SKKN- DẠY CHƯƠNG TỨ GIÁC NHƯ THẾ NÀO H QUẢ

MỐI LIÊN HỆ GIỮA
CÁC LOẠI HÌNH TỨ GIÁC
I/MỞ ĐẦU:
* Chương I “Tứ giác” ở hình học 8 là chương đặt nền móng đầy đủ cho việc nghiên cứu đa giác trong học
hình học phẳng ở chương trình THCS. Nó hoàn thiện kiến thức về tam giác và cơ sở để mở rộng về đa giác
nói chung.
* Nhiều năm dạy toán THCS tôi nhận thấy HS thường hay lúng túng khi một tứ giác có thêm hoặc bớt đi một
điều kiện thì loại hình tứ giác đó thay đổi như thế nào?Do các em chưa nắm chắc mối quan hệ giữa các loại
hình tứ giác đó .
* Để phần nào giúp HS có cơ sở làm tốt những bài toán chứng minh về tứ giác . Tôi xin đưa ra một số yếu tố
về cạnh , góc , đường chéo của tứ giác , vò trí của điểm ,tam giác … thay đổi thì sẽ kéo theo loại hình tứ giác
đó thay đổi. Làm nền tảng cho HS vẽ hình , dự đoán và chứng minh được tứ giác đó là hình gì.Từ đó HS tính
được độ dài cạnh , số đo góc …
II/KẾT QUẢ:
* Để đạt hiệu quả cao khi sử dụng mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác . HS phải hiểu chắc hệ thống kiến
thức về chương tứ giác .
* Các em phải nắm vững những đònh nghóa , tính chất , dấu hiệu nhận biết , lưu ý… của từng loại hình tứ
giác .
* Từ đó khi thêm hoặc bớt một điều kiện các em có thể dự đoán ngay loại hình mới và tìm cách để chứng
minh .
-Có thể dựa vào sơ đồ nhận biết các loại tứ giác
-Có thể dựa vào tính chất đối xứng (đối xứng tâm, đối xứng trục của từng loại hình tứ giác)
- Nắm chắc hết các phương pháp để chứng minh 1 tứ giác là hình gì ?
-Tìm các mối liên hệ của cùng một tiểu mục như : giữa đònh nghóa với nhau , tính chất với nhau , dấu hiệu
nhận biết với nhau . Để thấy sự giống nhau và khác nhau của từng loại hình tứ giác . Từ đó không nhầm lẫn
khi chứng minh hoặc tìm điều kiện để hình này trở thành hình khác .
SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC
1
. 2 đường chéo =
. 1 góc vuông
. 1đường chéo là đường

phân giác của 1 góc
. 2đường chéo vuông góc
. 2cạnh kề =
Hình chữ nhật
1 góc
vuông
2 cạnh bên
song song
.2đường chéo =
. 1góc vuông
Hình thoi
. 1đường chéo là đường
phân giác của 1 góc
. 2đường chéo vuông góc
. 2cạnh kề =
Hình thang
cân
Hình bình hành
Hình thang vuông
. 2đường chéo =
. 2góc kề đáy =
Góc
vuông
2 cạnh bên
song song
Hình
thang
. 2 đường chéo cắt nhau tai
trung điểm mỗi đường
. Các cạnh đối =

. 2 cạnh đối song song và =
. Các cạnh đối =
. Các cạnh đối song song
2 cạnh đối
song song
TỨ GIÁC
4 cạnh bằng nhau
3 góc vuông

*Tôi xin minh hoạ 1 số trường hợp cụ thể bằng các bài toán sau . Lời giải trình bày gọn , chủ yếu là gợi ý.
HS hiểu và làm lại chi tiết hơn .
A.LÝ THUYẾT : Để giúp HS nắm đầy đủ các phương pháp chứng minh một tứ giác là hình gì , tôi xin giới
thiệu bảng các phương pháp sau :
1-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG CÂN
Chứng minh tứ giác là một hình thang có
PP1) Hai góc kề một đáy bằng nhau .
PP2) Hai đường chéo bằng nhau .
PP3) Hai góc đối bù nhau .
PP4) Đường nối các trung điểm của hai đáy là trục đối xứng .

2-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH BÌNH HÀNH
Chứng minh tứ giác có
PP1) Hai cặp cạnh đối song song .
2
PP2) Hai cặp cạnh đối băng nhau từng đôi một .
PP3) Các cặp góc đối bằng nhau .
PP4) Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường .
PP5) Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau .
PP6) Một tâm đối xứng .
3-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT

Chứng minh tứ giác
PP1) Là hình bình hành có một góc vuông .
PP2) Có bốn góc bằng nhau .
PP3) Là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau .
PP4) Là hình thang cân có một góc vuông .
PP5) Có các đường thẳng qua các trung điểm của mỗi cặp cạnh đối là trục đối xứng của tứ giác
4-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THOI
Chứng minh tứ giác
PP1) Là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau .
PP2) Có bốn cạnh bằng nhau .
PP3) Là hình bình hành có các đường chéo vuông góc .
PP4) Có mỗi đường chéo là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo đó .
PP5) Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy .
PP6) Có mỗi đường thẳng qua hai đỉnh đối nhau là một trục đối xứng của nó .
5-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH VUÔNG
Chứng minh tứ giác
PP1) Là hình thoi có một góc vuông .
PP2) Là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau .
PP3) Là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau .
PP4) Là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc .
PP5) Có bốn trục đối xứng là các đường thẳng qua các đỉnh đối nhau , các đường thẳng qua trung điểm các
cạnh đối nhau .
B.ÁP DỤNG:
1.Phương pháp :Đường chéo của tứ giác cho trước thay đổi dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình .
* Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
b) Tứ giác ABCD phải thoả điều kiện gì về đường chéo để : MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông
?
* Giải :

a) Vẽ 2 đường chéo AC,BD
Ta có :
,
2
AC
MN AC MN =P
(tính chất đường trung bình của tam giác )

