Biến đổi tích phân fourier trong các không gian schwartz l1(rn) và l2(rn) và ứng dụng luận văn ths toán học giải tích 60 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỆN VĂN MẠNH

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER TRONG CÁC
1

n

2

n

KHÔNG GIAN SCHWARTZ, L (R ) VÀ L (R ) VÀ
ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI Năm 2013


Mục lục
MỞ ĐẦU
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

1 BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER

1.1Các không gian cơ sở . . . . . . . . . .
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.2Biến đổi tích phân Fourier trong khô
1.3Biến đổi tích phân Fourier trong khô
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
1.3.6
1.3.7
1.3.8
1.3.9
1.3.10
1.3.11
1.3.12
1.4Biến đổi tích phân Fourier trong khô
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.4.4
1.4.5
1.4.6
1.5Biến đổi tích phân Fourier trong khô
1.5.1
1.5.2

1


1.5.3
1.5.4
1.5.5

2 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER ĐỂ GIẢI
CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
2.1
Bài toán Dirichlet trong nửa mặt ph
2.2
Bài toán Neumann trong nửa mặt
2.3
Bài toán Cauchy với phương trình
2.4
Bài toán Cauchy với phương trình
KẾTLUẬN .................................
TÀILIỆUTHAMKHẢO ........................

2


MỞ ĐẦU
Lý thuyết biến đổi tích phân Fourier đã và đang được ứng dụng mạnh mẽ
trong Toán học hiện đại, Vật lý, Cơ học, và nhiều lĩnh vực công nghệ, kỹ thuật
khác. Đặc biệt là áp dụng biến đổi tích phân Fourier để giải phương trình đạo
hàm riêng nói chung và bài toán giá trị ban đầu hay bài toán biên nói riêng là
một trong những ứng dụng thú vị đã được nhiều nhà khoa học quan tâm. Vì
vậy, biến đổi tích phân Fourier đã được các nhà khoa học nghiên cứu rất

nhiều, các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú và đa dạng.

Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về biến đổi tích phân Fourier và
ứng dụng để giải các phương trình đạo hàm riêng. Nội dung của luận văn
gồm hai chương.
1. Biến đổi tích phân Fourier
Giới thiệu phép biến đổi tích phân Fourier trong các không gian Schwartz,
1

n

2

n

L (R ) và L (R ).

2. Ứng dụng biến đổi tích phân Fourier để giải các phương trình
đạo hàm riêng
Chương này đề cập đến phương pháp sử dụng phép biến đổi tích
phân Fourier để tìm nghiệm của bài toán biên và bài toán giá trị bạn
đầu của phương trình đạo hàm riêng.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.
Nguyễn Minh Tuấn, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, người
đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, thông qua luận văn tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong hội đồng phản biện
đã đọc và đưa ra những ý kiến quý báu giúp bản luận văn hoàn thiện hơn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học, Khoa

Toán Cơ Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại
3


trường.
Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Hành chính tổ chức,
Khoa Khoa học cơ bản trường Cao đẳng Thủy sản và gia đình đã luôn động
viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt khóa học.
Do năng lực, kinh nghiệm và thời gian còn nhiều hạn chế nên luận văn
chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn của tác giả. Vì
vậy, tác giả rất mong nhận được nhiều những ý kiến đóng góp của thầy cô,
bạn bè và đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn cả về nội
dung và hình thức. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng 10 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Văn Mạnh

4


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

1. R là tập các số thực.
2. C là tập số các số phức.
3. Z+ = {0, 1, 2, ...} là tập các số nguyên không âm.
n

4. Z

+ = {(α1, α2, ..., αn)|αj ∈

Z+, j = 1, ..., n}.

5. (α1, α2, ..., αn), αj ∈ Z+, j = 1, ..., n là đa chỉ số.
6. |α| = α1 + α2 + ... + αn.
7. (β1, β2, ..., βn), α ≤ β ↔ αj ≤ βj, với mọi j.
α

α

8. x = x

α
α
11 x 22 ...x nn
∂

.

9. Dj = ∂xj là toán tử lấy đạo hàm riêng theo xj .

α

α

α

α

11. D = D1 1 D2 2 ...Dn n .

12. Dα =
j

j

k

∂αj
α
∂x jj

.

n

n

13. C (R ) = {u : R → C|u khả vi liên tục cấp k}
∞
∞ n
k n
14. C (R ) =
C (R )
k=1

+∞

15. (t) =

0

t−1 −x

x

e dx là hàm Gamma.

5


Chương 1

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
FOURIER
1.1
1.1.1

Các không gian cơ sở
Không gian RN

Không gian Euclide Rn là không gian véc tơ trên trường số thực mà mỗi phần
tử của nó đều có dạng x = (x1, x2, . . . , xn). Tích vô hướng của hai phần tử x và
n

n

y, x, y ∈ R là một số được xác định bởi (x, y) =

xj yj. Chuẩn của x trong R

n

j=1

được xác định bởi
n

2

||x|| =

|xj | .
j=1

Chuẩn này gọi là chuẩn Euclide.
1.1.2

Không gian LP(RN)
p

n

Không gian L (R ), (1 ≤ p ≤ +∞) là tập hợp tất cả các hàm số xác định và
đo được trên Rn, sao cho
p

|f (x)| dx < +∞.

Rn

Trong Lp(Rn) hai hàm được gọi là đồng nhất với nhau nếu chúng bằng nhau
hầu khắp nơi, do đó các phần tử của Lp(Rn) là lớp tương đương các hàm đo
được thỏa mãn (1.1), hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp
p
n
p
n
n
nơi trên L (R ) và f ∈ L (R ), f = 0 nếu f (x) = 0 hầu khắp nơi trên R . Khi đó
Lp(Rn) là không gian véc tơ với phép cộng hai hàm số và nhân một số với hàm

6


số. Chuẩn trong Lp(Rn) được định nghĩa như sau

Rn

Khi đó Lp(Rn) với chuẩn (1.2) là không gian định chuẩn đầy đủ (Banach).
1.1.3

Không gian Schwartz S(RN)

Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn) là tập hợp
n

S(R ) =

∞

n

α β

n

n

ϕ ∈ C (R )| x D ϕ(x) < cαβ , ∀x ∈ R , α, β ∈ Z + ,

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau.
∞

Dãy {ϕk}

k=1

n

n

trong S(R ) được gọi là hội tụ đến ϕ trong S(R ) nếu
klim

Khi đó ta viết
trong S(Rn) nếu một trong hai điều kiện sau đây xảy ra.
1.
lim sup

k

l

2.

1.2

Biến đổi tích phân Fourier trong không gian Schwartz

Định nghĩa 1.1. Biến đổi tích phân Fourier Ff (ξ) hay f (ξ) của hàm f (x) ∈
n

S(R ) được xác định bởi
i(x,ξ)

e

Ff (ξ) ≡ f (ξ) :=

f (x)dx,

n

ξ∈R .

Rn

Nhận xét. Tích phân này là xác định vì
|f(ξ)| ≤ cm

(1 + |x|)

−m

dx < +∞,

với m > n.

Rn

Tiếp theo ta sẽ chứng minh các tính chất sau của biến đổi Fourier.


7


n

1. Ff ∈ S(R ).
β

|β|

β

α

|α|

α

n

2. D f (ξ) = (i) F(x f (x)), ξ f (ξ) = (i) F (D f (x)) (ξ), với α, β ∈ Z +.
Thật vậy, ta có
β

β i(x,ξ)

Dξ f(ξ) =

(ix) e

|β|

β

f (x)dx = (i) F(x f (x))(ξ),

Rn

i(x,ξ) β

n

∞

n

do e
x f (x) có tích phân trên R hội tụ đều theo ξ. Do đó Ff ∈ C (R ).
Mặt khác, bằng phép tính tích phân từng phần ta có
α

ξ f (ξ) =
Rn

|α|

n

Như vậy, với mỗi α, β ∈ Z
β

α

(i) F(Dx f (x))(ξ).

=

+

ta có

α

ξ Dξ (Ff )(ξ) = e

i(x,ξ)

β

α

(iDx) ((ix) f (x))dx.

Rn

Vì vậy
β α

ξ D

sup
ξ∈Rn

ξ

(

Từ đó, ta có Ff ∈ S(Rn), và biến đổi tích phân Fourier là ánh xạ tuyến tính
n
liên tục trên S(R ).
Ví dụ 1.1. Tìm biến đổi Fourier của hàm

f (x) = e

Rn

=

e−

1

2

||ξ||

n

2

− 1 ||x||2 .
2

+∞

e−

1

2

2

(t−iξj )

dt.

j=1−∞

Để tính được tích phân cuối cùng ta xét hàm f (z) =

−

2

e 2 của biến phức z và
miền xác định DR như Hình 1.1. Ta xét hướng dương đi vòng quanh biên ∂DR.
8

z


Vì f (z) là hàm chỉnh hình trong miền xác định này nên theo Định lý Cauchy
ta có

Nhưng

e

2
z

−

2

dz =

∂DR

Nếu R → +∞, thì
ξj

e− 12 (±R+iτ )2 dτ → 0.
0

Do đó

−∞

−∞

Sử dụng Định lý Fubini và hệ tọa độ cực ta có thể tính tích phân cuối cùng
như sau
+∞

−

e
−∞

= 2π

e

−m

dm = 2π.

0

Vì vậy ta có

+∞

√
e− 12 (t+iξj )2 dt = 2π,
−∞


9


và

F(e

1.3
1.3.1

−
j=1

Biến đổi tích phân Fourier trong không gian L1(R)
Định nghĩa, một vài tính chất đơn giản và ví dụ

Định nghĩa 1.2. Biến đổi tích phân Fourier Ff (α) hay f (α) của hàm f (x)
được xác định bởi
Ff (α) ≡ f (α) :=

e

iαx

f (x)dx,

R

trong đó α là một số thực. Lớp hàm đơn giản nhất ta có thể làm quen là lớp
hàm Lebesgue trên L1(R).
1

Nếu f (x) ∈ L (R) thì f(α) là tồn tại với mọi α. Chúng ta sẽ đưa ra chi tiết
một vài tính chất của f (α).
1. f (α) là bị chặn, vì |f (α)| ≤ ||f || = R
2. f (α) là liên tục đều trong −∞ < α < +∞. Nếu y > 0, thì ta có.
|f(α + y) − f(α)| =
R

≤
R

≤ 2

Cho ε > 0, ta có thể chọn R đủ lớn và sau đó y đủ nhỏ sao cho biểu diễn
cuối cộng lại nhỏ hơn ε.

3. Nếu c1 và c2 là những số thực và F là toán tử tác động lên f vào
trong f , thì ta có
F(c1f1 + c2f2) = c1.Ff1 + c2.Ff2,
và
F[f (Rx)] =


ở đó () là biểu thị của số phức liên hợp.
10


1

4. Nếu dãy hàm fn(x) → f (x) theo chuẩn trong L , thì dãy các biến đổi tích
phân Fourier của chúng fn(α) → f(α) đều trong −∞ < α < +∞.
5. Nếu
thì
f1(y)f2(y)dy =
R

Do
f1(y)f2(y)dy =
R

và
|f1(x)|.|f2(y)|dxdy =
R R

áp dụng Định lý Fubini biểu thức này bằng với

R

Tuy nhiên, tích phân hai lớp (1.3) là đối xứng với f1(x), f2(x), từ đó ta có
f1(y)f2(y)dy =
R

Ví dụ 1.2. Tính biến đổi Fourier của hàm f (x) = e−|x|, x
Hình 1.2.

11


Lời giải. Ta có f ∈ L1(R), và

1

Rõ ràng f (α) ∈ L (R). Đồ thị của f như Hình 1.3.

Ví dụ 1.3. Tính biến đổi Fourier của hàm

Lời giải. Ta có f ∈ L1(R), và

f (α) = R
1

Ta thấy f (α) ∈/ L (R).
1.3.2 Bổ đề Riemann
1

Định lý 1.1. Nếu f (x) ∈ L (R), thì αlim

Định lý này luôn được biết đến như là Bổ đề Riemann Lebesgue.

Chứng minh. Ta ký hiệu
I : a ≤ x < b.

Xét hàm
wI (x) =


12


Ta có

b

wI (α) =

eiαxdx =

eiαb − eiαa

.

iα

a

Vì vậy

2

w (α) ≤

.
|α|
Kết quả này cố định với mỗi hàm bậc thang f (x) hàm mà là hằng số trên một
khoảng hữu hạn (bị chặn) và triệt tiêu ngoài khoảng đó, trên phép toán của tính
chất 3 mục 1.3.1. Các hàm bậc thang này là trù mật trong không gian L1(R),
I

điều này có nghĩa là, với mỗi ε > 0, tồn tại một hàm bậc thang fε thỏa mãn
||f − fε|| < ε.

Bây giờ ta có,
f (α) = (f − fε)(α) + fε(α),

và
|f(α)| ≤ |(f − fε)(α)| + |fε(α)| ≤ ε + |fε(α)|.

Do đó
lim |f (α)| ≤ ε +
|α|→∞

lim |fε(α)|.
|α|→∞

Biểu thức thứ hai ở vế phải bằng không với mỗi hàm bậc thang fε, nên
lim |f (α)| ≤ ε.
|α|→∞

Cho ε → 0, ta được
lim f (α) = 0.
α→∞

1

Chú ý. Nếu f (x) ∈/ L (R), thì có thể tồn tại f (α) nhưng lim f (α)
Ví dụ 1.4. Cho f (x) =

1 sin λx

α→∞

0.

∈/ L1(R), λ > 0. Khi đó ta có

π

x

f (α) =

=

=


13

Mặt khác ta có

I=

Từ đó ta có

1.3.3

1

•

Nếu α = ±λ, thì f (α) = π

•

Nếu α > λ hoặc α < −λ, thì f (α) = 0

•

Nếu α ∈ (−λ, λ), thì f (α) = 1
Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier của nó

Mục đích của ta là sẽ chứng minh rằng nếu

thì

Nhưng trước khi chứng minh, ta có chú ý rằng.

1. Nếu f (x) có biến đổi tích phân Fourier f (α), thì f (x)e
phân Fourier f(α + h).

ixh

có

2. Nếu f (x) có biến đổi tích phân Fourier f (α), thì f (x + h) có
−ixh

phân Fourier f(α)e .
Hai tính chất trên chứng tỏ đã biết tính chất của nghịch đả
luận.
3. F[f (x).
4. F[

Cho h → 0 trong (3) và (4) ta nhận được một cách hình th
5. F[f (x).ix] = f ′ (α),
′

6. F[f (x)] = −iαf (α).
Bây giờ ta sẽ xây dựng (5) và (6) dựa trên cơ sở chặt chẽ.


14


1

1

Định lý 1.2. (i) Nếu f (x) ∈ L , và p(x) = ixf (x) ∈ L , thì f ′ (α) tồn tại, và
p(α) = f ′ (α).
1

′

1

(ii) Nếu f (x) ∈ L , g(x) = f (x) ∈ L , thì g(α) = −iαf (α), ngoài ra
f (x) =

Chứng minh.(i) Chúng ta có
f (α + h) − f (α) = F[f (x).e
h

ixh

− 1 ] = F[fh(x)].
h

1

Bây giờ, fh(x) → ixf (x) theo chuẩn trong L , bởi vì fh(x) → ixf (x) tại mọi điểm x,
và
f

(x)

|h

Áp dụng tính chất 4 trong mục 1.3.1, ta được
F[fh(x)] → F[ixf (x)] đều, khi h → 0.
Do đó, tại mọi điểm α, tồn tại đạo hàm f ′ (α) theo hướng thông thường, và
p(α) = f ′ (α).

(ii) Nghĩa chính xác của giả thiết là tồn tại một hàm g(x) ∈ L1 hàm mà có thể
chọn để ký hiệu bởi f ′(x) và một tích phân xác định của nó
x

f (x) =

g(y)dy,

sao cho
1

(x) ∈ L (R).

f

Bây giờ,
A

f (A) − f (a) =

g(x)dx,
a

1

nếu ta giữ a cố định và cho A → +∞, vì g(x) ∈ L , ta có
A

g(x)dx → c.
a

15


1

Do đó, f (A) → l, tương tự f ( −A) → −m. Vì f (x) ∈ L (R) ta phải có l = −m = 0,
và điều này trước hết chứng minh được

′

Bây giờ, nếu F[f (x)] = g(α), thì

Nhưng các giới hạn tại biên triệt tiêu bởi vì, l = −m = 0. Do đó
g(α) = −iαf (α).

Nhận xét. Có một định lý mạnh hơn bắt đầu rằng nếu f (x) ∈ L1, và f (r)(x) ∈
L1, thì f

(1)

(x), ..., f

(r−1)

1

(x) ∈ L . Chúng ta sẽ nói rõ hơn định lý này ở phần

sau.
1.3.4

Công thức nghịch đảo

Chúng ta mong muốn đưa ra một vài điều kiện đơn giản sao cho với điều
kiện ấy thì,

1

tại điểm x cho trước, giả thiết rằng f (x) ∈ L (R).
Cho

S (x) =
R

2π

eiα(u−x)

α=R
du

i(u − x) α=−R

+∞

−∞


πt

1

f (x + t)

sin Rt

−∞

dt

=

2sin Rt.f (x + t) + f (x − t)

π t2

0

16

dt.

Đặt

f (x + t) + f (x − t)

gx(t) :=

− f (x).

2

Thì

SR(x) − f (x) =

Định lý 1.3. Nếu
δ

g (t)
x

t

dt < ∞,

0

thì
lim SR(x) = f (x).
R→∞

Chứng minh. Cho δ > 0 cố định. Ta có

Ta có, I2 = 0 bởi Bổ đề Riemann Lebesgue, và do

gx(t)

khả tích tuyệt đối trong t

(o, δ), từ đó suy ra rằng I1 = ε(δ) → 0, khi δ → 0.
Nhận xét. Định lý 1.3 chỉ ra rằng nếu f (x) ∈ L1(R), thì sự hội tụ của SR(x) tới
f (x) tại một điểm chỉ phụ thuộc vào dáng điệu của f (x) trong lân cận của điểm
đó. Điều này là địa phương hóa của Định lý Riemann.
2
Ví dụ 1.5. Cho f (t) = e−|t|, ta có f (α) =
(Ví dụ 1.2.).
1+α

2

Vì f là trơn từng khúc nên suy ra

e−|t| =
−R

Trong trường hợp này f là khả tích tuyệt đối, và ta có thể viết đơn giản

e−|t|
Chúng ta có thể chuyển ký tự trong công thức này −t và α được thay đổi với
dấu lẫn nhau, và khi đó ta cũng thay đổi dấu của α, và ta có công thức (sau