bài giảng sức bền vật liệu, chương 3 pdf

Chương 3: TRẠNG THÁI TRƯỢT THUẦN
TÚY
Trạng thái trượt thuần túy tại một điểm trong vật thể đàn hồi.
Nếu tại một điểm nào đó ta tách ra được một phân tố mà trên
các m
ặt của nó chỉ có ứng suất tiếp (không có ứng suất pháp, tức 
= 0) xem hình 3.16, trong trường hợp này, vòng tròn Mohr có tâm
C
ở gốc O, (vì 
x
=

y
= 0).
y

1
=





D

3
=



M

3
M
1


O
x
C
Hình 3.16:
Tr
ạ
ng
thái
ứng
su
ấ
t
trượt thuần
tuý

3
=

-





1

=


Hình 3.17: Vòng Mohr
để
xác
đị
nh ứng suất chính
Cực D (0, )  trục tung.
D
ựa vào vòng Mohr, ta có: 
1
=

max
=

xy
;

2
= 0;

3
=

min
= -

xy

Nh
ư vậy trạng thái trượt thuần túy có đặc điểm là hai ứng suất
chính 
1
và

3
b
ằng nhau nhưng ngược chiều (kéo, nén). Phương
chính xiên góc 45
0
so với phương của ứng suất tiếp (hình 3.16;
3.17).
3.4. LIÊN HỆ GIỮA ỨNG
SUẤT
VÀ
BIẾN DẠNG -
ĐỊNH
LUẬT HOOKE
TỔNG QUÁT.
Trong trường hợp tổng quát, trên các mặt của phân tố có các
ứ
ng suất pháp và ứng suất tiếp.
3.4.1. Biến dạng dài theo một cạnh của phân tố.
x

Đó là biến dạng do tác dụng của cả ba ứng suất pháp theo ba
p
hương x, y, z gây ra. Để tính biến dạng này ta dùng nguyên lý độc
lập tác dụng: "Tác dụng gây ra đồng thời do nhiều yếu tố thì bằng

tổng những tác dụng do các yếu tố riêng rẽ gây ra".
Nguyên lý đó thể hiện bằng biểu thức toán học sau:

x
=

(

x
)
 


(
y
)


(
z
)


x




(


y
)


( 
z
)
y
x x
 =

x



y
E E
x



z


E
E
1




E
x
y


(
y
z
 
z
)



y
(3-13)

Z
d
y
Ta suy ra cho biến dạng các
phương khác:
58
 
x
x
O
d
x
x

d
z
Z
z

y
Hình 3.18: Xác
đị
nh
59
E
E



1


x

E
[

x


(
y
 
z

)]






y





1
[

y


(
z
 
x
)]
E
1
(3-14)


z

 [
z


(
x
 
y
)]


Biểu thức (3-14) được gọi là định Hooke tổng quát.
Nếu các mặt của phân tố là mặt chính, thì định luật Hooke tổng
quát có dạng:

1


1

E
[

1


(
2
 
3

)]






2





1
[

2


(
3
 
1
)] E
1
(3-15)


3
 [

3


(

1
 
2
)]


3.4.2. Định luật Hooke về biến dạng thể tích:
Đặt vấn đề: Tính độ biến đổi thể tích của một phân tố chính
hình h
ộp có các cạnh dài dx, dy, dz.
G
ọi thể tích ban đầu: V
0
= dxdydz
Th
ể tích sau biến dạng: V
1
= (dx + dx)
(dy+
dy) (dz+dz) Bỏ qua các vô cùng bé
b
ậc cao:
=> V
1
=

dxdydz (1+
dx


dx
dy


dy
dz
)
dz
V
1
= V
0
(1+ 
x
+

y
+

z
) G
ọi  là biến dạng thể tích
tương đối, thì:
 =
V
1


V
0
V
0


x


y


z

1

2


E
(3-16)
V
ới

= 
x
+

y

+

z
3.4.3. Định luật Hooke đối với biến dạng trượt:Theo định
lu
ật Hooke, biến dạng
tr
ượt tỷ lệ với ứng suất
tiếp: 
xy
=

xy
G
;

yz
=

yz
G
60


; 
zx
=

zx
G

(3
-
1
7)
Trong
đó: xy, yz, zx- Các chỉ số của , dùng để chỉ biến
dạng trượt trong các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa
độ
xOz, yOz, yOx; G- Hệ số tỷ lệ, được gọi là moduyn đàn hồi
trượt, đơn vị MN/m
2
, KN/cm
2

Moduyn G ph
ụ thuộc từng loại vật liệu và liên hệ với E,

theo
bi
ểu thức sau:
G =
3.4.4. Trạng thái ứng suất
khối.
E
2(1


)
(3-18)
Định nghĩa: Trạng thái ứng suất khối là trạng thái ứng suất

mà trên 3 mặt chính của nó đều có các ứng suất chính khác không.
61
Đây là một bài toán không gian, lý thuyết đàn hồi sẽ nghiên
c
ứu đầy đủ hơn về nó.
Ở đây chúng ta chỉ xét một vài trường
h
ợp đặc biệt. a) Ứng suất trên
m
ặt cắt nghiêng bất kỳ.
Gi
ả sử tại một điểm M nào đó của vật thể đàn hồi ta rút ra một
phân tố chính (các mặt đều là mặt chính, hình 3.19). Nếu đã biết
các ứng suất chính 
1
,

2
,

3
, ta có th
ể hoàn toàn xác định được
các ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ nào đi qua điểm M.
z

3
c
M


1
z
u
c
Z
u

u

2
P
u

1
Y

X
u
b a

2
y a)
x
u
M
u
a
x
b


3
y
b)
Thật vậy, tưởng tượng cắt phân tố bởi mặt cắt abc, có pháp
tuy
ến u. Gọi l, m, n
là các cosin ch
ỉ phương
H
c
ì
ủ
n
a
h
ph
3
á
.
p
1
tu
9
y
:
ến
T
u
r
:

ạng
thái
ứng suất kh
ố
i
l = cos , m = cos , n = cos 
Trong đó: , ,  - Góc giữa pháp tuyến u với các trục x, y, z.
Bây gi
ờ hãy khảo sát sự cân bằng của phân tố bốn mặt Mabc
(hình 3.19b). Vì abc là m
ột mặt bất kỳ, nên trên đó có cả ứng suất
pháp 
u
và
ứng suất tiếp 
u
. G
ọi p
u
là ứng
su
ất toàn phần trên mặt
này và p
u
=

2


2

, ta có th
ể xác định ứng
su
ất toàn phần p
u
u
u
dựa vào các ứng suất chính 
1,

2
,

3
và các cosin ch
ỉ phương l,
m, n.
N
ếu gọi X
u
, Y
u
, Z
u
là các hình chiếu của P
u
xuống các trục x,
62
y, z thì:
P

u
 X
u
 Y
u

Z
u
(a)
2 2 2 2
V
ậy muốn xác định P
u
ta chỉ cần xác định các hình chiếu của
nó lên các tr
ục là X
u
, Y
u
, Z
u
. Nếu ta gọi dF là diện tích của mặt
xiên abc thì:
- Di
ện tích mặt Mbc sẽ là dFl.
- Di
ện tích mặt Mca sẽ là dFm.
- Di
ện tích mặt Mab sẽ là dFr .
Thi

ết lập các phương trình cân bằng cho phân tố Mabc ta có:
X = X
u
dF - 
1
dF
l = 0 => X
u
= 
1
l
Y = Y
u
dF - 
2
dF
m = 0 => Y
u
= 
2
m
(b)
Z = Z
u
dF - 
3
dF
n = 0 => Z
u
= 

3
n
Đưa (b) vào (a) ta được: P
2
 
2
l
2
 
2
m
2
 
2
n
2
(3-19)
u 1 2
3
Muốn có thành phần ứng suất pháp 
u
thì ta chi
ếu giá trị ứng
su
ất pháp toàn phần
P
u
xu
ống tr
ụ

c u:

u
=
X
u
.l
+
Y
u

m
+
Z
u
.n
hay

u
=

1
l
2
+

2
m
2
+


3
n
2
(3-
20)
P
u
1
2
u
2
2
2

Và ta có giá trị ứng suất tiếp

u
là:

u
=
p
2


2
(3-21)
u
u

b)
Ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với một ứng suất
chính:
* Trên m
ặt cắt song song với 
3
: Pháp tuy
ến u của mặt cắt
này sẽ vuông góc với phương x (phương tác dụng của ứng suất
chính 
3
), lúc
đó n = 0 và công thức (3-19), (3-
20), (3-21) s
ẽ là: P
2
 
2
l
2
 
2
m
2
u 1 2

u
=

1

l
2
+

2
m
2

u



2


2



2
l
2


2
m
2

(
1

l


2
m
)
 (
1


2
)l.m
Ta nh
ận thấy rằng: Ứng suất trên mặt cắt nghiêng này chỉ phụ
thuộc vào 
1
và

2
,
do đó dựa vào 
1
,

2
ta có th
ể vẽ được vòng Mohr ứng suất,
mà tâm vòng tròn này

  




  


có tọa độ C
3

1 2
,0

, bán kính r
3
=

1 2

, (hình 3.20b).

2



2


Tương tự như trên tọa độ của một điểm nào đó trên vòng Mohr
này s
ẽ là giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng

song song v
ới 
3 .
* Trên m
ặt cắt song song với 
2
: C
ũng tương tự như vậy,
nếu mặt cắt song song
z


3
a)
b)

1
x

2

2
O
C
3

1




y
Hình 3.20: Xác
đị
nh ứng suất trên mặt
c
ắ
t
ớ
i



với 
2
thì pháp tuy
ến sẽ vuông góc với 
2
(t
ức là với trục y), khi
đó m = 0.
Các
ứng suất trên mặt chỉ phụ thuôc vào 
1
và

3
cho nên ta
c
ũng sẽ có:
P

2 2 2 2
2
u
 
1
l
 
3
n

u
=

1
l
2
+

3
n
2

u
= (

1
-

3
)l.n

D
ựa vào 
1
và

3
ta c
ũng xây dựng được vòng tròn
Mohr
ứng suất có tâm


1
 
3
,0

,
bán kính r
  

=

1 3

. Tọa độ của một điểm trên vòng
tròn này c
ũng
C
2





2


 
2

2

z

3
t
a) b)

1
x
O

3
C
2
1
2
6
1
y

Hình 3.21 Xác
đị
nh ứng suất trên mặt
c
ắ
t
62
là giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt có pháp
tuy
ến u song song với 
2
(tr
ục y), hình 3.21.
* M
ặt cắt song song với 
1
, l=0 do
đó ứng suất trên mặt cắt
chỉ phụ thuộc vào 
2
và 
3
. P
2 2 2 2 2
u
 
2
m
 
3

n

u
=

2
m
2
+

3
n
2

u
= (

2
-

3
)m.n
C
ũng tương tự như trên, dựa vào 
2
,

3
ta có th
ể lập vòng

Mohr
ứng suất với tâm

  



  


C
1

2 3
,0

, bán kính r
1
=

2 3

, ( hình 3.22).

2



2



Tọa độ của ,một điểm trên vòng tròn là giá trị ứng suất pháp
và ti
ếp của mặt cắt nghiêng có pháp tuyến u song song với 
1
(v
ới
tr
ục x)
z

3


a) b)

1
x
O
O

3
C
1

2

1 



y
Hình 3.22 Xác
đị
nh ứng suất trên mặt
c
ắt nghiêng song song v

Tóm lại: Ứng suất trên mặt cắt nào đó mà song song với một
ứ
ng suất chính xác
định, thì có thể vừa xác định bằng công thức giải tích vừa có thể
biểu diễn bằng đồ thị là vòng tròn ứng suất tạo với 2 ứng suất
chính không song song với mặt cắt nói trên. Cũng có thể nói về
mặt đồ thị thì đối với một phân
63
tố trạng thái ứng suất khối ta có
th
ể vẽ 3 vòng tròn ứng suất tạo
nên bởi 3 ứng suất chính. Mỗi
vòng tròn
ứng suất tương ứng với
m
ột tập hợp các mặt cắt song song
với một ứng suất chính nào đó .
Đối
với một mặt cắt nghiêng
b
ất kỳ, không song song với một
ứng suất chính nào cả, thì ta có
th

ể sử dụng kết quả trong lý
thuy
ết đàn hồi để xác định ứng
su
ất trên mặt cắt nghiêng đó
được
biểu diễn tọa độ của






O

3
M
C
1

2
C
2
C
3

1


một điểm nằm trong vùng gạch

giới hạn của
3 vòng tròn C
1
, C
2
và C
3
, (hình
3.23).
*
Nhận xét chung:
Hình 3.23: Vòng
Mohr c
ủ
a
tr
ạng thái ứng suất
kh
ố
i
1- Tổng ứng suất pháp trên 3 mặt vuông góc với nhau đi qua
m
ột điểm là hằng số:

1
+

2
+


3
=

x
+

y
+

z
(3-21)
64
Ta gặp lại luật bất biến bậc nhất đối với trạng thái ứng suất
kh
ối tương tự như đã gặp ở trạng thái ứng suất phẳng ở trên.
2- Nh
ững ứng suất tiếp lớn nhất sẽ là:
  


1.2
=
1 2
2
-
Ứng suất tiếp trên mặt cắt song song với
phương của 
3
và
xiên m

ột góc 45
0
so v
ới các phương của 
1
,

2
.





2.3
=
2 3
- Ứng suất tiếp trên mặt cắt song song với 
1
và xiên m
ột góc
2
45
0
so v
ới các phương của 
2
,

3

.





3.1
=

1 3
2
- Ứng suất tiếp trên mặt cắt song song với 
2
và xiên góc 45
0
65

=

=
với các phương 
1
và

3
.
Trong 3
ứng suất tiếp lớn nhất này, thì ứng suất tiếp 
3.1
là

l
ớn nhất:

1


3
max
3.1
2
Điều này rất quan trọng nó có ý nghĩa đối với nhiều vấn đề
trong cơ học, ví như
xây dựng các thuyết bền chẳng hạn.