,
2
AC
PQ AC PQ =P
3
Q
P
N
M
D
C
B
A
Q
P
N
M
D
C
B
A
Q

P
NM
D
C
B
A
Q
P
N
M
D
C
B
A

,MN PQ MN PQ⇒ =P
Vậy MNPQ là hình bình hành .
b)- MNPQ là hình chữ nhật thì
ˆ
M
= 1v
AC BD
⇒ ⊥
- MNPQ là hình thoi thì MN = MQ
AC BD⇒ =
- MNPQ là hình vuông thì
AC BD⊥
và AC = BD
2.Phương pháp :Vò trí điểm trên cạnh tam giác và tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác thay
đổi loại hình .

* Cho
ABCV
,D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song AB và AC. Chúng cắt các
cạnh AC , AB theo thứ tự tại E và F .
a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
b) Điểm D ở vò trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ?
c)Nếu
ABCV
vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D ở vò trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là
hình vuông ?
* Giải :
a) Ta có :
DE AFP
(gt)

DF AEP
(gt) Vậy AEDF là hình bình hành .
b)Vẽ đường chéo AD
Để AEDF là hình thoi thì AD là phân giác Â
Vậy D là giao điểm của phân giác  và BC
c) Nếu
ˆ
: 1ABC A v=V
thì AEDF là hình chữ nhật
Để AEDF là hình vuông thì : Â = 1v và AD là phân giácÂ
3. Phương pháp : Khi tứ giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình .
* Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành .
b) - Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
- Nếu ABCD là hình thoi thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?

- Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
- Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
* Giải :
a) (Xem bài 1 phần a )
b) - Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình bình hành (tương tự phần a)
- Nếu ABCD là hình chữ nhật thì : AC = BD
MN MQ⇒ =

Vậy MNPQ là hình thoi .
- Nếu ABCD là hình thoi thì :
AC BD
⊥

MN MQ⇒ ⊥
hay
ˆ
M
= 1v
Vậy MNPQ là hình chữ nhật .
- Nếu ABCD là hình vuông thì : MN = MQ và
ˆ
M
= 1v
4
F
E
D
C
B
A

F E
D C
B
A
F
E
D C
B
A
F
E
D
C
B
A
Q
P
N
M
D
B
C
A
Q
P
N
M
D
C
B

A
Q
P
N
M
D
C
B
A
Q
P
N
M
C
B
D
A
Vậy MNPQ là hình vuông .
4. Phương pháp :Khi hình thang cho trước thay đổi loại hình và góc dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình .
* Cho hình thang ABCD (
AB CDP
). Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB, AC, DC, BD .
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành .
b) Nếu ABCD là hình thang cân thì MNPQ là hình gì ?
c) Khi MNPQ là hình vuông . Tính các góc của hình thang ABCD.
* Giải :
a) Ta có :
,
2
AD

MQ AD MQ =P
( tính chất đường trung bình của tam giác )

,
2
AD
NP AD NP =P


,MQ NP MQ NP⇒ =P
Vậy MNPQ là hình bình hành
b) Nếu ABCD là hình thang cân thì AD = BC
MQ MN⇒ =
Vậy MNPQ là hình thoi .
c) Khi MNPQ là hình vuông thì
ˆ
M
= 1v hay
MQ MN DK CK⊥ ⇒ ⊥
nên
ˆ
C
=
ˆ
D
= 45
0
Do đó Â =
ˆ
B

= 135
0
5.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến các tứ giác thay đổi loại hình .
* Cho
ABCV
cân tại A . Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC . Q là điểm đối xứng của P
qua N .
a) Chứng minh tứ giác PMAQ là hình thang .
b) Chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật .
c)
ABCV
phải thoả mãn điều kiện gì để các tứ giác PMAQ là hình thang cân , APCQ là hình vuông .
* Giải :
a) Ta có :
PN ABP
(tính chất đường trung bình của tam giác )
hay
AM PQP
Vậy PMAQ là hình thang
b) Ta có NA = NC (gt)
NP = NQ ( tính chất đối xứng)

ABCV
cân tại A nên AP cũng là đường cao , do đó ;
AP BC
⊥
hay
ˆ
P
= 1v

Vậy APCQ là hình chữ nhật .
c) - Nếu PMAQ là hình thang cân thì Q = P mà Q = B (góc đối hình bình hành)
P = A (góc đối hình thoi )
Do đó : Â =
ˆ
B

ˆ ˆ
ˆ
A B C⇒ = =
Vậy
ABCV
đều
5
K
Q
P
N
M
C
B
D
A
Q
P
N
M
B
C
D

A
Q
P
N
M
D C
B
A
N
P
Q
C
B
A
Q
N
P
M
C
A
B
Q
N
P
M
C
B
A