Định lí điểm bất động trong không gian b metric với wt khoảng cách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM

SENGDAO SOULIYAVONG

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN b- METRIC
VỚI ut -KHOẢNG CÁCH
Ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2019


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã
được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả

Sengdao SOULIYAVONG

1


LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hồn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 4 năm 2019
Tác giả

Sengdao SOULIYAVONG


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN...............................................................................................i
LỜI CẢM ƠN...................................................................................................ii
MỤC LỤC..........................................................................................................iii
MỞ ĐẦU.............................................................................................................1

Chương 1 KHÔNG GIAN b - METRIC........................................................3
1.1. Không gian b — metric..........................................................................3
1.2 Định lí Banach trong khơng gian b- metric...............................................5
Chương 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VỚI cưt - KHOẢNG CÁCH...........................................................8
2.1. cư —khoảng cách và cưt — khoảng cách trong khơng gian b— metric
8
2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian b — metric với cưt —
khoảng cách...................................................................................................10
2.3. Các lớp m — hàm..................................................................................21
2.4. Một số định lí điểm bất động đối với m — hàm trong không gian b —
metric với cưt —khoảng cách.......................................................................23
KẾT LUẬN......................................................................................................31
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................32


MỞ ĐẦU
Định lí điểm bất động Banach (hay nguyên lí co Banach) đã được
Banach chứng minh vào năm 1922. Từ đó đã có nhiều người tổng quát hóa kết
quả này theo nhiều hướng khác nhau. Năm 1989, Bakhtin [2] đã giới thiệu khái
niệm không gian b — metric và chứng minh Định lí điểm bất động đối với ánh
xạ co trong khơng gian b — metric, là tổng qt hóa của ngun lí co Banach
trong khơng gian metric. Năm 1996, Kada [6] đã giới thiệu CƯ —khoảng cách
và
chứng minh Định lí điểm bất động Caristi. Năm 2014, Hussian [4] đã giới thiệu
khái niệm uct —khoảng cách trong không gian b — metric tổng quát, là tổng
quát của CƯ —khoảng cách và chứng minh định lí điểm bất động trong khơng
gian b— metric được sắp thứ tự bộ phận bằng cách sử dụng CƯÍ —khoảng
cách.
Năm 2015, Khojasteh [7] đã giới thiệu khái niệm hàm mơ phỏng để tổng qt
hóa ngun lí co Banach.

Mục đích của luận văn là giới thiệu về không gian b— metric, một trong
các mở rộng của không gian metric và trình bày một số kết quả về điểm bất
động trên các khơng gian b— metric với cưí — khoảng cách.
Với mục đích đó, chúng tơi chọn đề tài: “Định lí điểm bất động trong
khơng gian b— metric với cưt —khoảng cách”.
Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [8] và [9],
gồm 32 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Giới thiệu khái niệm và một vài tính chất của khơng gian b —
metric và một số định lí điểm bất động trên không gian b— metric.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả

1


nghiên cứu gần đây của S.K Mohanta về điểm bất động trong không gian b —

2


metric với Cút —khoảng cách và kết quả của C. Mongkolkehaa, Y.J.
Chob

và

P.

Kumam về điểm bất động trong không gian b — metric đối với m — hàm
với
wt —khoảng cách.

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

3


Chương 1

KHƠNG GIAN b - METRIC
1.1. Khơng gian b — metric
Định nghĩa 1.1.1. Cho E là tập không rỗng và k > 1 là số thực. Hàm
p : E X E —> [0, oo) được gọi là b — metric trên E nếu
i)

p(s, t) = 0 -<=> 8 = t

ii) p(s, t) = p(t, s) với mọi s, t E E
iii) p(s,t) < k(p(s,r) + />(r,t)) với mọi s,t,r E E
Cặp (E, p) được gọi là không gian b — metric với hệ số k .
Ví dụ 1.1.2. Cho E = {-1,0,1}, p :ExE — [0,oo) xác định bởi
p(spb) = p(t,s) với \/s,teE p(s,s) = 0, s E E và p{—1,0) = 3,
/>(—1,1) = />(0,1) = 1. Khi đó (E,p) là không gian b — metric với k = ^,
nhưng khơng là khơng gian metric vì

Ví dụ 1.1.3. Cho E — R và p : ExE —> R+ thỏa mãn
p(s, t) =1 s — 112 với s, t 6 E.
Khi đó (E,p) là khơng gian b — metric với k = 2 nhưng không là
không gian metric.
Định nghĩa 1.1.4. Cho (E^>) là không gian b — metric, s E E và {sn} là một
dãy trong E. Khi đó

(i) {sn} hội tụ đến s o lim p(sn,s) = 0 .

