Các quy tắc tổng tính dưới vi phân và dưới vi phân xấp xỉ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN TRƯỜNG GIANG

CÁC QUY TẮC TỔNG TÍNH DƯỚI VI PHÂN
VÀ DƯỚI VI PHÂN XẤP XỈ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Dương Thị Việt An

THÁI NGUYÊN - 2020


Mục lục

Danh mục ký hiệu

2

Mở đầu

4

Lời cảm ơn

6

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Dưới vi phân và Dưới vi phân xấp xỉ . . . . . . . . . . .

9

1.3

Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Quy tắc tổng tính dưới vi phân của các hàm lồi

15

2.1

Định lý Moreau-Rockafellar phiên bản cổ điển . . . . . .

15

2.2

Định lý Moreau-Rockafellar phiên bản hình học . . . . .

20

2.3

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3 Quy tắc tổng tính dưới vi phân xấp xỉ của các hàm lồi

24

3.1

Quy tắc tổng cho dưới vi phân xấp xỉ . . . . . . . . . .

24

3.2

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Kết luận

34

1


Danh mục ký hiệu

R

trường số thực

R

tập số thực suy rộng

R+

tập số thực không âm

∅

tập rỗng

∀x

với mọi x

∃x

tồn tại x

M ∩N

giao của hai tập hợp M và N

|x|

giá trị tuyệt đối của x

||x||

chuẩn của véctơ x

BX

hình cầu đơn vị đóng trong X

int A

phần trong của tập A

R+ (A)

nón sinh bởi tập A

inf f (x) infimum của tập số thực {f (x) | x ∈ K}

x∈K

sup f (x) supremum của tập số thực {f (x) | x ∈ K}

x∈K

N (¯
x; Ω)

nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi của Ω tại x
¯

Nε (¯
x; Ω) tập ε- pháp tuyến của Ω tại x¯

2


f∗

hàm liên hợp của hàm f

f ∗∗

hàm liên hợp của hàm f ∗

δΩ (.)

hàm chỉ của tập Ω

epi f

trên đồ thị của hàm f

dom f

miền hữu hiệu của hàm f

x∗ , x

giá trị của phiếm hàm x∗ tại x

∂f (x)

dưới vi phân của hàm lồi f tại x

∂ε f (x)

dưới vi phân xấp xỉ của hàm lồi f tại x

A:X→Y

toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

A∗ : Y ∗ → X ∗ toán tử liên hợp của toán tử A

3

Mở đầu

Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu
về tập lồi và hàm lồi cùng với những vấn đề liên quan. Bộ môn này có
vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán ứng dụng,
đặc biệt là trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân
bằng,. . .
Các hàm giá trị tối ưu đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến
phân, tối ưu có ràng buộc, lý thuyết điều khiển, và nhiều ứng dụng khác
nhau của các lý thuyết đó. Song song với việc đưa ra các điều kiện đủ
để hàm giá trị tối ưu là liên tục Lipschitz địa phương tại một tham số
cho trước, trong khoảng 50 năm trở lại đây, người ta quan tâm nghiên
cứu tính ổn định vi phân của các bài toán tối ưu theo nghĩa nghiên cứu
các tính chất khả vi và khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu của
bài toán đó. Vai trò của tính lồi khi nghiên cứu tính ổn định vi phân
khó có thể đánh giá thấp được. Vào những thập niên sáu mươi của thế
kỷ trước, một công thức tiên phong dùng để tính toán dưới vi phân
của tổng hai hàm lồi được đưa ra bởi J.-J. Moreau và R.T. Rockafellar.
Cùng với những nghiên cứu trước đó, các kết quả này dẫn đến một lý
thuyết đẹp đẽ về giải tích lồi [5]. Các quy tắc tính toán dưới vi phân có
vai trò cực kì quan trọng trong giải tích lồi và quy hoạch lồi. Năm 1965,
4


Brøndsted và Rockafellar [4] đã đưa ra khái niệm ε-dưới vi phân (hay
còn gọi là dưới vi phân xấp xỉ) của hàm lồi, đây là khái niệm mở rộng
cho khái niệm đạo hàm khi hàm không khả vi. Điều này cho thấy vai
trò của dưới vi phân nói chung và dưới vi phân xấp xỉ nói riêng trong
giải tích hiện đại cũng có tầm quan trọng như vai trò của đạo hàm trong

giải tích cổ điển.
Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham
khảo, và ba chương có nội dung như sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị nhắc lại định nghĩa và các tính
chất về tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân và dưới vi phân xấp xỉ của hàm
lồi. Cuối chương chúng tôi cũng trình bày một số kết quả về hàm liên
hợp và định lý tách để phục vụ cho việc chứng minh các kết quả ở hai
chương sau.
Chương 2: Quy tắc tổng tính dưới vi phân của các hàm lồi
nghiên cứu hai phiên bản khác nhau của Định lý Moreau-Rockafellar,
một kết quả nổi tiếng của Giải tích lồi trong việc tính toán dưới vi phân
của tổng hai hàm lồi, chính thường. Nội dung cuối chương là phần áp
dụng các quy tắc tổng trong việc nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu
của bài toán tối ưu lồi có ràng buộc tập. Các kết quả của chương được
tổng hợp từ các tài liệu [1], [2] và [6].
Chương 3: Quy tắc tổng tính dưới vi phân xấp xỉ của các
hàm lồi trình bày một quy tắc tổng để tính toán dưới vi phân xấp xỉ
của hai hàm lồi, chính thường. Nội dung của chương được dịch và sắp
xếp lại từ Mục 3 của bài báo [3]. Các kết quả về điều kiện cần và đủ tối
ưu sử dụng dưới vi phân xấp xỉ cũng được nghiên cứu ở cuối chương này.

5


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Dương Thị Việt
An. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô đã hướng dẫn hiệu
quả và truyền cho em những kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình
em học tập và hoàn thiện luận văn này.

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình em học tập ở trường.
Luận văn này chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khuyết điểm,
vì vậy em rất mong được sự góp ý của các quý thầy cô để luận văn này
được hoàn chỉnh hơn.
Thái Nguyên, ngày 16 tháng 8 năm 2020
Học viên

Nguyễn Trường Giang

6


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi,
dưới vi phân và dưới vi phân xấp xỉ của hàm lồi. Nội dung của chương
được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], và [6].

1.1

Tập lồi và hàm lồi

Cho X là không gian tuyến tính trên trường số thực. Đoạn thẳng nối
hai điểm a, b trong X là tập hợp các véctơ x có dạng

[a, b] := {x ∈ X | x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]}.
Định nghĩa 1.1. (Xem [1, trang 3]) Một tập C ⊆ X được gọi là một
tập lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức

là, C lồi khi và chỉ khi

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Ví dụ 1.1. Đoạn thẳng, tam giác, hình tròn . . . là các ví dụ đơn giản
nhất về tập lồi trong mặt phẳng.
Giả sử X là không gian lồi địa phương và C ⊆ X là tập lồi. Cho
hàm f : C → R = R ∪ {±∞}. Ta ký hiệu miền hữu hiệu của hàm f là
7


y

x

x

y

Hình 1: Ví dụ về tập lồi và tập không lồi

dom f , được định nghĩa như sau:
dom f := {x ∈ C | f (x) < +∞}.
Tập
epi f := {(x, µ) ∈ C × R | f (x) ≤ µ}
được gọi là trên đồ thị của hàm f . Bằng cách cho f (x) = +∞ nếu

x∈
/ C , ta có thể coi f xác định trên toàn không gian và khi đó
dom f = {x ∈ X | f (x) < +∞},
epi f = {(x, µ) ∈ X × R | f (x) ≤ µ}.

Do sẽ phải làm việc với cả hàm số nhận giá trị −∞ và +∞ nên như
thường lệ ta sẽ quy ước nếu λ = 0 thì λf (x) = 0 với mọi x.
Định nghĩa 1.2. (Xem [1, trang 39]) Cho ∅ = C ⊆ X và f : C → R.
Ta nói f là hàm lồi trên C nếu epi f là một tập lồi trong X × R.
Về sau, ta chủ yếu làm việc với hàm f : X → R ∪ {+∞}. Trong
trường hợp này, ta có kết quả sau:
Định lý 1.1. (Xem [1, trang 40]) Giả sử C là tập con lồi của X , hàm

f : C → (−∞, +∞]. Khi đó, f là hàm lồi trên C khi và chỉ khi với mọi
λ ∈ [0, 1], ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C.
8


Ví dụ 1.2. Cho C là một tập con lồi của X . Hàm chỉ của tập C được
định nghĩa bởi

δC (x) =




0

nếu x ∈ C



+∞ nếu x ∈ C,
là hàm lồi.

Thật vậy: Ta cần chỉ ra với mọi x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1] thì

δC (λx + (1 − λ)y) ≤ λδC (x) + (1 − λ)δC (y).

(1.1)

• Với mọi x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]. Khi đó
δC [λx + (1 − λ)y] = λδC (x) + (1 − λ)δC (y) = 0.
Suy ra (1.1) đúng.

• Với mọi x ∈ C, y ∈
/ C, λ ∈ [0, 1] (tương tự cho trường hợp với mọi
x∈
/ C, y ∈ C ) ta có
δC (x) = 0, δC (y) = +∞.
Khi đó (1.1) là tầm thường.

• Với mọi x, y ∈
/ C, λ ∈ [0, 1]. Khi đó δC (x) = δC (y) = +∞. Do đó bất
đẳng thức (1.1) đúng.

1.2

Dưới vi phân và Dưới vi phân xấp xỉ

Trong chương trình giải tích ở phổ thông, ta đã biết rằng hàm lồi
khả vi tại một điểm nào đó thì tiếp tuyến tại điểm đó luôn nằm dưới
đồ thị. Tuy nhiên, một hàm lồi có thể không khả vi, ví dụ hàm lồi một
biến f (x) = |x| không khả vi tại x = 0. Trong trường hợp này, người
ta mở rộng khái niệm đạo hàm bằng dưới vi phân, sao cho vẫn có được

các tính chất cơ bản của đạo hàm khi hàm đó khả vi.
9


Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff với các
không gian đối ngẫu được ký hiệu là X ∗ . Cho tập lồi C ⊂ X , nón pháp
tuyến của C tại x
¯ ∈ C được cho bởi

N (¯
x; C) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ C}.
Định nghĩa 1.3. Cho f : X → R ∪ {+∞}. Ta nói rằng x∗ ∈ X ∗ là
dưới gradient của f tại x
¯ nếu

f (x) − f (¯
x) ≥ x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ X.
Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x
¯ được gọi là dưới vi phân
của hàm f tại x
¯, được kí hiệu là ∂f (¯
x). Khi đó,

∂f (¯
x) = {x∗ ∈ X ∗ | f (x) − f (¯
x) ≥ x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ X}.
Về mặt hình học, từ định nghĩa dưới vi phân ta thấy rằng hàm
affine

ϕ(x) := f (¯

x) + x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ X
có đồ thị là một siêu phẳng tựa của epif tại điểm (¯
x, f (¯
x)).
Từ định nghĩa của dưới vi phân, ta dễ dàng chỉ ra được

x∗ ∈ ∂f (¯
x) ⇔ (x∗ , −1) ∈ N (¯
x, f (¯
x)); epi f .
Ví dụ 1.3. Sau đây, ta đưa ra một số ví dụ về dưới vi phân.
(a) Xét hàm chuẩn f (x) = x với x ∈ X . Tại điểm x = 0, hàm này
không khả vi nhưng nó khả dưới vi phân và

∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x ≤ x , ∀x}.
(b) f = δC là hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng. Khi đó, với x ∈ X ,

∂δC (x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , u − x ≤ δC (u), ∀u}.
10


Với u ∈
/ C thì δC (u) = +∞ nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy

∂δC (x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , u − x ≤ 0, ∀u ∈ C} = N (x; C),
ở đó N (x; C) là nón pháp tuyến của C tại x.
Định nghĩa 1.4. Cho f là hàm lồi xác định trên X , x
¯ ∈ dom f , và

ε ≥ 0. Tập ε-dưới vi phân (dưới vi phân xấp xỉ) của f tại x¯ là tập

∂ε f (¯
x) := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ f (x) − f (¯
x) + ε, ∀x ∈ X}.
Tập ∂ε f (¯
x) trùng với tập dưới vi phân ∂f (¯
x) khi ε = 0. Từ định
nghĩa, ta thấy ∂ε f (¯
x) là tập lồi. Hơn nữa, với mọi số không âm ε1 , ε2
mà ε1 ≤ ε2 , ta có ∂ε1 f (¯
x) ⊂ ∂ε2 f (¯
x). Thêm vào đó,

