Chuyen de ve day so

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ (Lớp 4, lớp 5)
Hình thành khái niệm dãy số.
Sau khi học sinh đã nắm được các chữ số, cách đọc và cách viết số, xếp các
tập hợp thành một dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn” giáo viên giúp học sinh
viết các “chữ số” tương ứng với “số phần tử” của từng tập hợp thành một hàng,
học sinh nhận được một dãy số. Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất quan trọng của
dãy số là quan hệ “liền trước”; “liền sau” để củng cố khái niệm dãy số, giáo viên
yêu cầu học sinh tập đếm xuôi, đếm ngược, đếm liên tục, đếm nhảy và định vị các
số trong dãy.
Phần 1. Ôn lại một số kiến thức cơ bản về dãy số:
Tính chất của dãy số
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến
một số chẵn… Vì vậy, nếu:
- Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng
số lượng các số chẵn.
- Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số
chẵn bằng số lượng các số lẻ.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ
nhiều hơn các số chẵn là 1 số.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng
các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số.
a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong
dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy.
b. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số
trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên.
Các loại dãy số:
+ Dãy số cách đều:
- Dãy số tự nhiên.
- Dãy số chẵn, lẻ.
- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó.
+ Dãy số khơng cách đều.

- Dãy Phi bo na xi
- Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số.
+ Dãy số thập phân, phân số

1


Phần 2. Hệ thống các bài toán về dãy số
Các dạng cơ bản.
+ Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số.
+ Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay khơng?
+ Dạng 3: Tìm số hạng thứ n của dãy.
+ Dạng 4: Tìm tổng các số hạng của dãy số.
+ Dạng 5: Dãy chữ.
Cách giải các dạng toán về dãy số:
Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số
Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó
cộng(hoặc trừ) với một số tự nhiên a.
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân
(hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0.
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng trước
nó.
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng
trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự.
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần
số liền trước.
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần
số liền trước trừ đi 1.

Ví dụ 1:
1. Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……
Muốn giải được bài toán trên trước hết phảI xác định quy luật của dãy số
như sau:
Ta thấy: 1 + 2 = 3
2+3=5

3+5=8
5 + 8 = 13

Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi mỗi số
hạng bằng tổng của hai số hạng liền trước nó.
Vậy dãy số được viết đầy đủ là:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144…

2


2. Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27
Ta nhận thấy:

8=1+3+4

27 = 4+ 8 + 15

15 = 3 + 4 + 8
Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ
2) bằng tổng của ba số hạng đứng trước nó.

Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169.
3. Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
a…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.
b..., ..., 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.
*) Giải:
a. Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 1024 = 512 x 2
Số hạng thứ 9 là

: 512 = 256 x 2

Số hạng thứ 8 là

: 256 = 128 x 2

Số hạng thứ 7 là

: 128 = 64 x 2

……………………………..
Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số đầu tiên là: mỗi số hạng của dãy số
gấp đơi số hạng liền trước đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 x 2 = 2.
b. Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 110 = 11 x 10
Số hạng thứ 9 là

: 99 = 11 x 9

Số hạng thứ 8 là

: 88 = 11 x 8

Số hạng thứ 7 là

: 77 = 11 x 7

…………………………..
Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng bằng 11 nhân
với số thứ tự của số hạng ấy.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là : 1 x 11 = 11.
4. Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :
a. 3, 9, 27, ......., 729, .....
b. 3, 8, 32, ......, 608,.....
Muốn tìm được các số cịn thiếu trong mỗi dãy số, cần tim được quy luật của
mỗi dãy số đó.
a. Ta nhận xét :

3x3=9
3


9 x 3 = 27
Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số
liền trước.
Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là:
27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 (đúng).
Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 81 và 243.
b. Ta nhận xét:

3x3–1=8;

8 x 3 – 1 = 23.

..........................................
Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, số hạng sau bằng 3 lần số hạng
trước trừ đi 1, vì vậy, các số cịn thiếu ở dãy số là:
23 x 3 - 1 = 68 ;

68 x 3 – 1 = 203 ; 203 x 3 – 1 = 608 (đúng).

Dãy số còn thiếu hai số là: 68 và 203.
5. Lúc 7h sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A ; cả hai
cùng đi đến đích của mình lúc 2h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B ; nên
người đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi
từ B giờ cuối cùng đI được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km. Tính quãng
đường AB.
*) Giải:
2 giờ chiều là 14h trong ngày.
2 người đi đến đích của mình trong số giờ là:
14 – 7 = 7 giờ.
Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số:
15, 14, 13, 12, 11, 10, 9.
Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số:
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường
AB là:
9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (đáp số 84km).
6. Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng
2002

783

998

*) Giải:
Ta đánh số thứ tự các ô như sau:

ô1

ô2

ô3

ô4

ô5

783
ô6

ô7

ô8

ô9

998
ô10
4

Theo điều kiện của đề bài ta có:
783 + Ơ7 + Ô8 = 2002.
Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2002.
Vậy Ơ9 + 783; từ đó ta tính được:
Ơ8 = Ơ5 = Ô2= 2002 - (783 + 998) = 2002
Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998
Ô3 = Ô6 = 783.
Điền các số vào ta được dãy số:

998

221

783

998

221

783

998

221

783

998

Một số lưu ý khi giảng dạy Toán dạng này là: Trước hết phải xác định được
quy luật của dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ (ví dụ: 6). Từ đó mà
học sinh có thể điền được các số vào dãy đã cho.
* Bài tập tự luyện:
1.

13, 19, 25,……,
Dãy số kể tiếp thêm 5 số nào?
Số nào suy nghĩ thấp cao?
Đố em đố bạn làm sao kể liền?

2. Viết số hạng còn thiếu trong dãy số sau:
a. 7, 10, 13,……, 22, 25.
b. 103, 95, 87,……, 55, 47.
3.
Là số hạng cuối đây mà
Dãy số: 9 số hạng nha
Số hạng đứng trước gấp 3 sau liền
Đố em tôi, đố bạn hiền
Dãy số có số đầu tiên là gì?
Là gì nhanh đáp khó chi!
Đố anh, đố chị cùng nhau thi tài.
4. Điền số thích hợp vào ơ trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liền nhau bằng:
a. n = 14,2
2,7

8,5

b. n = 14,3
2,7

7,5

5


Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy đã cho hay khơng?
Cách giải của dạng tốn này:
- Xác định quy luật của dãy;
- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay khơng?
Ví dụ:
1. Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,……
a. Nêu quy tắc viết dãy số?
b. Số 93 có phải là số hạng của dãy khơng? Vì sao?
*) Giải:
a. Ta nhận thấy:

Số hạng thứ 1:

2=2x1

Số hạng thứ 2:

4=2x2

Số hạng thứ 3:

6=2x3

….........

Số hạng thứ n:

?=2xn

Quy luật của dãy số là: Một số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự của số
hạng ấy.
b. Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 93 là số lẻ, nên số 93
không phải là số hạng của dãy.
2. Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……
- Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?
- Số 2000 có thuộc dãy số trên khơng? Tại sao?
*) Giải:
- Ta thấy:

8 – 5 = 3;

11 – 8 = 3; ………

Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số
hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3.
Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.
- Số 2000 có thuộc dãy số trên, vì kể từ số hạng thứ 2 của dãy và số 2000
đều chia cho 3 dư 2.
3. Em hãy cho biết:
a. Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay khơng?
b. Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không?
c. Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải
thích tại sao?
*) Giải:
a. Cả 2 số 60, 483 đều khơng thuộc dãy đã cho vì:

- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
6


- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho
5.
b. Số 2002 khơng thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3
đều 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1.
c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều khơng thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì:
- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhận
với 2; cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số
chẵn, mà 798 chí cho 2 = 399 là số lẻ.
- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3.
- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.
4. Cho dãy số: 1, 2, 2; 3, 4;……; 13; 14, 2.
Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?
*) Giải:
- Ta nhận xét: 2,2 - 1 = 1,2;

3,4 - 2,2 = 1,2;

14,2 - 13 = 1,2;……

Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng sau hơn số
hạng liền trước nó 1,2 đơn vị:
- Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2.
Ví dụ:

(13 - 1) : 1,2
(3,4 - 1) : 1,2

(34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư 0.

Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.
5. Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1997,……, 55, 52, 49.
Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không?
100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999?
*) Giải: Nhận xét: Đậy là dẫy số cách đều 3 đơn vị.
Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 1999
khơng phải là số hạng của dẫy số đã cho.
Mỗi số hạng của dãy số đã cho là số chia hết cho 3, dư 1. Do đó, số 100 và
số 1900 là số của dãy số đó.
Các số 123, 456, 789 và 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó khơng phải là
số hạng của các dãy số đã cho.
* Bài tập lự luyện:
1. Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,…
a. Nêu quy luật của dãy.
b. Số 31 có phải là số hạng của dãy khơng, nếu phải thì số hạng thứ bao
nhiêu?
c. Số 1995 có thuộc dãy này khơng? Vì sao?
7


2. Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 3008.
Hỏi số 2004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay khơng?
3. Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,
a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo.
b. Trong 2 số 1999 và 2001 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?
4. Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,……
Có dãy số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không?
5. Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……

a. Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay khơng?
b. Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay khơng? Nếu số đó đúng là
số hạng của dãy số đã cho thì số đó ở vị trí thứ mấy của dãy số đó?
Dạng 3: Tìm số hạng của dãy
* Cách giải ở dạng này là:
- Sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây). Ta có
cơng thức sau:
Số các số hạng của dãy = số khoảng + 1.
- Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trước ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy số
thì số đó bằng tổng bấy nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) thì được tính theo
cơng thức:

nx(n �1)
2

Ví dụ:
1. Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992
a. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
b. Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 2002 là số
mấy?
*) Giải:
a. Ta có:
2

4

6

8

10

…………

4–2=2

;

8–6 =2

6–4=2

;

………

1992

Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng
trước cộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị.
Dựa vào công thức trên:
(Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Ta có: Số các số hạng của dãy là:
(1999 – 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng).
8


b. Ta nhận xét:
Số hạng thứ 2 là:

4 = 2 + 2 = 2 + (2 – 1) x 2

Số hạng thứ 2 là:

6 = 2 + 4 = 2 + (3 – 1) x 2

Số hạng thứ 2 là:

8 = 2 + 6 = 2 + (4 – 1) x 2

………
Số hạng thứ 2002 là:
Đáp số:

2 + (2002 – 1) x 2 = 4004

a. 996 số hạng.
b. 4004 số hạng.

2. Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng
thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?
(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)
*) Giải:
Ta thấy:
Số hạng thứ nhất bằng:

1=1+2x0

Số hạng thứ hai bằng:

3=1+2x1

Số hạng thứ ba bằng:

5=1+2x2

………
Còn số hạng cuối cùng: 1981 = 1 + 2 x 990
Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 trong dãy số đó.
3. Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,…
a. Tìm số hạng thứ 100 của dãy.
b. Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
*) Giải:
a.

Số hạng thứ nhất: 3 = 3 + 15 x 0
Số hạng thứ nhất: 18 = 3 + 15 x 1
Số hạng thứ nhất: 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2
Số hạng thứ nhất: 93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3
Số hạng thứ nhất: 153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4
………
Số hạng thứ n:

3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 + …… + 15 x (n - 1)

Vậy số hạng thứ 100 của dãy là:
3 + 15 x 1 + 15 x 2 + …… + 15 x (100 – 1)
= 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + …… + 99) (Đưa về một số nhân với một tổng.
= 3 + 15 x (1 + 99) ; 2 x 99 = 74253
b. Gọi số 11703 là số hạng thứ n của dãy:

9


Theo quy luật ở phần a ta có:
3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + …… x (n – 1) = 11703
3 + 15 (1 + 2 + 3 + …… n – 1)

= 11703

3 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) x (n – 1) : 2

= 11703

15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x 2

= 23400

n x (n – 1) = 23400 ; 15

= 1560

Nhận xét: Số 1560 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 39 và 40 (39 x 40 = 1560)
Vậy, n = 40, số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy.
4. Trong các số có 3 chữ số chia hết cho 3 là 102 và số lớn nhất có 3 chữ số
chí hết cho 3 là 999.
Như vậy: Các số có 3 chữ số chia hết cho 3 là:
(999 - 102) : 3 + 1 = 300 (số)
Đáp số: 300 số.
5. Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, ……… 195.
a. Tính số chữ số trong dãy.

b. Chữ số thứ 195 là chữ số nào?
*) Giải:
a. Ta viết lại dãy số:
1, …… 9, 10, …… 99, 100, ……, 195
Trong dãy có 9 số gồm 1 chữ số; các số này cho 9 chữ số.
Có 90 số gồm 2 chữ số; các số này cho 2 x 90 = 180 chữ số.
Có 96 số gồm 3 chữ số; các số này cho 3 x 96 = 288 chữ số.
Vậy chữ số trong dãy là:
9 + 180 + 2 = 477 (chữ số)
b. Trên đây ta đã tính được số chữ số trong từng đoạn của dãy.
1………9, 10……99, 100……, 195
9

180

288

477
Vì < 195 < 477, nen chữ số thứ 195 là chữ số thuộc vào đoạn từ 100 đến
195, vì 195 – 189 = 6, nên đây là chữ số thứ 6 trong đoạn từ 100 đến 195.
Ta thấy đó là chữ số 1 (nằm trong số 101)

10


* Bài tập tự luyện:
1. Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……
Tìm số hạng thứ 30 của dãy số trên?
2. Cho dãy số: 1, 4, 9, 16, ……
a. Nêu quy luật của dãy?

b. Số 625 là số hạng thứ bao nhiêu?
c. Số hạng thứ 100 là số nào?
3. Người ta viết các số chẵn liên tiếp có 2 chữ số liền nhau thành một số lớn
theo quy tắc sau:
10

12

14

16

18 ……… 96

98

a. Số đó có bao nhiêu chữ số?
b. Trong đó có bao nhiêu số 6?
4. Xét dãy số: 100, 101, ………, 789.
a. Dãy này có bao nhiêu số?
b. Số thứ 100 là số nào?
c. Dãy này có bao nhiêu chữ số?
d. Chữ số 789 là chữ số nào?
5. Cho dãy số: 1, 1; 2, 2; 3, 3; ……… 108, 9; 110,0
a. Dãy số này có bao nhiêu số hạng?
b. Số hạng thứ 50 của dãy số này là số hạng nào?

11

Dạng 4: Tìm tổng các số hạng của dãy số
*) Giải:
Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu
và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy:
Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng cách đầu số
hạng đầu và cuối nhân với số hạng của dãy chia cho 2.
Viết thành sơ đồ:
Tổng của dãy số cách đèu = (số đầu + số cuối) x (số hạng : 2)
Từ sơ đồ trên ta suy ra:
Số đầu của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số hạng cuối.
Số cuối của dãy – tổng x 2 : số số hạng – số đầu.
Ví dụ:
1. Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên
*) Giải:
19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37.
Ta thấy:

1 + 37 = 38

;

5 + 33 = 38

1 + 35 = 38

;

7 + 31 = 38

Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta được các cặp số đều có tổng
số là 38.
Số cặp số là:
19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng.
Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19. Vậy tổng của 19
số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
39 x 9 + 19 = 361
Đáp số: 361.
Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ dự lại số
hạng ở chính gữa vì số lẻ khơng chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì
việc tìm số hạng cịn lại khơng sắp sẽ rất khó khăn. Vậy ta có thể làm cách 2 như
sau: 19 – 1 = 18 (số hạng)
Ta thấy:

3 + 37 = 40 ;

7 + 33 = 40

5 + 35 = 40 ;

9 + 31 = 40

………

………

Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì
được các cặp số có tổng là 40.
Số cặp số là:

18 ; 2 = 9 (cặp số)

Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
12


1 + 40 x 9 = 361
Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu,
hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp
nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số.
- Từ ví dụ trên, ta thấy khi giải toán bằng phương pháp của lý thuyết tổ hợp,
phải phân biệt rạch ròi cặp sắp xếp thứ tự với cặp khơng sắp xếp thứ tự. Dưới đay
là 2 ví dụ, trong đó có khái niệm này.
2. Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n.
* Giải:
Ghép các số: 1, 2, ……, n – 1, n thành từng cặp (không sắp thứ tự) : 1 với n,
2 với n – 1, 3 với n – 2, ……
Khi n chẵn, ta có (n ; 2) = n x (n + 1) : 2
Khi n lẻ, thì n – 1 chẵn và ta có:
1 + 2 + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : 2
Từ đó ta cũng có:
S = (n – 1) x n : 2 + n
= (n - ) x n : 2 + 2 x n : 2
= [(n – 1) x n : 2 + 2 x n] : 2
= (n – 1 + 2) x n : 2
= n x (n + 1) : 2
3. Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195. Tính tổng các chữ số trong dãy?
*) Giải:
- Cách 1: Ta viết lại dãy số và bổ sung thêm các số: 0, 196, 197, 198, 199
vào dãy:

0, 1, 2, 3, ……, 9
10, 11, 12, 13, ……, 19
90, 91, 92, 93, ……, 99
100, 101, 102, 103, ……, 109
Vì có 200 số vè mỗi dịng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng)
Tổng các chữ số hàng đơn vị trong mỗi dòng là:
1 + 2 + 3 + …… + 9 = 9 x 10 : 2 = 45
Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là:
45 x 20 = 900
Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đều bằng tổng các chữ số hàng
chục trong 10 dòng sau và bằng:
1 x 10 + 2 x 10 + …… + 9 x 10 = (1 + 2 + …… +) x 10 = 45 x 10 = 450
Vậy tổng các chữ số hàng chục là:
450 x 2 = 900
13


Ngoài ra dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là 100.
Vậy tổng các chữ số của dãy số này là:
900 + 900 + 100 = 1900
Từ đó suy ra tổng các chữ số của dãy ban đầu là:
1900 – (1 + 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830
- Cách 2: Ta bổ sung thêm số 0 và các số từ 196 đến 199 vào dãy và ghép
các số thành cặp:
0, 199
1, 198
2, 197
……
x, 199 – x
Ta thấy các tổng các chữ số của mỗi số này đều bằng 19 (nếu số x có 2 chữ

số là a, b thì 199 – x có các chữ số là: 1, 9 – a và 9 – b.
Tổng các chữ số – x và 199 – x là:
a + b + 1 + 9 – a + 9 – b = 1 + 9 + 9 = 19.
Vậy tổng các chữ số của dãy số bổ sung là:
19 x 100 = 1900
Sau khi bớt đi các chữ số của các số bổ sung như cách giải trên, ta được tổng
cần tìm là 1830.
Trong Tốn học nói riêng và trong khoa học nói chung, chúng ta thường nhờ
vào suy luận quy nạp khơng hồn tồn mà phát hiện ra những kết luận 9gọi là giả
thuyết) nào đó. Sau đó chúng ta sử dụng duy luận diễn dịch hoặc quy nạp hoàn
toàn để kiểm tra sự đúng đắn của kết luận đó. Khi dạy học tiểu học, điều nói trên
cũng được lưu ý.
4. Tính tổng của dãy số sau:
1
1
1
1
1
+ + +
+
2
4
8
18
512

Một học sinh lập luận như sau:
Ta nhận thấy:

1

2

1
2

1
2

1
4

3
4

1
2

1
4

1
8

7
8

1
2

1

4

1
8

1
16

1
16

–

1
512

511
512

15
16

Vậy, cứ như thế ta có
1
2

1
4

1

8

14


Học sinh đã sư dụng quy nạp khơng hồn thiện để phỏng đoán ra kết quả của
tổng. Mặc dù kết quả đó đúng và q trình suy luận là hợp lý, nhưng vẫn khơng thể
xem đó là lời giải chặt chẽ.
Để có lời giải chặt chẽ cần sử dụng suy luận diễn dịch, chẳng hạn, đầu tiên
ta viết đầy đủ tổng:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
2
4
8

16
32
64
128
256
512

=

Cách 2:
S=

256  128  64  32  16  8  4  2  1
512

=

511
512

Đáp số:

511
512

Ký hiệu:

1
1
1

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
2
4
8
16
32
64
128
256
512

Nhân cả vế trái và vế phải với 2, rồi biến đổi, ta được:

Sx2=1+s-

1
512

Từ đó suy ra: S = 1 Sx2=1+s-

1
511
=
512
512

1
512

5. Tính tổng tất cả số thập phân có phần ngun là 9, phần thập phân có 3
chữ số:
*) Giải:
Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ
số là:
9,00; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999
tức là có 1000 số.
Ta thấy:

9,001 + 9,999 = 19

9,005 + 9,995 = 19

9,002 + 9,998 = 19

9,006 + 9,994 = 19

……………

……………

Nếu ta bỏ số đầu tiên và sắp xếp các cặp số cách đều 2 đầu dãy vào như trên
thì được các cặp số đều có tổng là 19, cịn lại 9,005 chưa được tính.
Số cặp số sắp xếp được là:
998 : 2 = 499 (cặp số) chưa kể hai số 9,000 và 9,500
Tổng tất cả các số của dãy số trên là:
15


19 x 499 + 9,5 + 9,005 = 9499,5
Đáp số: 9499,5
* Bài tập tự luyện:
1. Tính tổng:
a. Của tất cả các số lẻ bé hơn 100
b. 1 + 4 + 9 + 16 + …… + 169
2. Tính nhanh tổng của các só trên mặt đồng hồ? Cho ví dụ tương tự rồi suy
ra cách tính của dãy số cách đều?
3. Tính nhanh các tổng sau:
a. 1 + 2 + 3 + …… + 999
b. 1 + 4 + 7 + 10 + …… + x (chưa biết x là số thứ 50)
c. Tính nhanh tổng của tất cả các số coá 3 chữ số.
d. 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384.
Dãy số trên có 10 số hạng
Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh
Đố em, đố chị, đố anh
Tìm ra phương pháp tính nhanh mới tài.
4. a. So sánh S với 2. Biết rằng:
S=1+

1
1
1
1
1
+ +
+ +…+
3
6
10
...
45

b. Viết đầy đủ các số hạng và tính nhanh tổng sau:
1
1
1
1
1
+ +
+
+ …… +
2
6
12
20
90

5. a. Tính tổng các chữ số của dãy:

1, 2, 3, ………, 799.
b.

1
1
1
1
1
1
+ + + …… +
+
+
=?
2
4
8
1024
2048
4096

Phép cộng phân số kia khó gì?
Kê đủ số hạng ra thì uổng cơng
Cách gì ai tỏ ai thơng
Cộng nhanh đáp đúng lại khơng tốn giờ
Đố bạn hiền đó em thơ
Đố ai ai biết đây nhờ giải mau.

16

Dạng 5: Dãy chữ
Khác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ khơng địi hỏi học sinh
phải tính toán phức tạp. Ngược lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi học
sinh phải biết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểu
biết về xã hội, từ đó mà vận dụng dạng tốn này vào trong đời sống hàng ngày và
các môn học khác.
Ví dụ:
1. Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh thành một dãy chữ
liên tiếp: (học sinh giỏi tỉnh, học sinh……) hỏi chữ cái thứ 2002 của dãy là chữ cái
nào?
* Giải:
Ta thấy nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh gồm 15 chữ cái. Giả sử dãy chữ có
2002 chữ cái thì có:
2002 : 15 = 133 (nhóm) và còn dư 7 chữ cái.
Vậy chữ cái thứ 2002 của dãy chữ học sinh giỏi tỉnh là chữ H của tiếng
SINH đứng ở vị trí thứ 7 của nhóm 134.
2. Người ta viết liên tiếp các chữ số 13579 thành một số M. Hỏi chữ số thứ
764 của số m là chữ số nào?
*) Giải:
Ta thấy nhóm chữ số 13579 gồm có 5 chữ số.
Giả sử số M có 764 chữ số thì có:
764 : 5 = 152 (nhóm) dư 4 chữ số.
Vậy chữ số 764 của dãy số là chữ số 7, đứng ở vị trí thứ 4 của nhóm, thứ
153.
3. Một người viết liên tiếp dãy chữ thị xã thái bình, thành thi xa thai binh,
thi xa……
a. Chữ cái thứ 2002 trong dãy này là chữ gì?
b. Nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu
chữ A? Bao nhiêu chữ N?
c. Bạn Bình đếm được trong dãy có 2001 chữ A. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay

đếm sai? Giải thích tại sao?
d. Người ta tơ màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng,
xanh, đỏ, tím,… hỏi chữ cái thứ 2001 trang dãy được tơ màu gì?
*) Giải:
a. Nhóm chữ THI XA THAI BINH có 13 chữ cái:
2002 ; 13 = 154 (nhóm)
Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, người ta đã
viết 154 lần nhóm THI XA THAI BINH, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ H
của tiếng BINH.
17


b. Mỗi nhóm chữ THI XA THAI BINH có 2 chữ T và cũng có 2 chữ A và 1
chữ N. Vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ T thì tức là người đó
đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N.
c. Bạn đó đếm sai, vì dố chữ A trong dãy phải là số chẵn.
d. Ta nhận xét:
+ 2001 chia cho 4 dư 1.
+ Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia hết cho 4 dư 1 thì được
tơ màu XANH.
Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu XANH.
4. Một dãy số gồm các nhóm chữ như sau:
Hãy cố gắng, Hãy cố gắng, Hãy cố gắng…
a. Em hãy cho biết chữ cái thứ 273 trong dãy là chữ gì?
b. Nếu trong dãy số có 426 chữ A thì dãy số có bao nhiêu chữ N?
*) Giải:
a. Ta thấy rằng nhóm chữ Hãy cố gắng có 9 chữ cái và 273 : 9 = 30 (nhóm)
và dư 3 chữ cái. Như vậy, kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 273 trong dãy thì
nhóm chữ Hãy cố gắng phải viết được 30 lần nhóm và 3 chữ cái tiếp theo là chữ
HAY.

Vậy chữ cái thứ 273 là chữ Y.
b. Mỗi nhóm chữ trong dãy trên có hai chữ A và có 1 chữ T. Để dãy có 426
chữ A thì chữ Hãy cố gắng phải viết là 426 : 2 = 213 (nhóm)
Nhưng có những khả năng sau đây:
- Nhóm chữ cái thứ 213 chỉ viết là Hãy cố ga, khi đó nhóm chữ cuối này
khơng có chữ N, nên chữ N trong dãy là: 213 – 1 = 212 (chữ).
- Nhóm chữ 1213 chỉ viết là: Hãy cố gan, khi đó chữ N trong dãy là 213.
- Nhóm chữ 213 được viết trọn vẹn khi đó số chữ N trong dãy là 213.
5. Một bạn học sinh viết:
a. 2, 3, 4, 5, 1, 1, 3, 4, 5, 1, 2, ………
Và tiếp tục như thế để có một dãy số. Hãy tính xem số hạng thứ 1996 mà
bạn học sinh viết là số mấy?
*) Giải:
Trong dãy số bạn học sinh viết cứ 5 số lại lặp lại từ đâu.
Ta có: 1996 : 5 = 399 (dư 1)
Như thế bạn học sinh đã viết 399 lần các sô 1, 2, 3, 4, 5 và được 5 x 399 =
1995 (số hạng).
Như vậy, số hạng thứ 1996 phải là số 1.
* Bài tập tự luyện:
18


1. Một người viết liên tiếp nhóm nhữ: tốn năm thành toan nam toan nam
toan……
a. Chữ cái thứ 2002 trong dãy là gì?
b. Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu
chữ A? Bao nhiêu chữ O?
c. Một người đếm được trong dãy có 2000 chữ A, hỏi người đó đếm đúng
hay sai? Giải thích tại sao?
d. Người ta tơ màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng,

xanh, đỏ, tím…… hỏi chữ cái thứ 1999 trong dãy được tơ màu gì?
2. Một người đánh máy chữ phải đánh liên tiếp nhóm chữ “tiền hải” thành
một dãy chữ TIEN HAI TIEN HAI… hỏi lần gõ vào máy thứ 2001 rơi vào chữ
cái nào?
3. Viết liên tiếp các số tự nhiên chẵn thành dãy: 2, 4, 6, 8, 10,…… hỏi chữ
số thứ 1994 chữ số mấy?
4. Người ta viết liên tiếp các chữ số 0123456789 thành một số A, hỏi chữ số
thứ 195 của số A là chữ số nào?
5. Người ta viết các chữ cái dạy tốt, học tốt,…… thành DAY TOT HOC
TOT… bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu.
Hỏi chữ cái thứ 2002 là chữ cái gì? Màu gì?
Nội dung 3:

Một số lưu ý khi giải toán về “dãy số”

Trong bài toán về dãy số thường, người ta cho biết cả dãy số (vì dãy số có
nhiều số khơng thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy (mà
có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số khơ cho biết. Đó
là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu
hiệu chia hết để tìm ra quy luật ở dạng 1, muốn giải bài toán về tìm chữ số cuối
cùng của dãy (khi biết dãy đó có tất cả bao nhiêu số hạng) thì ta phải tìm số khoảng
cách của dãy số bằng cách lấy dãy đó có bao nhiêu số hạng trừ đi 1, sau đó tìm
hiệu của số cuối cùng của dãy bằng hiệu của số cuối cùng và số đầu bằng khoảng
cách giữa 2 số nhân với số khoảng cách. Từ đó tìm được số cuối cùng của dãy
bằng hiệu của số cuối và số đầu cộng với số đầu tiên của dãy.
Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay
không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay
khơng? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thf số đó thuộc
dãy đã cho.
Ở dạng 3: Có các yêu cầu sau:

+ Tìm tất cả các chữ số của dãy.
+ Tìm tất cả các số hạng của dãy.
Khi giải cũng tính bằng một cơng thức như ở phần cách giải đã nói.
+ Tìm chứ số thứ n của dãy.
19


Ta cần phải tìm số đầu tiên đến số liên quan đến chữ số thứ n của dãy
là số có bao nhiêu chữ số, từ đó tìm ra câu hỏi của bài tốn.
+ Tìm số hạng thứ n của dãy.
Ta chỉ cần tìm đấn quy luật của dãy là được (nếu là dãy số cách đều),
nếu là dãy số (không cách đều) được tính theo cơng thức n x (n – 1) : 2.
Ở dạng 4: Có các yêu cầu:
+ Tìm tổng các số hạng của dãy.
+ Tính nhanh tổng.
* Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp
sao cho có tổng đều bằng nhau, sau đó tìm cặmp số rồi tìm tổng các số hạng của
dãy. Chú ý: Khi tìm số cặp số mà cịn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng
số dư đó vào.
Nếu tính nhanh tổng phải dựa vào tính chất của phân số.
Ở dạng 5: Đó là dãy chữ khi giải đề phải dựa vào quy luật của dãy, sau đó
có thể xem dãy chữ hoặc dãy số có tất cả bao nhiêu chữ hoặc số rồi đi tìm có tất cả
bao nhiêu nhóm và đó chính là phần trả lời của bài toán.
Biện pháp tổ chức dạy giải toán nâng cao trong giờ dạy chính khố
Dạy học giải tốn nâng cao cho học sinh khá, giỏi là một nhiệm vụ không
thể thiếu được trong trường tiểu học, tổ chức dạy học Toán nâng cao phải đảm bảo
tính vừa sức, gây hứng thú cho học tốn và phát triển óc tư duy, sáng tạo cho học
sinh.
1. Dạy học giải Toán nâng cao về “Dãy số” lồng vào nội dung các bài giảng
chính khố là một trong những biện pháp để học sinh có kiến thức chắc chắn về

quy luật của dãy số tự nhiên, số thập phân, phân số. Qua đó, rèn cho học sinh 4 kỹ
năng cơ bản để nâng cao năng lực giải Tốn về “Dãy số”, đó là:
1. Kỹ năng tính tốn.
2. Kỹ năng tìm hiểu, phân tích.
3. Kỹ năng trình bày lời giải.
4. Kỹ năng kiểm tra, đánh giá.
Trong một tiết dạy chính khố, ngồi những u cầu phổ cập tối thiểu về
kiên thức và kỹ năng thì học sinh khá, giỏi cần phải có các bài tập khó khăn hơn,
cao hơn yêu cầu phổ cập.
Ví dụ 1: Khi dạy Toán lớp 4 (tiết 18): Dãy số tự nhiên đến phần luyện tập.
Học sinh làm các bài tập về kiến thức đã hcọ trong SGK, người giáo viên cần đưa
thêm một bài toán nâng cao để học sinh khá, giỏi phát triển thêm kiến thức mở
rộng.
Trong dãy số tự nhiên 10, 11, 12,……, 98, 99 (có số đầu là ……… số cuối
là ……… có:
- ……………… số là số tự nhiên
20


- ……………… số là số chẵn
- ……………… số là số lẻ)
Dựa trên cơ sở về tính chất của dãy số tự nhiên, có thể hướng dẫn học sinh
giỏi viết: Trong dãy số tự nhiên 10, 11, 12, ……, 98, 99 (Có số đầu là 10, số cuối
là 99 có:
- 90 số là số tự nhiên (số có 2 chữ số).
- 45 số là số chẵn (dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc là số lẻ)
- 45 số là số lẻ (Vì số lượng các số chẵn bằng số lượng số lử)
Ví dụ 2: Khi dạy tốn lớp 4 (tiết 19): Hệ thập phân, biểu diễn số tự nhiên
trong hệ thập phân.
Sau khi dạy học sinh về cấu tạo số, nâng cao về bài toán cấu tạo số cho học

sinh khá, giỏi làm thêm bài về “Dãy số” ở mức độ nâng cao hơn tiết 18.
Cho dãy số lẻ:

1, 3, 5, 7,……

- Số lẻ thứ nhất là số nào?
- Số lẻ thứ hai là số nào?
- Số lẻ thứ ba là số nào?
- Số lẻ thứ mười là số nào?
- Số lẻ thứ 37, 99 là số lẻ thứ mấy?
Muốn làm được bài này, giáo viên phải đưa ra một công thức để hướng dẫn
học sinh cách làm như sau:
- Số lẻ thứ hai bằng 1 + 2 x (2 – 1)
Từ đó có cơng thức tổng qt
- Số lẻ thứ n = 1 + 2 x (n – 1)
- Số lẻ thứ 37 là số lẻ thứ mấy?
1 + 2 x (n – 1) = 37
Từ đó hướng dẫn học sinh cách làm bài.
2. Dạy học giải Toán nâng cao “Dãy số” cho đội tuyển học sinh giỏi đại trà
đã hình thành cho học sinh những kiến thức kỹ năng cơ bản để làm cơ sở cho việc
giải các bài toán ở mức độ cao hơn, khái quát hơn.
Học ở lớp đội tuyển học sinh giỏi có thời gian tự tìm hiểu, phát hiện ra kiến
thức mới, có nhiều thời gian để tranh luận, tìm tịi các phương pháp khác nhau để
giải một bài toán biến các kỹ năng có được thành kỹ xảo.
Khi dạy nội dung giải Toán nâng cao, giáo viên phải biết tổ chức cho học
sinh tự phát hiện, khám phá những nội dung cơ mới trong bài học và trong bài
luyện tập thực hành.
Ví dụ: Dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi ta thường dạy theo một nội
dung kiến thức đã định sẵn theo dạng như: “Điền thêm số hạng vào sau, giữa,
hoặc trước một dãy số”. Giáo viên đưa ra một ví dụ, định hướng cho học sinh phân

tích yêu cầu đề bài và tìm cách giải.
21


Sau khi học sinh giải, giáo viên đặt câu hỏi để học sinh nhận xét cách giải,
rút ra những kiến thức cần ghi nhớ.
Các bài tập đưa ra sẽ nâng cao dần mức độ, từ đơn giản đến phức tạp, cụ thể
là:
- Bài 1:

Bài tập phát hiện kiến thức.

- Bài 2:

Vận dụng kiến thức ở mức độ bình thường.

- Bài 3:

Vận dụng tổng hợp kiến thức ở mức độ sáng tạo.

- Bài 4:

Bài tập củng cố nâng cao ở mức độ sáng tạo.

Nội dung các dạng bài tập trên lớp đội tuyển phải tổng hợp và nâng cao hơn
nội dung bài dạy ở lớp đại trà. Bởi vì, học xong nội dung nào được tổng hợ và
nâng cao nội dung ấy thì học sinh sẽ ghi nhớ kiến thức chắc hơn và vận dụng sáng
tạo hơn.
3. Dạy học giải Toán nâng cao thơng qua các buổi ngoại khố về Tốn dưới
hình thức như:

- Toạn đàm về phương pháp giải tốn nâng cao “Dãy số” cho học sinh lớp 4,
5.
- Tổ chức: “Trị chơi Tốn học”, thi giải tốn nhanh giữa các tổ trong lớp,
trong khối.
- Ngồi ra cịn tổ chức “Câu đố tốn học”, “Truyện kể tốn học”.
Thơng qua các hoạt động ngoại khoá, học sinh được tự do trao đổi, tranh
luận, học tập lẫn nhau về các kiến thức và kỹ năng để giải các bài toán về “Dãy
số”. Thi giải tốn nhanh, giúp các em tìm ra cách giải hay, ngắn gọn hơn, biết cách
kiểm tra sự đánh giá lời giửi của bài toán và rút ra cho bản thân những điều cần ghi
nhớ. Đây là điều kiện thuận lợi để học sinh rèn luện tính mạnh rạn, tự tin, óc linh
hoạt, sáng tạo, biết tự mình giải quyết các vấn đề đặt ra,
4. Bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên về giải toán nâng cao là một nhiệm
vụ quan trọng để nâng cao chất lượng dạy giải tốn nâng cao.
Thơng qua các buổi sinh hoạt chun mơn, bàn bạc, giáo viên trao đổi, bàn
bạc về nội dung, phương pháp dạy giải toán nâng cao các dạng, các loại tốn “Dãy
số” lồng vào các bài dạy chính khố và bài dạy trên lớp đội tuyển. Các nội dung
dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi được thống nhất trong tổ, đảm bảo tính hệ thống
và lơ-gíc.

22