hữu nó mua một
loại tài sản nào đấy.
Trang 7


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
-

Quyền lựa chọn bán (put option) : cho phép người sở hữu bán một loại tài
sản nào đấy (cổ phiếu hoặc trái phiếu… ).

-

Warrant là một loại chứng từ có giá trị được phát hành bởi các hãng về một
loại cổ phần đặc biệt nào đấy để thay đổi cái hiện có. Người sở hữu hợp
đồng này có thể mua một số các tài sản nào đấy đã thỏa thuận trước với
một giá trị nhất định tại thời điểm bất kỳ trước một thời điểm xác định.

-

Hợp đồng tương lai (future) về việc mua hoặc bán một tài sản nào đấy tại
một thời điểm nhất định trong tương lai theo một giá đã thỏa thuận.

-

Voucher: đó là điều khoản về tiền tệ của nhà nước cho phép người sở hữu
có quyền mua một cổ phần tùy ý theo quy định của nhà nước.

1.1.2.Mô hình động của giá các loại cổ phiếu và trái phiếu.
Xét một tài sản tài chính S, giá của nó tại mỗi thời điểm t được kí hiệu là
()
hoặc . Giá
các biến động giá cả các sản phẩm khác, các xu hướng tăng trưởng hoặc suy
thoái của nền kinh tế thế giới, các diễn biến về nhu cầu tiêu dùng trong và
ngoài nước, tiềm lực sản xuất, các diễn biến chính trị, các chính sách của nhà
nước,các diễn biến tâm lý nhà đầu tư…Ta gom các yếu tố ngẫu nhiên đó của
tất cả các sản phẩm tài chính trên thị trường vào một tập hợp cơ bản kí hiệu là
Ω mà mỗi phần tử ω của nó biểu thị một yếu tố ngẫu nhiên nào đó. Mỗi sự
kiện xảy ra trong thị trường là một tập hợp nào đó gồm một số các yếu tố
ngẫu nhiên. Để đo lường một cách định lượng khả năng xảy ra các sự kiện đó
ta dùng một loại thước đo là độ đo xác suất
kiện thuộc về một lớp
đại số), mỗi sự kiện A thuộc về lớp này (A

Trang 8

Luận văn Thạc sĩ Khoa học
nhiên và giá trị đo lường khả năng xảy ra của sự kiện A đó chính là xác suất
P(A).
Vậy ta có không gian xác suất (Ω,ℱ,P) mà mỗi tài sản tài chính S(t) là một
quá trình ngẫu nhiên xác định trên đó: với mỗi t, S(t) còn phụ thuộc vào các
yếu tố ngẫu nhiên ω: S=S(t,ω)
Vào năm 1900 trong luận án tiến sĩ “Théorie de la speculation” của mình,
L.Bachelier đã chỉ ra rằng sự thay đổi của giá mỗi loại chứng khoán có dạng:
∆ = ( +∆)− ( )≈0(√∆)
Đến năm 1923, N.Wiener đã xây dựng quá trình Wiener có tính chất:
rằng hiệu quả đã được

Như vậy về trung bình
nhận xét bởi Bachelier tỏ ra hợp lý nếu giá trị chịu tác
động của nhân tố ngẫu nhiên Wiener là tổng hợp của vô số tác nhân kinh tế vô
cùng nhỏ bé như mô hình dưới đây:
= () + () (). (1)
Năm 1965, P.Samuelson theo sáng kiến của L.Savage đã nhận xét rằng nếu
giá chứng khoán tuân theo mô hình (1) thì nó có thể âm và điều đó là không
phù hợp với thực tế. Vì vậy ông đã đề xuất mô hình chuyển động Brown hình
học để mô tả động học của giá:

=
Khi đó
chuyển. Một ví dụ
={ ,
là lãi suất không đổi.

=

Trang 9


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
Đối với trường hợp thời gian rời rạc, J.Cox,R.A.Ross, M.Rubinstein đã đưa
ra mô hình di động ngẫu nhiên rời rạc để mô tả động học của dãy giá các
chứng khoán:

trong đó
trong đó
và xuống.
Hiện nay người ta đã xét nhiều mô hình tổng quát nhưng phức tạp hơn
nhiều,kể cả các mô hình khuếch tán có bước nhảy.
Một trong các mô hình đơn giản thuộc loại các mô hình nói trên là mô hình
về giá của một tài khoản ngân hàng (bank account) với lãi suất không đổi
hoặc thay đổi
bởi:

Cấu trúc giá
thường được giả
()=(, ) +(, )
Một trong các quá trình lãi suất được đưa ra bởi Vasicek (1977) chính là quá
trình Ornstein – Uhlenbeck:
= ( −
) +
, là hằng số

1.1.3.Bài toán phân bổ vốn đầu tư, tính chất không cơ lợi và tính đầy đủ của
một thị trường tài chính:
a)Chiến lược phân bổ vốn đầu tư:

Xét k+1 quá trình ngẫu nhiên
của

+1

loại chứng


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
Ta qui ước ( ) là quá trình giá của chứng khoán không có rủi ro (còn gọi là
trái phiếu) tại thời điểm t. ( ) thỏa mãn phương trình sau:
()= ()

()

,

(0)=1

và trong trường hợp này có thể coi ( ) như một trái phiếu kho bạc với lãi suất
là ( ).

Còn lại các
ro (còn gọi là cổ
Định nghĩa:
1)

phiếu) tại thời điểm t.

( ),

Một chiến lược phân bổ vốn đầu tư là một quá trình vecto dự đoán được

(khi biết tất cả các thông tin về thị trường cho đến thời điểm t) ℎ( ) =
ℎ(),…,ℎ(),

ℎ( )

2)
giữ.

còn được gọi là da

Quá trình trị giá ứng với
(;ℎ)= ℎ
()
()
Q

Một chiến lược phân bổ vốn đầu tư ℎ được gọi là chiến lược tự điều
chỉnh tài chính hoặc tự tài trợ nếu:
( , ℎ) =
ℎ ()
( ) hoặc
()ℎ()=0
3)

Q

Q

Tức là nhà đầu tư muốn tăng đầu tư của mình vào tài sản này thì phải giảm
đầu tư vào tài sản kia.
b)Yêu cầu tài chính và điều kiện để cho thị trường không có độ chênh thị
giá:
Để hiểu rõ khái niệm yêu cầu ngẫu nhiên của sự đầu tư ta hãy xét một ví dụ
sau:


Trang 11


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
Giả sử một người muốn mua một lượng trái phiếu năm năm với lãi suất
12% một năm để sau năm năm có được số vốn là 10 triệu đồng (đó là mục
tiêu cần đạt được) thì người đó phải đầu tư một lượng vốn ban đầu là
10 /(1 + 0.12)
hạ n thì vốn ban đầu cần phải thỏa mã n điề u kiệ n

M (60) = 10

(60)

vị thời gian là tháng) và khi đó yêu cầu (ngẫu nhiên) của anh ta là
(để đơn giản ta giả thiết rằng (0) = 1).
Định nghĩa 1:
1)

Một biến ngẫu nhiên không âm H được gọi là một yêu cầu tài chính hoặc

quyền tài chính.
2) Một chiến lược đầu tư
lược có cơ lợi hoặc có độ
điều chỉnh tài chính và hàm giá trị tương ứng với nó có tính chất:
(0)=0, ( )≥0, { ( )>0}>0,
tức là chiến lược không cần vốn ban đầu mà vẫn có thu nhập. Chiến lược cơ
lợi là chiến lược kiếm lời nhờ chênh lệch giá.
3) Nếu mô hình (còn được gọi là một thị trường) { , , … } đối với nó không
tồn tại chiến lược ℎ có cơ lợi được gọi là thị trường không có cơ lợi hoặc thị
trường lành mạnh.
Định nghĩa 2:
Một yêu cầu
lược tự điều chỉnh tài chính
Một( , ℎ)

ứng
và
thời gian. Như vậy:

ví dụ về tình huống có cơ lợi là: xét một thị trường g
, trong đó



Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Còn
Khi đó nếu

4

có động học sau:

, đến hạn

sản

≤

không cần vốn ban đầu bởi vì ta luôn có
có 4
ngân hàng người ta sẽ thu được một khoản lời

<

khoản
đến vốn ban đầu.
Với thị trường này,người ta có thể chứng minh rằng:thị trường đó là lành
mạnh khi và chỉ khi
Định nghĩa 3:
thể đạt
Giả sử
lược tự điều chỉnh tài chính
giá hợp lý của yêu cầu
là chiến lược đảm bảo yêu cầu tài chính.
Các bài toán cơ bản đặt ra khi nghiên cứu thị trường chứng khoán là:
1) Khi nào một thị trường là lành mạnh?
2)

Khi nào một yêu cầu H có thể đạt được? Thực chất là bài toán khi

nào một thị trường là đầy đủ,tức là khi nào một yêu cầu bất kỳ có thể đạt
được?
3)

Xác định giá hợp lý của yêu cầu H và chiến lược đảm bảo tài chính

tương ứng?
4)

Khi có nhu cầu tiêu dùng hoặc có nguồn vốn bổ sung hãy xác định vốn

tối thiểu ban đầu

và chiến lược đảm bảo tài chính và tiêu dùng?

Trang 13


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
1.2. Một số khái niệm xác suất trong toán tài chính
Trong phần này ta nêu một số kiến thức xác suất cơ bản như:quá trình ngẫu
nhiên, quá trình Wiener, Martingale với thời gian liên tục và tính toán
vi

tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình Wiener. Đây là những kiến thức rất

cần khi nghiên cứu về các thị trường tài chính với thời gian liên tục.
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục
Cho không gian xác suất (Ω,ℱ,P).

Véc tơ ngẫu nhiên n chiều:

Một án

ℬ

vé c

với

tơ ngẫu nhiên n chiều). Ta cũng nói X là
Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục:
Với mỗi T ∈
và là một hàm đo được với

(t, ω) → X(t, ω) ∈ R
-

σ

ngẫu nhiên với thời gian liên tục, trong đó
trên

(n=1,2,…)

Để đơn giản ta thường viết
nhiên X Xt
Chú ý:
1)

tT

Với mỗi ω


∈Ω

,hàm đó

trong
Trang 14


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
2) Một quá trình ngẫu nhiên có thể coi như một ánh xạ từ
Quá trình

đo được,

ℱ−ℬ

Định nghĩa lọc: Họ các σ-đại số con c ủa

lọc nếu:
∀

Họ

Với{ℱ }

được xe m như các t hông ti n có được cho đế n thời điể mt.

<

thì

r

∀$
{ } rthích nghi với {ℱ } r.
{ℱ }

suất

Họ

r

bằng không
Ta luôn giả thiết họ
(P-hầu chắc chắn ) thì
Bộ lọc tự nhiên:
tất cả
Lọc

{ℱ }
các biến ngẫu nhiên

quá khứ của quá trình X=
tự nhiên của quá trình X ,

{

tin của quá trình X.
Không gian xác suất được lọc: Bộ (Ω,ℱ,
gian xác suất được trang bị lọc với lọc {ℱ } r .
Thời điểm Markov và thời điểm dừng:
Một biến ngẫu nhiên τ được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi ≥ 0

{ ∈Ω:

( )≤ }∈ℱ


Một thời điểm Markov τ được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu

chắc chắn, tức là: {

( )

}
Trang 15


Luận văn Thạc sĩ Khoa học
1.2.2.

Quá trình chuyển động Brown

Một trong các quá trình ngẫu nhiên quan trọng là quá trình chuyển động

Brown. Quá trình này được sử dụng để xây dựng phần lớn các mô hình chứng
khoán.
Chuyển động Brown:
Quá trình ngẫu nhiên
động Brown nếu:
1)Nó là quá trình liên tục:

ℱ

2)Nó là quá trình gia số
=(,≤).

phân bố của
Chuyển động Brown tiêu chuẩn:
Một chuyển động Brown
chuẩn hoặc quá trình Wiener

( )

nếu:

=0, −ℎ+ ; (
Chuyển động Brown với lọc:

)=0; (

)=

.

Quá trình
của

1)Quỹ đạo

ℱ

2)
3)Nếu
4)Nếu

3

là

đo
≤.
≤

−

Chuyển động Brown n chiều:
Quá trình ngẫu nhiên n chiều

th

chuyển động Brown n chiều


,

{ℱ } r nếu mỗi

, … , ) r được gọi là
Trang 16

M

r( =