Luận văn giải tích malliavn và ứng dụng luận văn ths toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

Bùi Hùng Cường

GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số : 60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊNH

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

Bùi Hùng Cường

GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

M cl c
L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

1 Cơng th c tích phân t ng ph n tr u tư ng
1.1

Trư ng h p m t chi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

V n đ đ nh y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

M t đ c a phân b

4

1.1.3
1.2

1

........................

Kỳ v ng có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Trư ng h p nhi u chi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Gi i tích Malliavin Brown
2.1

12

Trư ng h p h u h n chi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1

Các đ nh nghĩa và các tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2
Các toán t vi phân. Các tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . 14

2.2

Trư ng h p vô h n chi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1

Mi n xác đ nh t p Domp(D) = D1,p

2.2.2

Mi n xác đ nh t p Domp(δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3

. . . . . . . . . . . . . . . 19
Các tính ch t .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3

2.2.4

Các ví d

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.5

Công th c Clark - Ocone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.6

Mi n xác đ nh t p Domp(L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.7

Công th c tích phân t ng ph n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chuy n đ ng Brown nhi u chi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4

hàm b c cao và các cơng th c tích phân t ng ph n . . . . . . 41 2.5
ch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

i

Các đ o

Quá trình khu


2.6

Ph l c. Phân tích h n đ n Wiener (Wiener chaos decomposition) . . . 48

3 Áp d ng vào Tài chính
3.1

53

Cơng th c Clark - Ocone và danh m c đ u tư tái t o . . . . . . . . . . 53 3.2
Tính toán đ nh y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1

T p Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2

M t s ví

d khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3

Kỳ v ng có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.1

Th t c đư ng chéo và các công th c cơ b n . . . . . . . . . . . 69 3.3.2
Công th c đ a phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

ii


L I NĨI Đ U
Gi i tích Malliavin đư c hình thành t nh ng năm 70 c a th k XX và đ n nh ng
năm 80, 90 m t lư ng kh ng l các công vi c đã đư c th c hi n trong lĩnh v c này. Lý thuy t
ph n l n đư c xây d ng trên tính tốn ng u nhiên Itơ nh m m c đích nghiên c u c u trúc
cũng như phân b c a không gian các hàm Wiener. Đ u tiên năm 1974, Malliavin đã
dùng tiêu chu n liên t c tuy t đ i đ ch ng minh r ng dư i đi u ki n Hormander phân b c a
q trình khu ch tán có m t đ m n và v i cách này ông đã ch ng minh đư c đ nh lý xác
su t Hormander. Sau đó ngư i ta đã dùng phương pháp gi i tích này trong nhi u bài
tốn khác nhau có liên quan t i q trình ng u nhiên. Cu i cùng ngư i ta đã tìm ra ng d
ng c a gi i tích Malliavin trong phương pháp s xác su t, ch y u trong lĩnh v c tốn tài
chính. Nh ng ng d ng này hơi khác nh ng phương pháp trư c đó b i cơng th c tích phân
t ng ph n trong gi i tích Malliavin đư c dùng đ gi i thích m t cách ch c ch n các v n đ
trong thu t toán phi tuy n.
B c c lu n văn g m ba chương :
Chương 1: "Cơng th c tích phân t ng ph n tr u tư ng ". Chương này nh m gi i thi u
cơng th c tích phân t ng ph n tr u tư ng. T đó ta đưa ra đư c nh ng k t qu quan tr ng
như : v n đ đ nh y, m t đ c a phân b và kỳ v ng có đi u ki n.
Chương 2: "Gi i tích Malliavin Brown". Chương này đưa ra các khái ni m v các hàm
đơn gi n, các quá trình đơn gi n, t các khái ni m này ngư i ta m i đưa ra đ nh nghĩa đ o
hàm Malliavin. Ti p theo đưa ra đ nh nghĩa tích phân Skorohod, m i quan h gi a tích
phân Skorohod v i tích phân Itơ, t m i quan h này ta th y đư c tích phân Skorohod là
m r ng c a tích phân Itô như th nào. Áp d ng công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng đ
suy ra đư c các tính ch t quan tr ng c a tích phân như : cơng th c đ i ng u, quy t c chu

i, công th c Clark - Ocone và cơng th c tích phân t ng ph n Malliavin. Ngồi ra chương
2 cịn gi i thi u quá trình khu ch tán và
phân tích h n đ n Wiener, các t p Domp(D), Domp(δ), Domp(L).
Chương 3: "Áp d ng vào tài chính". Ta áp d ng các k t qu c a chương 1 và
iii


chương 2 vào chương này. Trư c tiên áp d ng cơng th c Clark - Ocone đ tìm danh
m c đ u tư tái t o, t c là tìm đư c nh ng c phi u φit đ l a ch n vi c đ u tư tái t o;
tìm giá c a tùy ch n (H, T ) ki u châu âu t i th i đi m t, nghĩa là t i kỳ h n thanh
toán T tương ng v i chi tr ng u nhiên H. Áp d ng vi c tính tốn đ nh y

chương

1 và cơng th c tích phân t ng ph n Malliavin đ tính tốn đ nh y. Vi c tính tốn đ nh y
cho ta bi t phương án đ u tư có an tồn hay khơng, khi đ nh y th p thì phương án đ u
tư là an toàn ngư c l i khi đ nh y cao thì c n tính đ n vi c thay đ i phương án đ u tư
khác. M t áp d ng n a là tính kỳ v ng có đi u ki n, tính kỳ v ng có đi u ki n giúp ta quy t
đ nh có bán c phi u theo giá b o hi m hay không.
Lu n văn đư c d a trên cơ s chính là tài li u "An Introduction to Malliavin Calculus and
its applications to Finance" c a các tác gi : Vlad Bally trư ng đ i h c Paris - Est Marne la - Vallée, Lucia Caramellino trư ng đ i h c Roma -Tor Vergata và Luana Lombardi trư
ng đ i h c L'Aquila.
Tơi xin t lịng kính tr ng và bi t ơn sâu s c đ n các th y cô trư ng đ i h c Khoa h c t nhiên
- Đ i h c Qu c gia Hà N i cùng các th y cô vi n Toán h c đã trang b ki n th c, dìu d t t o
đi u ki n cho tôi trong th i gian h c t p t i đây, đ c bi t là th y TS. Nguy n Th nh đã t n
tình hư ng d n, giúp đ , ch b o tơi hồn thành lu n văn này.

Hà N i, ngày 01 tháng 7 năm 2015

Bùi Hùng Cư ng

iv


Chương 1
Cơng th c tích phân t ng ph n
tr u tư ng
Trong chương này, ta s nghiên c u m t phép tính Malliavin tr u tư ng, đó là cơng
th c tích phân t ng ph n và ta nh n m nh vài k t qu quan tr ng như :tính tốn đ nh y, m
t đ c a phân b và kỳ v ng có đi u ki n.

1.1

Trư ng h p m t chi u

Cho (Ω, Φ, P) là m t không gian xác su t và E là kỳ v ng chu n trên P . B Ck(Rd) c
và Ck(Rd) là không gian các hàm f : Rd → R kh vi liên t c b c k, compact và các b
đ o hàm đư c h n ch trên các t p tương ng. Khi các hàm kh vi vô h n, ta có các
t p tương ng là C∞(Rd) và C∞(Rd) .
c

b

Đ nh nghĩa 1.1.1:
Cho F, G : Ω → R là các bi n ng u nhiên kh tích. Ta nói r ng cơng th c tích phân
t ng ph n IP (F ; G) là đúng n u t n t i bi n ng u nhiên kh tích H(F ; G) sao cho:
IP (F ; G) : E(φ (F )G) = E (φ(F )H(F ; G)) , ∀φ ∈ C∞(R) c

(1.1)

Hơn n a, ta có cơng th c tích phân t ng ph n IPk(F ; G) là đúng n u t n t i bi n
ng u nhiên kh tích Hk(F ; G) sao cho:
IPk(F ; G) : E(φ(k)(F )G) = E (φ(F )Hk(F ; G)) , ∀φ ∈ C∞(R). c
1

(1.2)


Nh n xét 1.1.2:
- B ng cách s d ng k t qu tiêu chu n chính quy, có th ki m tra các hàm C∞(R) c
trong IPk(F ; G) có th chuy n thành Ck(R) ho c C∞(R), Ck(R).
c

b

b

- Rõ ràng IP1(F ; G) chính là IP (F ; G) và H1(F ; G) chính là H(F ; G).
Hơn n a, n u ta có các cơng th c IP (F ; G) và IP (F ; H(F ; G)) thì ta s suy ra cơng
th c IP2(F ; G) v i H2(F ; G) = H(F ; H(F ; G)) .
Tương t như v y cho các đ o hàm b c cao hơn.
Ví d : Trong IPk(F ; 1) cho chúng ta xác đ nh Hk(F ; 1) ≡ Hk(F ) b ng cách xác đ nh
l i:
H0(F ) = 1,

Hk(F ) = H(F ; Hk−1(F )), k ≥ 1

- N u có cơng th c IP (F ; G) thì t E(H(F ; G)) = 0 suy ra G = 1

(1.1).

Hơn n a, H(F ; G) trong IP (F ; G) không ph i là duy nh t : V i b t kỳ bi n ng u
nhiên R th a mãn E(φ(F )R) = 0 (nghĩa là E(R |F ) = 0) ta cũng có th s d ng như
H(F ; G) + R ( th c t E(H(F ; G) |F )) là duy nh t ). Trong s h c đi u này đóng vai trị
quan tr ng b i vì n u ta mu n tính E(φ(F )H(F ; G)) s d ng phương pháp Monte
Carlo thì nó có th cho ta phương sai t i thi u. Cũng lưu ý r ng đ th c hi n thu t
toán Monte Carlo ta có mơ ph ng F và H(F ; G). Trong m t s trư ng h p, H(F ; G) có th
tính tốn tr c ti p. Nhưng gi i tích Malliavin cho ta m t h th ng phép tốn đ tính tốn đi
u này. Thư ng trong các ng d ng F là l i gi i c a phương trình ng u nhiên và H(F ; G) xu
t hi n như m t s t ng h p c a các toán t vi phân trên F . Nh ng đi u này cũng có liên
quan t i các phương trình ng u nhiên và vì v y ta có th s d ng m t s x p x c a các
phương trình đ t o ra các thu t tốn c th .
Ví d : Cho f = ∆ và G = g(∆) trong đó f, g là các hàm kh vi và ∆ là bi n ng u
nhiên Gauss có kỳ v ng 0 c a phương sai σ. Khi đó:
E(f (∆)g(∆)) = E f (∆)[g(∆)∆ − g (∆)]
σ
vì v y ta có công th c IP (F ; G) v i H(F ; G) = g(∆)∆ − g (∆). T
σ
ti p c a cơng th c tích phân t ng ph n nhưng v i s

2

(1.3)

ng d ng tr c
có m t c a m t đ Gauss


p(x) = √ 1 exp(− x ) ta có : 2
2

2πσ
2σ
E(f (∆)g(∆)) =
(x)g(x)p(x)dx

f

=−

(x))dx

f (x)(g (x)p(x) + g(x)p

= f (x)[g (x) + g(x)p ((x))]p(x)dx
−
x
p
= E(f (∆)[g(∆)∆ − g (∆)])
σ
Gi i tích Malliavin t o ra H(F ; G) cho m t l p l n các bi n ng u nhiên - (1.3) đ i
di n cho ví d đơn gi n ki u này, nhưng đó khơng ph i là m c tiêu c a ph n này .
đây ta ch đưa ra m t vài h qu c a tính ch t trên.

1.1.1

V n đ đ nh y

Trong nhi u ng d ng ta xem xét đ n nh ng s có d ng E(φ(F x)) trong đó F x là m t
lo i bi n ng u nhiên ch s trên tham s h u h n x. M t ví d đi n hình là F x = Xx t
là m t quá trình khu ch tán b t đ u t x. Đ nghiên c u đ nh y c a y u t này v i

tham s x, ta ch ng minh r ng x → E(φ(F x)) là kh vi và tìm bi u th c đ o hàm
c a nó. Có hai cách đ gi i quy t v n đ này, đó là : cách ti p c n theo t ng qu đ o
ho c cách ti p c n theo phân b .
Cách ti p c n theo t ng qu đ o : gi s r ng x → F x(ω) là kh vi h u kh p nơi

ω ( và đây là trư ng h p x → Xx(ω) trong ví d ) và φ cũng kh vi. Khi đó : t
∂xE(φ(F x)) = E (φ (F x)∂xF x)
nhưng cách ti p c n này không th c hi n đư c n u φ không kh vi.
Cách ti p c n theo phân b : vư t qua tr ng i trên nh s d ng s uy n chuy n m t đ
c a phân b c a F x. Vì v y trong cách ti p c n này ta gi thi t r ng F x ∼ px(y)dy và
x → px(y) là kh vi v i m i y.
Khi đó:

∂xE(φ(F x)) =

φ(y)∂xpx(y)dy =

φ(y)∂x ln px(y)px(y)dy = E (φ(F x)∂x ln px(F ))


3


Đôi khi ngư i ta g i ∂x ln px(F ) là hàm đi m. Nhưng cách làm này ch dùng đư c khi
ta bi t m t đ c a phân b c a F x . N u không bi t m t đ c a phân b c a F x thì
s d ng cơng th c tích phân t ng ph n IP (F x; ∂xF x) ta có đ ng th c :

∂xE(φ(F x)) = E (φ (F x)∂xF x) = E (φ(F x)H(F x; ∂xF x)) .
Ta th y r ng đ ng th c trên đúng ngay c khi φ không kh vi b i vì khơng có đ o
hàm c a các s h ng đ u và cu i. Trong th c t ta có th s d ng m t s l p lu n

thơng thư ng và sau đó chuy n qua gi i h n. Do đó ta thu đư c H(F x; ∂xF x).
Gi i tích Malliavin như m t cái máy cho phép tính tốn s lư ng l n các l p bi n
ng u nhiên cho trư ng h p m t đ c a phân b không bi t m t cách rõ ràng (ví d
như q trình khu ch tán). Đây là cách ti p c n trong Fourni'e, [12] và [13] đ i v i tính
tốn ki u Hy L p (đ nh y c a giá c a ngư i châu Âu và l a ch n c a ngư i M v i các tham
s nh t đ nh) trong các v n đ Tốn tài chính.

1.1.2

M t đ c a phân b

 1, n u x ∈ A

Sau đây ký hi u 1A(x) ho c 1x∈A

là hàm ch tiêu, nghĩa là: 1A(x) = 

B đ 1.1.3

0, n u x ∈ A
/

Gi s r ng F th a mãn cơng th c IP (F ; 1). Khi đó phân b c a F là liên t c tuy t
đ i đ i v i đ đo Lebesgue và m t đ c a phân b đư c cho b i:
p(x) = E(1[x,∞)(F )H(F ; 1))
Hơn n a p liên t c và p(x) → 0 khi |x| → ∞
Ch ng minh:
Hình th c l p lu n như sau: T δ0(y) = ∂y1[0;∞)(y), áp d ng công th c IP (F ; 1) ta
có
E(δ0(F − x)) = E ∂y1[0;∞)(F − x)

= E 1[0;∞)(F − x)H1(F ; 1)
= E(1[x;∞)(F )H(F ; 1))
4

(1.4)


Đ có suy lu n chính xác, ta làm theo hàm Dirac. Vì v y ta có m t hàm dương

φ ∈ C∞(R) nh n giá tr không đ i trên [-1;1]. Như v y c

φ(y)dy = 1 và v i m i δ > 0

ta xác đ nh φδ(y) = δ−1φ(yδ−1). Hơn n a ta xác đ nh Φδ là nguyên hàm c a φδ,
Φδ(y) =

y

−∞

φδ(z)dz và ta xây d ng m t vài bi n ng u nhiên θδ c a phân b φδ(y)dy,

cái mà đ c l p v i F . Vì θδ h i t y u t i 0 khi δ → 0 nên v i m i f ∈ C∞(R) ta có : c
E(f (F )) = lim E(f (F − θδ))
δ→0

(1.5)

Đ t Λ là phân b c a F , ta có th vi t :
(f (u − v)φδ(v)dvdΛ(u)

E(f (F − θδ)) =

f (z)φδ(u − z)dzdΛ(u)

=
=

f (z)E(φδ(F − z))dz

=

f (z)E(Φδ(F − z))dz

=

f (z)E(Φδ(F − z)H(F ; 1))dz

Bây gi Φδ đư c h n ch trên δ và Φδ(y) → 1[x,∞)(y) khi δ → 0 v i ∀ y. Khi đó s
d ng đ nh lý h i t Lebesgue thông qua gi i h n ta đư c :
E(f (F )) =

f (z)E(1[z;∞)(F )H(F ; 1))dz

v i b t kỳ f ∈ C∞(R), vì v y z → E(1[z;∞)(F )H(F ; 1)) là hàm m t đ xác xu t c a c
F , nó cũng là hàm liên t c. Th t v y, n u zn → z ta có 1[zn;∞)(F ) → 1[z;∞)(F ). Vì
v y áp d ng đ nh lý h i t Lebesgue, ta có:
p(zn) = E(1[zn;∞)(F )H(F ; 1)) → E(1[z;∞)(F )H(F ; 1)) = p(z)
t c p là hàm liên t c.
Cu i cùng, n u z → +∞ thì 1[z;∞)(F ) → 0 và khi đó p(z) → 0 .

N u thay b ng z → −∞ thì ta s d ng l p lu n tương t nhưng bi u di n là :
p(x) = −E(1(−∞;x)(F )H(F ; 1))
đi u đó đư c suy t th c t sau 1[x;+∞) = 1 − 1(−∞;x) và nh c l i r ng E(H(F ; 1)) = 0
(Xem Nh n xét 1.1.2). Ta có đi u c n ch ng minh.
Nh n xét 1.1.4. [B ch n]
5

(1.6)


Gi s r ng H(F ; 1) là bình phương kh tích. Khi đó s d ng b t đ ng th c Chebishev
ta có :
p(x) ≤

P(F ≥ x) H(F ; 1)

2

Đ c bi t, xlim p(x) = 0 và t l h i t đư c đi u ch nh lên đ n t n cùng c a phân b
c a F . Ví d n u F có b c p h u h n cho b i p(x) ≤ Cx−p/2. Đi u đáng chú ý trong

→∞

các ví d , q trình khu ch tán thư ng có d ng mũ. Vì v y v n đ c a gi i h n trên cho
hàm m t đ là khá đơn gi n ( Ngư c l i, v n đ gi i h n dư i cho hàm m t đ là
trên áp d ng cho trư ng h p x → ∞. Trư ng h p

m t thách th c l n). Công th c

tương t khi x → −∞ ta s d ng công th c (1.6)

Bây gi ta nghiên c u xa hơn n a và nghiên c u v n đ đ o hàm c a hàm m t đ .
B đ 1.1.5:
Gi s ta có cơng th c IPi(F ; 1), i = 1, ..., k + 1 . Khi đó m t đ là kh vi b c k và :
p(i)(x) = (−1)iE(1(x;∞)(F )Hi+1(F ; 1)), i = 0, 1, ..., k
Ch ng minh:
x

Cho i = 1. Ta xác đ nh Ψδ(x) =

−∞

Φδ(y)dy, khi đó Ψδ = φδ và ta quay tr l i v i

ch ng minh B đ 1.1.3, s d ng IP2(F ; 1) ta có :
E(φδ(F − z)) = E(Ψδ (F − z)) = E(Ψδ(F − z)H2(F ; 1))
Do đó :
E(f (F − θδ)) =
T

f (z)E(Ψδ(F − z)H2(F ; 1))dz

lim Ψδ(F − z) = (F − z)+ ta thu đư c :
δ→0

E(f (F )) =

f (z)E((F − z)+H2(F ; 1))dz

do đó
p(z) = E((F − z)+H2(F ; 1))

Cái hay

đây là bi u di n tích phân m i c a m t đ z → (F − z)+ là kh vi. L y đ o

hàm công th c trên cho ta :
p (z) = −E(1[z;∞)(F )H2(F ; 1))
6

(1.7)


và ta đã hoàn thành ch ng minh v i i = 1.
Đ l y đ o hàm b c cao, ta s d ng thêm tích phân t ng ph n đ nh n đư c :
p (z) = E (ηi (F − z) Hi+1 (F; 1))
trong đó ηi là hàm kh vi b c i sao cho :

η(ii)(x) = (−1)i1[0;∞)(x)

Ta có ngay đi u c n ch ng minh.
Nh n xét 1.1.6 [B ch n]
Công th c bi u di n tích phân (1.7) cho phép có đư c gi i h n trên c a các đ o hàm
c a m t đ p. Đ c bi t gi s F h u h n v i b c tùy ý và th a mãn công th c IPi(F ; 1)
v i ∀i ∈ N và Hi(F ; 1) là bình phương kh tích. Khi đó p là kh vi vô h n và :
q
p(i)(x) ≤

−

P(F > x) Hi(F ; 1) 2 ≤ Cx 2 , ∀q ∈ N.

Vì v y p ∈ S, khơng gian Schwartz c a các hàm gi m nhanh.
Tích phân t ng ph n và các m t đ
B đ 1.1.5 ch ra r ng có m t m i quan h tương đương (h u tương đương) gi a tích
phân t ng ph n và s t n t i "t t" m t đ c a phân b c a F . Trong th c t , gi s
đây p kh vi và p (F) là kh tích. Khi đó ∀f ∈ C∞(R) ta có : c
r ng F ∼ p(x)dx,
E(f (F )) =

f (x)p(x)dx

=−

f (x)p (x)dx

=−

f (x)p ((x))1(p>0)(x)p(x)dx x
p

= −E(f (F )p ((F ))1(p>0)(F )) F
p
Vì v y ta có cơng th c IP (F ; 1) v i H(F ; 1) = −p ((F ))1(p>0)(F ) ∈ L1 (b i vì p (F ) ∈ F
p
L (Ω)). B ng vi c l p đi l p l i, ta thu đư c chu i tác đ ng sau đây :
1

Công th cIPk+1(F ; 1)
⇒ p kh vi b c k và p(k)(F ) ∈ L1(Ω).

⇒ Công th cIPk(F ; 1) và Hk(F ; 1) = (−1)k pp(FF )1(p>0)(F ) ∈ L1(Ω) (k)(

)
7


1.1.3

Kỳ v ng có đi u ki n

Đi u c t y u c a vi c tính tốn kỳ v ng có đi u ki n là đ gi i thích m t cách ch c
ch n các v n đ phi tuy n t các thu t toán l p trình đ ng l c h c. M t s tác gi ( xem
Fourni'e [13], Lion và Regnier [19], Bally [5], Kohatsu - Higa và Petterson [15], Bouchard
[10]) đã s d ng các công th c d a trên các k thu t gi i tích Malliavin đ tính tốn các kỳ v
ng có đi u ki n . Trong ph n này ta đưa ra d ng tr u tư ng c a công th c này.
B đ 1.1.7
Cho F và G là các bi n ng u nhiên th c th a mãn các công th c IP (F ; 1) và IP (F ; G).
Khi đó :
E (G |F = x) =

E 1[x;∞)(F )H(F ; G)
E 1[x;∞)(F )H(F ; 1)

v i quy ư c r ng s h ng bên ph i b ng 0 khi m u s b ng 0.
Ch ng minh:
Cho θ(x) đ i di n cho s h ng bên trái c a đ ng th c trên. Ta có th ki m tra r ng
v i ∀f ∈ C∞(R) ta có E(f (F )G) = E(f (F )θ(F )) . S d ng các hàm quy t c t vi c c
ch ng minh B đ 1.1.3 ta có :
E(θ(F )f (F )) =

f (z)θ(z)p(z)dz
=

f (z)E 1[0;∞)(F − z)H(F ; G) dz

= lim f (z)E (Φδ(F − z)H(F ; G)) dz
δ →0

= lim f (z)E(Gφδ(F − z))dz
δ →0

= E(G lim f (z)φδ(F − z)dz)
δ→0

= E(Gf (F ))
và ta có đi u ph i ch ng minh.

8

(1.8)


1.2

Trư ng h p nhi u chi u

Trong ph n này ta nghiên c u v i bi n ng u nhiên d chi u F = (F 1, F 2, ..., F d). Các
k t qu liên quan đ n m t đ c a phân b và kỳ v ng có đi u ki n là khá gi ng nhau.
Ta gi i thi u m t s ký hi u. Cho i = 1, ..., d. Ta đ t ∂i ≡ ∂∂i . Cho m t đa ch s x
α = (α1, ..., αk) ∈ {1, ..., d}k, ta bi u th |α| = k và ∂α = ∂α1... ∂αk v i quy ư c r ng

∂0 là ph n t đơn v . Bây gi ta đ nh nghĩa tích phân t ng ph n như sau :

Đ nh nghĩa 1.2.1.

Cho F : Ω → Rd và G : Ω → R là các bi n ng u nhiên kh tích. Cho α ∈ {1, ..., d}k, k ∈
N là m t đa ch s . Ta nói r ng ta có cơng th c tích phân t ng ph n IPα(F ; G) n u
t n t i bi n ng u nhiên kh tích Hα(F ; G) sao cho :
(1.9)

IPα(F ; G) : E(∂αφ(F )G) = E(φ(F )H(F ; G)), ∀φ ∈ C∞(R) c
Nh c l i, cho |α| = k , t p C∞(Rd) có th bi n đ i thành Ck(Rd) , C∞(Rd) ho c
c

c

b

Ck(Rd). b
Ta đưa ra m t ví d đơn gi n mà nó là trung tâm c a gi i tích Malliavin .
Cho F = f (∆1, . . . , ∆m) và G = g(∆1, . . . , ∆m) trong đó f, g là các hàm kh vi và ∆1, . . . , ∆m đ
c l p v i nhau, là các bi n ng u nhiên Gauss kỳ v ng 0 v i các phương sai tương ng là :

σ1, . . . , σm.
Ta bi u th ∆ = (∆1, . . . , ∆m). Khi đó v i m i i = 1, . . . , m ta có :
E(∂xi (∆)g(∆)) = E(f (∆)[g(∆)∆i − ∂xi (∆)])
∂f
σi

∂g

(1.10)

như m t h qu tr c ti p c a (1.3) và ∆1, . . . , ∆m đ c l p. Nó th a mãn công th c :
IP{i}(∆; g(∆)), ∀i = 1, . . . , d.
Bây gi ta đưa ra k t qu liên quan đ n m t đ c a phân b c a F .
Đ nh lý 1.2.2
i) Gi s r ng IP(1,2,...,d)(F ; 1) đư c th a mãn. Khi đó m t đ p c a F t n t i và đư c
cho b i :
p(x) = E(1I(x)(F )H(1,2,...,d)(F ; 1))
9

(1.11)


d

trong đó I(x) =

[xi; ∞). Đ c bi t là p liên t c.

i=1

ii) Gi s r ng v i m i t p đa ch s α ta có cơng th c IPα(F ; 1). Khi đó ∂αp t n t i
và đư c cho b i :

∂αp(x) = (−1)|α|E(1I(x)(F )H(α+1)(F ; 1))

(1.12)

trong đó (α + 1) =: (α1 + 1, . . . , αd + 1). Hơn n a, n u Hα(F ; 1) ∈ L2(Ω) và F có b c
h u h n tùy ý thì p ∈ S, S là không gian Schwartz c a các hàm kh vi vô h n mà
gi m đ n vô h n cùng v i t t c các đ o hàm.

Ch ng minh :
i) L p lu n chính c a ch ng minh ph n (i) là d a trên cơ s δ0(y) = ∂(1,...,1)1I(0)(y) và
công th c tích phân t ng ph n . Đ ch t ch , ta có th s d ng quy t c hàm Dirac
như trong ch ng minh B đ 1.1.3.
ii) Đ ch ng minh (ii) ta có th s d ng như " phân ph i Schwartz" l p lu n như ch ng minh
B đ 1.1.5.
Cu i cùng, đ thu đư c gi i h n ta vi t :
|∂αp(x)| ≤

P(F 1 > x1, . . . , F d > xd) H(α+1)(F ; 1)

2

.

N u x1 > 0, . . . , xd > 0 b t đ ng th c Chebishev cho ta |∂αp(x)| ≤ Cq |x|−q , ∀q ∈ N.

N u t a đ c a x khơng dương ta có th s d ng phương sai c a (1.12) mà (−∞; xi]
thay cho (xi; ∞) .
Ta có đi u c n ch ng minh.
K t qu liên quan đ n kỳ v ng có đi u ki n như sau :
Đ nh lý 1.2.3
Cho F = (F 1, . . . , F d) và G là hai bi n ng u nhiên th a mãn các công th c IP(1,2,...,d)(F ; 1)
và IP(1,2,...,d)(F ; G) . Khi đó :
E(1 (F )H
(F ; G))
E(G F = x) = E(1I(x) (F )H(1,2,...,d) (F ; 1))
I(x)

(1.13)

(1,2,...,d)

v i quy ư c s h ng bên ph i b ng 0 khi m u b ng 0.
Ch ng minh
Ch ng minh tương t như B đ 1.1.7, s d ng hàm φδ(x) =
10

d
i=1

φδ(xi) và Φδ(x) =


d
i=1

Φδ(xi) và th c t r ng ∂(1,...,1)Φδ(x) = φδ(x) ta có đi u ph i ch ng minh.

11


Chương 2
Gi i tích Malliavin Brown
2.1

Trư ng h p h u h n chi u

Trong ph n này ta gi i thi u nh ng hàm đơn gi n h u h n chi u và quá trình đơn
gi n h u h n chi u. Ta đ nh nghĩa đ o hàm Malliavin và tích phân Skorohod cho các đ i tư

ng h u h n chi u và ta thu đư c nh ng tính ch t quan tr ng c a tích phân như : cơng th c
đ i ng u, quy t c chu i, công th c Clark - Ocone và cơng th c tích phân t ng ph n.
Ta s s d ng không gian Ck(Rd) c a các hàm f : Rd → R mà đ o hàm b c k c a p
chúng t n t i, liên t c và v i t c đ đa th c. Tương t như v y ta đ nh nghĩa cho
C∞(Rd). p

2.1.1

Các đ nh nghĩa và các tính ch t

Cho W = (W1, . . . , Wd) là m t chuy n đ ng Brown d chi u đư c đ nh nghĩa trên
không gian xác su t (Ω, Φ, P) và ta gi s r ng nó có b l c cơ s {Φt}t∈[0;1] v i W là
m t chuy n đ ng Brown, nó đư c t o ra b i W và đư c khu ch tán b i các t p P có
đ đo 0. Đ đơn gi n các ký hi u, ta gi s trong trư ng h p này d = 1. Trư ng h p
nhi u chi u s đ c p sau trong M c 2.3.
V i m i n, k ∈ N ta bi u th tk = k2−n và : n
∆k = W(tk+1) − W(tk ), k = 0, . . . , 2n − 1.
n

n

n

12


Ta bi u th ∆n = (∆0 , . . . , ∆2n−1). Chú ý r ng ∆n là bi n ng u nhiên Gauss nhi u
n

n

chi u, nh n giá tr trong R 2n v i các véc tơ đ c l p : ∆n ∼ N (0; 2−nI2n⋅2n) (

đây

N (m, Γ) bi u th phân b Gauss theo m và ma tr n hi p phương sai Γ, còn Id⋅d là ma tr n đơn v d ⋅
d).
Đ nh nghĩa 2.1.1.
M t hàm đơn gi n c p n là m t bi n ng u nhiên d ng F = f (∆n), trong đó
f ∈ C∞(R2n). Ta bi u th không gian Sn c a các hàm đơn gi n b c n b i : p
Sn = {F = f (∆n) : f ∈ C∞(R2n)} p
S = n∪N Sn ∈

và đ nh nghĩa không gian c a t t c các hàm đơn gi n là :
Nh n xét 2.1.2.
1. Sn ⊂ Sn+1 , th t v y ta có :
[tk , tk+1) = [t2k+1, t2k+1 ) ∪ [t2k+1 , t2k+1 )
nn

n

n +1

n +1

n +2

Vì v y
F = f (. . . , ∆k , . . .) = f (. . . , ∆2k+1 + ∆2k+1 , . . .). +1
n

n

n

2. S ⊂ Lp(Ω, Φ1, P), ∀p ≥ 1 là m t h qu c a th c t r ng f có t c đ đa th c và b t
kỳ bi n ng u nhiên Gauss có b c h u h n tùy ý.
3. S là t p con tuy n tính trù m t c a L2(Ω, Φ1, P). Có m t vài cách đ ch ra tính
h p lý c a kh ng đ nh này, xem ch ng minh

Ph l c 2.6 (Xem ti p

Đ nh lý 2.6.4).

Đ nh nghĩa 2.1.3.
M t quá trình U : [0; 1] ⋅ Ω → R đư c g i là m t quá trình đơn gi n b c n n u
v i b t kỳ k = 0, . . . , 2n − 1 t n t i m t quá trình Uk ∈ Sn sao cho :
2n−1

Ut(ω) =

k=0

Uk(ω)1[tk;tk+1)(t) nn

Ta bi u th Pn là khơng gian các q trình đơn gi n b c n, t c là :
2n−1

Pn = {U : [0; 1] ⋅ Ω → R : Ut(ω) =

k=0

Uk(ω)1[tk;tk+1)(t) ; Uk ∈ Sn} nn

và không gian c a t t c các quá trình đơn gi n đư c cho b i : P = n∪N Pn ∈
13


T Uk ∈ Sn ta có Uk = uk(∆0 , . . . , ∆2n−1), uk ∈ C∞(R2n) . Do đó uk ph thu c vào t t
n

n

p

c các gia s c a chuy n đ ng Brown, vì v y q trình đơn gi n nhìn chung là khơng
tương thích . Nhưng U s tương thích n u và ch n u Uk = uk(∆0 , . . . , ∆k−1), ∀k =
n

0, . . . , 2n − 1.

n

Nh n xét 2.1.4.
1. Sn ⊂ Sn+1 suy ra Pn ⊂ Pn+1.
2. V i m i ω c đ nh, ω ∈ Ω, t → Ut(ω) là m t ph n t c a L2([0; 1] , B [0; 1] , dt) và
nhìn chung thu c vào Lp([0; 1] , B [0; 1] , dt), ∀p ≥ 1. Khi đó n u U, V ∈ P ta có th
đ nh nghĩa tích vơ hư ng trên khơng gian này b ng cách s d ng m t trong các tiêu
1

chu n trên L2([0; 1]), đó là : U, V =

UsVsds.

0

Chú ý r ng U, V ph thu c ω và hơn th n a nó cịn là bi n ng u nhiên h u h n.
3. Đ đ t đư c m c tiêu d dàng, đ t:
1

H1 = L ([0; 1] , B [0; 1] , dt) = {φ : [0; 1] → R;

|ϕs|2 ds < ∞}

2

0

và
1
p
H1

p

L (H1) = {U : Ω → H1 : E( U
Khi đó P ⊂

) = E([

0

p
|Us| ds] 2 ) < ∞} 2

Lp(H1), ∀p ∈ N.

4. P là m t t p con trù m t c a L2(H1) ≡ L2(Ω ⋅ [0; 1] , Φ1 ⋅ B([0; 1]), P ⋅ dt).

2.1.2

Các toán t vi phân. Các tính ch t cơ b n

Bây gi ta có th gi i thi u đ o hàm Malliavin và tốn t liên h p c a nó, tích phân
Skorohod
Đ nh nghĩa 2.1.5.
Đ o hàm Malliavin c a bi n ng u nhiên F = f (∆n) ∈ Sn là m t quá trình đơn
gi n {DtF }t∈[0;1] ∈ Pn đư c cho b i :
2n −1

Dt F =
k=0

∂f (∆ )1 k+1 (t)
∂xk n [tk,tn ) n

Ta nh c l i r ng xk đ i di n cho s gia ∆k = Wtk+1 − Wtk
n

∂F , t ∈ [t , t ).

k

T đ nh nghĩa ta có DtF = ∂∆k n

k+1

nn

14

n

n


N u ta bi u th ∆tn = ∆k v i t ∈ [tk , tk+1), ∆tn tương ng v i s gia c a W theo t. Do
n

nn

đó ta có th s d ng ký hi u sau đây :
DtF = ∂∂∆t (∆n) ≡ ∂∂∆k (∆0 , ∆1 , . . . , ∆2n−1) khi t ∈ [tk , tk+1)
n
n
n
F
f
n

nn

n

Chú ý r ng đ nh nghĩa đưa ra toán t

D không ph thu c vào n. Th t v y, cho

F ∈ Sn ⊂ Sn+1 ta có:

∂F ∂∆ (∆n) = ∂∆Fk (∆n+1) = ∂F+1 (∆n+1) ∂
k

2
n+1

n

(2.1)

∂∆2k+1 n

b i vì t ∈ [tk , tk+1) = [t2k+1, t2k+1 ) ∪ [t2k+1 , t2k+1 )
+1
nn

n

+1

n

+2

n

n

và F = f (. . . , ∆k , . . .) = f (. . . , ∆2k+1 + ∆2k+1 , . . .). Do đó (2.1) cho phép đ nh nghĩa +1
n

D:S=
n

n

Sn → P =

n

n

Pn như sau :
DtF = ∂∂∆t (∆n) khi t ∈ [0; 1] F
n

Đ nh nghĩa 2.1.6.
Tích phân Skorohod đư c đ nh nghĩa như toán t :
2n−1

δ : P → S , δ (U ) =

k=0
2n−1

trong đó U =

(uk(∆n)∆k − ∂uk (∆n)21n )
n
∂ xk

uk(∆n)1[tk;tk+1)(t) ∈ Pn ⊂ P . nn
Chú ý nh c l i r ng đ nh nghĩa khơng ph thu c vào n vì v y đ nh nghĩa là phù h p.
k=0

Nh n xét 2.1.7. (Tích phân Skorohod và tích phân Ito)
Ta đã chú ý r ng quá trình U ∈ Pn là Φt - tương thích n u và ch n u uk(∆n) ch ph
thu c vào các bi n ∆1 , .., ∆k−1. Do đó ∂uk = 0 và trong trư ng h p này
n
n
∂ xk
2n−1

δ (U ) =

k=0

1

uk(∆n)∆k = n

UsdWs

0

nghĩa là δ(U ) trùng v i tích phân Ito đ i v i W . Đi u này cho th y r ng tích phân
Skorohod nh m m c đích m r ng tích phân Ito qua t p h p c a q trình khơng tương
thích .
Bây gi ta có th ch ng minh m i liên h gi a đ o hàm Malliavin v i tích phân


15


Skorohod và nghiên c u nh ng tính ch t tr c ti p c a các toán t .
Đ nh lý 2.1.8.
(i) [Đ i ng u] V i b t kỳ F ∈ S và U ∈ P ta có :
E( DF, U ) = E(F δ(U ))
(ii) [Quy t c chu i] Cho F = (F 1, . . . , F m) trong đó F i ∈ S, i = 1, . . . , m và Φ ∈
C∞(Rm). Khi đó Φ(F ) ∈ S và : p

m

∂xiΦ(F )DF i

DΦ(F ) =
i=1

(iii) [Tích phân Skorohod c a m t tích] Cho F ∈ S và U ∈ P . Khi đó :

δ(F U ) = F δ(U ) − DF, U
Ch ng minh:
(i) Cho n là m t s nguyên sao cho F ∈ Sn và U ∈ Pn. Khi đó :

2n−1

E( DF, U ) = E(
k=0

∂f (∆ )u (∆ ) ⋅ 1 )
∂ xk n k n

2n

∆n là m t véc tơ c a bi n ng u nhiên nhi u chi u Gauss v i phương sai hn = 21n . Khi
đó ta có th s d ng (1.10) và ta nh n đư c :

∂f (∆ )u (∆ )) = E(f (∆ )[u (∆ )∆k − ∂uk (∆ )]) n
n
k
n h
n
E( ∂xk n k n
B ng cách thay th ta có :
E( DF, U ) = E(f (∆n)

∂ xk n

2n−1

k=0

[uk(∆n)∆k −∂uk (∆n)21n ]) = E(F δ(U )) n ∂xk

Ta d dàng ch ng minh (ii)
(iii) L y G ∈ S . B ng cách s d ng công th c đ i ng u và quy t c chu i, ta có :
E[Gδ(F U )] = E[ DG, F U ]
= E[ F DG, U ]
= E[ D(GF ) − GDF, U ]
= E[ D(GF ), U ]−E[G DF, U ]
= E[GF δ(U )] − E [ DF, U ]
16


Khi đó :
E[Gδ(F U )] = E[G(F δ(U ) − DF, U )]
v i b t kỳ G ∈ S và suy ra (iii) đư c ch ng minh.
Bây gi ta đã s n sàng đ ch ng minh công th c tích phân t ng ph n đ u tiên trong
Malliavin. Cho F = (F 1, . . . , F m) trong đó F i ∈ S, i = 1, . . . , m. T p σF như là h ma
tr n c m ⋅ m sau đây :
1
i

j

σ = DF , DF =
ij

DtF iDtF jdt; i, j = 1, . . . , m
0

F

σF đư c g i là ma tr n hi p phương sai liên quan đ n F . Đây là m t ma tr n

xác đ nh dương, b i vì v i b t kỳ ξ ∈ Rm ta có :
1

m

σF ξ , ξ =

i,j=1

i j

F

1

m

σ ξξ =
ij

DtF ξ DtF ξ dt
i i

0

i,j=1

2

m

Dt F iξi

=

j j

0

dt ≥ 0

i=1

Đ nh lý 2.1.9. [Cơng th c tích phân t ng ph n Malliavin]
Cho F = (F 1, . . . , F m) và G sao cho : F 1, . . . , F m, G ∈ S. Gi s r ng σF là kh
ngh ch và γF là ngh ch đ o c a σF . Hơn n a gi s r ng γF ∈ S. Khi đó v i m i

φ ∈ C1(Rm) ta có : b

∂φ
E(∂xi (F )G) = E(φ(F )Hi(F ; G))

m

vi

Hi(F ; G) = δ(

j=1

γji GDF j) F

Ch ng minh
S d ng quy t c chu i ta có :
m

Dφ(F ), DF

j

=

m

∂φ (F ) DF , DF =
∂
xq
q

q=1

j

q=1

∂φ (F )σqj, j = 1, . . . , m
F
∂
xq

Vì σF là kh ngh ch v i ma tr n ngh ch đ o γF nên ta có th vi t :
m

∂φ (F ) =
∂ xi

j=1

Dφ(F ), DF j γji, i = 1, . . . , m F

17