HH KHÔNG GIAN 11

Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
***
A.QUAN HỆ SONG SONG
1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.
1.1 Các tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
i) Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
B
A
(d)
ii)Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
A
B C
iii)Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi
điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
B
(d) A
iv)Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
A
D
B
C
v)Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một
điểm chung khác nữa.
1 SVTH: Nhóm 11
.
α
α
α
A
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11

1.2. Cách xác định một mặt phẳng.
i) Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
A
B C
ii) Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không
thuộc đường thẳng đó.
A
(d)
iii) Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
(a) A (b)
1.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
a) Hai đường thẳng đồng phẳng: Hai đường thẳng được gọi là đồng phẳng nếu chúng
cùng nằm trong một mặt phẳng.
A B
D C
i) Hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng được gọi là cắt nhau nếu chúng đồng
phẳng và có một điểm chung.
(b) (a)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a
b
a b A
α
α
⊂


⊂



∩ =



=> (a) cắt (b)
2 SVTH: Nhóm 11
α
α
α
β
γ
α
βγ
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
ii) Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng
phẳng và không có điểm chung.
(a)


b) Hai đường thẳng không đồng phẳng: Hai đường thẳng được gọi là không đồng
phẳng nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng.
* Hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không
đồng phẳng.
(b)

( ) ( )
( ) ( )
a

b
α
α
⊂


⊄



(a) (a) chéo (b)
2. Hai đường thẳng song song :
2.1 Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và
chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
A (b’)

(b)
2.2 Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba
thì chúng song song với nhau.
2.3 Định lý về giao tuyến: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
(a)
(b) (c) (a) (c)
(b)
3 SVTH: Nhóm 11
(b)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a

b
a b
α
α
⊂


⊂


∩ = ∅

α
β
α α
A
α
P
P
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
2.4 Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì
giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó ( hoặc trùng với một trong hai
đường thẳng đó.

(b)
(c)
(a)

3. Đường thẳng song song với mặt phẳng :
3.1.Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng :

(a) (a)
(a)


3.2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng :
a) Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng
không có điểm chung.
Nhận xét: Cho 2 đường thẳng a và b. Trong đó a // b và b
)(Pmp
⊂
. Lấy
aI
∈
:
(b)
I (b)
(a)
I (a)
Nếu
)()( PmpaPmpI
⊂⇒∈

Nếu
)()( PmpaPmpI
⊄⇒∉

b) Định lý : Nếu đường thẳng a không nằm trên mp(P) và song song với một đường thẳng
nào đó nằm trên mp(P) thì a // mp(P).
(a)

(a’)
4 SVTH: Nhóm 11
( ) / /( ) ( ) / /( )
( ) ( ) ( ) / /( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c a
a c b
b c a
c c b
α
β
α β
 
 
⊂


⇒


⊂ ≡



∩ = ≡
 
P
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
5 SVTH: Nhóm 11

P
Q
α
β
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
3.3. Tính chất
i) Định lý : Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt
mp(P) thì giao tuyến của mp(P) và mp(Q) song song với a.
(a)

(a’)


Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một
đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến
của chúng song song với đường thẳng đó.
(a’)
(a)
ii) Định lý : Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa
a và song song với b.
(b)
(a) và (b) chéo nhau
(a’) (a)
6 SVTH: Nhóm 11
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
7 SVTH: Nhóm 11
P
Q
A

α
β
A
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
4.Hai mặt phẳng song song :
4.1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng phân biệt :
(a)

4.2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.
a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
b) Định lý : Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với
mp(Q) thì mp(P) song song với mp(Q).
, ( )
( ) / /( )
/ /( )
/ /( )
a b P
a b
P Q
a Q
b Q
∈


∩

⇒





(b)
(a)
4.3 Tính Chất:
i) Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng
song song với mặt phẳng đó.
(a) (b)


Gọi

(a’) (b’)
8 SVTH: Nhóm 11
α
β
α
β
Q
P
α
β
γ
P
Q
R
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mp(Q) thì có duy nhất một mặt phẳng (P)
chứa a và song song với mp(Q).
(a)

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song
nhau.

ii) Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P)
thì phải cắt (Q) và các giao tuyến chúng song song.
(a)


(b)
9 SVTH: Nhóm 11
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
10 SVTH: Nhóm 11
α
β
γ
d
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
4.4 Định lý Talet trong không gian :
Định lý : Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ.
(a) (b)
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ QUAN HỆ SONG SONG
 Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song)
1. Phương pháp giải:
a) Định lý: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường
thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng  qua S và
song song với d và d’.
b) Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm một điểm chung của hai mp (P) và (Q).
Bước 2: Tìm một đường thẳng thuộc mp (P) và một đường thẳng thuộc (Q) sao cho

hai đường thẳng đó song song với nhau.
Bước 3: Dựa vào định lý trên ta kết luận giao tuyến cần tìm.
2. Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD và S là điểm không thuộc mặt phẳng của hình bình hành.
Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).
d
Ta có: S là điểm chung của (SAD) và (SBC).
Mà:

BCAD
BCSBC
ADSAD
//
)(
)(
⊃
⊃
⇒
giao tuyến là đường thẳng d qua S và song song
với AD và BC
11 SVTH: Nhóm 11
C
S
A
B
D
A
B
C
D

M
N
P
Q
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song.
1. Phương pháp giải :
a) Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng và dùng phương pháp chứng
minh hai đường thẳng song song trong hình học phẳng.
b) Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
c) Dùng tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song
song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng
ấy.
d) Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.
2. Ví dụ:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm
nằm trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng
PQ // MN và PQ // AC.
Giải

Ta có:
ACMN
PQMNPQACD
ACACDABC
MNMNPQABC
//
)()(
)()(
)()(
=∩

=∩
=∩
⇒
PQ // MN //AC // PQ (theo định lí về giao tuyến của ba
mặt phẳng)

 Dạng 3: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
1. Phương pháp giải:
a) Ta chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trong
mặt phẳng.
b) Ta chứng minh đường thẳng đã cho nằm trong mặt phẳng khác song song
với mặt mặt phẳng đã cho.
2.Ví dụ:
12 SVTH: Nhóm 11
(tính chất đường trung bình trong tam giác)
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB
= 2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD)
13 SVTH: Nhóm 11
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
Giải
Gọi I là trung điểm AD.
Xét Δ BCI ta có:
3
2
==
MC
BM
GI
BG

CIMG //
⇒
)//(
)(:
ACDMG
ACDCIMà
⇒
⊂
Dạng 4: Dựng thiết diện song song với một đường thẳng .
1.Phương pháp giải:
Dùng định lí:
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (
α
). Nếu mặt phẳng (
β
) chứa d và cắt (
α
) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d.
2. Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và
BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (
α
) với hình chóp
S.ABCD nếu (
α
) qua M và đồng thời song song với SC và AD.
Giải
Vì (
α
) // AD (gt) nên:

(
α
) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai
giao tuyến song song với AD.(1)
Tương tự, (
α
) // SC nên:
(
α
) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai
giao tuyến song song với SC.(2)
Theo giả thuyết: O = AC
∩
BD, ta có:
SC // MO(đường trung bình trong Δ SAC)
Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt
AB và CD tại Q và P. Qua M kẻ đường thẳng
song song AD , cắt SD tại N.
Theo nhận xét (1) v à (2),ta có:



SCPN
PQMN
//
//

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.
14 SVTH: Nhóm 11
S

B C
A
P
N
D
M
Q
O
A
B
G
M
I
D
C
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
Dạng 5: Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau:
1. Phương pháp giải:
a) Chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng thứ ba.
b) Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song
với mặt phẳng kia.
2. Ví dụ:
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các
đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các
đường thẳng song song với AB kẻ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và
N’. Chứng minh (DEF) // (MM’N’N).
Giải
Ta có:
NN’ // AB (gt)
EFNN //'

⇒
( vì ABEF là hình vuông)
⇒
EF // (MM’N’N) (1)
Xét trong Δ ACD ta có:
MM’ // CD (vì MM’ // AB và AB //CD)
⇒
AC
AM
AD
AM
=
'
(*)
Tương tự, trong Δ ABF ta có:

BF
BN
AF
AN
=
'
(**)
Mà:



=
=
BFAC

AMBN
(gt) (***)
Từ (*),(**),(***),suy ra:
AF
AN
AD
AM ''
=

⇒
M’N’ // DF.
⇒
DF // (MM’N’N) (2)
Và:



=∩
⊂
FEFDF
DEFEFDF )(,
(3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra: (DEF) // (MM’N’N) (đpcm).

15 SVTH: Nhóm 11
NN’
M’
A B
CD
EF

M
M
H
O
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1.1. Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc vói
mọi đường thẳng chứa trong mặt phẳng.
1.2.Tính chất
1.2.1 Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là đường
thẳng ấy vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng.
1.2.2
a//b
a ⊥ (α)
1.2.3
(α) // (β)
a ⊥ (α)
1.2.4
(α) ≠ (β)
(α) ⊥ a
(β) ⊥ a
1.2.5

( ) / /
( )
a b
a a b
b

α
α
≠


⊥ ⇒


⊥

1.2.6

/ /( )
( )
a b
a
b
α
α
⊥

⇒

⊥

hay
( )a
α
⊂
2.Đoạn vuông góc và đoạn xiên:

2.1. Định nghĩa:
Cho mặt phẳng (
α
) và 1 điểm O không thuộc (
α
).
Gọi: + H là hình chiếu của O trên (
α
).
+ M là điểm bất kì khác H.
Khi đó: + OH gọi là đoạn vuông góc từ O đến (
α
).
Độ dài đoạn vuông góc OH gọi là khoảng cách từ O đến (
α
). Kí hiệu: d(O,(
α
)).
+ OM gọi là đoạn xiên
+ MH gọi là hình chiếu của đoạn xiên OM
trên (
α
).
16 SVTH: Nhóm 11
=> b⊥(α)
=> a ⊥ (β)
=> (α) // (β)
d
M
H

O
x
y
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
2.2. Tính chất:
a). Đoạn vuông góc có độ dài ngắn nhất trong các đoạn xiên
b). Định lí 3 đường vuông góc:
Cho OM là đường xiên
MH là hình chiếu vuông góc của OM trên (
α
).

( )d
α
⊂


Ta có
OM d MH d
⊥ ⇔ ⊥
(Tức là đường xiên vuông góc với
d thuộc mặt phẳng (
α
) khi hình chiếu vuông góc với d và ngược
lại).
3. Hai mặt phẳng vuông góc:
3.1. Các định nghĩa:
* Nhị diện
Là hình hợp bởi 2 nửa mặt phẳng phân biệt cùng xuất
phát từ một đường thẳng.

Kí hiệu:(
α
,c,
β
)
*Góc phẳng nhị diện
Là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện còn 2 cạnh
nằm trong 2 mặt và đều vuông góc với cạnh của nhị
diện.
Kí hiệu:
( , )a b∠
*Góc giữa 2 mặt phẳng
+ Góc giữa 2 mặt phẳng là một trong 4 góc nhị diện mà
chúng tạo nên.
+ Góc không tù giữa 2 mặt phẳng (
α
) và (
β
) kí hiệu là:
( , )
α β
∠
*Định nghĩa 2 mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng (
α
) và (
β
) được gọi là 2 mặt phẳng
vuông góc khi góc giữa 2 mặt phẳng đó là góc vuông.
Kí hiệu: (

α
)
( )
β
⊥
17 SVTH: Nhóm 11
Chủ đề: Hình Học Không Gian 11
3.2.Tính chất:
Định lí 1:
Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một
đường thẳng vuông góc với mặt thẳng kia.
(
α
)
⊥
(
β
)
⇔
∃
a
∈
(
α
): a
⊥
(
β
)
Hệ quả 1:

Cho 2 mặt phẳng cắt nhau theo 1 giao tuyến, nếu đường thẳng nằm trong mặt này
vuông góc với giao tuyến thì nó sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
c
a
a
a c
α β
α β
β
α
⊥


= ∩

⇒ ⊥

⊂


⊥

Hệ quả 2
Cho 2 mặt phẳng (
α
),(

β
) cắt nhau theo 1 giao
tuyến. Đường thẳng qua 1 điểm thuộc (
α
) và vuông góc(
β
) sẽ nằm trong mặt phẳng (
α
).
( ) ( )
( )
( )
( )
A
d
A d
d
α β
α
α
β
⊥


∈

⇒ ⊂

∈



⊥


Định lí 2:
( ) ( )
( ) ( )
( )
c
c
α β
α γ γ
β γ
∩ =


⊥ ⇒ ⊥


⊥

18 SVTH: Nhóm 11