Một số thủ thuật tính tích phân ôn thi thpt 2021
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.25 MB, 35 trang )
KÊNH PPT – TIVI – 2020
MỘT SỐ THỦ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN
TRONG ĐỀ MH-BGD NĂM 2020 VÀ CÁC ĐỀ PHÁT TRIỂN
Tổng hợp: Thủy Đinh Ngọc
I. CÁC PP HAY SỬ DỤNG
- PP tự luận
- PP Casio
- PP chọn hàm đại diện….
II. BÀI TẬP
ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2020.
Câu 1.
[CÂU
48-MH-BGD-L1]
Cho
hàm
f x
số
xf x3 f 1 x2 x10 x6 2x, x . Khi đó
17
A.
.
20
Câu 2.
13
B.
.
4
[CÂU 7-MH-BGD-L1] Nếu
Câu 3.
Câu 4.
17
.
4
3
1
2
1
f x dx 2 và f x dx 1 thì f x dx
C. 1.
1
0
f (x)dx 4 thì
B. 4.
thoả
mãn
D. 1.
3
trên
1
2
[CÂU 18-MH-BGD-L2] Nếu
A. 16 .
tục
f x dx ?
C.
B. 1.
A. 3 .
liên
0
bằng
D. 3.
1
2 f ( x)dx bằng
0
D. 8.
C. 2.
2
[CÂU 45-MH-BGD-L2] Cho hàm số f x có f 0 0 và f x cos x cos 2 x, x . Khi
đó
f x dx
bằng
0
A.
1041
..
225
B.
208
..
225
C.
242
..
225
D.
149
.
225
ĐỀ PHÁT TRIỂN
Câu 5.
[TRẦN BÌNH TRỌNG–KHÁNH HÒA-2020] Cho hàm số
f x
A.
Câu 6.
I
2
2
x x 1
, x 1. Tính I f x dx .
x x x 1
0
3
2
3
2
29
6
B. I 10 1
C. I 43
6
B.
38
3
D. I 52 .
6
Cho hàm số y f x có f ln3 4 và f x
A.
f x có f 3 9 và
C.
76
3
ex
e 1
x
6
, x . Khi đó
ln 8
e f x dx
x
ln 3
D.
136
.
3
bằng:
Câu 7.
Cho hàm số
y f x có đạo hàm liên tục trên
f 1 1 và
thỏa mãn
1
xf 1 x 3 f x x 7 x 2, x . Tính tích phân I f x dx .
0
B. 5 .
9
A. 2 .
3
Câu 8.
Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên
D. 2
C. 5 .
9
3
3
5
và thỏa mãn 4xf ( x2 ) 6 f (2x) x3 4 . Giá trị
4
f ( x)dx bằng
0
A.
Câu 9.
52
.
25
B. 52.
C.
48
.
25
D. 48.
Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn
f 3 x x. f x 2 2 5 x 5 18 x 3 45 x 2 11x 1, x . Khi đó
A. 96 .
B. 64 .
Câu 10. Cho hàm số
f x
2
3
f x dx bằng
3
C. 192 .
f x có đạo hàm liên tục trên
D. 32 .
0;1
thỏa mãn
4 6 x 2 1 f x 40 x 6 44 x 4 32 x 2 4, x 0;1 . Tích phân
f 0 1 và
1
f x dx bằng
0
23
17
13
7
A.
.
B. .
C.
.
D. .
15
15
15
15
Câu 11. [SỞ HÀ NỘI LẦN 1 – CÂU 31 - 2020] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 ,
1
thỏa mãn
f x dx 3 và f 1 4 . Tích phân
0
1
xf x dx có giá trị là
0
1
A. .
2
B.
1
.
2
C. 1.
D. 1 .
Câu 12. [LAM SƠN – THANH HÓA – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10
10
thỏa mãn
f x dx 7,
0
10
2
A. P 6 .
1
f x dx 1 . Tính P f 2 x dx .
0
B. P 6 .
C. P 3 .
D. P 12 .
Câu 13. [CHUYÊN SP HÀ NỘI – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số y f ( x) liên tục trên tập số thực thỏa
mãn f ( x) (5 x 2). f 5 x 2 4 x 50 x3 60 x 2 23x 1, x R .
1
Giá trị của biểu thức
f ( x)dx bằng
0
A. 2 .
B. 1.
C. 3 .
D. 6 .
Câu 14. [CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – CÂU 42- 2020] Cho hàm số f x liên tục trên R và
1
thỏa mãn
f x dx 9 . Tính tích phân
5
A. 15 .
2
f 1 3x 9 dx .
0
B. 27 .
C. 75 .
D. 21 .
Câu 15. [CHUYÊN THÁI BÌNH – CÂU 37 - 2020] Biết
1
2
0
1
f x dx 1 và f 2 x 1 dx 3. Tính
3
f x dx.
0
A. 5. .
B. 2. .
D. 4.
C. 7. .
Câu 16. [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – CÂU 40 – 2020]
1
Cho f x là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f 1 ,
18
1
1
xf x dx 36 .
0
1
Giá trị của
f x dx bằng
0
A.
1
.
12
B.
1
.
36
C.
1
.
12
D.
1
.
36
Câu 17. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện
f x 2 f 1 x 3 x 6 x , x 0;1 . Tính I
2
1
f 1 x dx
2
0
A. I
4
.
15
B. I 1 .
Câu 18. Cho hàm số
f ( x)
C. I
có đạo hàm liên tục trên
f x f 2 x x 2 2 x 2; x . Tích phân
4
A. .
3
2
.
15
10
B. .
3
2
D. I
2
.
15
và thỏa mãn
f (0) 3 và
xf ( x)dx bằng
0
C.
2
.
3
5
3
D.
Câu 19. [THTT-L1-2017-2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên 0; a , thỏa mãn và
f x . f a x 1; x 0; a . Tích phân
a
1
1 f x dx
0
ba
trong đó b, c là hai số nguyên
c
b
dương và là phân số tối giản. Khi đó b c có giá trị là
c
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6
Câu 20. Cho f x là hàm liên tục trên thỏa f 1 1 và
A. I
4
.
3
B. I
2
.
3
1
0
2
1
f t dt , tính I sin 2 x. f sin x dx .
3
0
C. I
Câu 21. Cho hàm số liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa điều kiện
1
1
.
3
1
f x
0
D. I
2
2
.
3
1
dx 21 và x 1 f x dx 7 .
0
Tính I e f x dx .
x
0
A. e .
B. 2e .
D. 4e .
1
1 x f x dx 10
2
Câu 22. Cho 0
A. I 5 .
C. 3e .
2
I cos3 xf sin x dx
0
. Tính
B. I 10 .
.
C. I 10 .
D. I 5 .
1
Câu 23. Cho hàm số liên tục trên đoạn 0; và thỏa điều kiện
3
4 f 1 f 0 2020 . Tính
A.
1
.
9
9
4
0
và
f 3x dx .
C.
1
.
3
D. 1.
2
f ( x)dx 16
Câu 24. Cho 0
A. I 32 .
Câu 25. Cho
3x 1 f ( x)dx 2019
1
3
0
B. 3 .
4
1
. Tính
I f (2 x )dx
0
B. I 8 .
C. I 16 .
D. I 4
1
f x dx 10 . Tính tích phân J f 5 x 4 dx .
0
A. J 2 .
B. J 10 .
Câu 26. Giả sử hàm số f x liên tục trên đoạn
C. J 50 .
D. J 4 .
2
0; 2
thỏa mãn
f x dx 6 .
Tính tích phân
0
2
I f 2 sin x cos xdx.
0
B. 3 .
A. 3 .
Câu 27. Cho hàm số f x thỏa mãn
C. 6 .
1
x 1 f x dx 10
D. 6 .
và 2 f 1 f 0 2 . Tính
0
B. I 8 .
A. I 12 .
f x dx .
0
C. I 1 .
Câu 28. Cho hàm số f x có đạo hàm f x và thỏa mãn
1
D. I 8
1
2 x 1 f x dx 10 , 3 f 1 f 0 12 .
0
1
Tính I f x dx .
0
A. I 1 .
B. I 2 .
2
6x
Câu 29. Biết rằng
1
A. 1.
6
8x 5
dx a ln 2 b ln 3 c ln 5 với a,b,c là các số thực. Tính P a 2 b 2 3c
7x 2
B. 2.
C. 3.
D. 4.
x2 2
2
dx
a 24
; a , b . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
b
A. a b 7.
B. a b 7.
C. a b 15.
Câu 31. [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG - CÂU 37 - 2020]
3
Cho
x
1
2
D. a b 9.
x3
dx a ln 2 b ln 3 c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính S a 2 b2 c 2 .
3x 2
A. S 5 .
e
Câu 32. Cho I x ln xdx
1
A. 5 .
D. I 1 .
2
x3
Câu 30. Biết
C. I 2 .
B. S 3 .
C. S 4 .
a.e 2 b
với a , b , c . Tính T a b c .
c
B. 3 .
C. 4 .
D. S 6 .
D. 6 .
2
Câu 33. Biết 2 x ln x 1 dx a.ln b , với a , b * , b là số nguyên tố. Tính 6a 7b .
0
A. 33 .
B. 25 .
C. 42 .
D. 39 .
1
1
Câu 34. Cho 2
dx a ln 2 b ln 3 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng?
x 3x 2
0
A. a 2b 0 .
B. a 2b 0 .
C. a b 2 .
D. a b 2 .
e
ln x 3
a
dx b 3 , với a , b là các số nguyên. Giá trị của biểu
x
3
Câu 35. Cho biết
1
1
thức b log 2 a bằng
2
A. -1.
B.
4
Câu 36. Biết I
3
7
.
2
C. 8.
D. 6.
dx
a ln 2 b ln 3 c ln 5 , trong đó a , b, c . Tính giá trị của T a b c .
x x
2
B. T 3 .
A. T 2 .
C. T 1 .
D. T 5 .
2
Câu 37. Biết 2 x ln 1 x dx a.ln b , với a, b* , b là số nguyên tố. Tính 3a 4b .
0
A. 42 .
3
Câu 38. Cho
B. 2 1 .
ln x
x 1
dx
2
1
B. 7 .
ln 6
1
ex
0
e 3
x
1
x
0
A. 5 .
C. 6 .
D. 9 .
dx a b ln 2 c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tính T a b c .
A. T 1 .
Câu 40. Cho biết
D. 32 .
a
a
ln 3 c ln 2 với a, b, c * và phân số tối giản. Giá trị của a b c
b
b
bằng
A. 8 .
Câu 39. Biết
C. 12 .
B. T 0 .
x 2 1 dx
C. T 2 .
D. T 1 .
a 2 1
với a , b là các số tự nhiên. Giá trị của a 2 b 2 bằng
b
B. 5.
C. 2.
D. 7.
--------------Hết--------------
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
11.C
21.C
31.D
2.B
12.C
22.C
32.D
3.D
13.A
23.A
33.D
4.C
14.D
24.B
34.A
5.C
15.A
25.A
35.C
6.C
16.A
26.A
36.A
7.D
17.C
27.D
37.B
8.A
18.B
28.A
38.A
9.A
19.A
29.D
39.B
HƯỚNG DẪN PHẦN ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2020.
Câu 1.
[CÂU 48-MH-BGD-L1] Cho hàm số f x liên tục trên thoả mãn
xf x f 1 x x x 2x, x . Khi đó
3
2
10
6
0
f x dx ?
1
A.
17
.
20
B.
13
.
4
17
.
4
Lời giải
D. 1 .
C.
Chọn B
Cách 1: PP tự luận
Ta có xf x3 f 1 x 2 x10 x 6 2 x x 2 f x3 xf 1 x 2 x11 x 7 2 x 2 .
Lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 ta được:
1
1
1
2
3
2
11
7
2
x f x dx x f 1 x dx x x 2 x dx
0
0
0
1
1
1
0
1
1
5 1
1
5
f x3 d x 3 f 1 x 2 d 1 x 2 f t dt f t dt .
30
20
8
30
21
8
1
1
5
5
5
3
f t dt f t dt f t dt f t dt
30
20
8
60
8
4
0
1
1
1
Suy ra
1
1
3
f x dx 4 .
0
Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến 0 ta được:
0
0
2
3
2
x f x dx x f 1 x dx
1
1
0
0
x
11
x 7 2 x 2 dx
1
0
1
1
17
f x 3 d x3 f 1 x 2 d 1 x 2
3 1
2 1
24
1
1
17
1
1
17
f t dt f t dt
f t dt f t dt
3 1
20
24
3 1
20
24
1
17 1
f t dt f t dt
3 1
24 2 0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
17 1
17 1 3
13
13
f x dx
f x dx
. f x dx
.
3 1
24 2 0
24 2 4
12 1
4
10.D
20.A
30.A
40.A
Cách 2: PP chọn hàm đại diện:
Từ đẳng thức xf x3 f 1 x 2 x10 x 6 2 x, x suy ra chọn đặt hàm số f x là hàm
số bậc 3 dạng f x ax 3 bx 2 cx d .
Ta có f x 3 ax 9 bx 6 cx3 d xf x 3 ax10 bx 7 cx 4 dx
f 1 x 2 ax 6 3a b x 4 3a 2b c x 2 a b c d
f x3 f 1 x 2 ax10 bx 7 ax 6 3a b c x 4 3a 2b c x 2 dx a b c d
a 1
b 0
Đồng nhất thức ta được
. Suy ra f x x3 3 x 2
c 3
d 2
0
Vậy
f x dx x
0
1
1
3
3x 2
2
Câu 2.
[CÂU 7-MH-BGD-L1] Nếu
13
.
4
f x dx 2 và
1
A. 3 .
3
f x dx 1 thì
2
B. 1 .
3
f x dx bằng
1
C. 1.
Lời giải
D. 3 .
Chọn B
Cách 1: PP tự luận
b
Áp dụng tính chất
a
Ta có
c
b
a
c
f x dx f x dx f x dx, a c b
3
2
3
1
1
2
f x dx f x dx f x dx 2 1 1 .
Cách 1: PP chọn hàm đại diện
Gợi ý: Do cho hai điều kiện nên chọn hàm có hai hệ số chưa biết dạng f x ax b , cách này
dài hơn tự luận.
Câu 3.
[CÂU 18-MH-BGD-L2] Nếu
1
0
f ( x)dx 4 thì
B. 4 .
A. 16 .
1
2 f ( x)dx bằng
0
C. 2 .
Lời giải
D. 8 .
Chọn D
Cách 1: PP tự luận
Ta có
1
1
0
0
2 f ( x)dx 2
f ( x)dx 2.4 8 .
Cách 1: PP chọn hàm đại diện
Gợi ý: Do giả thiết cho một điều kiện nên chọn hàm có dạng f x a , cách này dài hơn tự luận.
Câu 4.
[CÂU 45-MH-BGD-L2] Cho hàm số f x có f 0 0 và f x cos x cos2 2 x, x . Khi
đó
f x dx bằng
0
A.
1041
..
225
B.
208
..
225
C.
242
..
225
D.
149
.
225
Lời giải
Chọn C
Cách 1: PP tự luận áp dụng tính chất f x f x dx
Ta có f x cos x cos2 2 x
cos x cos 3 x cos 5 x
2
4
4
cos x cos 3 x cos 5 x
Do đó f x f x dx
dx
4
4
2
f ( x)
sin x sin 3 x sin 5 x
C , vì f (0) 0 nên C 0
2
12
20
I f ( x ) dx
0
242
225
Cách 2: PP chọn hằng số C
u f x
Để tính
f x dx ta đặt dv dx
0
du f x dx
v x C
Khi đó
0
0
0
f x dx x C f x | x C f x dx f C f 0 .C x C f x dx
0
Chọn C
Suy ra
0
0
0
f x dx x f x dx ( x)cosx.cos 2 2 xdx
242
255
Bài toán tổng quát cho Câu 4
Cho hàm số f x có biết f a và f x g x , x .
b
Khi đó
a
b
f x dx b x g x dx b a f a (1*) - công thức tính nhanh.
a
Chứng minh bằng PP chọn hằng số C
u f x du f x dx
dv dx
v x C
Đặt
Khi đó
b
a
b
b
a
0
f x dx x C f ( x)| x C f x dx b C f b a C . f a x C f x dx
a
Chọn C b
b
a
0
f x dx b x f x dx b a f a
Áp dụng công thức tính nhanh (1*) cho câu 4
b
b
a
0
f x dx b x g x dx b a f a x cos x.cos 2 2 xdx 0 0
a
242
255
HƯỚNG DẪN PHẦN ĐỀ PHÁT TRIỂN
Câu 5.
[TRẦN BÌNH TRỌNG–KHÁNH HÒA-2020] Cho hàm số f x có f 3
f x
9
và
2
3
x3 x 2 1
, x 1. Tính I f x dx .
x2 x x 1
0
A. I
29
6
B. I
101
6
C. I
43
6
D. I
52
.
6
Lời giải
Chọn C
Cách 1: PP tự luận (chọn hằng số C)
u f x du f x dx
Đặt
dv dx
v x C
Khi đó:
3
3
f x dx f x . x C |
0
0
3
3
0
0
x C f x dx f 3 3 C f 0 .C x C f x dx
Chọn C 0
3
9
x3 x 2 1
43
dx
Suy ra I .3 x. 2
.
2
6
x x x 1
0
Cách 2: PP tính nhanh
Cho hàm số f x có biết f a và f x g x , x .
b
Khi đó
a
b
f x dx b x g x dx b a f a (1*) - công thức tính nhanh.
a
Áp dụng công thức (1*) ta có
3
0
0
0
f x dx f x dx 0 x f x dx 0 3 f 3
3
3
3
x
0
x3 x 2 1
9 43
dx 3.
2
2 6
x x x 1
(Chú ý gt cho f a f 3
Câu 6.
9
vậy ta cần đổi cận trên thành cận dưới).
2
Cho hàm số y f x có f ln 3 4 và f x
A. 2
B.
38
3
C.
ex
e 1
x
, x . Khi đó
76
3
D.
ln8
e f x dx bằng:
x
ln 3
136
.
3
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: PP tự luận
ex
f x
e 1
x
, x f x f x dx 2
d e x 1
2 ex 1 C
2 e 1
x
f ln 3 4 4 C 4 C 0
ln8
x
e f x dx
ln 3
ln8
e 2
x
e x 1dx
ln 3
76
3
Cách 2: PP tự luận (chọn hằng số C)
u f x
du f x dx
Đặt
x
x
dv e dx v e C
ln8
Khi đó
e x f x dx f x e x C |
ln 8
ln 3
ln 3
f ln 8 e ln 8 C f ln 3 e ln 3 C
ln8
e
x
C f x dx
ln 3
ln 8
e
x
C f x dx
ln 3
f ln 8 8 C f ln 3 3 C
ln8
e
x
C f x dx
ln 3
ln 8
Chọn C 8 suy ra
e f x dx 4. 3 8
x
ln 3
Câu 7.
ln8
e
x
8
ln 3
ex
e 1
x
76
.
3
Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f 1 1 và
1
xf 1 x 3 f x x 7 x 2, x . Tính tích phân I f x dx .
0
A.
2
.
3
B.
5
.
9
C.
5
.
9
D.
2
3
Lời giải
Chọn D
Cách 1: PP tự luận:
Từ xf 1 x 3 f x x 7 x 2, x x 2 f 1 x3 xf x x8 x 2 2 x, x
1
1
1
x 2 f 1 x 3 dx xf x dx x 8 x 2 2 x dx
0
0
0
Đặt t 1 x dt 3 x dx
3
2
1
x 2 f 1 x3 dx
0
Vậy ta có
0
1
1
1
1
1
f t dt f t dt f x dx
31
30
30
1
1
1
0
0
0
2
3
8
2
x f 1 x dx xf x dx x x 2 x dx
1
1
1
1
5
1
5
1
1
f
x
dx
xf
x
dx
f
x
dx
xf
x
|
f x dx
0
30
9
30
0
0
9
2
5
5
4
2
f x dx f 1 0. f 0 1 0. f 0 f x dx
3 0
9
9
9
3
0
1
1
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Từ đẳng thức xf 1 x 3 f x x 7 x 2, x suy ra chọn đặt hàm số f x là hàm số bậc
2 dạng f ( x ) ax 2 bx c với a, b, c .
Ta có xf 1 x 3 f ( x ) x 7 x 2
2
x a 1 x3 b 1 x 3 c 2ax b x 7 x 2 a 1; b 2; c 0 .
f ( x ) x 2 2 x thỏa mãn f (1) 1 .
1
1
0
0
Từ đó ta có I f x dx x 2 2 x dx
Câu 8.
2
.
3
Cho hàm số y f ( x) liên tục trên và thỏa mãn 4 xf ( x 2 ) 6 f (2 x )
4
f ( x)dx bằng
0
A.
52
.
25
B. 52.
C.
Lời giải
Chọn A
Cách 1: PP tự luận
48
.
25
D. 48.
3 3
x 4 . Giá trị
5
2
4 xf ( x 2 ) 6 f (2 x)
2
3 3
3
x 4 4 xf ( x 2 ) 6 f (2 x ) dx x 3 4 dx
5
5
0
0
2
2
4
4
52
52
2 f ( x )d( x ) 3 f (2 x)d(2 x)
2 f (t )dt 3 f (u )du
5
5
0
0
0
0
2
2
4
4
4
4
52
52
52
2 f ( x )dx 3 f ( x)dx
5 f ( x)dx
f ( x)dx
5
5
25
0
0
0
0
Cách 2: PP khác (xin đề nghị Quý độc giả đề xuất).
Câu 9.
Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn
f 3 x x. f x 2 2 5 x5 18 x3 45 x 2 11x 1, x . Khi đó
A. 96 .
B. 64 .
3
f x dx bằng
3
C. 192 .
Lời giải
D. 32 .
Chọn A
Cách 1: PP tự luận
Ta có : f 3 x x. f x 2 2 5 x 5 18 x 3 45 x 2 11x 1 1 .
Thay x bởi x vào (1) ta có : f 3x x. f x 2 2 5 x 5 18 x 3 45 x 2 11x 1 2 .
Cộng (1) và (2) vế với vế ta được:
1
1
1
1
f 3x f 3x 90 x 2 f 3xdx f 3x dx 64 .
2
1
Xét
1
f 3x dx . Đặt t 3 x dt 3dx .
Đổi cận: x 1 t 3; x 1 t 3 .
1
Khi đó
3
1
1
Tương tự ta có
1
3
Vậy
3
1
1
f 3x dx f t dt f x dx .
3 3
3 3
3
1
f 3x dx f x dx .
3 3
3
3
1
1
f xdx f x dx 64 f x dx 96 .
3 3
3 3
3
Cách 2: PP khác (xin đề nghị Quý độc giả đề xuất).
Câu 10. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 0 1 và
f x
2
4 6 x 2 1 f x 40 x 6 44 x 4 32 x 2 4, x 0;1 . Tích phân
1
f x dx bằng
0
A.
23
.
15
B.
17
.
15
13
.
15
Lời giải
C.
D.
7
.
15
Chọn D
Cách 1: PP tự luận
Lấy tích phân hai vế đẳng thức trên đoạn 0;1 ta có:
1
f x
0
2
1
1
0
0
dx 4 6 x 2 1 f x dx 40 x 6 44 x 4 32 x 2 4 dx
376
.
105
Theo công thức tích phân từng phần có:
1
1
1 1
2
3
3
6
x
1
f
x
d
x
f
x
d
2
x
x
2
x
x
f
x
0 2 x 3 x f x dx
0
0
0
1
1
0
0
2
3
6 x 1 f x dx 1 2 x x f x dx .
Thay lại đẳng thức trên ta có
1
376
2
3
f
x
d
x
4
1 2 x x f x dx
0
0
105
1
1
2
44
f x dx 4 2 x 3 x f x dx
0
105
0
0
1
1
f x 2 2x
3
x dx 0
2
0
f x 2 2 x x , x 0;1 f x x x C .
4
3
2
Mặt khác f 1 1 C 1 f x x 4 x 2 1
1
0
1
f x dx x 4 x 2 1 dx
0
13
.
15
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Từ đẳng thức f x 4 6 x 2 1 f x 40 x 6 44 x 4 32 x 2 4, x 0;1 suy ra chọn đặt
2
hàm số f x là hàm số bậc 4 trùng phương dạng f ( x ) ax 4 bx 2 c với a, b, c .
Khi đó ta có 4ax 3 2bx 4 6 x 2 1 ax 4 bx 2 c 40 x 6 44 x 4 32 x 2 4, x 0;1
2
40a 40
16ab 24b 4a 44
a c 1
Đồng nhất hai vế ta có 2
b 1
4b 24c 4b 32
4c 4
1
1
0
0
Vậy f x x 4 x 2 1 f x dx x 4 x 2 1 dx
13
15
Câu 11. [SỞ HÀ NỘI LẦN 1 – CÂU 31 - 2020] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 ,
1
thỏa mãn
1
f x dx 3 và f 1 4 . Tích phân
xf x dx có giá trị là
0
0
1
A. .
2
B.
1
.
2
D. 1 .
C. 1.
Lời giải
Chọn C
Cách 1: PP tự luận:
u x
du dx
Đặt
dv f ' x dx v f x C
1
1
Khi đó I xf x dx f x C x| f x C dx
1
0
0
1
1
0
0
0
I f 1 C f x dx C dx 4 C 3 C 1
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
1
Ta có hàm số f x có hai giả thiết
f x dx 3 và f 1 4
nên dự kiến chọn đặt hàm số là
0
1
y f x ax b
0
1
ax 2
a
f x dx 3 ax b dx 3
bx 3 b 3 1 .
2
2
0
0
1
a 2
f 1 4 a b 4 2 . Từ 1 , 2 suy ra:
y f x 2x 2 f ' x 2 .
b 2
1
1
0
0
xf x dx 2 xdx 1 .
Câu 12. [LAM SƠN – THANH HÓA – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10
10
thỏa mãn
f x dx 7,
0
A. P 6 .
10
2
1
f x dx 1 . Tính P f 2 x dx .
0
B. P 6 .
C. P 3 .
Lời giải
Chọn C
Cách 1: PP tự luận:
2
Ta có
f x dx F 2 F 0 F 10 F 2 F 10 F 0
0
10
10
2
0
f x dx f x dx 1 7 6.
D. P 12 .
Đổi biến: x 2t , dx 2dt .
Đổi cận: x 0 t 0; x 2 t 1 .
2
1
1
0
0
0
Khi đó 6 f x dx 2 f 2t dt f 2t dt 3 , hay
1
f 2 x dx 3 .
0
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
10
10
0
2
Giả thiết cho hai điều kiện f x dx 7,
Khi đó
10
và
2
10
10
0
0
f x dx 1 nên chọn đặt f x ax b .
f x dx ax b dx 50a 10b 7
10
f x dx ax b dx 48a 8b 1 .
2
23
a 40
50a 10b 7
23
143
Suy ra hệ
. Do đó f x
.
x
40
40
48a 8b 1
b 143
40
1
1
143
23
P f 2 x dx
x
dx 3 .
20
40
0
0
Câu 13. [CHUYÊN SP HÀ NỘI – CÂU 40 - 2020] Cho hàm số y f ( x) liên tục trên tập số thực thỏa
mãn f ( x) (5 x 2). f 5 x 2 4 x 50 x3 60 x 2 23x 1, x R .
1
Giá trị của biểu thức
f ( x)dx bằng
0
A. 2 .
B. 1.
C. 3 .
Lời giải
D. 6 .
Chọn A
Cách 1: PP tự luận:
1
0
1
1
1
0
0
f ( x)dx (50 x3 60 x 2 23x 1)dx (5x 2) f (5x 2 4 x)dx 3 (5 x 2) f (5 x 2 4 x)dx (1)
0
1
Xét tích phân (5 x 2) f (5 x 2 4 x)dx :
0
Đặt t 5x 4 x thì dt (5.2 x 4)dx 2(5 x 2)dx
2
Khi x 1 thì t 1 ; Khi x 0 thì t 0
1
Suy ra: (5 x 2) f (5x 2 4 x) dx
0
1
Thay vào (1) ta được:
0
1
1
1
1
f (t )dt f ( x) dx
20
20
1
1
1
1
3
f ( x)dx 3 f ( x)dx f ( x)dx 3 f ( x)dx 2
20
20
0
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Từ công thức f ( x) (5x 2). f 5 x 2 4 x 50 x3 60 x 2 23x 1, x ta dự đoán hàm số là
bậc nhất dạng f ( x) ax b , thay vào điều kiện ta được
ax b (5 x 2) a (5 x 2 4 x) b 50 x 3 60 x 2 23x 1
ax b (5 x 2)(5ax 2 4ax b) 50 x3 60 x 2 23 x 1
25ax 3 30ax 2 (9a 5b) x b 50 x3 60 x 2 23 x 1
25a 50
30a 60
a 2
(9a 5b) 23 b 1
b 1
1
Do vậy f ( x) 2 x 1 suy ra
0
1
f ( x)dx (2 x 1)dx 2 .
0
Câu 14. [CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – CÂU 42- 2020] Cho hàm số f x liên tục trên R và
1
thỏa mãn
f x dx 9 . Tính tích phân
5
2
f 1 3x 9 dx .
0
A. 15 .
B. 27 .
D. 21 .
C. 75 .
Lời giải
Chọn D
Cách 1: PP tự luận:
Đặt t 1 3x dt 3dx .
Với x 0 t 1 và x 2 t 5 .
2
Ta có
2
2
0
0
f 1 3 x 9 dx f 1 3 x dx 9dx
0
5
dt
f t 9 x
3
1
2
0
1
1
1
f x dx 18 .9 18 21 .
3
3 5
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
1
Giả thiết cho một điều kiện f x dx 9 nên dự kiến chọn hàm dạng f x ax .
5
1
Khi đó
5
2
Vậy
1
3
3
f x dx axdx 12a 9 a . Do đó f x
x.
4
4
5
2
Câu 15. [CHUYÊN THÁI BÌNH – CÂU 37 - 2020] Biết
3
f x dx.
0
2
33
3
9
0 f 1 3 x 9 dx 0 4 1 3x 9 dx 0 4 x 4 dx 21 .
1
2
0
1
f x dx 1 và f 2 x 1 dx 3. Tính
A. 5.
B. 2.
C. 7.
Lời giải
D. 4.
Chọn A
Cách 1: PP tự luận:
Ta đặt : t 2 x 1 dt 2dx.
2
3
1 3
1 f 2 x 1 dx 2 1 f t dt 3 1 f x dx 6
3
1
3
0
0
1
f x dx f x dx f x dx 1 6 5.
Mà
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Đặt f x ax b .
Khi đó
và
a
f x dx ax b dx 2 b 1
1
1
0
0
2
f 2 x 1 dx
1
a 2 x 1 b dx 2ax a b dx 2a b 3 .
1
1
2
2
8
a
a
8
7
b 1
3 . Do đó
Suy ra hệ 2
f x x .
3
3
2a b 3
b 7
3
Vậy
3
3
0
0
f x dx
7
8
x dx 5 .
3
3
Câu 16. [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – CÂU 40 – 2020]
Cho f x là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f 1
1
,
18
1
1
xf x dx 36 . Giá
0
1
trị của
f x dx bằng
0
A.
1
.
12
B.
1
.
36
1
.
12
Lời giải
C.
Chọn A
Cách 1: PP tự luận:
u x
du dx
Đặt:
dv f x dx v f x
1
Ta có:
1
1 1
xf
x
dx
x
.
f
x
f
x
dx
f
1
f x dx .
0 0
0
0
D.
1
.
36
1
Theo giả thiết:
1
1
xf x dx 36 , f 1 18
0
1
1
1
1
1 1
1
f x dx f x dx .
18 0
36 0
18 36
12
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Đặt f x ax b .
1
21
1
x
a 1
1
1
a .
Khi đó f 1 a b
và xf x dx axdx a
2
2 36
18
18
0
0
0
1
1
a b 18
a 18
1
1
Suy ra hệ
. Do đó f x x .
18
9
a 1
b 1
18
9
1
Vậy
0
1
1
1
1
f x dx x dx .
18
9
12
0
Câu 17. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện
f x 2 f 1 x 3 x 2 6 x , x 0;1 . Tính I
1
f 1 x dx
2
0
A. I
4
.
15
B. I 1 .
C. I
2
.
15
D. I
2
.
15
Lời giải
Chọn C
Bài toán: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0; c thỏa mãn điều kiện
mf x nf c x g ( x ), x 0; c ; m n và m, n f ( x)
mg ( x) ng c x
m2 n2
Chứng minh
Đặt t c x x c t . Do x 0; c nên t 0; c .
Thay x c t vào mf x nf c x g ( x ), x 0; c (1*)
ta có mf c t nf t g (c t )
2 * thay tiếp
t x vào (2*) ta có
nf x mf c x g ( c x ) (3*)
Từ (1*) và (2*) ta có hệ
2
mf x nf c x g ( x)
m f x nmf c x mg ( x )
2
nf x mf c x g (c x )
n f x nmf c x ng (c x )
4 *
5 *
Trừ tương ứng từng vế của (4*) và (5*) ta có m2 f x n2 f x mg ( x) ng c x
.
f ( x)
mg ( x) ng c x
m2 n2
(công thức tính nhanh).
Cách 1: PP tính nhanh
f x 2 f 1 x 3x 2 6 x, x 0;1
f x
3x
2
2
6 x 2 3 1 x 6 1 x 3x 2 6 x 6
x2 2 x 2
2
2
3
1 2
Khi đó f 1 x 2 1 x 2 2 1 x 2 2 x 4 4 x 2 1
2
1
1
2
4
2
Suy ra I f 1 x dx x 4 x 1 dx
0
0
2
.
15
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Từ f x 2 f 1 x 3 x 2 6 x , x 0;1
Ta dự kiến chọn hàm đại diện là f x ax 2 bx c thì ta có
f x 2 f 1 x ax 2 bx c 2 a 1 x b 1 x c 3ax 2 4a b x 2a 2b 3c.
Đồng nhất thức hệ số ta có
3a 3
a 1
2
4a b 6 b 2 . Suy ra f x x 2 x 2 .
2a 2b 3c 0
c 2
2
1
1
2
Dó đó I f 1 x dx 1 x
0
0
2
2
2
2 1 x2 2 dx .
15
Cách 3: Tự luận
Đặt t 1 x , x 0;1 t 0;1 .
2
Ta có f x 2 f 1 x 3x 6 x f x 2 f 1 x 3 1 x 3
2
f 1 t 2 f t 3t 2 3 2 f x f 1 x 3 x 2 3
Ta có hệ phương trình
f x 2 f 1 x 3x 2 6 x
f x 2 f 1 x 3 x 2 6 x
2
2
2 f x f 1 x 3x 3
4 f x 2 f 1 x 6 x 6
3x 2 6 x 6
3 f x 3x2 6 x 6 f x
x2 2x 2
3
Khi đó f 1 x 2 1 x 2 2 1 x 2 2 x 4 4 x 2 1
2
1
1
2
4
2
Suy ra I f 1 x dx x 4 x 1 dx
0
0
2
.
15
Câu 18. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f 0 3 và
f x f 2 x x 2 2 x 2; x . Tích phân
2
xf ( x)dx bằng
0
4
A. .
3
B.
10
.
3
2
.
3
C.
5
3
D.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Tự luận
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:
2
2
0
0
2
xf x dx xf x |0 f x dx .
Từ f x f 2 x x 2 2 x 2; x (1*)
Thay x 0 vào (1*) ta được f 0 f 2 2 f 2 2 f 0 2 3 f 2 1 .
2
Xét I f x dx . Đặt t 1 x x 1 t dx dt
0
Đổi cận: x 0 t 2; x 2 t 0
2
0
2
2
0
2
0
0
Khi đó I f x dx f 1 t dt f 1 t dt f 1 x dx
Do đó ta có
2
2
2
2
2
8
4
0 f x f 2 x dx 0 x 2x 2 20 f x dx 0 x 2 x 2 3 0 f x dx 3 (2*)
2
2
2
2
0
0
Vậy xf x dx xf x |02 2 f 2 f x dx 2 1
4
10
3
3
Bài toán dùng để tính nhanh (2*):
Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0; c thỏa mãn điều kiện
c
c
0
0
mf x nf c x g ( x ), x 0; c ; m n 0 ; và I f x dx
g x
mn
dx .
Chứng minh
c
0
c
0
c
0
Đặt t c x x c t . Ta có I f x dx f c t dt f c x dx
mf x nf c x g ( x ), x 0; c ; m n 0
c
c
0
0
( m n ) f x dx g x dx I
c
f x dx
0
c
g x
m n dx
0
Áp dụng: Biết f x f 2 x x 2 x 2; x
2
2
Áp dụng công thức tính nhanh ta có
0
f x dx
2
1
1 8 4
x 2 2 x 2 . (2*)
20
2 3 3
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Từ f x f 2 x x 2 2 x 2; x * ta dự kiến chọn hàm số f x ax 2 bx c thay
vào đk (*) ta có f x f 2 x ax 2 bx c a 2 x b 2 x c
2
2 ax 2 4 ax 4 a 2b 2 c.
2a 1
1
a
Đồng nhất hệ số ta có 4a 2
2 .
4a 2b 2c 2
b c 0
1 2
x 3 x 3; f ' x x 3 .
2
Do f 0 3 c 3; b 3 . Suy ra f x
2
2
0
0
10
xf ' x dx x x 3 dx 3 .
Vậy
Cách 3: PP tính nhanh
Do x [0; 2] : f x f 2 x x 2 2 x 2 m n 1
Không dùng được công thức tính nhanh sau đây: m, n f ( x)
mg ( x) ng c x
m2 n2
Câu 19. [THTT-L1-2017-2018] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên 0; e , thỏa mãn
và f x . f e x 1; x 0; e . Tích phân
e
1
1 f x dx
0
dương và
be
trong đó b, c là hai số nguyên
c
b
là phân số tối giản. Khi đó b c có giá trị là
c
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
Lời giải
D. 6
Chọn A
Cách 1: PP tính nhanh
Bài toán: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên 0; a , thỏa mãn và
f x . f a x 1; x 0; a thì tích phân
a
1
a
1 f x dx 2
0
Chứng minh:
Đặt t a x ta có
a
0
a
a
a
1
1
1
1
f (t )
dx
dt
dt
dt
0 1 f x
a 1 f a t 0 1 f a t 0
0 1 f t dt
1
1
f (t )
a
a
a
a
f x
1 f x
1
1
dx
dx
dx
dx dx a
1 f x
1 f x
1 f x
1 f x
0
0
0
0
0
a
2
a
1
a
1 f x 2 *
0
e
Áp dụng công thức (*) vào bài toán ta có
1
e
1 f x 2
0
nguyên dương và
eb
b 1
, do b, c là hai số
c
c 2
b
là phân số tối giản c 2, b 1 b c 3 .
c
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Do f x . f e x 1; x 0; e chọn hàm đại diện f x k (là hàm hằng)
Ta có f x . f e x 1; x 0; e k 2 1 k 1 .
Vậy ta chọn hàm đại diện f x 1
e
b
eb
1
eb e
b 1
dx 1
, do b, c là hai số nguyên dương và là phân số
c
c
1 f x
c
2
c 2
0
tối giản c 2, b 1 b c 3
Câu 20. Cho f x là hàm liên tục trên thỏa f 1 1 và
A. I
4
.
3
B. I
2
.
3
1
0
2
1
f t dt , tính I sin 2 x. f sin x dx .
3
0
C. I
1
.
3
D. I
2
.
3
Lời giải
Chọn A
Cách 1: PP tự luận:
Đặt sin x t dt cos xdx .
Đổi cận: khi x 0 t 0 ; x
2
t 1 . Từ đó ta có
2
2
1
0
0
0
I sin 2 x. f sin x dx 2 sin x.cos x. f sin x dx 2 t. f t dt
u t
du dt
Đặt:
.
dv f t dt v f t
1 1
1 4
I 2 t. f t f t dt 2 1 .
0 0
3 3
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Phân tích có hai giả thiết, ta tìm hàm f x thỏa hai điều kiện, chọn f x ax b
Khi đó: f 1 1 a b 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
f t dt f x dx ax b dx a xdx+ bdx= a b
3
2
3
0
0
0
0
0
2
4
a
a b 1
3
Từ 1 , 2 ta có hệ 1
1
a
b
2
b 1
3
3
Ta được f x
4
1
4
4
x ; f ' x , do đó f ' sin x
3
3
3
3
2
2
4
4
Vậy I sin 2 x. f sin x dx sin 2 x. dx .
3
3
0
0
Câu 21. Cho hàm số liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa điều kiện
1
1
0
0
1
f x
2
0
dx 21 và
x 1 f x dx 7 . Tính I e f x dx .
A. e .
x
B. 2e .
C. 3e .
Lời giải
D. 4e .
Chọn C
Cách 1: PP chọn hàm đại diện
Nhận xét: Giả thiết có 2 điều kiện cho trước là
1
f x
0
2
1
dx 21 và x 1 f x dx 7 , tìm
0
hàm số f x bằng cách dựa vào tỷ số
f x
21
f x 3 x 1
x 1 f x 7
2
1
1
0
0
Ta có I e x f x dx 3 e x x 1 dx 3e
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Đặt f x ax b dựa vào giả thiết tìm hệ số a; b .
Cách 3: PP chọn hàm đại diện
Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau:
2
b
b
b 2
f
x
g
x
dx
f
x
dx
.
g 2 x dx
a
a
a
Dấu bằng xảy ra khi f x k .g x , x a; b , k
1
Đặt g ( x) x 1 ; ta có x 1 f x dx 7
0
suy ra
1
1
0
0
g x f x dx 7 ; f x
2
dx 21 ;
1
x 1
0
2
dx
7
3
Vì
1
0
g x f x dx
f x dx. g x dx
2
1
1
2
0
2
0
Dấu bằng xảy ra khi f x kg x f x 3 g x 3 x 1
1
1
0
0
Vậy I e x f x dx 3 e x x 1 dx 3e .
1
1 x f x dx 10
2
2
Câu 22. Cho 0
A. I 5 .
. Tính
I cos3 xf sin x dx
0
B. I 10 .
.
C. I 10 .
Lời giải
D. I 5 .
Chọn C
Cách 1: Tự luận
2
2
0
0
I cos3 xf sin x dx 1 sin 2 x . f sin x .cosxdx .
Đặt t sin x dt cos xdx và x 0 t 0; x
1
t 1.
2
2
Khi đó I 1 t f t dt 10 .
0
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
1
Giả thiết cho một điều kiện
1 x f x dx 10 nên nghĩ đến chọn f x a .
2
0
1
Ta có
1
2
1 x f x dx 10 1 x adx 10 3 a 10 a
2
2
0
0
Suy ra f x
30
.
2
30
.
2
2
2
30
cos 3 xdx 10 .
2
0
Ta có: I cos3 xf sin x dx
0
1
Câu 23. Cho hàm số liên tục trên đoạn 0; và thỏa điều kiện
3
4 f 1 f 0 2020 . Tính
A.
1
.
9
1
3x 1 f ( x)dx 2019 và
0
1
3
0
f 3x dx .
B. 3 .
C.
1
.
3
Lời giải
Chọn A
Cách 1: PP tự luận
Áp dụng tích phân từng phần tính
1
3x 1 f ( x)dx
0
1
3x 1 0 301 f x dx
1
Ta có 0 3x 1 f ( x)dx f x
D. 1.
1
1
0
0
2019 4 f 1 f 0 3 f x dx f x dx
1
3
0
1
3
1 1
1 1 1
f t dt . .
0
3
3 3 9
Cách 2: PP chọn hàm đại diện
Vậy
f 3x dx
Giả thiết có 2 điều kiện cho trước là
1
3x 1 f ( x)dx 2019 và 4 f 1 f 0 2020 ta chọn
0
đặt f x ax b f x a .
4038
5
2020 4a
Mặt khác 4 f 1 f 0 2020 4 a b b 2020 b
.
3
1
1
0
0
Ta có 3 x 1 f ( x)dx 2019 a 3 x 1 dx 2019 a
Vậy
1
3
0
4
Câu 24. Cho
0
1
1
f 3x dx 3 3ax b dx .
0
9
2
f ( x)dx 16 . Tính I f (2 x )dx
0
A. I 32 .
B. I 8 .
C. I 16 .
Lời giải
D. I 4
Chọn B
Cách 1: PP tự luận
dt
Đặt t 2x =dx . Đổi cận x 0 t 2 ; x 2 t 4
2
2
Khi đó ta có I f (2 x ) dx
0
1 4
1 4
f (t ) dt f ( x )dx 8
2 0
2 0
Cách 2: PP casio
Phương pháp casio nhanh:
m
Nếu có
f x dx M thì
n
f ax b dx
M
; n a. b, m a. b
a
Áp dụng
.
9
Câu 25. Cho
4
1
f x dx 10 . Tính tích phân J f 5 x 4 dx .
A. J 2 .
0
B. J 10 .
C. J 50 .
D. J 4 .