Kí hiệu lim s = s hoặc s —> s khi n oo.


{s } là dãy Cauchy o lim p(s ,8 ) = 0 .

(ii)

n ,m^oo

(iii)

(E,p) là đầy đủ 44- mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ.

Định nghĩa 1.1.5. Cho (E,p) là không gian b — metric và ánh xạ f : E E.
Ta nói rằng f liên tục tại sQ E E nếu với mọi dãy {Sj} trong E, Sn —> s0 khi
n co thì f(s ) —*■ f(s) khi n co. Nếu f liên tục tại mỗi điểm sQGE
thì ta nói f liên tục trên E .
Định lí 1.1.6 ([1]). Cho (E,p) là không gian b — metric, giả sử {s} và {t }
hội tụ đến s, t E E, tương ứng. Khi đó
-72 p(s, t) < liminí p(sn, tn)< lim sup p(sn, tn) < k2 p(s, t).
k
II -\
c -o
Đặc biệt, nếu s = t thì lim p^s^ = 0 . Ngồi ra, với mơi r E E, ta có
,r)n^oo
< liminí p(s , r) "< limsupn^oor)
p(s< kp(s, r) .
Bổ đề 1.1.7. Cho (E,p) là không gian b — metric với hệ số k và {s} c E sao

cho s — 8 và s —»t. Khi đó s = t.
Bổ đề 1.1.8. Cho (E,PÌ là khơng gian b — metric với hệ số k và {s }n=0 c E.
Khi đó:
p(sn^so) kp(s0,s1) + ... + kn ^(8^,8^) + kn 1p(sn_1,sn).
Chứng minh. Ta có
S 5
X5„>5o) M/XSO’S1) + ^(S1’S2)] = M5O’S1) +M P „)
< kp(sữ,S1) + k2[p(svs2) + p(s2,sj
= kpts^s^ + k2p(svs2) + Ă:2p(s2,sn)

< MS0’Sl) + --- + r 1/9(5„-2’Sn-l)+Â:" ^n-l^n)'


Bố đề 1.1.9. Cho {t} là dãy trong không gian b — metric (E,p) với hệ số k
sao cho
p(tn,tn+1) < ap(tn_vtn)
với 0 < a < ỉ và mỗi n E N. Khi đó {tn} là dãy Cauchy trong E.
1.2. Định lí Banach trong khơng gian b -metric
Định lí 1.2.1. Cho (E,p) là không gian b— metric đầy đủ với hệ số k, và
f : E —> E là ánh xạ sao cho với 0 < a < ỉ,
p(fs,ft) < ap(s,ì)
với mọi s, t E E. Khi đó f có điểm bất động duy nhất r, và với mỗi s G E,
dãy {fns} hội tụ đến r.
Chứng minh. Lấy s0 £ E bất kì và kí hiệu t = /"s0. Khi đó

Với mỗi n = 1,2.... Bổ đề 1.1.9 kéo theo {t} là dãy Cauchy, và vì (E,p) đầy
đủ, nên BrtE sao cho

khi n

oo. Khi đó

p(fr, r) < k(pựr, + p(Ạn+v r))
< k(ap(r, tn) + p(tn+1, r))

0

khi n —> oo. Do đó, pựr,r) — 0 và fr = r.
Nếu fr = r, thì ta có p(r, r ) = p(fr, fr^ < ap(r, r ) => r = r.

□

Định lí 1.2.2. Cho (E,p) là không gian b— metric đầy đủ với hệ số k. Cho
f : E E là ánh xạ sao cho với mỗi n G N tồn tại an E (0,1) sao cho
lim an = 0 và p(fns, fnt) < anp(s, ì) với mọi s, E E. Khi đó f có điểm bất
động duy nhất .


Chứng minh. Lấy Oí sao cho 0 < a < Ậ
. Vì an —> 0 khi n co, nên
k
tồn tại n0 E N : an < ữ^n >nQ. Khi đó p(fns,fnì) < ap(s,t), ^s,teE khi
n > n. Nói cách khác, với m>n0 tùy ý, g = fm thỏa mãn
p(gs,gì) < ap(s,ì), Vs,t G E.
Theo Định lí 1.2.2 3! r : gr = r. Khi đó fmr = r, kéo theo
fm+ír = fm(fr) — fr và fr là điểm bất động của g = fm. Vì điểm bất động
của g là duy nhất, nên fr = r.

□

Định lí 1.2.3. Cho (E,p) là không gian b -metric đây đủ với hãng sô k > 1, và
giả sử f : E —> E thỏa mãn p(j(s), f(tỴ) < (p[p(s,tỴ), Vs,t E E, trong đó

R+ là hàm tăng và thỏa mãn lim p>n(ì) = 0 với mỗi t > 0. Khi đó
n^(X)

3!s E E : /(s) = 5 và Hin fn(s) = s,Vs E E.

n^co

Chứng minh. Trước tiên theo giả thiết về íp suy ra
lim ợ?(í) = 0,
-II
do đó f liên tục. Bây giờ, cho s E E và £ > 0 tùy ý. Chọn n E N sao cho
t

< ^-. Đặt g = fn và = gm(s) với mỗi m E N. Khi đó
P^rn+v8™) = p(9mM,gm(s)) < pnm(p(g(s),s).
Do đó, lim p(s , s_) = 0.
m
-A.1

_ TAT

1

\

_

7-,/

\

Bây giờ chọn m G N sao cho p(s ,8^ < -g- và lấy u E B(s • £). Khi đó
p(g(u),g(s )) < p>n(p(u,s )) < ^"(s) <ệ- và
2k

T^1 • -K


P(9p,P‘p = Pp.+A') < Ị^.
Do đó ta có
p{g{u\sm) < k[p(g(u\g(sj)+p(g(smỴsm)] < £.
Vì vậy g : B(s;e)

B(sm- è). Từ đó suy ra rằng nếu i, j > m, thì
< klp^^PÍ3^] <2k£.

Do đó {sm} là dãy Cauchy, vì vậy 3 5 G E : lim Sm = 5 . Vì f liên tục
nên g liên tục, do đó
s = lini 5 = lim 5 n = lim g(3} = ơ(s).

m“oo m mZ, m+!

» v m/

7

Vì
p(g(s),g(t) <

nếu s

t , suy ra g có đúng một điểm bất động. Hơn nữa, vì
p(s,gm(s))^p(gm(s),gm(s))
<
nên gm(s) ~^s,\/s G E. Mặt khác, vì f liên tục, nên
f(s

)=

=
m^oo

Cuối cùng, với

ỵ^Ẩ^^) =

m^oo

m^oo

=8.

bất kỳ và p e {0,1,...,n — 1},
fm 1 r^) = n/'W) ■ khi m^oc,

suy ra lim fn(s) — Ã.
m^oo

□


Chương 2

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN
b- METRIC VỚI ưt KHOẢNG CÁCH
2.1.

— khoảng cách và — khoảng cách trong không gian b — metric

Định nghĩa 2.1.1. Cho (E,p) là không gian metric. Hàm d : ExE — R'
được gọi là CƯ —khoảng cách trên E nếu:
(1) d(s, t) < d(s,r) + d(r, ì) với mọi r, s, t E E;
(2) với s G E bất kì, p(s, •): E —> R+ là hàm nửa liên tục dưới (tức là, nếu
s E E và tn —> t E E, thì d(s, t) < liminf d(s, tn));
(3) với w > 0,3<$ > 0 : d(r,s) <0 và d(r, t) < ơ kéo theo p(s,ì) < £.
Ví dụ 2.1.2. Cho (E,p) là không gian metric. Hàm d : ExE — R' xác định
bởi d(s, t) = c với mọi s, t E E là CƯ —khoảng cách trên E, trong đó c là số
thực dương. Nhưng d khơng là metric vì d(s, s) = c 0 với mọi s E E.
Ví dụ 2.1.3. Cho E là tập số thực R và phiếm hàm d : IXI -» R' xác định bởi
d(s, t) = I s — t |2
với mọi s, t E R. (E, d) là không gian b — metric với hệ số k = 2. Tuy nhiên,
ta biết rằng d khơng là metric trên E vì bất đẳng thức tam giác không thỏa
mãn. Thật vậy,
d(3,5) > d(3,4) + d(4,5).
Định nghĩa 2.1.4. Hàm giá trị thực f xác định trên không gian b — metric E
gọi là k— nửa liên tục dưới tại điểm sữ E E nếu liminf/(sn ) = (X) hoặc
X

n^X0

f (s0) < lim iní kf(sn), với mọi {sn} c E và sn
x

n^xo

s

Năm 2014 , Hussian [4] đã giới thiệu khái niệm (jjt — khoảng cách như
sau:


Định nghĩa 2.1.5. Cho (E,PÌ là khơng gian b — metric với hằng số k > 1.
Một hàm số d : ExE —> R+ được gọi là cot — khoảng cách trên E nếu nó
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) d(s, r) < k(d(s,t) -\-d(t,r)) với mọi r,s,t E E;
(ii) với mỗi s E E,
(iii)

: E —> R+ là hàm k — nửa liên tục dưới.

với Vs > 0,Elổ > 0 : d(r,s)<ơ và d(r,t) <ỗ kéo theo p(s,t) <£.

Ví dụ 2.1.6. Cho (E,p) là không gian b— metric. Khi đó p là một Cút —
khoảng cách trên E .
Ví dụ 2.1.7. Cho E — R và p(s, ì) = (s — í)2. Khi đó hàm d : E xE —* R+ xác
định bởi d(s, t) = I s |2 + 1112 với mọi s, t E E là cat — khoảng cách trên E.
Bổ đề 2.1.8. ([4]). Cho (E,p) là không gian b — metric với hằng số k > 1 và
d là —khoảng cách trên E. (s) và (t ) là các dãy trong E, (a^và (/3n)

là các dãy trong [0, ơo) hội tụ đên 0 và r, s, t E E. Khi đó:
(i) nêu d(sn, t) < Oín và d(sn, r) < (3n với n E N bất kỳ, thì t = r.
Đặc biệt, nêu d(s, t) = 0 và d(s, r) = 0 thì t = r;
(ii) nêu d(sn, tn) < an và d(sn, r) < Pn với Mn E N, thì (tn) hội tụ đên r;
(iii) nêu d(sn, sm) < Oín với n, m E N bất kỳ, m> n, thì (sn) là dãy Cauchy.
(iv) nêu d(t, sn) < a với n E N bất kỳ, thì (s ) là dãy Cauchy.
Định nghĩa 2.1.9. Cho (E^Ị) là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Hai phần tử
s, E gọi là so sánh được đối với quan hệ thứ tự < nếu s < t hoặc < s.
Ta kí hiệu E< là tập con của ExE được xác định bởi
E< = {(s,í) EExE:s

Định nghĩa 2.1.10. Cho (E, <) là một tập được sắp thứ tự bộ phận và ánh xạ
f : E —> E. Ta nói rằng
(1) f là tăng ngược, nếu với mọi s, t E E, f (s) < f(t) kéo theo s < t.
(2) f là không giảm, nếu với mọi s, t E E, s 2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian b — metric với cưt —
khoảng cách
Định lí 2.2.1. Cho d là cct — khoảng cách trên không gian b — metric đầy đủ
(E, p) với hăng sơ k >1 và Sỵ, S2 • E E. Giả sử 3r E [0,1 / k) sao cho
với môi s G E và
inf d(S^,S
d(s, t) +S^Ỵ
min dịSiS^sììidịSiSẠsỴ) : 8 E E > 0
2
< r min d(s, Si(s)), d(s, S (s))
diSẠsỵS^sỴ)
2

với môi t E E với t không là điểm bất động chung của S và S2. Khi đó S1

và S2 có điểm bất động chung trong E. Ngồi ra, nếu s = S1(s) = S2(s) thì
d(s, s) = 0.
Chứng minh. Cho s E E tùy ý và định nghĩa dãy (s) bởi
n

s = S..(s
1' n-1/

) nếu n lẻ và

s = SJs ,) nếu n chẵn.
n

2V n-1'

Nếu n E N lẻ thì theo (2.1) ta có
d(s ,s ) = d(S (s -),s(s ))
n n+l'
= d(S(s y,S,SẨsJ)
' 1' n-17 ' 2 1' n-V /

dS (s^^^^^^^^^^^^^^^^Ẩs^.S-SẨs.))
'1' n—

< rmin (d(s ,-SYs
—

k k n—V 1A n—1//'

J)

\ n—V 2' n—1//

(2.2)
(2.1)


< rdís^S^^Ỵ) = rdịs^s^ .
Nếu n chẵn thì theo (2.1), ta có
d

(s„, s^d^^)^,))
= < max d(S (s ), s s (s
—

)), d(S (s

'2' n—12' 1 2^ n—12/7 \

< rmin V .
s

), s s (s ))

n—12 ' 2 1\ n—122

.V^ IMV .Sb ))

< rdís^SẨs.)) = rdịs^sY
—

' n-V 2^ n-122

\ n-V n'

Do đó
d(s ,s ,J < rd(s ..,$ )
n n+12

(2.3)

Áp dụng (2.3) liên tiếp ta được
d(s , s ) \ n n+12 —

\ 0'

(2.4)
v

12

Với m, n E N, m > n từ (2.4) suy ra
d(s

,, sm )^^^^^^^^) +

< kd(s ,s ) + k^dí^s .s ) + ... + k"1—' [d(s

------- V n'

n+12

\ n+1'

< \krn + k2rn+1 +... +

n+22

L \ 772 — 2'

+ d(s„s )]
772—12

\ 777—1 '

772 2 J

+ Ă;ro-"-1rm-1]d(s0,s1)

= krn[L ^kr^ (kr)2 +... + (kr)m-n~2 + (kr)m-n~í]d(80ìsí)
■
Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), {^} là dãy Cauchy trong E .Vì E đầy đủ, nên

{sn} hội tụ đến z E E. Cố định n E N. Khi đó vì {^} hội tụ đến z và
d(s ,.) là k — nửa liên tục dưới, nên ta có
/X

/ X k2rn , x
d(s„,z) < lim

inl'Ẩ'c/(s .s ) < d(s^.sẦ.
vn
, ' mZod v
kr 0 1

2


Giả sử z không là điểm bất động chung của S-L và S2. Khi đó theo giả
thiết ta có
0 < inf d(s,z) + min d(s,Sx(s)),ư(s, S2(s)) :SEE

k2rn .

.

inf-

k2rn „ x
_
<%>■’,) +đ(s„.\+1) : ■« e N -

..
inf-

.

1 — ÁT

d(s, s ) + r d(s, s ): n E N = 0

Điều này mâu thuẫn. Do đó, z = SẶz) = SẶz). Nếu s = SẶs) = S2(s)
với s EE thì
d(s,s) =

p(S1(s),S S (s)),p(S2(s),S S (s))
2

x

x

2

< rmin d(s, S (s)), d(s, S (s))
= /'111111 d(s, s), d(s, s) =rd(s,'s)
Từ đó suy ra d(s, s) — 0.
Hệ quả 2.2.2. Cho (E, p) là không gian b — metric đầy đủ với hăng số k > 1, d
là cot — khoảng cách trên E và S : E E. Giả sử tôn tại r E [0,1 / E) sao cho
d(S(s),S2(s)) < rd(s,S(s))
với mỗi s E E và
inf d(s, t) + d(s,S(s)) : s E E >0
với mỗi

E với t

S(t). Khi đó 3s EẼ: S(s) = 5 .

Chứng minh. Kết quả được suy ra từ Định lí 2.2.1 bằng cách lấy

S h. = s.

□


Định lí 2.2.3. Cho (E,p) là khơng gian b — metrỉc đầy đủ với hằng số k> 1,
d là wt — khoảng cách trên E và S : E E là ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tại
r E [0,1 / k) sao cho
2

d(S(s),S (s)) với mỗi s G E. Khỉ đó 3s0 G E : 5(s0) = SQ.
Chứng minh. Giả sử Bt E E : t S(t) và
inf d(s, t) -|- dẸs.

: s E E = 0.

Khi đó 3{sJ c E :
Im d(sn, E + ddy.S(yP -().
Suy ra d(sn,t) —> 0 và d(sn,S(sn)) —> 0. Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra
S(sn) —> t. Ta có
d(s

n, S2(sn)) < k[d(sn^(sn)) + d^(sn),s2(sn))]

Do đó, (S2(sn)) hội tụ đến t. Nhưng S : E E liên tục, nên
S(t) = S(lỊmS(s )) = lim S2(s ) = t
Điều này mâu thuẫn với t

S(t). Do đó, nếu t S{t), thì

inf d(s, t) -|- dlyy S(y>y^ : s E E ?> 0.
Theo Hệ quả 2.2.2, 3s0 E E : S(sữ) = s0.

□

Định lí 2.2.4. Cho (E^>) là không gian b — metrỉc đầy đủ với hằng số k> 1,
và ánh xạ S : E - E sao cho
p(S(s),S(t)) < t) +

^)) +

S(t))

.... . . 1
với mơi s, E E, trong đó c1, c2, c3> 0 với c3 + c2 + c3 < -|

(2.5)


Khi đó 3!s0 EẼ-. S(s0) = s0.

Chứng minh. Ta xét b — metric p là ml — khoảng cách trên E. Từ (2.5), ta có
p(S(s), S2(S)) < c^s, S(s)) + c.2p(s, S(s)) + c3p(S(s-), SpỴ).
Suy ra
p(S(S),S\s))<^^p(s,S(S))
!-C3

(2.6)

c~\~c
1
Đặt r = 1 khi đó r E [0,-^) vì k(cỵ +c2) + c3 < k\p +c.2 + c3) < 1.
Do đó, (2.6) trở thành
/?(S(Ổ),S2(S)) < rp(s,S(sỴ) với mỗi s G E.
Giả sử t E E :t S(ì) và
inf p(s, ì) + p(s, S(sỴ) :sE E — 0.

Khi đó {sn} c E:
JMXV) +p^s(sn))} = °.
Từ đó p(snJ) ■ I) và p(sn, S(snỴ)^> 0. Theo Bổ đề 2.1.8, S (sn) -► t.
Ta có
P^S(t^ < Â;[Xí,5(sn)) + XẨ'(sn),Ẩ'W)]
< k[p(t, S(sJ) + clP(sn, t) + c2/?(s„, S(s„)) + c3p(t,S(ì))]
với mỗi n E N và từ đó
p(ES(t)) < Pc3p(pS(ì)}.
Do đó, p(t,s(í) = 0, tức là t = S(t) là mâu thuẫn. Như vậy, nếu
t S(t) thì
inf p{s,h) + p(s,S(sỴ) : 5 E E >0.
Áp dụng Hệ quả 2.2.2, ta có điều phải chứng minh

□


Định lí 2.2.5. Giả sử (E,p) là khơng gian b — metric đầy đủ với hằng số
k > 1 và ánh xạ S : E E thỏa mãn
p(S(s),S(ì)) < cỴp^S(t)) + c^)
với mọi s, t E E trong đó cx, c2 > 0 với cỵk <

(2.7)
hoặc c2k <

• Khi

đó S có một điểm bất động trong E. Hơn nữa, nếu c x + c2 < 1, thì S có điểm
bất động duy nhất trong E.
Chứng minh. Ta xét b — metric p là — khoảng cách trên E. Từ (2.7),
ta có
/9(S(S),S2(S)) < c1p(s,S2(s)) + C2P(S(SỴS(SXỴ)
<C>(5,S(5)) + X^),52(5))] .
Suy ra

1 — cỵk

(2-8)-

Đặt r = -h-_. Khi đó r e [0,|). Do đó, (2.8) trở thành
pgg.sg)) < rfgs(g)
với mọi s 6 E. Giả sử 3t E E với t S(t) và
inf p(s,t) + p(s,S(s)):se E = 0.
Khi đó 3{sJ c E :
JMXV) + p^s(sn))} = °.
Từ đó p(sn,ì) —> 0 và d(sn,S(sn))
Ta cũng có

0. Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra S(sn) —> t.


< k[p(t,S(sn)) + cỵp{sn,S^ + c2p(t,S(sn))]

< k[p(t,S(sn)) + cỴkp(sn,t) + cỷp(t,S(tỴ) + c2p(í,S(sn))]

= cft2p(t,S(tỴ) + k[p(t,S(sn)) + c1kp(sn,ì) +c2p(t,S(sn))]
với n E N. Cho n oo ta được
p(t,s(t)) Suy ra p(t,S(ì)) = 0, tức là t = S(t). Điều này là mâu thuẫn. Do đó,
nếu t S(t) thì
inf p(s,t) + p(s,S(s)) : s E E >0.
Áp dụng Hệ quả 2.2.2, ta nhận được điểm bất động của S trong E.
Bây giờ giả sử c + c <1 và Bu,veX: S(u) = u và S(v) = V. Khi đó
p(w, v) = p(S(u),S(v)) < c^u, v) + c2p(v,u) = (Ạ + C2)/X>, ù).
Điều này kéo theo p(u, ù) — 0, suy ra u = V. Do đó S có điểm bất động duy
nhất trong E.

□

Định lí 2.2.6. Cho (E,p) ỉà khơng gian b — metric đầy đủ với hằng so k > 1
và S : E

E. Giả sử tồn tại r E [0,1 / k) sao cho

p(S(s),S(t)) < rTxiax{p(s,t),p(s,S(s)),p(t,S(t)),p(t,S(s))}

(2.9)

với mọi s,t E E. Khi đó Bỉs EE: 8(SQ) = s0.
Chứng minh. Ta xét b — metric p là uct —khoảng cách trên E. Từ (2.9), ta có
^ (s)) <

P{S S

s))

ị

= rmax{p(s,S(s)),p(S(s),S2(s))}.
Nếu S(s) = S2(s) thì rõ ràng T có điểm bất động. Giả sử S(s) ^ s2(s). Vì
nên từ (2.10) ta nhận được


p(S(s),S2(s)) với mọi 8 e E. Giả sử Bt E E : t S(t) và
inf p(s, t) + p(s, S(sỴ) :s6 E = 0.
Khi đó 3{sn}c£:
ìỉmp(Snìt) + p(SnìS(Sn))} = °.
=> p(8n,í) —> 0 và p(sn,S(8n)) —> 0. Theo Bổ đề 2.1.8, S(sn) —> t. Ta cũng có
< k[p(t,S(sn)) E p(S(sn),S(t))]
< kp(t,S(8n)) + krmax p(snS), p(sn,S(sJ), p(t,S(t)), p[t,S(8n))

với Vn G N. Cho n —> co ta được
p(l,S(t)) < krp(t,S(t)).
Do đó p(t,S(t)) = 0 tức là t = S(ì). Điều này là mâu thuẫn. Do đó nếu
t ^S{t) thì
inf p(s,t) + p(s,S(s)) : 8 G E >0.
Theo Hệ quả 2.2.2, tồn tại điểm bất động duy nhất của S trong E.

□

Định lí 2.2.7. Cho p là cct — khoảng cách trên không gian b — metric đầy đủ
(E,p) với hằng số k > 1. Cho Sí, S2

: E E là tồn ánh. Giả sử tồn tại

r > k sao cho
p(s2s^ỵs^)ỵ
minvới mọi 8 E E và

- > r max p(S1 (8),8), p(S2 (8),8)

inf p(8,t) + min ^(ố^8),8),/?^^8),8) :sEẼ >0

(2.11)
(2.12)

đối với mỗi t E E với t không là điểm bất động chung của S và S,2. Khi đó
S và S2 có điểm bất động chung trong E.


Chứng minh. Lấy u G E tùy ý, vì S là toàn ánh nên tồn tại u G E sao cho
u E s~\u ). Vì S2 cũng là tồn ánh, nên 3^2 E E: u2 e S2-1(u).
Tiếp tục lập luận như trên, ta tìm được u^ , E s, ' (unì và u„„, e + 1 (+, ,,)
2n+l
2n+2
với n — 1,2,.... Do đó u_ = SAIL J và u„,, = SẨu. ,.) với n = 0,1,2....
2n
l 2n+l'
2n+l
2 2n+2'
77

v

V

77

Nếu n = 2m thì do (2.11) ta có
p

= P(S2^m ), S (u2^))
1

= pís^u^.s^,,^)

> miiì{p(SS (u
ZJ

X ZJ

> r max{/)(S

1

—

L2 \ 1 \ 2

), s (u

/ lu I X

X ZJ

)), p(S sẨu

/ /

uIX

X ZJ

(u^), p(SJ/LL

m+l

/7

2m+l

/72 v

ZJ / /

),«

V

7

2 2772+1' 2m+l

uIX

ZJ ZJ / /

uIX

))}

)}

/J

^E,niimp

> ^Em^^)

), s (u

rptv1.^ )■

Nếu n = 2m +1 thì theo (2.11) ta có
p(u«m‘.) = PE, „>’<>,„+1) = p^^A^h)

> min{XS S (u^^^^^^^^^^^^^^^^^^s (u,
—

L! \ 2 1+ 2

m+2

/7 v

l 2m+2//71 v 1 2V 2m+2/7 2V 2m+2//J

> r max{/)(S

(uọ _),
L2 \ 1_\ 2m+2

_), +£„ (w.

1

—

),s (u ))}

/7

2m+2

/72 v

V

2 2m+2

/7

>

w )}
2m+2/J

= rp^.u^).

Như vậy, với mỗi n nguyên dương bất kỳ ta được
p
Từ đó suy ra
p(un,

< ... < (CPÍU^IP)
u

n

p(un, n+1ì
(2

.13)


Đặt À = -, thì 0 < A < I

vì r > k. Khi đó (2.13) trở thành


Do đó, nếu m > n thì

p(u

n, um ) < *[pk^j + p(“.+1>’'j
,M +2) + ... + ^'—'[piu^u^) +

<

+1

< [kX‘ + /.-À + ... + fc”-“-‘A"-2 + k"-’-‘X"-l]p(ua,Ul)

+ ... + k"-’-'X"-2 +k"‘-'X"-']p(u0,u1)

< [kX" -FA

= kX' [1 + kx + A +... + ■

+ {kxy-'-' }p(u0, g

. kX" „í.„ U U
< „ ,. yP\
^ J.
1-kX 0 17
Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), {u}là dãy Cauchy trong E. Vì E đầy đủ, nên {u}hội
tụ đến điểm w E E. Cố định n E N. Vì p(u,.) là s — nửa liên tục dưới, nên
k2Xn
p(u , w) < liminí
kp(u.u) < ——— p(un0,u)17
n
,

mXXo n' "1 —/,'A
’
(2.14)
Giả sử w không là điểm bất động chung của S1 và S2. Khi đó theo giả thiết ta có
0 < inf{p(s,w) + mm{XS/ẠẠp(S2(s),s)} : s G E}
< inf{p(un,w) + imn{p(S1(un),unỵp(S2(un),un)} : n 6 N}
p(unìuì) +
r

7

k o 1/ X n—V Tỉ/
Mâu thuẫn này dẫn đến
k2Xnw = S1(w) = S2(w).

:nGN-

r

□

1-kX
Lấy S1 = S2 = s, ta có:
Hệ quả 2.2.8. Cho pk2là
Xncoi —khoang cách trênn 1không gian b — metric đầy đủ
p(u0, u2) + cx p(u0,: n G N = 0.
< inf1-kX
(Evới hằng số k > 1 và S : E —> E là toàn ánh. Giả sử Br > k: