Bài giảng Sức bền vật liệu 1: Chương 3 - PGS. TS. Trần Minh Tú

SỨC BỀN
VẬT LIỆU

Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng
National University of Civil Engineering – Ha noi

January 2013


Chƣơng 3

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT


Chƣơng 3. Trạng thái ứng suất
3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
3.2. Trạng thái ứng suất phẳng
3.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
3.4. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
3.5. Trạng thái ứng suất khối
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng.
Định luật Hooke
3.6. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƢS phức tạp –
Các thuyết bền
3(38)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (1)

a. Khái niệm
 Ứng suất
• điểm K(x,y,z)
n

• mặt cắt (pháp tuyến n)
y
 Mặt cắt bất kỳ đi qua K
K 
• ứng suất pháp s
z
x
• ứng suất tiếp t
 Qua K: vô số mặt cắt
Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp
tất cả những thành phần ứng suất trên tất
cả các mặt đi qua điểm đó
4(38)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (2)

Để nghiên cứu TTƢS
tại một điểm => tách ra
phân tố lập phƣơng vơ
cùng bé chứa điểm đó
=> gắn hệ trục xyz =>

trên mỗi mặt vng
góc với trục có 3 thành
phần ứng suất: 1 tp
ứng suất pháp và 2
thành phần ứng suất
tiếp
5(38)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (3)

Chín thành phần ứng suất tác dụng
trên 3 cặp mặt vng góc với ba trục
tạo thành ten-xơ ứng suất

s x t xy t xz 


Ts  t yx s y t yz 
t zx t zy s z 


6(38)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (4)

b. Mặt chính – ứng suất chính –
phƣơng chính
• Mặt chính: Là mặt khơng có
tác dụng của ứng suất tiếp.
• Phƣơng chính: là phƣơng
pháp tuyến của mặt chính.
• Ứng suất chính: là ứng suất
pháp tác dụng trên mặt
chính.
• Phân tố chính: ứng suất tiếp
trên các mặt bằng 0
7(38)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (5)

d) Qui ƣớc gọi tên các ứng suất chính:
Tại 1 điểm ln tồn tại ba mặt chính
vng góc với nhau với ba ứng suất
chính tƣơng ứng ký hiệu là s1 , s 2 , s 3
Theo qui ƣớc: s 1  s 2  s 3
s3
e) Phân loại TTƢS
s1
- TTƢS đơn
s2
- TTƢS phẳng

- TTƢS khối
Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng
8(38)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (6)
- Trạng thái ứng suất đơn: Hai
trong 3 ứng suất chính bằng 0

- Trạng thái ứng suất phẳng: Một
trong 3 ứng suất chính bằng 0

- Trạng thái ứng suất khối: Cả 3
ứng suất chính khác 0
9(38)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.2. TTƢS phẳng (1)
Mặt vng góc với trục z là mặt chính có ứng
suất chính = 0
Chỉ tồn tại các thành phần
ứng suất trong xOy
y

tyx sy

txy

sy

sx

tyx
x

txy

z
y
O
10(38)

x

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

sx


3.2. TTƢS phẳng (2)
 Qui ƣớc dấu



Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra khỏi phân tố
Ứng suất tiếp có chiều dương khi đi vịng quanh

phân tố theo chiều kim đồng hồ
t yx

a) Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

M

z

0

|txy| = |tyx|

C

Ứng suất tiếp trên hai mặt bất kỳ vng góc với nhau
có trị số bằng nhau, có chiều cùng đi vào cạnh chung

hoặc cùng đi ra khỏi cạnh chung.
TTƯS phẳng xác định bởi: sx ,sy, txy
11(38)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

t xy


3.2. TTƢS phẳng (3)
y

b) Ứng suất trên mặt nghiêng (//z)
Mặt nghiêng có pháp tuyến u hợp
với phƣơng ngang x góc a (a > 0:
từ x quay đến u theo chiều ngƣợc
chiều kim đồng hồ)
txy
sx
z
12(38)

y

tyx

tyz
tzy

sy

tzx txz

sz

y

su
sx
v

tyx

txy

z

u
tuv

sy

txy

u
su

dy ds

tyx

a

x

tuv

sy

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

sx
x

3.2. TTƢS phẳng (*)
sy

u

Qui ƣớc dấu：
 a >0 - chiều ngược kim đồng hồ ；

sx



hồ

a

txy
y

u

su >0 - hướng ra
t uv - thuận chiều kim đồng

F

u

O

su

vx

tsxyx

sy
Asin a

tuv

tyx

A

Acos a
13(38)

s u A  s x A cos2 a  t xy A cos a sin a

a

sy

0 

s y A sin 2 a  t yx A sin a cos a  0

F

v

0

τuv A - τ xy Acos 2 α - σ x Acosαsinα
+τ yx Asin2 α +σ y Asinαcosα = 0
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.2. TTƢS phẳng (4)
TTƢS phẳng
su

txy

ssxx

sy

sy

14(38)

a
tuv

tyx

s x s y s x s y
su 

cos 2a  t xy sin 2a
2
2

s x s y
t uv 
sin 2a  t xy cos 2a
2
a >0 - chiều ngược kim đồng hồ

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.2. TTƢS phẳng (5)
c) Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính
•

Ứng suất pháp cực trị khi:

2t xy
ds u
 0 => tg2a =da
sx sy
•

Các ứng suất chính (phương chính) xác định từ đk:

t uv  0 =>
a)

(1)

Từ (1) và (2):

15(38)

tg2a 0 =-

2t xy

sx sy

(2)

a  a0 (d.p.c.m)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.2. TTƢS phẳng (6)


Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính

s max, min  s 1,2(3) 


sx s y

2

 s x s y 
2
 

t

xy
2


2

Hai phương chính vng góc với nhau

tg 2a  

2t xy

s x s y


2t xy
1
a 0  arctg  
 s s
2
x
y


16(38)

Hoặc:





a 01,02

t xy
tga1 
s y  s max
t xy
tga 2 
s y  s min

 a0

0
a

90
 0

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.2. TTƢS phẳng (7)

d) Ứng suất tiếp cực trị: mặt có ứng suất tiếp
cực trị hợp với mặt chính góc 450
sx sy
dt
 0 => tg2 =
=>  =a 0  450
da
2t xy

 s x s y 
2
 

t

xy
2


2

t max,min

e) Bất biến của TTƢS phẳng: tổng các ứng suất
pháp trên hai mặt bất kỳ vng góc với nhau tại
một điểm có giá trị không đổi

s x  s y  s u  s v  const
17(38)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.3. Vòng tròn Mohr ứng suất (1)
 Biết TTƢS tại một điểm => các thành phần ứng suất
trên mặt nghiêng, ứng suất chính, phƣơng chính
theo cơng thức …: PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
 Bằng đồ thị => vịng trịn Mohr ứng suất
( su -

sx  s y
2

( tuv )2

)2 

(



(

sx  s y

2
sx  s y
2

cos 2a  t xy sin 2a )2

sin 2a  t xy cos 2a )2

sx  s y 

 sx  s y 
2
2
s

t


t
 u



uv
xy
2
2




2

Tâm

 sx  s y 

I
,0 
2



18(38)

2

Pt đƣờng tròn

 sx  s y 
2
R 
  t xy
2 

2

bán kính

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.3. Vòng tròn Mohr ứng suất (2) –
Cách dựng vòng tròn Mohr
tuv

TTƢS phẳng

sy

tyx

sx
txy

txy
tyx

u
sx

a

19(38)

I

su

su

A

s2
y

u2

a01

u1
s

2



a02R
B

 sx  s y 
2
R 

t

xy
2 


(

`

u

K

a

M

O

 sx  s y 
I
,0 
2



M s y , t xy

tuv

txy

sy

Điểm cực

tmax

sx

tmin

s1
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.4. TTƢS phẳng đặc biệt (1)
TTƯS phẳng mà 1 trong 2 thành phần ứng suất pháp sx, sy
bằng 0 => ký hiệu các thành phần ứng suất: s và t

s

t

I

s

s

t
s
s
 s1,3      t 2
2
2
2

s max,min

20(38)

smin

smax

s  s3
s
 1
    t2
2
2
2

t max

sz

t zy

t

s
t

sz

t

t

t yz

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.4. TTƢS phẳng đặc biệt (2)
 TTƯS trượt thuần túy: trên các mặt của phân
tố chỉ có ứng suất tiếp

t yx
C

sx sy  0

t xy

t

txy

s max
 t

s min

tyx
smin

21(38)

smax

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.5. TTƢS khối (1)
TTƢS khối có cả 3 thành phần ứng suất
chính s1, s2, s3 ≠ 0
Ứng với mỗi cặp ứng suất (s1, s2), (s1, s3),
(s2, s3) ta vẽ đƣợc 3 vịng trịn có tâm C1, C2,
C3.
LTĐH đã chứng minh:




22(38)

ứng suất trong mặt cắt nghiêng bất kỳ (không //
với mặt chính nào) tương ứng với 1 điểm nằm
trong vùng gạch chéo
Các điểm nằm trên chu vi đường tròn C1(s1, s2),
tương ứng với các thành phần ứng suất trên trên
mặt // với phương chính cịn lại s3
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


3.5. TTƢS khối (2)
t
y

C2

C3

C1

s2
s1

a
s3
z

23(38)

x

s3

s2

b

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

s1

s

Ví dụ 3.1 (1)
10KN/cm2

Cho phân tố ở TTƯS phẳng có các
thành phần ứng suất trên các mặt
như hình vẽ. Tìm phương chính,
ứng suất chính của TTƯS tại điểm
đó. Biết β =60o

β

6KN/cm2

GiẢI

Gắn hệ trục xy cho phân tố như hình vẽ

Pháp tuyến u của mặt nghiêng tạo với
phương ngang góc a
Ta có:

s y  4kN / cm2 ;

u

a
y

t xy  6kN / cm2 ;

s u  10kN / cm ;
2

a  150

4KN/cm2

β

6KN/cm2
x

o

24(38)

4KN/cm2
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


Ví dụ 3.1 (1)
Lại có:

su 

s x s y
2



s x s y
2

cos 2a  t xy sin 2a

u

a
y

 s x  18,928kN / cm2

β

6KN/cm2

Phương chính:

tg 2a 

2t xy

s x s y

x

 a1  19,4o ;a 2  a1  90o  109,4o

Ứng suất chính:

s max 

s x s y

min
25(38)

2

4KN/cm2

 s max  21,041KN / cm2

s x s y
 
2


2


  t xy 2


 s min  1,887 KN / cm2

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering