Định lí điểm bất động trong không gian g metric đầy đủ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM

LÊ THỊ TRANG

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHƠNG GIAN G- METRIC ĐẦY ĐỦ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM

LÊ THỊ TRANG

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHƠNG GIAN G- METRIC ĐẦY ĐỦ
Ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến
Bằng

THÁI NGUYÊN 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã
được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Tác giả

Lê Thị Trang

3


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong

thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Tác giả

Lê Thị Trang


MỤC LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Như đã biết, nguyên lí điểm bất động đã được Banach phát biểu và
chứng minh từ năm 1922 là một trong những định lý quan trọng nhất của giải
tích hàm cổ điển. Nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động đóng một vai trị rất
quan trọng bởi vì nó tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực quan trọng như
phương trình vi phân, vận trù học, toán kinh tế.... Trong các nghiên cứu về sau,
các tổng quát khác nhau về không gian metric đã được đưa ra bởi một số nhà
toán học như Gahler [3] (không gian 2 - metric) và Dhage [2] (không gian D metric). Năm 2004, Mustafa và Sims [6] đã chỉ ra rằng hầu hết các kết quả liên
quan đến các tính chất tơpơ của D — metric là khơng chính xác. Để sửa chữa
những hạn chế này, họ đã đưa ra một khái niệm mới, thích hợp hơn, được gọi là
G — metric. Đồng thời, Mustafa và các cộng sự ([7-8]) đã nghiên cứu một số
định lí điểm bất động đối với các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co khác nhau
trên không gian G — metric. Việc tổng quát hóa một số kết quả của Mustafa, đã
được thực hiện bởi S.K. Mohanta [4]. Trong đó tác giả đã chứng minh một số
định lí điểm bất động trong không gian G — metric đầy đủ.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Định lý điểm bất
động trong không gian G— metric đầy đủ”.
Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà
tốn học trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu và trình bày một số kết quả về điểm bất động trên các không
gian G — metric đầy đủ.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm.

6


4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [4] và [9],
gồm 40trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống một vài tính chấtcủaG —
metric,tơpơ của khơng gian G — metric, sự hội tụ trong không gian G — metric
và ánh xạ liên tục trong không gian G — metric.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại chi tiết các kết
quả nghiên cứu của S.K. Mohantavề điểm bất động trong không gian G —
metric đầy đủ.

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

7


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC
Trong chương này chúng tơi trình bày khái niệm về G — metric trên một
tập E và một số tính chất cơ bản của nó.
1.1.

Khơng gian G — Metric

Năm 2004, Mustafa và Sims [6] đưa ra một khái niệm mới là khơng gian
G — metric, đồng thời chomột số ví dụ về khơng gian G — metric và một số
tính chất của nó. Tác giả đã chỉ ra rằng các không gian G — metric được trang
bị tôpô Hausdorff, cho phép chúng ta xem xét một số khái niệm tôpô như dãy
hội tụ, dãy Cauchy, ánh xạ liên tục, tính đầy đủ...
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian G — metric là cặp (E,G), trong đó E là
một tập khác rỗng và G : E3 :• 1R' là một hàm sao cho với mọi r, s, t, a E E,
các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(G)

G(r, s, t) = 0 nếu r = 8 = t;

(G2)

G(r, r, s) >

G)

G(r, r, s)
0 với r s;

(G4)

G(r, s, t) =G(r,t,s) = G(s, t,r) =

... (đối xứng với cả 3biến);

(G5)

G(r, s, t) Hàm G như trên được gọi là một G — metric trên E.
Các tính chất trên có thể được giải thích dễ dàng theo nghĩa của không

gian metric. Cho (E, d) là một không gian metric và G :

E3

R+ là hàm số

được xác định bởi

G(r, s, t) = d(r, s) + d(r. t) + d(s, ì) với mọi r, s, t 6 E.


Khi đó (E, G) là một khơng gian G — metric. Trong trường hợp này, G(r, s, t)
có thể được hiểu là chu vi của tam giác với các đỉnh r, s và t. Ví dụ, (G )
cónghĩa là với một điểm ta khơng thể có chu vi dương, và (G) tương đương với
khoảng cách giữa hai điểm khác nhau khơng thể bằng 0. Hơn nữa, vì chu vi của
một tam giác không phụ thuộc vào thứ tự các đỉnh của nó, nên ta có (G) .Cuối
cùng, (G) là mở rộng của bất đẳng thức tam giác sử dụng một đỉnh thứ tư.
Ví dụ 1.1.2. Mỗi tập E khác rỗng có thể được trang bị mộtG — metric rời rạc,
được xác định với mọi r, s, t G E, bởi
G(r, s,
t)

neu r = s = t

0,

1, trong các trường hờp khác

Ví dụ 1.1.3. Nếu G là G — metric trên E thì G' : E' —> [0,oo) xác định bởi
G'(r,s,t) = 1

với mọi r,s,teE

cũng là một G — metric trên E.
1.2.

Một số tính chất cơ bản

Một trong những tính chất hữu ích nhất của G — metric là bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.1.Nếu (E ,G) là không gian G — metric thì
G(r, s, s) <2G(s,r,r) với mọi r, s 6 E.
Hệ quả 1.2.2 .Cho {r} và {^} là hai dãy trong khơng gian G— metric
(E,G). Khi đó
limG(r, r ,sn) = 0

limG(rn, sn, sn) = 0.

Bổ đề 1.2.3.Cho (E,G) là không gian G— metric. Khi đó, với bất kì

r, s, t, a G E, ta có các tính chất sau đây
1) G(r, s, t )2) G(r, s, t) < G(r, a, ò) + G(s, a, a) + G(t, a, a).

3) G(r,s,t^ — G^r^a) < max{G(ư,t,t),G(t,a,a)}.
4) Nếu n>2 và r, r,..., r E E thì
z

—

17 27

' n


G(r

i’ ■ , rn) <

,r+1) và

(1.1)

G(r ,r .r ) ^(,1, 'v 'n) — ^Í=1 V’ í’ '»+1/ .
5) Nếu G(r, s, t) = 0 thì r = s = t.
6) G(r, s, t) < G(r,a,t) + G(a, s, ì).
...
.2. ...
.
...
.
...

7) G(r, s, t) < G(r, s, a) + G(r, a, t) + G(a, s, t)].
.............“3.........................................................
8) Nếu r e E \ {t,a} thì G(r, s, t) - G(s, t, a) < G(a, r, t).
9) G(r, s, s) <2G(r, 3, t).
Chứng minh. 1) Áp dụng (G) và (G) với a = r, ta có
G(r,s,t) = G(s,r,t) = G(r, r, s) + G(r, r,t).

□

2) Bằng cách áp dụng (G) hai lần và sử dụng (G), ta có
G(r, s, t) < G(r, a, a) + G(a, s, t) == G(r, a, a) + G(s, a, t)
G(ĩ\ ữi^ ch) -1- G(s^ ữ, ữ) -1- (j(ữ, ữyi). □
3) Theo (G) và (G), ta có
G(r, s, ta, a) + G(a, 5, i),
G(a,s,r)

G(a,t,t} d-Gít.,s^v).

Vì thế,
G(r, s, t) — G(a,s,r) < G(t, a, a) và
G(a, s, r) — G(r,s,t) < G(a, t, ì).
Do đó,
G(r, s, t) — G(r,s,a)< max{ G(a, t, t), G(t, a, a)}. □


4) Nếu n = 2, điều đó là hiển nhiên, và nếu n = 3 thì (1.1) là tính chất (G)
khi cho r = rỴ, a = r2 và s = t = r . Bằng cách quy nạp, nếu (1.1) xảy ra
vớin > 3 thì nó cũng xảy ra với n +1 bởi vì, cũng theo (G) và giả thiết quy
nạp,

ta có
G(r,

J

v 7

l n+17 n+17 — v l7 n7 n7

v

n7 n+17 n+17

— Z-/j=l vp H-l’ 'i+1' °Vn’ n+1’ n+1'

= G(r,r ,r). □
Z-_Ji=l ' V i+1’ i+1'
5) Giả sử G(r, s, t) = 0. Ta chỉ ra nếu s t thì r = s. Thật vậy, từ (G), ta có
0 < G(r, r, s) < G(r, s,ì) = 0 => G(r, r, s) = 0.
Theo (G2) nếu r

s thì G(r, r, s)> 0, do đó G(r, r, s) = 0 kéo theo r = s.

Vì G là đối xứng theo các biến của nó nên ta cũng chứng minh được rằng nếu
t s thì r = t. Do đó, s = r = t, điều này mâu thuẫn với giả thiết s t.
Khi đó r = s = t.

□

6) Nếu a = s hoặc a = r thì kết quả là hiển nhiên. Giả sử rằng a r và
a

s. Nếu a = t thì theo (G), ta có
G(r, s, t) = G(r,s,a) < G(r, a, à) + G(a, 8, a)
< G(r, a, ì) + G(a, 8, ì).

Tiếp theo, giả sử a t. Khi đó, theo (G) và (G), ta có
G(r, s, t) < G(r,a,a) + G(a,s,t) < G(r, a, t) + G(a, s,tỴ^
7) Theo (6) và (G), ta có
G(r, s, t) < G^r, ŨI, ì) H- G(ữ, 5, ,
G(r, s, t) = G(s, t, r) < G(s, a, r) + G(a, t, r),
G(r, s, t) = G(t, r., s') G(t., ũ, s) -|- G(ữ, r, 5).
Cộng các bất đẳng thức trên và áp dụng (G), ta được
3G(r, s, t) < 2[G(r, s, a) + G(r, a, ì) + G(a, s, ì)].


Suy ra
G(r, s, t) < — [ G(s, ty cìj -|- Gịr^ ữy í) “I- G(ữy Sy í)]. □
3....................................................


8)Theo (3),

G(r, s, t) — G(r, s,
a)

max{G(oự,t),G(t,a,a)}. Khi đó, theo

(G3), ta có

r^a => G(t,a,a) < G(t,a,r):ì
r => G{a, t, t) < G(a, t, r).
Khi đó, theo (G), ta kết luận rằng:
max{ G(a, t, t), G(t, a, a)} < G(r, a,t).

□

9)Xét hai trường hợp. Nếu s = t thì
G(r, s, s) = G(r,s,t) < 2G(r, s, t).
Nếu s

t thì sử dụng Bổ đề 1.2.1 và tiên đề (G3), ta có
G(r, s, s) <2G(r,r,s) <2G(r, s,ì).

1.3.

□

Tơpơ của khơng gian G — Metric

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu tôpô Hausdorff của một khơng gian
G — metric.Đối với tập hợp E bất kì, ta thấy rằng từ metric tùy ý trên E, ta có
thể xây dựng nên mộtG — metric.Ngược lại, đối với bất kỳ G — metric G trên
E, hàm số
dG (r, s) = G[r,s,s) + G( r, r, s),
xác định một metric trên E, metric d được gọi là liên kết vớiG, thỏa mãn
G(r,s,t) Tương tự,
1
2 G(r,s,t)

Định nghĩa 1.3.1.Hình cầu mở tâm a E E, bán kính A > 0 trong khơng gian

G — metric (E,G) là tập hợp BG (a^ = {$ E E : G(a,s, s) < A}.
Hình cầu đóng tâm a E E, bán kính A > 0 là tập hợp

BG(a^ = {s E E •. G(a,s,s) < A}.


Ví dụ 1.3.2. Cho E là một tập khác rỗng và Gd là G — metric rời rạc trên E.
Với a G E tùy ý và mọi A > 0, ta có các tính chất sau:
a) nếu A < 1 thì B (a ,A) = B (u0,A) = {a0};
dis

dis

b) nếu A = 1 thì BG (a ,x) = {u0} và BG (a ,x) = B;
dis

dis

c) nếu A > 1 thì B(a0,A) = B(u0,A) = E.
Định lí1.3.3.Tồn tại một tơpơ duy nhât rG trên không gian G — metric (E, G)
sao cho, với mọi a E E, họ Ba tât cả các hình câu mở tâm tại a họ các lân
cận tại a. Hơn nữa, TG là metric hóa được và có tính chât tách Hausdorff.
Mệnh đê 1.3.4.Cho (E,G) là một không gian G — metric, với bât kỳ a E E và
X > 0, ta có
(1) nếu G(a, r, s) < A thì r, s E BG(a, A),
(2) nếu s E B (a, A) thì tồn tại ơ > 0 sao cho BG (s,ớ)CB(ữ,À)
Từ (2) của Bổ đề 1.3.4 suy ra họtất cả các G — hình cầu
B = {BG(a,A):aeB,A>0}

là cơ sở của một tôpô T(G) trên E, tôpô G — metric.
Mệnh đê 1.3.5.Cho (E,G) là một không gian G — metric, với mọi a E Evà
X > 0, ta có

BG a,ịx CBđ (a,X)CBG(a,X).
G^

3

Do đó, tơpơ G — metric r(G) trùng với metric tơpơ sinh bởi d. Vì vậy, mọi
khơng gian G — metric đều tương đương tôpô với không gian metric. Điều này
cho phép chúng ta chuyển nhiềucác khái niệm và kết quả từ không gian metric
vào không gianG — metric. Chẳng hạn, các khái niệm sau trên một khơng gian
tơpơ, có thể chuyển chúng cho trường hợp của tôpô rG như sau:


*Một tập hợp con U Q Elà một G — lân cận cua một điểm a E Enếu tồn tại
A > 0 sao choBG(a,x) Q u.
* Một tập hợp con UQE là G — mởnếu nó là tập rỗng hoặc nó là G — lân
cận
của tất cả các điểm của nó.
* Một tập hợp con U c E là G — đóng nếu phần bù của nó E \U là G — mở.
1.4.

Sự hội tụ trong không gian G — metric

Định nghĩa 1.4.1.Cho (E,G) là không gian G — metric,r E Evà {s} c E.
Dãy{s} gọi làG— hội tụ đếns, và viết {^}—-—>s hoặc s —> 8, nếu
lim G(s ,s ,s) = 0, tức là với

> 0,3n G Nsao cho G(s ,s ,s) < £, với

n ,m^ữQ

~

mọi n, m E N : n, m > n (khi đó, s gọi là G — giới hạn của {s} ).
Định nghĩa 1.4.2. Cho (E,G) là không gian G — metric, dãy {s} c E được
gọi là G — Cauchy nếu với mỗi £ > 0, tồn tại N E N sao cho G(sn, sm, sl) < £
với mọi n, m, l > N.
Mệnh đề 1.4.3.Giới hạn cua dãy G — hội tụ trong không gian G — metric là
duy nhất.
Mệnh đề 1.4.4.MỖĨ dãy hội tụ trong không gian G — metric là một dãy
Cauchy.
Chứng minh.Cho (E,G) là không gian G — metric và {s} c E là dãy hội tụ
đến s E E. Khi đó với £ > Otùy ý,theo định nghĩa, tồn tại n E N sao cho
ữ

/
\
£
G(sn, sm, s) <

r•

•

với mọi n, m>n0.

Theo (G), (G5) và Bổ đề 1.2.1, với mọi n, m, k >n, ta có,

G (s

n, sm, sk

)
< 2G(sn, sn, s) + 2G(sm, sk, s) < 21 +1 = £.

Do đó, {sn } là một dãy Cauchy trong (E, G).


Mệnh đề 1.4.5.Cho (E,G) là không gian G — metric và {8} c E là một dãy
hội tụ, 8 E E. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương.
(a)

{8 } là G — hội tụ đến 8.

(b)

limổ($n,8n,8) = 0, tức là Ve >0, Bn0 E N:8n eBG[s,e) với \/n>nữ.

(c)

limơ 8

( n,8,8) = 0.
n

n^m
(d)

G

^n, 8m, 8) = °.
n,m^^. m>n

(e) Ị^GE’8n,8) = °vàli™GE,8^ = °(f) Ịmơ(s, , ) = Ovà lim G(s
8 8

n

n>^

(i

)

và

= ữvà

1^..

G S

( n, 8m, 8 ) =

'

= O ỊimG(s„,«,„>*) = 0-

8

^GE.,

n

n>^

(g) ỊÌ“G|X.’
(h)

,8) = 0.

,8
n

Ịjm.,, E> , ., ■
G

8

0.

<

°.

Chứng minh. (a) => (ờ) Hiển nhiên với m = n.
(b) (c). Suy ra từ Bổ đề 1.2.1 vì
G(8,8,8) < 2G(sn,sn, s) với mọi n E N

(c) => (a). Theo (G) và (G), với mọi n, m E N, ta có
G(8
=

n, 8m , 8) < G(8n,s,8) + G(8,8m,8)

Glyi^.,81s) H- G^8^818^ —> 0 khi n,^u

Từ đó suy ra G(8n,8m,8) —> 0 khi n,m
(a) ^ ^ => (&), (a)

(ỳ) => (6) và (a)

oo.
co.
=> (c) là tầm thường.

(a) (h). Theo Mệnh đề 1.4.4, {8n} là dãy Cauchy. Do đó, trong định nghĩa
dãy Cauchy lấy m = k = n + 1, ta được lim (a)

dễ dàng suy ra


lim

G(s_, 5 , s) = ũ.
n,m~z,m>n

nm7

(h) ^ (g). Hiển nhiên với m = n +1.
(

g) => (&). Theo (G) và (G), với mọi n E N, ta có
G (s

n, sn, s)

G(sn,sn+Vsn+Ỵ) + G(sn+Vsn,s}
= ơ(sn’sn+l’sn+l) + ơ(5„’5n+p5)

°°’ khi n,m^OQ.

Hơn nữa, (a) =>• (i) cũng hiển nhiên.
(i) =ỳ> (b). Suy ra từ Bổ đề 1.2.3 (9),vì
G(sn, sn, s)<2G(sn,s,sn+1) = 2G(sn, Sn+V s) với mọi n G N.

□

Bổ đề 1.4.6.Nếu (E,G) là không gian G — metric và {s} c E là một dãy thì
các điêu kiện sau đây là tương đương

(a) {s} là dãy G — Cauchy.
b

,,!™J3^n-, , m ) = 0s s

(c) !im G(s. s ,5 ) = 0.
v

n,^^^
v7

n n m/

Định nghĩa 1.4.7. Một không gian G — metric (E, G) được gọi là G — đầy đủ
(hay không gian G — metric đầy đủ) nếu mỗi dãy G — Cauchy trong (E ,G) đều
G — hội tụ trong (E, G).
Định nghĩa 1.4.8. Cho (E, G) và (^^?z) là các không gian G — metric và ánh
xạ f : E

E’ .Khi đó f được gọi là G — liên tục tại một điểm a E E nếu với

£ > 0 tùy ý, tồn tại ô > 0 sao cho s, E E; G(a, s, t) < ơ kéo theo
G'(f(ị),f(s), f(t)) < £. Hàm f là G — liên tục trên E khi và chỉ khi nó là
G — liên tục tại mọi a E E.


Định nghĩa 1.4.9. Cho (E,G) là không gian G — metric. Ánh xạ R : E — E
được gọi là G — liên tục tại a E E nếu {R(^)}—-—>R(s) với mọi dãy
{s } c E sao cho {s}—-—> s.
Mệnh đề 1.4.10. Cho (E,G) và (E' ,G'} là các không gian G — metric. Khi đó
hàm f : E

E' là G — liên tục tại một điểm a E E khi và chỉ khi nó là G —

liên tục theo dãy tại a; nghĩa là, khi {s} là G — hội tụ đên s thì {f (s )} là
G — hội tụ đên f (s).

CHƯƠNG 2

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN
G - METRIC ĐẦY ĐỦ

2.1.

Ngun lí ánh xạ co Banach trong khơng gian G — metric

Định lý 2.1.1
R:E

([1]) .Cho (E,G) là không gian G— metric đây đủ và

Elà một ảnh xạ sao cho tôn tại k G [0,1) thỏa mãn
G(Rs, Rt, Ru)
Khi đó R có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Giả sử sQ e E là một điểm tùy ý và {s} là dãy sao cho
s , = Rs~ với mọi n > 0. Khi đó nếu tồn tại một số n sao cho s ,

= \ thì

Theo Hệ quả 4.1.1 trong [1], {sn} là dãy Cauchy trong (E,G). Vì (E,G) là đầy
đủ, nên dãy {s} hội tụ, do đó tồn tại u e E sao cho {s} —> u. Ta sẽ chỉ ra u là
một điểm bất động của R. Bằng cách sử dụng (2.1), với mọi n > 0 ta có,
G(sn+VRu, Ru) = G(Rsn, Ru, Ru) < kG(sn,u,ù).
Cho n —» oo và do metric G liên tục,nên ta có
G(u, Ru, Ru) < kG(u, u,u) = 0.
Do đó,theo Bổ đề 1.2.3, u = Ru. Ta sẽ chứng minh u là điểm bất động duy

nhất của R. Giả sử ngược lại, tồn tại một điểm bất động khác ve E. Nếu
v s thì G(v, v, u)> 0. Từ (2.1) và k < 1 ta có


G(v, v, u) = G(Rv,Rv,Ru) điều này là mâu thuẫn. Do đó u là điểm bất động duy nhất của R.

□

Định lý 2.1.2 .Cho (E, G) là không gian G — metric đầy đủ và R : E — E là
một ánh xạ sao cho tồn tại k E [0,1) thỏa mãn
G(Rs, Rt, Rt) Khi đó R có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh Định lý 2.1.2 tương tự như cách chứng minh Định lý 2.1.1.
2.2.

Định lý điểm bất động trong không gian G — metric đầy đủ

Trong phần này chúng tơi trình bày một số định lí điểm bất động đối với
các tự ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co khác nhau trong không gian G —
metric đầy đủ.
Z.Mustafa, H. Obiedat và F. Awawdeh [9] đã chứng minh kết quả sau:
Định lí 2.2.1. Cho (E,G) là một không gian G— metric đầy đủ, và

R : E —> E là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau
G(Rs, Rt, Ru) < kGs, t, u) + k2G{s Rs, Rs)
+k3G(t, Rt, Rt) +kpịu Ru Ru)
với mọi s, t, u E E, trong đó với 0 < k + k2 + k3 + k < 1.
Khi đó R có duy nhất điểm bất động (gọi là z, tức là Rz = z) trong E và R
là G — liên tục tại z.

Mở rộng kết quả này, ta có kết quả sau
Định lý 2.2.2. ([4])Cho (X, G) là không gian G — metric đầy đủ và R : E — E
là ánh xạ thỏa mãn
G(Rs,Rt,Ru)<^s,t,u) + k2G(5,Rs,Rs)
+k3G(t, Rt Rt) + kG{u, Ru Ru)
G(s,Rt,Rt),G(t,Rs,Rs),
+ E max G(t,Ru,Ru),G(u,Rt,Rt),G(u,Rs,Rs),G(s,Ru,Ru)

(2.2)


+Ăị,G(
^n+P ^n+l ) "l"

^n+1’ ^n+1)

ơ(s , Ổ J_1, Ổ J_1), ơ(s
\ n—l7 n+17 n+12 >

\ n1 n1 n' '

G(s^ , ổ , £ ) , ơ(s , £ , £ ) ,
V n7 n+17 n+1'7 V n7 n+17 n+1'7

G(s , , 5 ), G(s., s _U1, s )
\ n7 n7 n/7

\ n—l7 n+17 n+17

Do đó, ta có

1 V n—1' n~ ri' 2 V n—1' n~ n/

(2.3)

+k3G(sn,sn+1,sn+1) + Ẳ:4ơ(sn,5n+1,sn+1)
+^5

max

{ơ(Vp

S

„+P S„+1) ’ G^sn+V

5

„+i)}

Theo (G), ta có
G s

l . .-\ ,

' < G(sn_1,sn,sn) + G(sn,sn+1,sn+1).

Do đó, (2.3) trở thành
fc G S

l ( „-PS,PS„) ++fe3G'(s„,s„+1,s„+1)

G(s

n, sn+1’s„J

+k fi(s„ ’ V) >" ) + kÁG(S„-ì s„ ’ s„ ) + G(SP s„+1, s„+l)},
suy ra
Z-Y/ . .
G

(sn, sn+csn+ò

.

\ / K + K + K s-u .
2k

..\

(2.4)


Đặt A =

&1?\ , khi đó A < 1 vì &+&+&+&+ 2k < 1.
1-^3-^-^
1.0.

o

Áp dụng (2.4), liên tiếp ta được
G(s

n■ sn+1,8n+1)< XnG(so,svs1).

(

2.5)

Khi đó, với mọi m, n E N,n < m, sử dụng liên tiếp bất đẳng thức hình chữ
nhật và (2.5) ta có
G(s

n■ sm■ sm )■ V •.1 ■ V .
+G'(Sn+2 S+3 Sn+3) + ããã +

Ê(Sm-lSTOSJ

<(Aô+Aô+l+. + A-l)(^SpSi)

\n


^1

-- 1 __ Ặ k 0' l

7

)•

1/

Khi đó lim G(sn,sm■sm) = 0, vì lim ^^ố^,^) = 0. Vớin,m,N,
theo (G) ta có
G(s

n■ sm■ si) < G(.s„>s,„-.s,„') + G(Sl’S,.,’SJ-

Chon,m,l —> 00, ta được G(s■ sm■ s) —> 0.Vì vậy,{sn} là dãy G — Cauchy.
Vì (E,G) là khơng gian đầy đủ, nên tồn tại z EE sao cho {sn} làG — hội tụ
đến z. Giả sử Rz z, khi đó
G(s

n■Rz,Rz) < kỵG(sn_vz,z) + k2G(sn_vsn,sn)
+kfi(z, Rz, Rz) + k4G(z, Rz, Rz)
+ĂL max
-

R

R

R

G s
n

( -vRzyRz)yG(zys^sJ

R

G(z, z, zỴG(z, z, z),
G S S

^ ^ nYG{Sn-VRZ^RZ^

Lấy giới hạn khi n

00 và do hàm G liên tụctheo các biến của nó, nên ta có
G(z, Rz, Rz )^^^^^+ kỗ) G(z, Rz, Rz) ■


điều này là mâu thuẫn vì 0 < k, + /< +

< 1. Vậy z = Rz.

Để chứng minh tính duy nhất của z, ta giả sử tồn tại w z sao cho Rw=w,
khi đó (2.2) trở thành
G (w,w,w) = G(Rz,Rw, Rw)
< kG(z, w, w) + kG(z, z, z) + k G(ỵĩ, w, w)
G(z, w, w) , ơ(w, z) ,
<7(w, w, w), ơ(w, w, w),
+&4ơ(w, w, w) + k max ơ(w, z, z), G(z, w, w)
Do đó
G(z, w, w) < kỵG{z, w, w) + k max{ơ(2:, w, w), G(w, z, z)}
< ^(7(2, w, w) + k5 max{2ơ(w, z, z), G(w, z,
z)}
Như vậy,

= kfì(z., w, w) + 2Ă?5Ơ(W, z).
G(z, w, w) <

' G(w, z, z) .

Tương tự ta có

G(w, z, z)<^-G(z,w,w).
Vì vậy, ta có

Suy ra z = w, vì 0

G(z, w, w) <

X .í ĩ\/ X
5
G(z, w, w).

Để chỉ ra R là G — liên tục tại z, ta giả sử {t} là dãy bất kỳ trong E sao cho
{t} là G — hội tụ đến z. Với n e N, ta có
G(Rtn, Rz, Rtn ^kptt^ + kp^ ,Rtn,Rtn)


+k3G(z, z, z) + kfi(tn,Rtn,Rtn)

+ĂL

max 0

G(Jn,z,z),G(z,Rtn,Rtn

Ỵ
G(z,Rtn,Rtn),G(tn,z, zỴ
G(t , Rt , Rt ), G(t , Rt , Rt )
\ nJ nJ n/

\ n 7 n) n/)

Nhưng
G(tn, Rtn, Rtn }nên
G(Rtn, Rz, Rtn
+(&2 +

y{ G(tn, z, z) + G(z, Rtn,Rtn)}

Ekĩ>{G(tn,zìz) + G(z,RtnìRtn)}
Do đó
G(z,Rt ,Rt )<^^^^^G(t.z>z) + ------------------------A--------G(t ,t,z).
v
V, n, n - 1_k^_k^_k^
«’ ’ >
ỵ_k^_k^_k^
Cho n 00, ta được G(z, Rtn, Rtn) —> 0 và theo Mệnh đề 1.4.5, dãy (Rtn) là
G — hội tụ đến z = Rz. Do đó theo Mệnh đề1.4.10, R là G — liên tục tại z.
Hệ quả 2.2.3. Cho (E,G) là không gian G — metric đầy đủ, và R : E E, là
ánh xạ thỏa mãn với E N:
G(Rms,Rmt,Rmu)^^^^^^^^^~ k2G(s,RmS'Rms)
+k3G(t, Rmt, Rmt) + k4G(u, Rmu, Rmu)
G(s,Rmt,Rmt),G(t,Rms,Rms),
-\-kr max G(t, Rmu, Rmù), G(u, Rmt, R"’t),

G(u, Rms, Rms), G(s, Rmu, Rmu).
với mọi s, t, E E,ở đó k., k., k.,, k.,
•

1 1

1

1y 2

3

4

0 với k + E + E + k. -C2E < 1.
0 —

1

2

3

4

0