Bài giảng Sức bền vật liệu 1: Chương 4 - PGS. TS. Trần Minh Tú

SỨC BỀN
VẬT LIỆU

Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng
National University of Civil Engineering – Ha noi

January 2013


Chương 4
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG


Chương 4. Đặc trưng hình học của
mặt cắt ngang
4.1. Khái niệm chung
4.2. Mơmen tĩnh và các mơ men qn tính
4.3. Mơ men qn tính một số hình đơn giản
4.4. Cơng thức chuyển trục song song
4.5. Ví dụ

(3)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.1. Khái niệm chung
• Kéo – nén đúng tâm:
ứng suất, biến dạng phụ thuộc vào
diện tích mặt cắt ngang

• Thanh tiết diện chữ nhật
khả năng chịu lực theo hai
phương x, y khác nhau
• Khả năng chịu lực của thanh phụ
thuộc vào diện tích, hình dáng,
cách sắp xếp, …của mặt cắt
ngang
• Các đại lượng mà độ lớn phụ
thuộc vào hình dạng, kích thước
của mặt cắt ngang - đặc trưng
hình học của mặt cắt ngang
(4)25

F

x

z
y

F

x

z
y

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

4.1. Khái niệm chung
Hình dạng các mặt cắt ngang

Kích thước, hình dạng?

(5)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.2. Mơmen tĩnh và các mơ men
qn tính
•
1.

Hình phẳng, diện tích A
trong hệ trục Oxy. Phân
tố diện tích dA(x,y)
Mơ men tĩnh của diện
tích A đối với trục Ox,
Oy:

Sx 

 ydA

( A)

•

Sy 

 xdA

( A)

Thứ ngun của mơ men
tĩnh là [chiều dài3], giá trị
của nó có thể là dương,
bằng 0, hoặc âm.
(6)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.2. Mơmen tĩnh và các mơ men
qn tính
Trục trung tâm: trục có mơ
men tĩnh của diện tích A
đối với nó bằng 0.
Trọng tâm: Giao điểm của
hai trục trung tâm => mơ
men tĩnh của hình phẳng
đối với trục đi qua trọng
tâm bằng 0
Cách xác định trọng tâm C
(xC, yC) của hình phẳng:

(7)25

yC

C

xC

xC 

Sy
A

Sx
yC 
A

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.2. Mơ men tĩnh và các mơ men qn tính
• Bài toán xác định trọng tâm

y0

Giả sử C(xC, yC) là trọng tâm mặt cắt ngang

x0, y0 - hệ trục đi qua C

y

dA(x,y) trong hệ toạ độ xy

yC

C

dA(x0,y0) trong hệ toạ độ x0y0
Ta có:

 yC 

S x   ydA    y0  yC dA
A

 S x   y0 dA   yC dA  yC A
A

(8)25

A

x0

xC x

x  x0  xC
y  y0  yC
A

dA

y0

xC 

Sy
A

Sx
A

Sx
yC 
A

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

x0


4.2. Mơ men tĩnh và các mơ men qn tính
y

Cách xác định trọng tâm của
hình ghép từ nhiều hình đơn
giản
• Hình đơn giản: toạ độ trọng tâm dễ xác

•
•

định
Chọn hệ trục ban đầu Oxy, biểu diễn
kích thước và toạ độ trọng tâm
C(xC, yC) trong hệ trục này
Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều
hình đơn giản có diện tích Ai với tọa độ
trọng tâm mỗi hình đơn giản là
Ci( xCi,yCi) trong hệ toạ độ ban đầu, thì:

yC1

C1
C2
C3
x

xC1
n

xC 

Sy
A



x

Ci

i 1
n

A
i 1

Sx 
yC 
 i 1n
A

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

i

n

yCi Ai

A
i 1

(9)25

Ai

i


4.2. Mơ men tĩnh và các mơ menqn tính

Chú ý




Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục
đối xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ
trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của
càng nhiều hình đơn giản càng tốt.
Nếu hình bị kht thì diện tích bị kht mang giá trị
âm.

(10)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.2. Mơ men tĩnh và các mơ men qn tính
2.

Mơ men quán tính của mặt
cắt ngang A đối với trục x, y

Ix 

•
3.



y 2dA

Iy 



x 2dA

( A)

( A)

Thứ nguyên của mơ men
qn tính là [chiều dài4], giá
trị của nó ln ln dương
Mơ men qn tính độc cực

Ip 



 2dA  I x  I y

( A)

• Thứ ngun của mơ men quán tính độc cực là
[chiều dài4], giá trị của nó ln ln dương
(11)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

4.2. Mơ men tĩnh và các mơ men qn tính
4.

Mơ men quán tính ly tâm

I xy 

 xydA

( A)

Thứ nguyên của mơ men qn tính
ly tâm là [chiều dài4], giá trị của
nó có thể là dương, bằng 0,
hoặc âm.
Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang:
là hệ trục mà mơ men qn tính ly tâm của diện tích
mặt cắt ngang đối với nó bằng 0.
Hệ trục qn tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt
ngang: là hệ trục qn tính chính, có gốc tọa độ trùng
với trọng tâm mặt cắt ngang.
(12)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.2. Mơ men tĩnh và các mơ men qn tính
Tính chất:

Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất cứ trục nào
vng góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một
hệ trục qn tính chính



I xy   xydA     xy  dA  0
A

A

Nếu hình ghép từ n hình đơn giản:
n

Sx   S
i 1

n

Ix   I
i 1

i
x

(13)25

n

i

x

S y   S yi
i 1

n

n

Iy   I
i 1

i
y

I xy   I xyi
i 1

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.3. Mơ men qn tính một số hình đơn giản

hb3
Iy 
12

bh3
Ix 
12

x

Hình trịn

Ip 

 R4
2

Ix  I y 



y



 D4

 R4
4

32


 0,1D

 D4
64

x

4

b
D

 0,05D 4

Hình tam giác

bh3
Ix 
12
(14)25

h



y

Hình chữ nhật

h



x

b
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.4. Công thức chuyển trục song song
 Mặt cắt ngang ngang A trong
hệ trục ban đầu Oxy có các
đặc trưng hình học mặt cắt
ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy.
 Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox,
O'v//Oy và:

u  xb

v ya

 Các đặc trưng hình học mặt
cắt ngang A trong hệ trục O'uv
là:

Su  S x  a. A

Sv  S y  b. A

v

y
A

v

dA

y
b
a

u

Iu  I x  2aS x  a 2 A

I v  I y  2bS y  b2 A
Iuv  I xy  aS y  bS x  abA

(15)25

x

x

O

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

u


4.4. Công thức chuyển trục song song
Nếu O đi qua trọng tâm C:

C

C

Iu  I x  a 2 A
Iv  I y  b A
2

Iuv  I xy  abA
(16)25

a > 0 – u ở phía dưới x
b > 0 - v ở phía trái y

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.5. Công thức xoay trục
- Trong nhiều trường hợp, cần xác định các đặc trưng
hình học mặt cắt ngang trong hệ trục toạ độ xoay một
góc nào đó so với hệ trục ban đầu

(17)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.5. Công thức xoay trục
- Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục
ban đầu Oxy có các đặc trưng hình

học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy.

y

- Hệ trục mới O'uv xoay góc q ngược
chiều kim đồng hồ

u

v

u  x cos   y sin 
v   x sin   y cos 
- Các đặc trưng hình học
mặt cắt ngang trong hệ trục
mới O'uv là Su, Sv, Iu, Iv, Iuv

Chú ý: chiều dương của 

x

Iu 
Iv 
I uv 

(18)25

Ix  I y
2
Ix  I y

2
Ix  I y
2




Ix  I y
2
Ix  I y
2

cos 2  I xy sin 2
cos 2  I xy sin 2

sin 2  I xy cos 2

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.5. Cơng thức xoay trục
- Hệ trục qn tính chính có Iuv=0 => Vị
trí của hệ trục qn tính chính xác định
bởi góc 0:

tan 20  

2 I xy
I y  Ix

- Các mơ men qn tính đối với hệ trục
quán tính chính :
2
Ix  I y
 Ix  I y 
2
I max, min 
 

I

xy
2
2


- Tương quan giữa Iu, Iuv và Ix,

Iy, Ixy tương tự như tương quan
giữa u, uv và x, y, xy

(19)25

Vịng trịn Mohr qn tính

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


4.6. Bài tập – Ví dụ 4.6.1
Ví dụ 4.6.1. Cho mặt cắt ngang có

hình dạng và kích thước như hình
vẽ.Xác định các mơ men qn tính
chính trung tâm của mặt cắt ngang

Giải: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu
x0y0 như hình vẽ. Chia mặt cắt ngang
làm hai hình đơn giản 1 và 2

y0

1. Xác định toạ độ trọng tâm, ta có:
1

- xC=0 (y0 - trục đối xứng)
2

x
0

(20)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


Ví dụ 4.6.1
y0
- Dựng hệ trục quán tính chính trung tâm Cxy
1

- Các mơ men qn tính chính trung tâm:

2

x
0

(21)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


Ví dụ 4.6.2
Ví dụ 4.6.2. Cho hình phẳng có hình
dạng và kích thước như hình vẽ. Xác
định các mơ men qn tính chính trung
tâm của hình phẳng
Giải: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu x0y0
như hình vẽ. Chia hình phẳng làm hai
hình đơn giản 1 và 2
1

+

1

2
2

(22)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

Ví dụ 4.6.2
1. Xác định toạ độ trọng tâm:
Ta có:

i=

Xi [m]

yi [m]

Ai [m2]

xiAi
[m2]

yiAi
[m2]

1

0,5

2,0

4

2

8

2

2,0

0,5

2

4

1

6

6

9


xC

x A


A
Ci

i

i

6
  1( m )
6

yC

y A


A
Ci

i

i

y

9
  1,5( m )
6
1

2. Qua C, dựng hệ trục quán tính trung tâm Cxy:

3. Các mơ men qn tính đối với hệ trục quán
tính trung tâm Cxy:

a1= - 0,5m; b1=0,5m; a2=1m; b2= - 1m
(23)25

C

1.5m

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

x

2


Ví dụ 4.6.2
1.4 3
A1  I 
 0 , 5 2 .4  6 , 33( m 4 )
12
4.13
1
Iy 
 0 ,5 2 .4  1, 33( m 4 )
12
1
x

1

2.13

A2  I 
 12 .2  2 ,17 ( m4 )
12
3
1
.
2
I y2 
 12 .2  2 ,67 ( m 4 )
12
2
x

2

I x  I x1  I x2  6 , 33  2 ,17  8 ,5( m4 )

I y  I y1  I y2  1, 33  2 ,67  4( m4 )
I xy  I xy1  I xy2  0  a1b1 A1  a2b2 A2  3( m4 )
4. Các mô men quán tính đối với hệ trục quán
tính chính trung tâm Cuv:
(24)25

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering


Ví dụ 4.6.2
4. Các mơ men qn tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm Cuv:
I1 

Ix  I y
2

 Ix  I y 
2
4
 
  I xy  10(m )
 2 
2

I2 

Ix  I y
2

 Ix  I y 
2
4
 
  I xy  2,5(m )
 2 
2

5. Góc xác định hệ trục quán tính chính trung tâm Cuv:

tan 20  

2 I xy
I y  Ix

v

 1, 333

 1  26 0 34'
 2   1  90 0  116 0 34'

y

1

u

1

C

1.5m

(25)25

2

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering

x