∂f (¯
x) = ∂0 f (¯
x) =

∂ε f (¯
x).
ε>0

Dưới vi phân xấp xỉ thường được sử dụng trong thực tế bởi hai lý do
chính sau đây. Một là hàm lồi có thể không khả dưới vi phân tại những
điểm thuộc biên của miền hữu hiệu của nó nhưng trong miền này dưới
vi phân xấp xỉ luôn tồn tại. Thứ hai, trong ứng dụng người ta thường
chỉ cần tính dưới vi phân một cách xấp xỉ. Ta xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.4. Cho X = R và x
¯ = 0. Rõ ràng, hàm f : X → R được cho
bởi

f (x) =



√

− x nếu x ≥ 0,


+∞ nếu trường hợp khác

là hàm lồi, nửa liên tục dưới và x
¯ ∈ dom f . Với mọi ε > 0, ta có

∂ε f (¯
x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ f (x) − f (¯
x) + ε, ∀x ∈ X}
√
= x∗ ∈ R | x∗ x ≤ − x + ε, ∀x ≥ 0
= −∞, −

1
.
4ε

11


Trong khi đó, dễ dàng kiểm tra được ∂f (¯
x) = ∅.
Định nghĩa 1.5. Tập ε- pháp tuyến (normal directions) Nε (¯

x; C) của

C tại x¯ ∈ C được định nghĩa bởi
Nε (¯
x; C) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ ε, ∀x ∈ C}.
Từ định nghĩa trên, với x
¯ ∈ C , ta có

∂ε δC (¯
x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ ε, ∀x ∈ C} = Nε (¯
x; C),
với mọi ε ≥ 0. Khi ε = 0, Nε (¯
x; C) trùng với tập nón pháp tuyến của

C tại x¯. Trong trường hợp tổng quát, Nε (¯
x; C) có thể không là nón với
ε > 0.

1.3

Một số kết quả bổ trợ

Theo định nghĩa hàm liên hợp của hàm f : X → R là hàm f ∗ : X ∗ → R
được cho bởi

f ∗ (x∗ ) = sup [ x∗ , x − f (x)] ,
x∈X
∗

x∗ ∈ X ∗ .

Hàm liên hợp của hàm f , kí hiệu bởi f ∗∗ , là hàm xác định trên X , nhận
giá trị trong R:

f ∗∗ (x) = sup [ x∗ , x − f ∗ (x∗ )]
x∗ ∈X ∗

(x ∈ X).

Rõ ràng, hàm f ∗∗ là lồi và đóng (theo nghĩa tập epi f ∗∗ là đóng theo
tôpô yếu của X × R). Theo Định lý Fenchel–Moreau (xem [6, Theorem 1,
tr. 175]), nếu f là hàm xác định trên X không nhận giá trị −∞, khi đó

f = f ∗∗ nếu và chỉ nếu f là lồi và đóng.
Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, X ∗ là
không gian liên hợp của X , tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên X .
12


Định nghĩa 1.6. (Xem [1, trang 63]) Tập hợp M ⊂ X thỏa mãn: bất
cứ đường thẳng nào đi qua hai điểm của M cũng nằm chọn trong M
được gọi là một đa tạp tuyến tính trong X .
Chú ý rằng khái niệm đa tạp tuyến tính chính là khái niệm tập
affine trong không gian hữu hạn chiều.
Lấy x∗ ∈ X ∗ , x∗ = 0, β ∈ R và ký hiệu

H(x∗ , β) = {x ∈ X | x∗ , x = β},
H + (x∗ , β) = {x ∈ X | x∗ , x ≤ β},
H − (x∗ , β) = {x ∈ X | x∗ , x ≥ β}.

Định nghĩa 1.7. (Xem [1, trang 64]) Với 0 = x∗ ∈ X ∗ , β ∈ R, tập

H(x∗ , β) được gọi là một siêu phẳng trong X . Các tập H + (x∗ , β) và
H − (x∗ , β) được gọi là các nửa không gian sinh bởi siêu phẳng H(x∗ , β).
Định nghĩa 1.8. (Xem [1, trang 64]) Cho các tập A, B ∈ X . Ta nói
phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ = 0 tách A và B nếu tồn tại α sao
cho

x∗ , y ≤ α ≤ x∗ , x , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

(1.2)

Ta nói x∗ tách ngặt A và B nếu (1.2) có dạng

x∗ , y < α < x∗ , x , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.
Siêu phẳng đóng H(x∗ , β) = {x ∈ X | x∗ , x = β} được gọi là siêu
phẳng tách A và B , các tập A và B được gọi là tách được.
Định lý 1.2. (Xem [1, trang 71]) (Định lý tách thứ nhất) Giả sử A, B
là hai tập lồi trong không gian lồi địa phương X , A ∩ B = ∅, int A = ∅.
Khi đó, tồn tại x∗ ∈ X ∗ , x∗ = 0 tách A và B .
13


H(x∗ , β)

A

B

Hình 2: Minh họa siêu phẳng tách

Định lý 1.3. (Xem [1, trang 71]) (Định lý tách thứ hai) Giả sử tập A
là tập con lồi đóng trong không gian lồi địa phương X và x
¯ ∈ A. Khi đó
tồn tại x∗ = 0 thuộc X ∗ tách ngặt A và x
¯.

14


Chương 2

Quy tắc tổng tính dưới vi phân
của các hàm lồi
Trong chương này, chúng tôi trình bày hai phiên bản khác nhau của
Định lý Moreau-Rockafellar. Cuối chương chúng tôi cũng đưa ra một áp
dụng của các định lý này vào việc nghiên cứu điều kiện cần và đủ cực trị
cho bài toán tối ưu lồi có ràng buộc. Nội dung của chương được tham
khảo từ các tài liệu [1], [2] và [6].

2.1

Định lý Moreau-Rockafellar phiên bản cổ điển

Định lý sau đây là một kết quả đẹp về tính toán dưới vi phân của tổng
các hàm lồi. Định lý này có nhiều phiên bản chứng minh, trong luận
văn này chúng tôi trình bày chi tiết lại chứng minh theo cuốn tài liệu
[6, trang 48-50].
Định lý 2.1. (Moreau-Rockafellar) Giả sử f1 , ..., fm là các hàm lồi chính
thường trên X . Khi đó với ∀x ∈ X ,

∂(f1 + ... + fm )(x) ⊇ ∂f1 (x) + ... + ∂fm (x).

15


m

Hơn nữa, nếu tại điểm x
¯∈

i=1

domfi , tại đó có m − 1 hàm fi liên tục

thì

∂(f1 + ... + fm )(x) = ∂f1 (x) + ... + ∂fm (x), ∀x ∈ X.
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp m = 2. Trường hợp tổng
quát dùng quy nạp.
Lấy x∗i ∈ ∂fi (x) (i = 1, 2). Khi đó với mọi z ∈ X , ta có

x∗1 , z − x ≤ f1 (z) − f1 (x),
x∗2 , z − x ≤ f2 (z) − f2 (x).
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta được

x∗1 + x∗2 , z − x ≤ (f1 + f2 )(z) − (f1 + f2 )(x).
Suy ra x∗1 + x∗2 ∈ ∂(f1 + f2 )(x).
Ta chứng minh rằng, nếu f1 liên tục tại x
¯ ∈ domf2 thì

∂(f1 + f2 )(x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x).
Lấy x∗ ∈ ∂(f1 + f2 )(x), ta cần chỉ ra x∗ có thể phân tích được thành

x∗ = x∗1 + x∗2 , trong đó x∗1 ∈ ∂f1 (x) và x∗2 ∈ ∂f2 (x).
Ta có int(epif1 ) = ∅. Thật vậy vì f1 liên tục tại x
¯ nên ∀ε > 0, tồn tại
lân cận U mở của x
¯ sao cho

|f1 (z) − f1 (¯
x)| < ε, ∀z ∈ U
⇒ f1 (z) − f1 (¯
x) < ε, ∀z ∈ U
⇒ f1 (z) < f1 (¯
x) + ε, ∀z ∈ U.
Đặt A := {(α, z) ∈ R × X | α > f1 (¯
x) + ε, z ∈ U } ⊂ epif1 .
Ta có A = (f1 (¯
x) + ε, +∞) × U . Suy ra A là tập mở trong R × X . Vậy
16


int(epif1 ) = ∅.
Xét hai tập hợp sau:

C1 = {(α, z) ∈ R × X | α ≥ f1 (x + z) − f1 (x)}.
C2 = {(α, z) ∈ R × X | α ≤ x∗ , z − f2 (x + z) + f2 (x)}.
Khi đó C1 = epif1 − (x, f1 (x)). Thật vậy

(α, z) ∈ C1 ⇔ α ≥ f1 (x + z) − f1 (x)
⇔ f1 (x) + α ≥ f1 (x + z)
⇔ (x + z, f1 (x) + α) ∈ epif1
⇔ (z, α) ∈ epif1 − (x, f1 (x)).
• C1 là tập lồi. Thật vậy: Lấy bất kỳ (α1 , z1 ), (α2 , z2 ) ∈ C1 , λ ∈ [0, 1].
Ta có

α1 ≥ f1 (x + z1 ) − f1 (x) ⇒ λα1 ≥ λf1 (x + z1 ) − λf1 (x),
α2 ≥ f1 (x + z2 ) − f1 (x) ⇒ (1 − λ)α2 ≥ (1 − λ)f1 (x + z1 ) − (1 − λ)f1 (x)
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta được

λα1 + (1 − λ)α2 ≥ λf1 (x + z1 ) + (1 − λ)f1 (x + z2 ) − f1 (x)
≥ f1 λ(x + z1 ) + (1 − λ)(x + z2 ) − f1 (x)
= f1 x + λz1 + (1 − λ)z2 − f1 (x).
Suy ra λ(α1 , z1 )+(1−λ)(α2 , z2 ) ∈ C1 . Vậy C1 là tập lồi. Vì int(epif ) = ∅,
suy ra int C1 = ∅.

• C2 là tập lồi. Thật vậy: Lấy bất kỳ (α1 , z1 ), (α2 , z2 ) ∈ C2 , λ ∈ [0, 1].
Khi đó

α1 ≤ x∗ , z1 − f2 (x + z1 ) + f2 (x),
α2 ≤ x∗ , z2 − f2 (x + z2 ) + f2 (x).
17


Suy ra

λα1 + (1 − λ)α2 ≤ λ x∗ , z1 − λf2 (x + z1 ) + λf2 (x) + (1 − λ) x∗ , z2
− (1 − λ)f2 (x + z2 ) + (1 − λ)f2 (x)
= x∗ , λz1 + (1 − λ)z2

− λf2 (x + z1 ) + (1 − λ)f2 (x + z2 ) + f2 (x)
≤ x∗ , λz1 + (1 − λ)z2
− f2 λ(x + z1 ) + (1 − λ)(x + z2 ) + f2 (x)
= x∗ , λz1 + (1 − λ)z2 − f2 x + λz1 + (1 − λ)z2
+ f2 (x).
Suy ra λ(α1 , z1 ) + (1 − λ)(α2 , z2 ) ∈ C2 . Vậy C2 là tập lồi.

• Ta chứng minh C1 ∩ C2 = ∅.
Giả sử phản chứng, tồn tại (α0 , z0 ) ∈ C1 ∩ C2 . Khi đó

x∗ , z0 − f2 (x + z0 ) + f2 (x) > f1 (x + z0 ) − f1 (x).
Suy ra

x∗ , z0 > f1 (x + z0 ) + f2 (x + z0 ) − (f1 (x) + f2 (x))
= (f1 + f2 )(x + z0 ) − (f1 + f2 )(x).
Điều này mâu thuẫn với x∗ ∈ ∂(f1 + f2 )(x).
Vậy theo Định lý 1.2 tồn tại x∗1 ∈ X ∗ , β ∈ R, (x∗1 , β) = (0, 0) sao cho

sup (βα + x∗1 , z ) ≤

(α,z)∈C1

inf (βα + x∗1 , z ).

(α,z)∈C2

Ta sẽ chỉ ra β < 0.
Nếu β > 0 thì vế phải của (3.3) có thể là +∞ và vế trái có thể là −∞.
Vô lý.
18

Nếu β = 0 thì (3.3) có dạng

sup
z∈domf1 −x

x∗1 , z ≤

inf

z∈domf2 −x

x∗1 , z .

Mặt khác, x∗1 = 0 vì β = 0. Do đó

x∗1 , x¯ − x < sup x∗1 , z ≤
z∈U −x

inf

z∈domf2 −x

sup
z∈domf1 −x

x∗1 , z ≤ x∗1 , x¯ − x <

x∗1 , z

sup
z∈domf1 −x

x∗1 , z .

Điều này mâu thuẫn với (3.4).
Vì vậy β < 0. Không giảm tổng quát ta có thể xem β = −1. Như vậy
ta đã chứng minh được C1 và C2 được tách bởi siêu phẳng:

H = {(α, z) ∈ R × X | α − x∗1 , z = 0}.
Từ (3.3) ta suy ra

sup{ x∗1 , z − f1 (x + z) + f1 (x)}
z

≤ inf { x∗1 − x∗ , z + f2 (x + z) − f2 (x)}.
z

(2.1)

Để ý rằng với z = 0 thì vế trái và vế phải của (3.5) đều bằng không. Vì
vậy

f1 (x + z) − f1 (x) ≥ x∗1 , z , ∀z ∈ X.
Đặt x∗2 = x∗ − x∗1 , ta được

f2 (x + z) − f2 (x) ≥ x∗2 , z , ∀z ∈ X.
Suy ra x∗i ∈ ∂fi (x) (i = 1, 2).
Vậy định lý đã được chứng minh xong.

19


2.2

Định lý Moreau-Rockafellar phiên bản hình học

Định lý 2.2. (Xem [2]) Cho X , Y là các không gian Banach, f : X → R
và g : Y → R là các hàm lồi, đóng, chính thường, A : X → Y là toán tử
tuyến tính liên tục. Đặt F (x) := f (x) + g(Ax). Giả sử rằng điều kiện
chính quy

0 ∈ int(A(dom f ) − dom g)

(2.2)

được thỏa mãn. Khi đó, với mọi x ∈ dom F , ta có

∂F (x) = ∂f (x) + A∗ (∂g(Ax)),

(2.3)

ở đó A∗ : Y ∗ → X ∗ là toán tử liên hợp của toán tử A.
Chúng ta hãy xét một ví dụ để thấy sự cần thiết của điều kiện
chính quy (2.2) cho khẳng định (2.3).
Ví dụ 2.1. Lấy X = Y = R, A ≡ I , ở đó I là toán tử đơn vị, và f
được cho bởi f (x) = 0 nếu x = 0 và f (x) = +∞ nếu x = 0. Cho g được
√
xác định bởi g(y) = − y nếu y ≥ 0 và g(y) = +∞ nếu y < 0. Khi đó



√

− x nếu x ≥ 0,
g(Ax) = g(x) =


+∞ nếu x < 0.
Ta có A(dom f ) = dom f = {0}, dom g = [0, +∞). Vì thế,

0∈
/ int(A(dom f ) − dom g).
Mặt khác,

F (x) = f (x) + g(Ax) =




0

nếu x = 0,



+∞ nếu x = 0.
Với x
¯ = 0, ta có ∂F (¯
x) = R trong khi đó ∂f (¯

x) + A∗ (∂g(A¯
x)) = ∅.
20


Đặt X = Y , A = I , từ Định lý 2.2 ta thu được một phiên bản
hình học của Định lý Moreau–Rockafellar như sau:
Định lý 2.3. (Xem [2]) Nếu f, g : X → R là các hàm lồi, đóng, chính
thường và điều kiện chính quy

0 ∈ int(dom f − dom g)

(2.4)

được thỏa mãn, khi đó với bất kì x ∈ (dom f ) ∩ (dom g) ta có

∂(f + g)(x) = ∂f (x) + ∂g(x).

(2.5)

Ví dụ sau chỉ ra rằng tính đóng của f và g không thể bỏ được
trong Định lý 2.3.
Ví dụ 2.2. (Xem [2]) Cho X là không gian Banach vô hạn chiều. Khi
đó ta có thể xây dựng được một phiếm hàm tuyến tính không liên tục

f : X → R. Đặt g := −f , ta có dom f = dom g = X , vậy điều kiện
chính quy (2.4) được thỏa mãn. Vì f và g là các phiếm hàm tuyến tính
không liên tục, do đó chúng không đóng. Một mặt, ∂f (x) = ∂g(x) = ∅
với bất kì x ∈ X . Mặt khác, vì f (x)+g(x) ≡ 0, ta có ∂(f +g)(x) = {0}.
Vì vậy, (2.5) không đúng. Như vậy ta thấy điều kiện chính quy (2.4) một

mình không thể đảm bảo cho (2.5), nếu f và g không đóng.

2.3

Áp dụng

Trong mục này, chúng tôi áp dụng các kết quả ở hai mục trước để nghiên
cứu điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán tối ưu lồi (cả trường hợp
không ràng buộc và trường hợp ràng buộc tập).
Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff với
không gian đối ngẫu là X ∗ , hàm ϕ : X → R là hàm lồi trên X . Xét bài
21


toán tối ưu không có ràng buộc:

ϕ(x) → inf.

(2.6)

Ta có quy tắc Fermat cho bài toán tối ưu lồi (2.6) như sau.
Định lý 2.4. (Xem [6, Mệnh đề 1, tr. 81]) Điểm x
¯ ∈ X là cực tiểu của
hàm lồi ϕ khi và chỉ khi

0 ∈ ∂ϕ(¯
x).
Chứng minh. Theo định nghĩa dưới vi phân ta có

0 ∈ ∂ϕ(¯

x) ⇔ 0, x − x¯ ≤ ϕ(x) − ϕ(¯
x), x ∈ X
⇔ ϕ(¯
x) ≤ ϕ(x), x ∈ X.
Chứng tỏ x
¯ là cực tiểu của hàm lồi ϕ trên X.

Bằng cách sử dụng Định lý 2.4 và các phiên bản của Định lý
Moreau-Rockafellar ở Mục 2.1 và Mục 2.2, ta thu được quy tắc Fermat
cho bài toán tối ưu lồi có ràng buộc

ϕ(x) → inf,

(2.7)

x ∈ C,
ở đó C là tập con lồi khác rỗng của X .
Định lý 2.5. Cho x
¯ ∈ X . Nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây
được thỏa mãn
(a) int C ∩ dom ϕ = ∅,
(b) ϕ liên tục tại một điểm thuộc miền trong của tập C.
Khi đó x
¯ là nghiệm của bài toán (2.7) nếu và chỉ nếu

0 ∈ ∂ϕ(¯
x) + N (¯
x; C).
22

(2.8)


Chứng minh. Xét hàm Φ(x) = ϕ(x) + δC (x), ở đó δC (·) là hàm chỉ
của tập lồi C . Khi đó ta thấy, x
¯ là nghiệm của bài toán (2.7) nếu và chỉ
nếu Φ(·) đạt cực tiểu tại x
¯. Khi đó theo Định lý 2.4, x¯ là nghiệm của
bài toán (2.7) khi và chỉ khi

0 ∈ ∂Φ(¯
x) = ∂ ϕ + δC (·) (¯
x).

(2.9)

Vì C là tập lồi nên δC (.) là hàm lồi. Hiển nhiên δC (.) liên tục tại mọi
điểm thuộc phần trong của tập C . Khi đó, nếu điều kiện (a) được thỏa
mãn thì δC (·) liên tục tại một điểm thuộc miền hữu hiệu của hàm ϕ.
Theo Định lý 2.1, từ (2.9) ta có

0 ∈ ∂Φ(¯
x) = ∂ ϕ + δC (·) (¯
x) = ∂ϕ(¯
x) + ∂δC (¯
x)
= ∂ϕ(¯
x) + N (¯
x; C).
Xét trường hợp điều kiện (b) được thỏa mãn. Vì dom δC (·) = C và ϕ

liên tục tại một điểm thuộc dom δC (·) nên cũng theo Định lý 2.1 ta cũng
thu được (2.8) từ (2.9).
Định lý 2.6. Cho X là không gian Banach, C là tập đóng và ϕ : X → R
là hàm lồi, đóng, chính thường. Xét x
¯ ∈ X sao cho

0 ∈ int (dom ϕ − C)

(2.10)

được thỏa mãn. Khi đó, x
¯ là nghiệm của bài toán (2.7) nếu và chỉ nếu

0 ∈ ∂ϕ(¯
x) + N (¯
x; C).
Chứng minh. Chứng minh tương tự như Định lý 2.5. Cụ thể, nếu điều
kiện (2.10) được thỏa mãn, khi đó thay vì sử dụng Định lý 2.1 ta sẽ
dùng Định lý 2.3. Chú ý rằng, ở đây dom δC = C và vì C là tập lồi,
đóng nên hàm chỉ δC là hàm lồi, đóng.

23


Chương 3

Quy tắc tổng tính dưới vi phân
xấp xỉ của các hàm lồi
Trong chương này chúng tôi trình bày một quy tắc để tính toán dưới
vi phân xấp xỉ của tổng hai hàm lồi, chính thường. Phần cuối chương

chúng tôi có nghiên cứu điều kiện cần và đủ cực trị cho bài toán tối ưu
lồi tổng quát và bài toán tối ưu lồi có ràng buộc tập. Nội dung chính
của chương được tham khảo từ Mục 3 của bài báo [3].

3.1

Quy tắc tổng cho dưới vi phân xấp xỉ

Trong Giải tích lồi, Định lý Moreau–Rockafellar là một kết quả quen
thuộc cho ta quy tắc tính toán dưới vi phân của tổng hai hàm lồi, chính
thường. Bằng cách sử dụng kết quả về tổng chập (infimal convolution)
của hai hàm lồi, chúng ta thu được quy tắc tính tổng dưới vi phân xấp
xỉ như sau.
Định lý 3.1. Giả sử f1 , f2 : X → R là các hàm lồi, chính thường trên

24