Các bài toán hay, vui

Tài liệu ôn thi HSG
Đề số 1:
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:
a)
1
.16 2
8
n n
=
; b) 27 < 3
n
< 243
Bài 2. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
( ... )
4.9 9.14 14.19 44.49 89

+ + + +
Bài 3. a) Tìm x biết:
2x3x2
+=+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x
+
Khi x thay đổi
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đờng thẳng.
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia

MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ
đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E.Chứng minh: AE = BC
Đề số 2:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bi 1:(4 im)
a) Thc hin phộp tớnh:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3

=
+
+
b) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ :
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
+
chia ht cho 10
Bi 2:(4 im) Tỡm x bit:
a.
( )
1 4 2

3,2
3 5 5
x
+ = +
b.
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x
+ +
=
Bi 3: (4 im)
a) S A c chia thnh 3 s t l theo
2 3 1
: :
5 4 6
. Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba
s ú bng 24309. Tỡm s A.
b) Cho
a c
c b
=
. Chng minh rng:
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=

+
Bi 4: (4 im)
Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca ca tia MA ly im E sao
cho ME = MA. Chng minh rng:
a) AC = EB v AC // BE
b) Gi I l mt im trờn AC ; K l mt im trờn EB sao cho AI = EK . Chng
minh ba im I , M , K thng hng
c) T E k
EH BC

( )
H BC
. Bit
ã
HBE
= 50
o
;
ã
MEB
=25
o
.
Tớnh
ã
HEM
v
ã
BME
Bi 5: (4 im)

1
Tài liệu ôn thi HSG
Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú
à
0
A 20=
, v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc
ABC). Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh:
a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC
b) AM = BC
Ht

Đề số 3:
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
a 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn
9
10

và nhỏ hơn
9
11

Câu3: Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x

2
+ 2mx + m
2
và
Q
( )
x
= x
2
+ (2m+1) x + m
2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
=
= =
x y
a / ; xy=84
3 7
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
A =
1
+
x
+5 B =
3
15
2

2
+
+
x
x

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
a. Chứng minh: DC = BE và DC

BE
b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng
minh: AB = ME và ABC = EMA
c. Chứng minh: MA

BC
Đề số 4:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính :
a-
)
1
3
1
(:1
3
1
.3

3
1
.6
2









+














b-
( )

32
2003
23
12
5
.
5
2
1.
4
3
.
3
2

Câu 2 ( 2 điểm)
a- Tìm số nguyên a để
1
3
2
+
++
a
aa
là số nguyên
b- Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0
Câu 3 ( 2 điểm)
a- Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì
d
c
b
a
=
với b,d khác 0

b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để đợc một số có ba chữ số giống
nhau .
2
Tài liệu ôn thi HSG
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 45
o
, góc C bằng 120
0
. Trên tia đối của tia CB lấy
điểm D sao cho CD=2CB. Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x
2
-2y
2
=1
Đề số 5:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bi 1 (3): 1, Tớnh: P =
1 1 1 2 2 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
+ +

+ +
2, Bit: 13 + 23 + . . . . . . . + 103 = 3025.
Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + . . . . + 203
3, Cho: A =

3 2 2
2
3 0,25 4x x xy
x y
+
+
Tớnh giỏ tr ca A bit
1
;
2
x y=
l s nguyờn õm ln nht.
Bi 2 (1): Tỡm x bit: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bi 3 (1):
Mt con th chy trờn mt con ng m hai phn ba con ng bng qua ng c
v on ng cũn li i qua m ly. Thi gian con th chy trờn ng c bng na thi
gian chy qua m ly.
Hi vn tc ca con th trờn on ng no ln hn ? Tớnh t s vn tc ca con
th trờn hai on ng ?
Bi 4 (2): Cho ABC nhn. V v phớa ngoi ABC cỏc u ABD v ACE. Gi M l
giao im ca BE v CD. Chng minh rng:
1, ABE = ADC
2,
ã
0
120BMC =
Bi 5 (3): Cho ba im B, H, C thng hng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. T H
v tia Hx vuụng gúc vi ng thng BC. Ly A thuc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
1, ABC l gỡ ? Chng minh iu ú.
2, Trờn tia HC ly im D sao cho HD = HA. T D v ng thng song song vi

AH ct AC ti E.Chng minh: AE = AB
Đề số 6:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bi 1 (4): Cho cỏc a thc:
A(x) = 2x
5
4x
3
+ x
2
2x + 2
B(x) = x
5
2x
4
+ x
2
5x + 3
C(x) = x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
8x +
3
4
16
1, Tớnh M(x) = A(x) 2B(x) + C(x)
2, Tớnh giỏ tr ca M(x) khi x =

0,25
3, Cú giỏ tr no ca x M(x) = 0 khụng ?
Bi 2 (4):
1, Tỡm ba s a, b, c bit: 3a = 2b; 5b = 7c v 3a + 5b 7c = 60
2, Tỡm x bit:
2 3 2x x x =
3
Tµi liÖu «n thi HSG
Bài 3 (4đ):
Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
1, P =
2
6 m−
có giá trị lớn nhất
2, Q =
8
3
n
n
−
−
có giá trị nguyên nhỏ nhất
Bài 4 (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của
BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB,
AC lần lượt tại D, E.
1, Chứng minh BD = CE.
2, Tính AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ): Cho ∆ABC cân tại A,
·
0

100BAC =
. D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao
cho
·
·
0 0
10 , 20DBC DCB= =
. Tính góc ADB ?
§Ò sè 7:
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (3đ): Tính:
1,
3
1 1 1
6. 3. 1 1
3 3 3
 
− − −
     
− + − −
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 
2, (6
3
+ 3. 6
2
+ 3

3
) : 13
3,
9 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 90 72 56 42 30 20 12 6 2
− − − − − − − − −
Bài 2 (3đ): 1, Cho
a b c
b c a
= =
và a + b + c ≠ 0; a = 2005. Tính b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
ta có hệ thức:
a c
b d
=
Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba
cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 4 (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: y =
2 ; 0
; 0
x x
x x
≥



<

Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng:
A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 60
0
. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia
phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IE
§Ò sè 8:
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (5đ): 1, Tìm n
∈
N biết (3
3
: 9)3
n
= 729
2, Tính : A =
2
2
2
9

4








−
+
7
6
5
4
3
2
7
3
5
2
3
1
)4(,0
−−
−−
+
Bài 2 (3đ): Cho a,b,c
∈
R và a,b,c

≠
0 thoả mãn b
2
= ac. Chứng minh rằng:

c
a
=
2
2
)2007(
)2007(
cb
ba
+
+
Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn
thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2
người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân?
4
Tài liệu ôn thi HSG
Cõu 4 (6): Cho ABC nhn. V v phớa ngoi ABC cỏc u ABD v ACE.
1, Chng minh: BE = DC.
2, Gi H l giao im ca BE v CD. Tớnh s o gúc BHC.
Bi 5 (2): Cho m, n

N v p l s nguyờn t tho món:
1

m

p
=
p
nm
+
.
Chng minh rng : p
2
= n + 2.
Đề số 9:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm) a, Cho
64,31)25,1.
5
4
7.25,1).(8.07.8,0(
2
++=
A

25,11:9
02,0).19,881,11(
+
=
B
Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?
b) Số
410
1998
=

A
có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
Câu 2: (2 điểm) Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A.
Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Câu 3: a) Cho
cbxaxxf
++=
2
)(
với a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng:
0)3().2(

ff
. Biết rằng
0213
=++
cba
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
x
A

=
6
2
có giá trị lớn nhất.
Câu 4: (3 điểm) Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 90
0
, B và E nằm ở hai

nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 90
0
. F và C nằm ở
hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB.
a) Chứng minh rằng: ABF = ACE
b) FB EC.
Câu 5: (1 điểm) Tìm chữ số tận cùng của
9
6
9
1
0
9
8
1
95
219
+=
A
Đề số 10:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) a) Tính
115
2005
1890
:
12
5
11
5

5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3
5
5,2
75,015,1
+












+
++
+
+
+
=

A
b) Cho
20052004432
3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
3
1
++++++=
B
Chứng minh rằng
2
1
<
B
.
Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu
d
c
b
a
=

thì
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35

+
=

+

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
b) Tìm x biết:
2001
4
2002
3
2003
2
2004
1

=

+

xxxx
Câu 3: (2điểm) a) Cho đa thức
cbxaxxf
++=
2
)(
với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0);
f(1); f(2) có giá trị nguyên.
Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh đó tỉ
lệ với ba số nào ?
5
Tài liệu ôn thi HSG
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối
của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt
AB, AC lần lợt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi
trên cạnh BC.
Câu 5: (1 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số
32
87


n
n
có giá trị lớn nhất.

Đề số 11:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) a) Tính:
A =






++






++
2,275,2
13
11
7
11
:
13
3
7
3
6,075,0
B =

+








+
9
225
49
5
:
3
25,022
7
21,110
b) Tìm các giá trị của x để:
xxx 313
=+++

Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
+
+
+
+
+
=
không là số nguyên.
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0
++
cabcab
.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số dơng khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lợt tỉ lệ
nghịch với 35; 210 và 12.
b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy bay
bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ.
Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q
sao cho chu vi APQ bằng 2.

Chứng minh rằng góc PCQ bằng 45
0
.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
20
9
1985
1
...
25
1
15
1
5
1
<++++
Đề số 12:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dơng đều có:
A=
91)23(6)15(5
++
nnnn
b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho
14
2
+P
là số nguyên tố.

Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho
13
2
+
nn
b) Biết
c
bxay
b
azcx
a
cybz

=

=

Chứng minh rằng:
z
c
y
b
x
a
==
Bài 3: (2 điểm)
6